ВЛИЯНИЕ ВИДА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ «σ - ε» НА РАСЧЕТНЫЕ ПРОГИБЫ БАЛКИ ИЗ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМОГО МАТЕРИАЛА Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Научная статья УДК 539.3

doi:10.51608/26867818_2022_1_46

ВЛИЯНИЕ ВИДА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ «а - 8» НА РАСЧЕТНЫЕ ПРОГИБЫ БАЛКИ ИЗ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМОГО МАТЕРИАЛА

Владимир Павлович Селяев1, Сергей Юрьевич Грязнов2, Евгения Сергеевна Безрукова3, Дельмира Рафиковна Бабушкина4

1, 2, з, 4 Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарёва, Саранск, РФ

1 ntorm80@mail.ru

2 sergey.gryaznov.97@mail.ru

3 eugenia.bezr@gmail.com

4 delmira2009@yandex.ru

Аннотация. В статье приводятся результаты расчетов прогибов балок из цементного и полимерного бетонов методом последовательных нагружений (МПН). Выполнен анализ влияния аналитических функциональных зависимостей, описывающих экспериментальные диаграммы деформирования материалов, на расчетные прогибы балок. Предложен алгоритм расчета, при совместном применении методов последовательного нагружения (МПН) и конечных разностей (МКР), позволяющий учитывать экспериментальные нелинейные диаграммы деформирования, успешно описываемые комбинированными степенными зависимостями.

Ключевые слова: нелинейность, деформирование, аппроксимация, балка, прогиб, метод последовательных нагружений, метод конечных разностей

Для цитирования: Влияние вида функциональной зависимости «а - е» на расчетные прогибы балки из нелинейно деформируемого материала / В.П. Селяев, С.Ю. Грязнов, Е.С. Безрукова, Д.Р. Бабушкина // Эксперт: теория и практика. 2022. № 1 (16). С. 46-54. doi:10.51608/26867818_2022_1_46.

Введение

11 м м

Нелинейный расчет строительных конструкций является важной и сложной научно-технической задачей. Учет различных видов нелинейностей позволяет осуществлять построение адекватных расчетных схем, выявлять дополнительные резервы несущей способности, снижать материалоемкость, обеспечивать конструктивную безопасность и осуществлять моделирование процессов жизненного цикла. Особого внимания заслуживают исследования, описывающие влияние физической и геометрической нелинейностей материала на НДС [1-5].

Предложено несколько десятков функций, описывающих зависимость между напряжениями и деформациями бетона при сжатии или растяжении [6-9]. В основу их верификации заложены принципы соответствия числовых значений диаграмм деформирования, полученных экспериментально, и с помощью аппроксимирующих функций. Подбор последних можно выполнять методом нормируемых показателей [10-13].

Нормируемые показатели определяются неразрушающими методами в любой заданной точке конструкции путем вдавливания индентора в материал [14], следова-

© Селяев В.П., Грязнов С.Ю., Безрукова Е.С., Бабушкина Д.Р., 2022 46 © INO "Institution of Forensic Construction and Technological Expertise", 2022

тельно, существует возможность описать работу конструкций в любой момент времени с учетом реальных условий эксплуатации.

Анализ показал, что не все аналитические зависимости, применяемые для аппроксимации экспериментальных диаграмм деформирования, адекватно отражают работу материала под нагрузкой, в ряде случаев наблюдаются расхождения при определении прогибов конструкций [15].

Цель данной работы заключается в оценке влияния различных функциональных зависимостей, описывающих экспериментальные диаграммы деформирования «о - £», на расчетные прогибы балки, работающей в нелинейно-упругой стадии.

Материалы и методы

Для решения поставленной задачи рассмотрим однопролетную, шарнирно опертую балку длиной I = 10 м с постоянным по длине сечением Ь х к =

= 0,3 х 0,4 м из нелинейно-упругого материала, загруженную по всей длине равномерно-распределенной нагрузкой ^расч (рис. 1), величина и способ нагружения которой будут даны ниже.

Выполним 2 варианта конструирования [12, 16-17]: в первом случае материал балки - цементный бетон с начальным модулем упругости Еь = 2,1 • 104 МПа и предельными относительными деформациями £Ьи = 0,002; во втором случае - полимер-бетон с начальным модулем упругости Еь = 28737,39 МПа и предельными деформациями £Ьи = 0,005. Диаграммы деформирования материалов представлены на рисунке 2.

