Применение метода последовательных нагружений при решении задач механики плоских стержней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.22.8 DOI 10.18698/0536-1044-2016-12-33-42

Применение метода последовательных нагружений при решении задач механики плоских стержней

А.М. Наумов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

The Application of the Method of Successive Loadings when Solving Problems of Mechanics of Flat Rods

A.M. Naumov

BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1 e-mail: nam63@mail.ru

При решении задач о нагружении конструкций, содержащих стержневые элементы, часто приходится иметь дело с большими (соизмеримыми с длиной стержня) перемещениями таких элементов. В механике деформируемого твердого тела разработан ряд методов решения нелинейных задач, применимых к расчету как пластин, оболочек, мембран, так и стержней. В статье рассмотрен относительно простой и достаточно точный для повседневной инженерной практики метод последовательных нагру-жений для решения плоских задач механики стержней. Представлены результаты численного исследования примеров нагружения стержней различными силами, для которых в научной литературе приведены точные аналитические решения, и наглядно продемонстрирована точность предлагаемого метода решения подобных задач. Приведенный метод численного исследования глубокого деформирования плоского стержня достаточно легко может быть распространен и на конструкции в виде пространственных стержней сколь угодно сложной геометрии. Данная тематика может быть интересна специалистам в области механики стержней.

Ключевые слова: метод последовательных нагружений, плоский стержень, нелинейная система уравнений, связанный базис, декартов базис, матрица преобразования, вектор состояния, линеаризованная система уравнений, шаг по нагрузке.

When solving problems of loading of structures comprising rod elements, one often has to deal with large displacements of these elements (i.e. commensurate with the length of the rod). A number of methods for solving nonlinear problems applicable to the calculation of plates, shells, membranes, as well as rods, has been developed in the mechanics of deformable solids. This article describes a relatively simple method of successive loadings to solve the plane problems of the mechanics of rods that is accurate enough for everyday engineering practice. The results of numerical studies of the rods exposed to different loads are presented, for which exact analytical solutions are available in the literature. The accuracy of the proposed method of solving such problems is demonstrated. The described method of numerical investigation of deep deformation of flat rods can be easily applied to studying constructions of spatial rods of arbitrarily complex geometry. This topic may be of interest to specialists in the field of mechanics of rods.

Keywords: method of successive loading, flat rod, nonlinear system of equations, associated basis, Cartesian basis, transformation matrix, state vector, linearized system of equations, step load.

Перемещения стержневых элементов, возникающие при нагружении строительных, машиностроительных, приборных и иных конструкций, часто нельзя считать малыми. В связи с этим решить задачу нагружения стержневых конструкций с помощью линейных (линеаризованных) уравнений, описывающих поведение стержня, не представляется возможным. При больших перемещениях необходимо использовать точные уравнения, полученные при выводе статического равновесия стержня в самой общей постановке. Этой проблеме уделяется большое внимание как в России [1-3], так и за рубежом [4-8].

Существует ряд численных методов решения задач механики при нелинейном деформировании объекта исследования (пластина, оболочка или стержень). Есть методы, в основе которых лежит решение непосредственно точных нелинейных уравнений, описывающих поведение объекта [9-13]. Самыми известными и распространенными из них являются: метод продолжения решения по параметру в дискретной и непрерывной постановках [10], метод «пристрелки» (баллистический метод), метод наилучшей параметризации [11], вариационные методы [10]. Все эти методы являются точными, но достаточно сложны в алгоритмизации и численной реализации. Очевидно, что задачу о нелинейном деформировании стержня даже простой геометрии может быть решена только численно, за исключением некоторых частных случаев [9].

Рассмотрим решение задачи деформирования плоского стержня методом последовательных нагружений (МПН), разработанным профессором В.З. Власовым [14] для расчета оболочек. Профессор В.А. Светлицкий адаптировал этот метод для решения задач механики стержней [15]. Этот метод является многошаговым (как и большинство точных методов). Суть метода состоит в последовательном нагружении стержня внешними силами, подобранными таким образом, что при каждом нагружении перемещения точек осевой линии стержня и углы поворота связанных осей являются малыми.

