ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ БАЛКИ ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА МЕТОДОМ РИТЦА-ТИМОШЕНКО ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМБИНИРОВАННЫМИ СТЕПЕННЫМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ

Селяев Владимир Павлович; Уткина Вера Николаевна; Грязнов Сергей Юрьевич; Бабушкина Дельмира Рификовна

УДК 539.3 : 69 РО! 10.51608/26867818_2021_2_42

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ БАЛКИ ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА МЕТОДОМ РИТЦА-ТИМОШЕНКО ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМБИНИРОВАННЫМИ СТЕПЕННЫМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ

В статье представлены результаты расчетов прогибов балок из цементного и полимерного бетонов, при аппроксимации диаграмм деформирования комбинированными степенными зависимостями. Приведены формулы для определения параметров аппроксимации и сделан вывод о целесообразности применения тех или иных граничных условий для наиболее точного описания зависимостей «а - е» и «Ек-е». Так же отмечена значимость показателя степени п, от которого зависит точность вычисления прогибов конструкций.

Ключевые слова: степенная функция, прогиб балки, напряжения, деформации, цементный бетон.

Бетоны на цементном и полимерном вяжущих находят широкое применение в строительстве. Отличительными особенностями этих материалов являются: большое различие между прочностью на сжатие и растяжение; нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями. Поэтому при проектировании, расчете конструкций из бетона всегда возникает вопрос о виде функциональной зависимости «а - е», применение которой обеспечит наиболее достоверные результаты. В практике проектирования наиболее часто применяются степенные зависимости Ф.И. Герстнера, А.Р. Ржаницына-П.А. Лукаша, В.Н. Байкова [1 - 4].

Целью настоящей работы является: оценка влияния вида степенной функции на результаты расчета прогибов изгибаемых элементов; оценка влияния граничных условий, применяемых при выборе параметров аппроксимации и методом нормируемых показателей.

Применение метода нормируемых показателей обусловлено возможностью определения аппроксимирующей функции, описывающей диаграмму деформирования бетона в любой точке изделия в произвольный момент времени [4-6].

Для решения поставленной задачи рассмотрим однопролетную, шарнирно опертую балку длиной I = 10 м с постоянным по длине сечением Ь х к = 0,3 х 0,4 м из нелинейно-упругого материала, загруженную по всей длине равномерно-распределенной нагрузкой ц = 10 кН/м (рис. 1).

Выполним 2 варианта расчета: в первом варианте материал балки - цементный бетон с начальным модулем упругости Еь = 2,1 • 104 МПа и предельными относительными деформациями £Ьи = 0,002 [6]; во втором варианте - полимербетон с начальным модулем упругости Еь = 28737.39 МПа и предельными относительными деформациями £Ьи = 0,005 [7].

* Селяев Владимир Павлович (ntorm80@mail.ru) - Заслуженный деятель науки РФ, академик РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительных конструкций; Уткина Вера Николаевна (uvn27@mail.ru) - кандидат технических наук, доцент; Грязнов Сергей Юрьевич (sergey.gryaznov.97@mail.ru) - аспирант; Бабушкина Дельмира Рификовна (delmira2009@yandex.ru) - аспирант; все - Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева (РФ, Саранск).

10 кН/

м

ж_i_±_±_i_

ж_ж_±_±

О fi/h

10 м

Рис. 1. Расчетная схема балки

Для аппроксимации диаграммы деформирования бетона воспользуемся комбинированными степенными зависимостями вида:

= . (1) Выбранные функции (1) с учетом различных показателей степени п и параметров аппроксимации а и @ представлены в таблице 1.

Для функций (1) касательный и секущий модули соответственно можно определить по формулам:

' (2)

(3)

О";

— = а - р • е,

п-1

d£i

Коэффициенты а и р были определены по методу нормируемых показателей из условия соответствия зависимости — £г граничным условиям:

1. если £[ ^ 0 , то йа/й£ = Еь ;

2. если £[ = £ьи , то йа/й£ = 0 ;

3. если £г = £Ьи , то а{ = аЬи .