А.Р. Ржаницыным и П.А. Лукашем предложено зависимость = /(£¿3 представлять в виде комбинированной степенной функции 3-ей степени:

О";

a^Ei-pj^ £i3 .

(1)

Ч^асч

а

22.5 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0

Ж__ж_i_i_i_±_х_1_i_i_Ж_1_1_i_i

ж—

10 m

Рис. 1. Расчетная схема балки

ЯЬи =21.323

Rbk = 18.125 4 90

80

70

60

50

/ / О / с 40 30 20

/ ® / 11 il

/ -5 / Ebk 10 л

0.001 0.0015 0.002 0.0025

0.0035 0.004 £

0.002 0.003 0.004 0.005 2

0.006 0.007 F,

Рис. 2. Экспериментальные диаграммы деформирования:

1 - цементного бетона; 2 - полимербетона

Данная зависимость хорошо отражает работу цементных бетонов под нагрузкой, однако для полимербетона ее применять не рекомендуется. Поэтому, для аппроксимации диаграмм деформирования полимербетона, в работе [10] дополнительно исследовалась комбинированная степенная зависимость 5-ой степени:

Ö";

a-Ei-ßj • Ei

(2)

В уравнениях (1) и (2) параметры аппроксимации а и Р] определялись из условия соответствия данных функций граничным условиям, нормируемым соответствующими показателями [7], по формулам: а = Еь ; р2 = (Еъ — ЕЬи)/

'bu

,п-1 'bu

dOi

EKi = —- = а

d£i

n

В.Н. Байковым предложено зависимость о"г = f(£i) представлять в виде функции полинома 5-ой степени [11, 13]:

= +

\£Ъи' \£Ъи' \£Ъи'

■ (4)

При этом, касательный модуль для

функции (4) примет вид:

й.О; 1 2 £; 3 Е} Ек,1=^т = А-— + В С +

d£j

£bu

'bu

'bu

4E?

Ebu Ebu

(5)

■ Здесь п - показатель степени для конкретной функции.

Тогда, для функций (1) и (2) касательный модуль, необходимый в дальнейших расчетах можно определить по формуле:

■ (3)

Было установлено [18], что коэффициенты и р2 по-разному влияют на точность аппроксимации экспериментальных зави-

В работах [11, 13] предполагается, что зависимость (4) также должна соответствовать граничным условиям, нормируемым соответствующими показателями, которые дают возможность определить коэффициенты А - F.

Постоянные коэффициенты аппроксимации а ,р2 >А ,В,С , Б , F для выбранных выше материалов (рис. 2) представлены в таблице.

Используя формулы (1 - 5) и данные таблицы, представим графически зависимо-

Постоянные коэффициенты аппроксимирующих функций (1, 2 и 4)

Постоянный коэффициент Материал

Цементный бетон Полимербетон

Функция

(1) (2) (4) (1) (2) (4)

1 2 3 4 5 6 7

а, МПа 2,1-104 2,1-104 - 2,87-104 2,87-104 -

Р1,МПа 1,72-109 2,63-1014 - 3,83-108 9,2-1012 -

МПа 2,58-109 6,46-1014 - 2,97-108 1,19-1013 -

А, МПа - - 42,00 - - 143,69

В, МПа - - -6,51 - - -5,17

С, МПа - - -32,01 - - 38,19

Д,МПа - - 22,18 - - -103,10

МПа - - -4,33 - - 32,90

симостей о"^ — и ЕК1 — £г, а именно, первый дает более реальные картины изменений диаграмм касательного Екд модуля, а второй - изменение диаграммы напряжения о"г. В рассматриваемой задаче применялись оба этих коэффициента с целью выявления различий в значениях прогибов.

сти напряжений и касательного модуля от деформаций для цементного и полимерного бетонов (рис. 3 - 4 соответственно).

Из анализа графиков (рис. 3 и 4) можно сделать однозначный вывод, что функция (4) достаточно точно аппроксимируют зависимость — £г как для цемент-

---1 —Л—2 -о—3 -о 4 -И—б

Рис. 3. Аппроксимация экспериментальной диаграммы деформирования и зависимость касательного модуля от деформаций для цементного бетона:

1 - экспериментальные данные; 2 - функция 1 (Р^; 3 - функция 1 (р2); 4 - функция 2 (Р1); 5 - функция 2 (р2); 6 - функция 4

---1 -Д-2 -О-З -0-4 -4-5 -Х-б

Рис. 4. Аппроксимация экспериментальной диаграммы деформирования и зависимость касательного модуля от деформаций для полимербетона:

1 - экспериментальные данные; 2 - функция 1 (Р1); 3 - функция 1 (р2); 4 - функция 2 (Р1); 5 - функция 2 (р2); 6 - функция 4

ного бетона, так и для полимербетона, однако, зависимость EKi — £t для цементного бетона данная функция отражает неправильно. Следовательно, при определении прогибов балки из цементного бетона наиболее реалистичные данные должны быть получены при использовании функции (2) - 4 кривая на графике (рис. 3).