Этот вариант численного решения нелинейных уравнений приводит при каждом дискретном увеличении нагрузки к линейным (линеаризованным) уравнениям. Для т-го нагружения стержня внешняя сила Б(т) = кБ, где т — номер шага нагружения; к — параметр, опре-

деляющий часть общей нагрузки на каждом шаге нагружения, к = 1/п (п — число шагов нагружения). Таким образом, решение задачи деформирования стержня при больших перемещениях заменяется последовательным решением ряда задач о деформировании стержня при малых перемещениях, т. е. фактически линейных задач.

Необходимо отметить, что при решении задачи одним из перечисленных точных методов приходится использовать итерационные методы подбора решения на каждом шаге нагружения. Это усложняет алгоритм решения задачи и увеличивает время численного счета. Исследователям, занимающимся данной проблематикой, известно, насколько чувствительны итерационные процессы к выбору начального приближения. При неудачном начальном приближении процесс может не сойтись, приходится «откатывать» назад, брать новое приближение, менять шаг нагружения, увеличивать точность как самого численного интегрирования системы уравнений, так и критерия выхода из итерационного процесса и т. д.

Цель работы — продемонстрировать, что задача о нелинейном деформировании плоского стержня может быть решена намного проще без существенной потери в точности, т. е. точность МПН вполне достаточна для повседневной инженерной практики. При этом алгоритмизация численного расчета с использованием МПН достаточна проста и доступна не только исследователям с научным опытом, но и начинающим инженерам и студентам.

Перед рассмотрением плоского стержня покажем, как можно получить систему уравнений МПН на примере пространственного стержня. Возьмем за основу дальнейших исследований нелинейную систему уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня в связанных осях [15]:

—+жxQ+q+;¿ Б(г)5(ц - Ц )=0;

йц ,=1

лм к

— + жXм + е1 XQ + ц + £ Т(у)5(ц-цу) = 0;

йц У=1

11 — + 12Ж01' - А-1М = 0; (1)

йц

— + ж X и + (111 - 1)е1 + 121е2 + 131е3 = 0;

йц

М = А(ж - ж01}),

где О , М , и — векторы соответственно внутренних сил, моментов и перемещений точек осевой линии стержня; | — безразмерная дуговая координата, | = вН (5 — размерная координата; I — длина стержня); ж и «0^ — векторы, компонентами которых являются кривизны осевой линии стержня после нагру-жения и в естественном состоянии; q и ц — распределенные силы и моменты; Б(г) и Т(у) — сосредоточенные силы и моменты; 8(л-|г), §(Л_Лу ) — обобщенные функции Дирака, определенные в соответствующих координатах л,,| ; 0 — вектор углов поворота связанных осей относительно положения в естественном (ненагруженном) состоянии, 0 = е, — компоненты вектора углов поворота, е, — орты связанного деформированного главного базиса); А — диагональная матрица безразмерных жесткостей при кручении (А11) и изгибе (А22, А33) (относительно главных осей сечения); Ц — элементы матрицы преобразования базисных векторов Ь. Входящие в систему уравнений (1) матрицы Ь1 и Ь2, а также матрица Ь подробно рассмотрены в работе [15].

Получим систему уравнений МПН на примере первого уравнения для внутренних сил.

На первом шаге нагружения

Б = ДБ(1).

Здесь и далее верхний индекс соответствует номеру шага нагружения. Под Б будем принимать все внешние силы,

Б = q+X бЩц-Ц,),

,=1

а под Т — все внешние моменты,

йДО

(1)

Т = q+ X Т(у)8(л-|у).

У = 1

Тогда

¿ДО

(1)

-+(®о + Дж(1))ДО(1) +ДБ(1)=0, (2)

йц

где ДО(1) — приращение внутренней силы на первом шаге нагружения; ж0 — начальная кривизна; Дж(1) — изменение кривизны.

Для линеаризации уравнения (2) необходимо принять Дж(1) ~ 0 (т. е. считать, что изменение кривизны на первом шаге по сравнению с начальной кривизной ж0 мало). Тогда линеаризованное уравнение для сил на первом шаге нагружения имеет вид

йл

-+ж0хДО(1) + ДБ(1)=0.

(3)

На втором шаге нагружения запишем уравнение для сил в абсолютных значениях:

^ДО(1) + ДО(2))

-(ае0 + Дж(1) + Дж(2) )х

х( ДО(1) + ДО(2)) + ДБ(1) + ДБ(2) = 0.