Было установлено, что коэффициенты и р2 (табл. 1) по-разному влияют на точность аппроксимации эксперименталь-

ных зависимостей — £г и — £г (рис. 2), а именно, первый дает более реальные картины изменений диаграмм касательного ЕК1 и секущего Есд модулей, а второй изменение диаграммы напряжения о"г.

В рассматриваемой задаче применялись оба этих коэффициента с целью выявления различий в значениях прогибов.

С учетом гипотезы плоских сечений деформации будут равны £г =

Запишем выражение для удельной потенциальной энергии балки в общем виде, где зависимость между напряжениями о"г и деформациями £г будет выражаться формулой (1): £

dV = J а(£)й£ =

=/,—;,л,—

0

1

--р£п+1

1 р(—г)п+1(Ш")п+1 . (4)

п + 1

-а2г(Ш")г -

п + 1

Таблица 1. Комбинированные степенные зависимости

№ п/п Вид функциональной зависимости «а - в» Показатель степени n Постоянные коэффициенты

Граничные условия

1 2 3

а Pi Pi

1 2 3 4 5 6

1 Зависимость Ф.И. Герстнера 2 Еь Eb Еь — Ebu

2ebu ^bv.

2 Зависимость А.Р. Ржаницына, П.А. Лукаша 3 Еь Eb Еь — Ebu

3£2 3bbu £2 bbu

3 Комбинированная степенная зависимость 4-ой степени 4 Еь Eb Еь — Ebu

4 F3 4bbu £3 bbu

4 Комбинированная степенная зависимость 5-ой степени 5 Еь Eb Еь — Ebu

5£4 Dtbu £4 bbu

ф

---Эксперимент -

Г . _ с-.

Рис. 2. Отклонение теоретических зависимостей <Т1 - £1 при в = в2 (слева) и кл « при б = б2 (справа) от экспериментальной кривой для цементного бетона при различных значениях показателя степени п

Проинтегрируем уравнение (4) по объему балки и получим выражение для пол-

ной потенциальной энергии:

I I

V

Я1 Г (d2W\

dx —

О F 1

-Ph

Г /d2W\

J \dP~J

dx ,

(5)

h/2

Jo

-/

z2bdz = b —

-h/2

h 2

h — 2

bh3

h ~2

= b

(—Z)

n+2

n + 2

площадь поперечного сече-

п + 1

где F = Мг ния;

/о и/п - моменты инерции сечения балки (осевой и высшего порядка) соответственно равные:

h/2 =i(-h) —h/2

п+2

:-(-s)

п + 2

п+2

- п + 2 ' (7)

Работа внешней распределенной нагрузки д(х) определяется по формуле:

I

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ая = | д(х)Ж(х^х . (8)

о

Складывая уравнения (4) и (8) получаем формулу для определения полной энергии изгиба балки:

I

(6) э(ю = 2-а/

i

n + V

PJnj (W")n+1dx

I

- I q(x)Wdx .

(9)

конечным числом членов:

N

W(x) = ^ Kn^n(x),

w(x)

2EJ,

+

q0x"

(11)

При х = I получим систему:

0о13 , ч014

(12)

w(l) = ф01 + +

6EL

М(1)

Qol + q0l2

24 EJy 0

= 0

(13)

Е]у 2 Е]у

из решения, которой определяем два начальных параметра:

Q0 = -0,5^ =

кН

-0,5 • 10--10 м = -50 кН ; (14)

м

-4Ç0Z2 - q0l3

Фо = ■

24EJy (-50) • 102 - 10

102

Прогиб балки представим в виде ряда с

(п=\2,...Ю, (10)

где Кп - искомые постоянные (обобщенные координаты);

Фп(х) - аппроксимирующие функции, каждая из которых должна удовлетворять геометрическим граничным условиям.

Функции фп(х) строим методом начальных параметров. Запишем общую формулу для прогиба:

МоХ2

+ ^0х +

24Е1у 10000

= ШГ° • (15)

Подставляем (14) и (15) в уравнение прогибов (11):

( л , Со*3 w(x) = (pQX +___+

6EJV

10000

50

x - ■

24 EJy 6EJy 0,416(6)

x3 +

24 EJy 10

EJV

x"

24 EJy 8,3(3)

EJy

x4

X3 +

+

416,6(6)

(16)

Е]у

Умножая это выражение на величину £уу/0,416(6) , получим окончательное выражение для аппроксимирующей функции прогиба:

6Е]у 24Е]у Начальные параметры определяются при удовлетворении граничных условий на краях балки в соответствии со схемой закрепления ее концов (рис. 1): на левой опоре при х = 0 прогиб и изгибающий момент равны = 0, М0 = 0; на правой опоре, т.е. при х = I = 10 м, прогиб и изгибающий момент будут равны wl = 0,М1 = 0.