Поставленная задача была решена методом последовательных нагружений [12].

Результаты и обсуждение

Метод последовательных нагружений (МНП) относится к инкрементальным методам, позволяющим моделировать процесс поэтапного нагружения твердого тела малыми ступенями Aqj внешней нагрузки. При этом расчетная нагрузка драсч разбивается на слои и представляется в виде суммы нагрузок, которыми последовательно нагружается рассматриваемая конструкция: 9расч = = . (6)

В пределах каждого слоя нагружения Aqj решение исходной нелинейной задачи заменяется на решение линейной задачи с известными начальными перемещениями и напряжениями [12]. При решении задачи в пределах ступени нагружения Aqj не учитывается изменение переменной жесткости, в результате этого допускается погрешность линеаризации, которая может быть минимизирована при уменьшении величины ступени нагружения. Очевидно, что с увеличением дискретизации существенно возрастает время расчета. Кроме того, значительная трудоемкость не подразумевает ручного выполнения всех вычислений.

В данной работе МПН был автоматизирован в программе Microsoft Excel 2010. Алгоритм решения выглядит следующим образом:

1. Расчетная нагрузка делится на отдельные ступени - формула (6).

2. Для балки назначается постоянная по длине жесткость - /0 = Еь10.

3. Прикладывается первая ступень нагружения - Aq1.

4. Определяется прогиб Дм^ в каждом рассматриваемом сечении балки. Ввиду малости величины Дq1 деформации, вызываемые прогибом, будут упругими, и соответствующие ей прогибы можно определить из обычного линейного уравнения изгиба балки:

й4Дш1

Jo-

dx4

= Aq1 ,

(7)

где /о - постоянная жесткость изгиба балки. Уравнение (7) в конечно-разностном виде, относительно неизвестного приращения прогиба в рассматриваемом сечении, запишется следующим образом:

(Дх)4

-Aw-l ¡_2+4AW1 [_! +

Awlt =

л * ^

+4Aw2,i+1-Aw1,i+2

■ , (8)

где1 - номер сечения; Aq^ - узловая нагрузка в i-ом сечении; (Ax)4 - шаг разбиения балки по длине.

Решение СЛАУ (8) предполагает итерационный процесс вычисления. Данная задача была решена при помощи встроенного итерационного процессора в Microsoft Excel 2010. Выполнялось максимальное число итераций 32767 с точность вычисления 1 ■ 10"6.

1. Определяется суммарный прогиб -Wt = W0 + Awt в каждом сечении после первой ступени нагружения. W0 =0 -начальный прогиб отсутствует.

2. С учетом Wt пересчитываются жесткости в каждом сечении , а также определяются их первые и вторые производные в конечно-разностном варианте

/1,71'.

3. Прикладывается вторая ступень нагружения - Aq2. Соответствующий этой нагрузке прогиб находим из линейного уравнения:

AM

d4Aw2 d3Aw2

dx4

+ 2/1(х)■

dx-

+

(9)

После ряда преобразований, уравнение (9) так же представляется в конечно-

-Ь-2 -О-В -О 4 -0-5

Рис. 5. Зависимости изменения прогибов Ш (слева) и жесткостей ] (справа) по мере нагружения балки из цементного бетона от вида аппроксимирующей функции: 2 - функция 1 (З1); 3 - функция 1 (р2); 4 - функция 2 (Р1); 5 - функция 2 (р2)

-й-2 -а-3 -С 4 -0—5

Рис. 6. Зависимости изменения прогибов Ш (слева) и жесткостей ] (справа) по мере нагружения балки из полимерного бетона от вида аппроксимирующей функции:

2 - функция 1 (Р1); 3 - функция 1 (р2); 4 - функция 2 (Р1); 5 - функция 2 (р2)

разностном варианте относительно неизвестного приращения прогиба в рассматриваемом сечении Дш2д. После этого решается СЛАУ по вышеизложенному в п. 4 принципу.