Исключая из этого уравнения те слагаемые, которые составляют тождество (3), а также пренебрегая бесконечно малыми и линеаризируя это уравнение (полагая Дж(2)хДО(2) = 0), получим

^ДО(2))

+(ж0 + Дж(1))хДО(2) +

+ Дж(2)хДО(1) + ДБ(2)=0.

На т-м шаге по нагрузке (предполагая равномерный шаг) имеем векторное уравнение для внутренних сил

й(Д((т))- + { Ж0 + X1 Дж(г) 1 Д((т) +

г=1

т-1

+ Дж(т) X ДО(г) + ДБ(т)=0.

г =1

Остальные уравнения системы (1) приводятся к линеаризованному виду аналогично. Таким образом, можно получить систему обыкновенных линеаризованных дифференциальных уравнений МПН, описывающих поведение пространственно-криволинейного стержня на т-м шаге нагружения. Приведем ее, заменив векторные произведения векторно-матричными:

йДО(т)

- + А(ет-1) ДО(т) + А^т-1)Дж(т) = -ДБ;

йДМ(т)

+ А(т-1)ДМ(т) + АМ-1)Дж(т) +

+ А1ДО(т) = -ДТ; йД0(т)

(4)

йДи(т)

+ А(т-1)Д0(т) -Дж(т) = 0; + А(т-1)Ди(т) + А1Д0(т) = 0;

М(т) = АДж(т),

где О(т), ДМ(т), Д0(т) и Ди(т) — приращение вектора соответственно внутренней силы, внут-

реннего момента, угловых перемещении и линейных перемещений на ш-м шаге нагружения. В системе уравнений (4) 0

A (m-1) =

A (m-1) = AM =

-œ(m-1) œ3

œ(m-1) œ2

œ

(m-1)

-œ

(m-1)

œ

0

(m-1)

-œ

(m-1)

Q3m-1)

- Q2m-1)

-Q3m-1) 0

Q2m-1) -Q(m-

0 M3m-

-M3m-1) 0

M2m-1) -M{m

2

(m-1)

Qi

- M2m-1)' M{m-1) 0

где

A1 =

m-1

0 0 0 0 0 -1 0 1 0

œ V

... - m-1

(m-1) = œ V0 + Z Aœf ; Q(m-1) = Z AQ(k) ;

k=1

dц

--œ3m-1)AQ2m) -Q2m-1)AM3m) = -Л£;

dAQ2m^ + œ3m-1) AQ{m) + Q

йц

dAM3m) d ц

dA#(m)

,(m-1) AM3m) =

= -AF ;

-AQ2m) = -AT3;

(5)

йц

dAu(m) d ц

dAu2m)

d ц

1

A33

3 ——AM(m) = 0;

- œ

(m-1)д..(m) _

Au2m) = 0;

+ œ(3m-1) Aw|m) +A#3m) = 0,

œ

(m-1) _

m-1

= œ30 + Z Aœ1

!=1

m-1

Q(m-1) = Z AQV), V = 1,2;

!=1

A#3m) —

приращение угла поворота на m-м ша-

3(k). k=1

m-1

M(m-1) = Z AM(k). k=1

На основе системы (4) для пространственно-криволинейного стержня можно получить систему уравнений МПН и для плоского стержня. Его поведение описывается не двенадцатью компонентами вектора состояния, а шестью:

йАО{т)

где œ3m-1) и Q(m-1) — кривизна и внутренние силы, «накопленные» в стержне на предыдущих (m - 1)-х шагах нагружения,

ге нагружения.

Следует отметить, что такой вид система имеет только при действии следящих сил, когда нет так называемого приращения нагрузки, связанного с изменением направления сил по отношению к векторам связанного базиса. Например, в случае действия «мертвых» сил правая часть первых трех уравнений изменится [15].

Для того чтобы судить о точности МПН, применим его для численного решения двух задач о деформировании плоских стержней, которые имеют точное аналитическое решение.

Задача о деформировании плоского кольца.

На рис. 1 показано кольцо, сжимаемое по диаметру двумя силами, представленное в монографии Е.П. Попова [9], где приведено точное решение этой задачи, точно рассчитана сила, при которой происходит смыкание кольца, и показан вид деформированной оси нижней правой четверти кольца при различных нагрузках (рис. 2). Текущая сила Р имеет размерность гс (грамм-сила), 100 гс = 1 Н.