Для определения начальных параметров найдем вторую производную для функции прогиба (11):

^(х)

X

-20х3 + 1000х . (17)

Найдем производную 2-го порядка от этой функции, которая будет нужна позднее: ^"(х) = 12х2 - 120х . (18)

Далее преобразуем выражение (9) с учетом функции (10) тем самым получим функцию полной потенциальной энергии системы от обобщенных координат:

Э(К) = г1к2 - г2кп+1 - Г3К , (19) Из условия минимума полной потенциальной энергии балки получаем следующее нелинейное алгебраическое уравнение относительно амплитуды прогиба К:

^Э=2/1^-(П + 1)/2^--/3 =0 . (20)

Здесь коэффициенты /1,/2,/з определяем по формулам:

f1=^aJ0j(V")2dx ; о

i

f2=^+1(lJn\(<p"Y+1dx

fil

I

/з = I . (21)

о

Окончательное разрешающее уравнение (20) запишем в виде функции степени п:

а^Кп + Ь^К + с = 0 . (22)

Из формулы (10) следует, что для определения прогибов балки необходимо найти хотя бы один действительный корень уравнения (22), при котором выполняется тождественное равенство этого уравнения.

По описанной выше методике решаем поставленную задачу при разных показателях степени п = 2, 3,4, 5 (табл. 1).

При п = 2 мы имеем дело с зависимостью Ф.И. Герстнера, основным недостатком которой [1, 6] является отсутствие симметрии при растяжении-сжатии, поэтому ее нельзя применять при изгибе. Кроме того, если попытаться определить момент инерции высшего порядка по формуле (7), то он обратится в 0 и тем самым задача станет линейной. Следовательно, рассматривать случай при п = 4 так же не имеет смысла.

При п = 3 рассматриваем зависимость А.Р. Ржаницына, П.А. Лукаша, которая согласно исследованиям [4, 6] с достаточной точностью описывает фактическую работу цементного бетона под нагрузкой, но для

Таблица 2. Переменные параметры расчета для балки из цементного бетона

Параметр Показатель степени

п = 3 n = 5

Номер кривой на графиках (рис. 3 - 6)

1 2 3 4

1 2 3 4 5

a 2 • 104 2 • 104 2 • 104 2 • 104

ßi 1,75 • 109 - 2,63 • 1014 -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ß2 - 2,58 • 109 - 6,46 • 1014

/о 8•10"4 8•10"4 8•10"4 8•10"4

/г, 9,6 • 10"6 9,6 • 10"6 1,83 • 10"7 1,83 • 10"7

и 8,064 • 109 8,064 • 109 8,064 • 109 8,064 • 109

f* 5,53 • 1017 8,17 • 1017 1,19 • 1026 2,94 • 1026

f. 2 • 10s 2 • 10s 2 • 10s 2 • 10s

а -2,21 • 1018 -3.27 • 1018 -7,16 • 1026 -1,76 • 1027

b 1,61 • 1010 1,61 • 1010 1,61 • 1010 1,61 • 1010

с -2 • 10s -2 • 10s -2 • 10s -2 • 10s

кп 1,268 • 10"5 1,281 • 10"5 1,241 • 10"5 1,243 • 10"5

Таблица 3. Переменные параметры расчета для балки из полимербетона

Параметр Показатель степени

п = 3 n = 5

Номер кривой на графиках (рис. 3 - 6)