1. Определяется суммарный прогиб -Ш2 = Ш1+км2 в каждом сечении после второй ступени нагружения.

2. С учетом Шг пересчитываются жесткости в каждом сечении ]2, а также определяются их первые и вторые производные в конечно-разностном варианте /2,/2 .

3. Далее последовательно прикладываются ступени нагружения Дд3, Дд4,... Ддп. Цикл повторяется.

Таким образом, нелинейная зависимость между прогибом балки и нагрузкой получается в виде ломаной. Точность решения зависит от малости величины нагрузки на этапе нагружения. В данных расчетах ступени нагружения составляли 2 кН/м, конструкция нагружалась до 95-100% от разрушающей нагрузки. На каждом этапе нагру-жения фиксировались изменения прогибов Ж и жесткостей /.

На рисунках 5 и 6 представлены графики результатов расчетов балок из цементного и полимерного бетонов соответственно.

Важно отметить, что изменение касательного модуля (5) функции (4) является асимметричным относительно середины сечения. Именно отсутствие симметрии при растяжении-сжатии является основным ограничивающим фактором степенных функций с четными показателями степени при расчетах конструкций на изгиб. Данная проблема так же была определена в работе [18] для функции Ф.И. Герстнера - = а •

Выводы

Анализ результатов расчетов, представленных на графиках, позволяет сделать следующие выводы:

1. При заданных геометрических параметрах и прикладываемых нагрузках, балки работают в основном в линейно-упругой стадии - до 50-70% от предельной нагрузки. Согласно СП 20.13330.2016, для балок пролетом 10 м предельный прогиб Wult по второй группе предельных состояний составляет - 47,8 мм. Следовательно, предельное состояние наступает до нелинейного участка деформирования. Таким образом, можно сказать, что принятые конструктивные решения не являются оптимальными - требуется оптимизация.

2. Исследованные в данной работе функциональные зависимости, описывающие экспериментальные диаграммы деформирования, дают отклонения при определении прогибов балок на этапах нагружения от 50% расчетной нагрузки. При этом ведущим параметром является точность аппроксимации касательных модулей, от которых зависит переменная по длине балки жесткость.

3. Предложенный алгоритм расчета балок, при совместном применении методов последовательного нагружения (МПН) и конечных разностей (МКР), позволяет учитывать экспериментальные нелинейные диаграммы деформирования, успешно описываемые комбинированными степенными зависимостями (1) и (2). Это в конечном итоге позволяет своевременно выявлять недостатки и принимать наиболее экономичные конструктивные решения на ранних этапах проектировании.

Список источников

1. Городецкий, А.С. Учет нелинейной работы железобетона в ПК ЛИРА-САПР. Метод «Инженерная нелинейность» / А.С. Городецкий, М.С. Барабаш // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2016. № 2(12). С. 92-98.

2. Нелинейность в ЛИРА-САПР. Алгоритмы создания расчетных моделей с учетом нелинейной работы конструкций [Электронный ресурс]: (дата обращения: 04.05.21.). URL:

ttps://help.liraland.ru/984/3426/?sphrase_id=145 78411.

3. Блохина, Н.С. Моделирование физически нелинейных и анизотропных свойств материала при расчете строительных конструкций в программном комплексе ANSYS / Н.С. Блохина, С.Н. Назаренко // Инновации и инвестиции. 2018. № 1. С. 186-188.

4. Проблема учета физической нелинейности при расчете строительных конструкций / Н.С. Блохина // Вестник МГСУ. 2011. № 6. С. 384387.

5. Сухов, М.Ф. Нелинейные задачи строительной механики : учеб. пособие / М.Ф. Сухов, Д.А. Кожанов - Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. 66 с.

6. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. 202 с.

7. Ржаницын А.Р. Строительная механика: учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1982. 400 с.

8. Мурашкин, Г.В. Моделирование диаграммы деформирования бетона / Г.В. Мурашкин, В.Г. Мурашкин // Известия Орловского государственного технического ун-та. Сер. Строительство. Транспорт. 2007. № 3(15). С. 86-88.

9. Селяев, В.П. Аналитическое описание диаграмм деформирования бетонов при сжатии / В.П. Селяев [и др.] // Региональная архитектура и строительство. 2020. № 3. С. 22-30.