Приведем методику решения данной задачи с помощью МПН. В силу симметрии объекта исследования рассмотрим только половину кольца (рис. 3). Сформулируем краевые условия задачи: 1) при ц = 0 (в неподвижной заделке слева): Ди(т) = Ди2т) = Д#3т) = 0; 2) при ц = 1 (в скользящей заделке справа) Ди(т) = Д#3т) = = 0; Д02т) = ДF. Нагрузка на правом конце стержня является следящей, т. е. меняется от шага к шагу только ее модуль, но не меняется направление по отношению к связанным осям. Она всегда направлена по орту e2. Таким обра-

Рис. 1. Кольцо, сжимаемое по диаметру двумя силами (из монографии Е.П. Попова)

у, м 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02

Р = 4( К 30 р = 300 р / = 200 Р= 100

\ \ э —

\

\

,Р = 0

---

/х20 е20у

0

+ А(ц)У(т)(ц) = 0,

(6)

^У(т)(ц) йц

где У(т)(ц) — вектор состояния системы,

у(т)(ц)=(ДдМ ^Ор), Дм(,т), д^, Ди(т), Д^т));

А(ц) — матрица коэффициентов системы. Решение уравнения (6) запишем в виде

У (т)(ц) = К(т) (ц)С(т), (7)

где К(т)(ц) — фундаментальная матрица решений на шаге нагружения; С(т) — вектор постоянных на т-м шаге.

Для получения матрицы К(т) (ц) достаточно проинтегрировать однородную систему уравнений (5) шесть раз со следующими начальными условиями:

0 0

У(т)(0) = 0 , У2(т) (0) = 0 ,..., У6т)(0) = 0

0 1

1 0

0 1

0 0 , У2(т)(0) = 0 0

0 0

0 0

его

////////

ею'

0 0,02 0,04 0,06 0,08 х,ш

Рис. 2. Виды деформированной оси кольца, полученные Е.П. Поповым при различных значениях нагрузки Р (гс)

зом, внешняя нагрузка, приложенная к стержню, является краевой. Больше никаких сил к стержню не приложено, поэтому в уравнениях (5) имеем ДР1 = ДР2 = ДТ3 = 0.

Для сведения краевой задачи к задаче Коши (задаче с начальными условиями) используем метод начальных параметров. Рассмотрим решение системы (5), представив ее в виде одного векторно-матричного уравнения

Рис. 3. Схема нагружения полукольца

Каждое решение У/т) (ц) будет г-м столбцом матрицы К(т)(ц). В соответствии с приведенными выше краевыми условиями при ц = 0 имеем 4т) = с5т) = с6т) = 0. Для оставшихся трех компонент вектора С(т) получим три алгебраических уравнения из условий при ц = 1:

'к(2т) (1)с(т) + к2т) (1)с2т) + кЫ) (1)С3т) = ДР;

кт (1) ¿т+к4т (1) с2т)+кт (1) с(т) = 0;

кт (1) с[т) + кт (1) с2т) + к5т) (1) с(т) = 0,

где к(т )(1) —

компоненты

матрицы К( т )(1).

Из системы (5) находим оставшиеся три

константы с

с(т) , с2

с( т) , с3

и можем полностью

сформировать решение У( т)(ц) на текущем т-м шаге по формуле (7). Этот алгоритм повторяется заранее намеченное число шагов нагружения п. В итоге имеем напряженно-деформированное состояние стержня:

О(п)(ц) = £ ДО;)(ц); м3п)(ц) = £ ДМ«(ц);

}=1 )=1

#3п)(ц) = £Д&»(ц); иХП)(ц) = £ДиХ)(ц), г = 1,2.