5 6 7 8

1 2 3 4 5

a 28737 28737 28737 28737

ßi 3,83 • 108 - 9,2 • 1012 -

ß2 - 2,97 • 10s - 1,19 • 1013

/о 8•10"4 8•10"4 8•10"4 8•10"4

/г, 9,6 • 10"6 9,6 • 10"6 1,83 • 10"7 1,83 • 10"7

Ъ 1,104 • 1010 1,104 • 1010 1,104 • 1010 1,104 • 1010

f. 1,21 • 1017 9,4 • 1016 2,486 • 1024 2,486 • 1024

f. 2 • 10s 2 • 10s 2 • 10s 2 • 10s

a -4,84 • 1017 -3.76 • 1017 -2,51 • 1025 -3,25 • 1025

b 2,21 • 1010 2,21 • 1010 2,21 • 1010 2,21 • 1010

с -2 • 10s -2 • 10s -2 • 10s -2 • 10s

кп 9,078 • 10"6 9,075 • 10"6 9,062 • 10"6 9,062 • 10"6

сравнения также выполним расчет балки из полимерного бетона.

При п = 5 получаем комбинированную степенную зависимость 5-ой степени, которая за счет своего начально участка, с практически линейной зависимостью о"г — £г, отлично подходит для описания работы полимерного бетона под нагрузкой [7]. Важно отметить, что при п> 5 основное уравнение (22), в общем случае в радикалах не решается, т.е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые доказал норвежский математик Нильс Абель. Однако, корни уравнения п-ой степени могут

быть найдены с любой наперед заданной точностью при помощи численных методов.

В данном случае действительные корни как при п = 3, так и при п = 5 вычислялись численными методами с точность 1 • 10"5 . Корни результаты данных вычислений приведены в табл. 2 и 3.

Зависящие от показателя степени п переменные параметры, определяемые по формулам (6, 7, 21, 22), а также табл. 1 были определены и представлены в табл. 2 и 3. Результаты определения прогибов балок в каждом рассматриваемом сечении с шагом 1,25 м представлены в табл. 4 и с шагом 0,625 м на рис. 3 - 6.

Таблица 4. Прогибы балок W(x), мм

Номер кривой на графиках (рис. 2 - 5) Координата сечения x, м W vv max, мм

0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 7.5 8.75 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 0 15.386 28.233 36.685 39.626 36.685 28.233 15.386 0 39.626

2 0 15.549 28.533 37.074 40.046 37.074 28.533 15.549 0 40.046

3 0 15.063 27.64 35.914 38.793 35.914 27.64 15.063 0 38.793

4 0 15.086 27.683 35.97 38.854 35.97 27.683 15.086 0 38.854

5 0 11.015 20.214 26.264 28.37 26.264 20.214 11.015 0 28.37

6 0 11.011 20.205 26.254 28.358 26.254 20.205 11.011 0 28.358

7 0 10.996 20.177 26.217 28.319 26.217 20.177 10.996 0 28.319

8 0 10.996 20.177 26.217 28.319 26.217 20.177 10.996 0 28.319

Координата х, м

О 0.625 1.25 1.875 2.5 3.125 3.75 4.375 5 5.625 6.25 6.875 7.5

8.125 8.75 9.375 10

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45

И Г

Рис. 3. Эпюры прогибов балки из цементного бетона при в = вь

1 - зависимость при п = 3; 3 - зависимость при п = 5

fil

Координата х, м

О 0.625 1.25 1.875 2.5 3.125 3.75 4.375 5 5.625 6.25 6.875 7.5 8.125 8.75 9.375 10

0 5 10

S

5 15

I 20

! 25 ю

I 30

О. С

35 40 45

s Л

Рис. 4. Эпюры прогибов балки из цементного бетона при в = в2

2 - зависимость при п = 3; 4 - зависимость при п = 5

Рис. 5. Эпюры прогибов балки из полимербетона при в = вь

5 - зависимость при п = 3; 7 - зависимость при п = 5

Координата х,

О 0.625 1.25 1.875 2.5 3.125 3.75 4.375 5 5.625 6.25 6.875 7.5 8.125 8.75 9.375 10

Рис. 6. Эпюры прогибов балки из полимербетона при в = в2:

6 - зависимость при п = 3; 8 - зависимость при п = 5

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Математический аппарат метода Ритца-Тимошенко при решении задачи определения прогибов балки позволяет с достаточной легкостью применять комбинированные степенные зависимости для описания работы нелинейно деформируемого материала. Алгоритм решения задачи в общем виде был описан и подходит для любого значения показателя степени п, однако важно отметить, что четную степень для задачи изгиба использовать нельзя, так как, во-первых, наблюдается отсутствие симметрии при растяжении-сжатии, а во-вторых, задача из нелинейной переходит в линейную форму за счет обнуления момента инерции высшего порядка.