10. Селяев, В.П. Верификация зависимостей, аппроксимирующих диаграммы деформирования бетонов цементного и полимерного методом нормируемых показателей / В.П. Се-ляев [и др.] // Строительство и реконструкция. 2021. № 1(93). С. 125-133.

11. Селяев, В.П. Анализ полиномиальной зависимости пятой степени при аппроксимации

экспериментальных диаграмм деформирования цементного бетона и полимербетона методом нормируемых показателей / В.П. Селяев, С.Ю. Грязнов, Д.Р. Бабушкина // Вестник ПГТУ. Серия: Материалы. Конструкции. Технологии. 2021. № 1(17). С. 19-27.

12. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала. - М.: АСВ, 2008. 208 с.

13. Байков, В.Н. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей /

B.Н. Байков, С.В. Горбатов, З.А. Дмитров // Известия вузов. Серия: Строительство и архитектура. 1997. № 10. С. 4-6.

14. Селяев В.П., Селяев П.В. Физико-химические основы механики разрушения цементных композитов: монография. - Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2018. 220 с.

15.Селяев, В.П. Влияние вида функциональной зависимости «а - е» на расчетные прогибы пластины / В.П. Селяев [и др.] // Региональная архитектура и строительство. 2018. № 2(35).

C. 17-25.

16. Чебаненко, А.И. Армополимербетон-ные строительные конструкции. - М.: Стройиз-дат, 1988. 440 с.

17. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. - М.: Стройиздат, 1996. 413 с.

18. Селяев, В.П. Определение прогибов балки из нелинейно-упругого материала методом Ритца-Тимошенко при аппроксимации диаграмм деформирования комбинированными степенными зависимостями / В.П. Селяев [и др.] // Эксперт: теория и практика. 2021. № 2(11). С. 42-50.

Информация об авторах

B.П. Селяев - академик РААСН, доктор технических наук, профессор Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва;

C.Ю. Грязнов - аспирант Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва; Е.С. Безрукова - аспирант Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва; Д.Р. Бабушкина - аспирант Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 01.12.2021; одобрена после рецензирования 20.12.2021; принята к публикации 28.12.2021.

Original article

INFLUENCE OF THE TYPE OF FUNCTIONAL DEPENDENCE «a - 8» ON THE DESIGNED BENDING OF A BEAM FROM NONLINEAR DEFORMABLE MATERIAL

Vladimir Pavlovich Selyaev1, Sergey Yuryevich Gryaznov2, Evgenia Sergeevna Bezrukova3, Elmira Rafikovna Babushkina4

i, 2, 3, 4 National Research Ogarev Mordovian State University, Saransk, Russian Federation

1 ntorm80@mail.ru

2 sergey.gryaznov.97@mail.ru

3 eugenia.bezr@gmail.com

4 delmira2009@yandex.ru

Annotation. The article presents the results of calculating by the method of successive loading (SLM) the deflections of beams made of cement and polymer concrete. The analysis of the influence of analytical functional dependences describing the experimental deformation diagrams of materials on the calculated deflections of beams is carried out. A calculation algorithm is proposed, with the combined application of the methods of sequential loading (SLM) and finite differences (FDM), which makes it possible to consider experimental nonlinear deformation diagrams, which are successfully described by combined power dependences.

Keywords: nonlinearity, deformation, approximation, beam, deflection, sequential loading method, finite difference method

For citation: Influence of the type of functional dependence «g - £» on the designed bending of a beam from nonlinear deformable material / V.P. Selyaev, S.Yu. Gryaznov, E.S. Bezrukova, D.R. Babushkina // Expert: theory and practice. 2022. No. 1 (16). Pp. 46-54. (In Russ.). doi:10.51608/26867818_2022_1_46.

Information about the authors

V.P. Selyaev - Academician of the Russian Academy of Architectural and Construction Sciences, Doctor

of Sciences, Professor, National Research Ogarev Mordovian State University;

S.Yu. Gryaznov - Postgraduate, National Research Ogarev Mordovian State University;

E.S. Bezrukova - Postgraduate, National Research Ogarev Mordovian State University;

D.R. Babushkina - Postgraduate, National Research Ogarev Mordovian State University.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

The article was submitted 01.12.2021; approved after reviewing 20.12.2021; accepted for publication 28.12.2021.

© Selyaev V.P., Gryaznov S.Yu., Bezrukova E.S., Babushkina D.R., 2022 54 © INO "Institution of Forensic Construction and Technological Expertise", 2022