}=1 }=1

Заметим, что внутренние силы, моменты и углы поворота просто суммируются на каждом шаге, а линейные перемещения необходимо суммировать в неизменном декартовом базисе. Поэтому на каждом шаге нагружения формируется соответствующая матрица перехода. Это происходит следующим образом. Сначала формируется матрица преобразования Ь0 декартова базиса {1} в связанный недеформированный {е0(ц)} (рис. 4). Угол между ортами 11 и е10 равен #30(ц) = я/2 -ф(ц), где ф(ц) = Поэтому матрица имеет вид

Ю(ц)= е

10 е20

11 12

С08 # 30 (ц) БШ # 30 (ц) #30(ц) - С08 #30(ц)

= elo

e2o

^ i2 8Ш ф(ц) С08 ф(ц) С08ф(ц) -8Шф(ц)

Матрица перехода L(m-1)(ц) от недеформи-рованного базиса ^(ц)} к деформированному {e(m-1)(ц)} на (т - 1)-м шаге (рис. 5):

L(m-1)(ц) = e[m-1)

»(т-1)

"10

"20

С08 #3т- Ц(ц) 8т #3т-1)(ц) -8Ш #3т-1)(ц) С08 #3т- 1}(ц)

где

т-1

>3т- 1)(ц) = £ Д^')(ц).

,=1

Тогда на каждом текущем шаге т приращение линейных перемещений в декартовом базисе определяется как

ДиХт)(ц) ДиХт)(ц)

= ( «(ц^Чц))

Ди(т) (ц) Ди2т)(ц)

Рис. 4. Связь между центральным углом ф(з) и углом #30 ^) (для вывода матрицы преобразования

Рис. 5. Связь между базисами ^(ц)} и

„(т-1)

(ц)}

Зная линейные перемещения, можно определить и деформированное состояние полукольца

0,02 0,04 0,06 0,08 х,ш

Рис. 6. Виды деформированной оси кольца,

полученные при расчете; 1 — Р = 4 Н; 2 — Р = 3 Н; 3 — Р = 2 Н; 4 — Р = 1 Н; 5 — Р = 0,5 Н; 6 — Р = 0

на каждом шаге нагружения. На рис. 6 представлено деформированное состояние кольца для тех же сил и при той же жесткости, что и в монографии Е.П. Попова. У Попова теоретически рассчитанная сила смыкания Qт = 8,016Е1Х /Я2, где Е1Х — жесткость. При расчете были приняты следующие параметры кольца: радиус кольца Я = 10 см; высота сечения к = 0,5 мм; ширина сечения Ь = 4,8 мм; модуль упругости Е = 2-105 МПа. Тогда Е1Х /Я2 = 1Н, и сила От = 8,016 Н. Расчетная сила смыкания полукольца Рр = 4,05 Н, тогда расчетная сила смыкания полного кольца Ор = 8,1 Н. Погрешность составляет около 1 %. Такая точность достигается при 40 шагах нагружения и относительной точности интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса, не превышающей 10-4.

Задача о нагружении консольной балки концевой сосредоточенной «мертвой» силой. На

рис. 7 приведена консольная балка, нагружен-

(для вывода матрицы преобразования 1)(ц))

Рис. 7. Схема нагружения балки «мертвой» нагрузкой

ная на конце вертикальной силой, не меняющей своего направления в пространстве. Это может быть сила веса груза. Длина балки I, Ь и к — ширина и высота прямоугольного сечения.

Данная задача также точно решена Е.П. Поповым [9]. На рис. 8 приведены виды изогнутой (деформированной) оси балки, полученные им при различных значениях силы, где Н — жесткость балки при изгибе, Н = Е1Х = ЕЬк3/12. Краевые условия данной задачи следующие: 1) при ц = 0 (в неподвижной заделке справа) Ди(т) =Ди2т) =Д#3т) = 0; 2) при ц = 1 (на свободном конце слева) ДО{т) =ДР/т), ДО2т) = = ДР2(т), ДМ3т) = 0. Нагрузка на левом конце стержня является «мертвой», т. е. от шага к шагу меняются как ее модуль, так и направление по отношению к постоянно меняющимся связанным осям. Поэтому определение сил ДР1(т)(1) и ДР2(т)(1), входящих в граничные условия, представляет отдельную задачу. Внешняя нагрузка, приложенная к стержню по его длине, отсутствует, следовательно, как и в предыдущей задаче, ДР1 = ДР2 = ДТ3 = 0.

Определим краевую нагрузку — силы ДР1(т) (1), ДР2(т)(1). В случае действия «мертвых» сил необходимо учитывать на каждом шаге по нагрузке тот факт, что сила меняет свое направление по отношению к меняющимся векторам связанного базиса. Поэтому определим так называемое приращение нагрузки на каждом шаге. Это приращение получает не только нагрузка, прикладываемая на т-м шаге, но и вся нагрузка, действующая на балку к данному шагу (т. е. как бы «накопленная» к данному шагу).