2. На основании эпюр прогибов балки, как для цементного бетона, так и для поли-мербетона можно сделать определенный вывод, что граничные условия для определения коэффициентов вг и в2 не оказывают существенного влияние на результаты расчета. Предпочтения нужно отдавать тому коэффициенту, который позволяет с большей точностью аппроксимировать зависимость, непосредственно используемую в рассматриваемом методе расчета. В методе Ритца-Тимошенко такой зависимостью является зависимость «о - е».

3. При п >5 основное разрешающее уравнение рассматриваемого метода в большинстве случаев имеет лишь комплексные корни, что не соответствует смыслу метода, основанного на применении хотя бы одного, но действительного корня. Однако, решение уравнений вплоть до 10-й степени можно получить в действительных числах с заданной точностью, кото-

рая по сути не будет влиять на конечный результат расчета.

4. Важно отметить значимость показателя степени n, от которого в большей степени зависит точность вычисления прогибов для конструкций из того или иного материала. Это наталкивает на мысль о необходимости рассмотрения показателя n в качестве полноценного неопределенного коэффициента, значения которого должны определяться из граничных условий метода нормируемых показателей для материалов с конкретными диаграммами деформирования.

Библиографический список

1. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лукаш. - М.: Стройиз-дат, 1978. - 202 с.

2. Ржаницын А.Р. Строительная механика: учеб. пособие для вузов / А.Р. Ржаницын. - М.: Высш. шк., 1982. - 400 с.

3. Байков В.Н., Горбатов С.В., Дмитров З.А. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей // Известия вузов. Серия: Строительство и архитектура. - 1997. - № 10. - С. 4-6.

4. Селяев В.П. Физико-химические основы механики разрушения цементных композитов: монография / В.П. Селяев, П.В. Селяев. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2018. - 220 с.

5. Фрактальная природа масштабного эффекта прочности бетона / В.П. Селяев [и др.] // Эксперт: теория и практика. - 2020. - № 4 (7). - С. 53-59. DOI 10.24411/2686-7818-2020-10036

6. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейной-деформи-руемого материала. - М.: АСВ, 2008. - 208 с.

7. Чебаненко А.И. Армополимербетонные строительные конструкции. - М.: Стройиздат, 1988. - 440 с.

Поступила в редакцию 18.02.2021 г.

DETERMINATION OF BEAM DEFLECTIONS FROM A NONLINEAR ELASTIC MATERIAL DURING THE APPROXIMATION OF DEFORMATION DIAGRAMS BY COMBINED DEGREE DEPENDENCES

USING THE RITZ-TIMOSHENKO METHOD

The article presents the results of calculating the deflections of beams made of cement and polymer concrete during approximation of deformation diagrams by combined power dependences. Formulas for determining the parameters of the approximation are given. It was concluded that using certain boundary conditions for the most accurate description of the dependences "a - e" and "Ek - e" is advisable. The significance of the exponent n is also noted, the accuracy of calculating deflections for structures that are made of a particular material depends on this exponent.

Keywords: power function, beam deflection, stresses, deformations, cement concrete.

Received for publication on 18.02.2021

* Vladimir P. Selyaev - Honored Worker of Science of the Russian Federation, Academician of RAABS, Dr. of Technical, Prof., Head of the Department of Building Structures, Vera N. Utkina - Candidate of technical science, docent of the department "Building construction", Sergey Yu. Gryaznov - Postgraduate student, Delmira R. Babushkina - Postgraduate student, all - Mordovia State University named after N.P. Ogarev (Saransk, Russia).

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Селяев Владимир Павлович, Уткина Вера Николаевна, Грязнов Сергей Юрьевич, Бабушкина Дельмира Рификовна

DETERMINATION OF BEAM DEFLECTIONS FROM A NONLINEAR ELASTIC MATERIAL DURING THE APPROXIMATION OF DEFORMATION DIAGRAMS BY COMBINED DEGREE DEPENDENCES USING THE RITZ-TIMOSHENKO METHOD