Силы ДР/т) (1), ДР2(т)(1) в краевых условиях при ц = 1 определяются следующим образом:

AF/m) (1) AF2(m) (1)

= L(m-1)(1) L0(1)

+ ALm (1) L(m-1)(1) L0(1)

AF^H)

AF^m (1)

Fi1m)(1) Fj2m)(1)

(8)

где Ц0(1) — единичная матрица (т. е. декартов базис и связанный недеформированный совпадают); ДЦ" (1) — матрица, имеющая вид

ALm (1) =

-A#3m)

0 A#3m)(1) (1) 0

Первое слагаемое в формуле (8) определяет силы данного т-го шага в связанном базисе

Р = 0,7306 Ц Г

Р = 3,4050 4 Г

Р = 00

Р = 8,67824 Г

Рис. 8. Виды деформированной оси балки, полученные Е.П. Поповым

(т - 1) (силы в предыдущем по отношению к совершаемому шагу базисе всегда известны), а второе — выражение для приращения всей силы, приложенной на конце балки, т. е. и накопленной к данному шагу, и прикладываемой на данном шаге. Внешняя сила направлена вертикально вниз, поэтому в декартовом базисе имеем

AFXm)(1)

x1

f(2

Обозначим:

AFXfœ

0

AF

F!r) (1) f(2) (1)

0

-mAF

0 AF1(m-1)(1)

-AF AF2(m-1)(1)

L(m-1)(1) L0(1)

— внешние силы m-го шага на конце балки в базисе {e(m-1)};

L(m-1)(1) L0 (1)

0

-mAF

F1(m) (1) F2(m) (1)

— полные внешние силы, накопленные на предыдущем (т - 1)-м шаге и на совершаемом т-м шаге. Тогда имеем

AF1(m)(1) AF2(m) (1)

0

- A#3m)(1)

AF(m-1)(1) AF2(m-1)(1)

A#3m)(1)

*(m)/ 0

F1(m) (1) F2(m) (1)

Таким образом, определены внешние силы AF1(m) (1) и AF2(m) (1), входящие в краевые условия балки при ц = 1 на m-м шаге нагружения.

+

х, м 0,08 0,06 0,04 0,02 0

/

T^i / / j

38,4°^ /

60,2V A*, J

80,2°' "F4

Рис. 9. Виды деформированной оси балки, полученные при расчете

В дальнейшем алгоритме отличаются лишь уравнения для определения трех оставшихся постоянных. Они будут следующими:

'(кт (1)+к4т) (1) р(т) )с(т) + (k1(2m) (1)+ + к.2 (1) Б[т)) с2т) + ((1) + кт (1) Б(т) )с3т) = = AF11m-1); < (к2т) (1) - к.2 (1)^т) )с(т) + (к2 (1) -

- к4т) 11)F11m) )с2т) + ^ (1) - к4т) 11)F11m) )с3т) =

= АБ(т-1);

кЫ) (1)с(т) + к(т) (1) с2т) + кт (1) сЦт) = 0.

Пример расчета. В качестве примера работы МПН при «мертвых» нагрузках рассчитана балка со следующими параметрами: I = 10 см; высота сечения к = 0,5 мм; ширина сечения Ь = 4,8 мм; модуль упругости Е = 2-105 МПа. Тогда Е1Х /К2 = 1 Н. Расчеты выполнены при тех же

Литература

силах, что и в монографии Е.П. Попова: F1 = = 0,7306 Н; 12 = 1,5923 Н; F3 = 3,4055 Н; F4 = = 8,6782 Н. Проведено сравнение углов поворота конца балки при этих силах. Число шагов нагружения было от 10 при F = Fl, до 40 при F = = F^. Анализ результатов расчета, представленных на рис. 9, показал хорошее совпадение с данными, полученными Е.П. Поповым. Наибольшее отклонение между расчетным (#3 (1) = = 38,4°) и точным (#т(1) = 40°) углами возникло при силе F2 = 1,5923 Н. Погрешность составила 4 %. При других значениях силы погрешность по углу лежит в пределах 1 %. Это доказывает, что и при сложном поведении нагрузки МПН обеспечивает достаточно точные результаты.

Выводы

1. Предложенный алгоритм решения задач механики плоских стержней при больших перемещениях является приближенным, но точность, по мнению автора, является вполне приемлемой для инженерной практики.

2. Преимуществом предложенного метода перед методами «пристрелки» и продолжения по параметру является достаточно простая алгоритмизация для численного счета, а также легкость варьирования геометрии (в плане как осевой линии, так и переменности жесткости по длине) и свойств материала стержня.

3. Приведенный алгоритм численного исследования глубокого деформирования плоского стержня можно достаточно легко адаптировать к решению задач статического нагружения конструкций в виде пространственно-криволинейных стержней сколь угодно сложной геометрии.

[1] Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней. Ново-

сибирск, Изд-во НГТУ, 2008. 208 с.

[2] Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений

гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. Известия РАН. МТТ, 1994, № 1, с. 164-168.

[3] Наумов А.М., Соколов А.М., Соколов А.И. Определение напряженно-деформиро-

ванного состояния жестких проводов, находящихся в потоке воздуха. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2008, № 2, с. 11-21.

[4] Du H., Xiong W., Wang H., Wang Z., Yuan B. Nonlinear dynamic deformation simulation

for helical rod like objects. Engineering Review, 2013, vol. 33, is. 3, pp. 233-238.

[5] Rashidinia J. Finite difference methods for a class of two-point boundary value problems.

IUST International Journal of Engineering Science, 2008, vol. 19, no. 5-2, pp. 67-72.

[6] Dinkar Sharma, Ram Jiwari, Sheo Kumar. Numerical Solution of Two Point Boundary Value

Problems Using Galerkin-Finite Element Method. International Journal of Nonlinear Science, 2012, vol. 13, no. 2, pp. 204-210.

[7] Pai P.F. Geometrically exact beam theory without Euler angles. International Journal of Solids

and Structures, 2011, no. 48, pp. 3075-3090.

[8] Borse K.N., Dubey S. Geometric Linear and Nonlinear Analysis of Beam. International Jour-

nal of Engineering Research & Technology, 2013, no. 2 (7), pp. 415-423.

[9] Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. Москва, Наука, 1986. 296 с.

[10] Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. Москва, Наука, 1988. 230 с.

[11] Данилин А. Н. Решение задач нелинейной механики гибких систем методом наилучшей параметризации. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва, 2005. 290 с.

[12] Лалин В.В., Яваров А.В. Построение и тестирование конечного элемента геометриче-

ски нелинейного стержня Бернулли-Эйлера. Жилищное строительство, 2013, № 5, с. 51-55.

[13] Лалин В.В., Розин Л.А., Кушова Д.А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней. Инженерно-строительный журнал, 2013, № 1 (36), с. 87-96.

[14] Власов В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек. Т. 1. Москва, Изд-во Академии наук СССР, 1962. 528 с.

[15] Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней. В 2 т. Т. 1: Статика. Москва, Физматлит, 2009. 408 с.

References

[1] Levin V.E., Pustovoi N.V. Mekhanika deformirovaniia krivolineinykh sterzhnei [The mechan-

ics of deformation of curved rods]. Novosibirsk, NSTU publ., 2008. 208 p.

[2] Sorokin F.D. Priamoe tenzornoe predstavlenie uravnenii bol'shikh peremeshchenii gibkogo

sterzhnia s ispol'zovaniem vektora konechnogo povorota [Direct representation of the tensor equations of large displacements of the flexible rod with finite rotation vector]. Izvestiia RAN. MTT [Mechanics of Solids]. 1994, no. 1, pp. 164-168.

[3] Naumov A.M., Sokolov A.M., Sokolov A.I. Opredelenie napriazhenno-deformirovannogo

sostoianiia zhestkikh provodov, nakhodiashchikhsia v potoke vozdukha [Determination of Stress and Strain State of Rigid Wires in Air Flow]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering]. 2008, no. 2, pp. 11-21.

[4] Du H., Xiong W., Wang H., Wang Z., Yuan B. Nonlinear dynamic deformation simulation

for helical rod like objects. Engineering Review, 2013, vol. 33, is. 3, pp. 233-238.

[5] Rashidinia J. Finite difference methods for a class of two-point boundary value problems.

1UST International Journal of Engineering Science, 2008, vol. 19, no. 5-2, pp. 67-72.

[6] Dinkar Sharma, Ram Jiwari, Sheo Kumar. Numerical Solution of Two Point Boundary Value

Problems Using Galerkin-Finite Element Method. 1nternational Journal of Nonlinear Science, 2012, vol. 13, no. 2, pp. 204-210.

[7] Pai P.F. Geometrically exact beam theory without Euler angles. 1nternational Journal of Solids

and Structures, 2011, no. 48, pp. 3075-3090.

[8] Borse K.N., Dubey S. Geometric Linear and Nonlinear Analysis of Beam. 1nternational Jour-

nal of Engineering Research & Technology, 2013, no. 2 (7), pp. 415-423.

[9] Popov E.P. Teoriia i raschet gibkikh uprugikh sterzhnei [Theory and Design of flexible elastic

rods]. Moscow, Nauka publ., 1986. 296 p.

[10] Grigoliuk E. I., Shalashilin V. I. Problemy nelineinogo deformirovaniia. Metod prodolzheniia resheniia po parametru v nelineinykh zadachakh mekhaniki tverdogo deformiruemogo tela [Problems of nonlinear deformation. Continuation method on parameter in nonlinear problems of solid deformable body mechanics]. Moscow, Nauka publ., 1988. 230 p.

[11] Danilin A. N. Reshenie zadach nelineinoi mekhaniki gibkikh sistem metodom nailuchshei parametrizatsii. Diss. ... dokt. fiz.-mat. nauk [Solving problems of nonlinear mechanics of

42

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. MAШИНОСTPОЕНИЕ

#i2 [68i] 20i6

flexible systems, the best method of parameterization. Dr. phys. & math. sci. diss.]. Moscow, 2005. 290 p.

[12] Lalin V.V., Iavarov A.V. Postroenie i testirovanie konechnogo elementa geometricheski nelineinogo sterzhnia Bernulli-Eilera [Construction and Testing of a Finite Element of (a) the Geometrically Non-Linear Bar of Bernoulli-Euler]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2013, no. 5, pp. 51-55.

[13] Lalin V.V., Rozin L.A., Kushova D.A. Variatsionnaia postanovka ploskoi zadachi geometricheski nelineinogo deformirovaniia i ustoichivosti uprugikh sterzhnei [Variational functionals for two-dimensional equilibrium and stability problems of Cosserat-Timoshenko elastic rods]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2013, no. 1 (36), pp. 87-96.

[14] Vlasov V.Z. Izbrannye trudy. Obshchaia teoriia obolochek. T. 1 [Selected works. The general theory of shells. Vol. 1]. Moscow, AN SSSR publ., 1962. 528 p.

[15] Svetlitskii V.A. Stroitel'naia mekhanika mashin. Mekhanika sterzhnei. V 2 t. T. 1: Statika

[Construction machinery mechanic. Mechanics rods. Vol. 1. Static]. Moscow, Fizmatlit publ., 2009. 408 p.

Информация об авторе

НАУМОВ Андрей Михайлович (Москва) — кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная механика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: nam63@mail.ru).

Статья поступила в редакцию 23.06.2016 Information about the author

NAUMOV Andrey Mikhailovich (Moscow) — Candidate of Science (Eng.), Associate Professor, Department of Applied Mechanics. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: nam63@mail.ru).

A.B. Туманов, B.B. Зеленцов, Г.А. Щеглов

Основы компоновки бортового оборудования космических аппаратов

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет 2-е издание учебного пособия A.B. Туманова, В.В. Зеленцова, Г.А. Щеглова

«Основы компоновки бортового оборудования космических аппаратов»

Рассмотрены этапы проектирования космического аппарата и основные документы, необходимые для выполнения его компоновки. Изложены требования, предъявляемые к компоновке целевого оборудования, а также к аппаратуре системы управления движением и другим системам бортового оборудования. Приведены критерии оценки качества выполненной компоновки и обширный иллюстративный материал по обеспечивающим системам бортового оборудования.

Второе издание дополнено описанием не вошедших в первое издание элементов бортового оборудования, а также нормативными документами, регламентирующими его компоновку.

Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. Тел.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97; press@bmstu.ru; www.baumanpress.ru