Расчет коэффициентов прохождения и отражения в системе связанных квантовых волноводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Полученные расчетные соотношения, определяющие частоты механического резонанса рассматриваемой системы, позволяют при синтезе избежать процедуры численного спектрального анализа.

Математическая модель ЭПС и методика синтеза могут быть использованы при исследовании различных режимов работы следящего электропривода азимутальной оси опорно-поворотного устройства телескопа ТИ-3.12, а также при проектировании и исследовании режимов работы структур с трехмассо-выми моделями механизма.

Литература

1. Исупов А.Н., Исупов К.С., Храмов С.Н. Определение амплитудно-частотных характеристик альт-азимутального опорно-поворотного устройства крупногабаритного наземного телескопа // Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. - Т. 51. - № 6. - С. 38-44.

2. Томасов В.С., Денисов К.М., Толмачев В. А. Следящие электроприводы систем наведения оптико-механических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Труды V Междунар. (XVI Всеросс.) конф. по автоматизированному электроприводу АЭП-2007. 18-21 сентября 2007. - СПб, 2007. - С. 175-177.

3. Васильев В.Н., Томасов В.С., Шаргородский В.Д., Садовников М.А. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений // Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. - Т. 51. - № 6. - С. 5-12.

4. Ключев В.И. Теория электропривода: Учеб. для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 2001. - 704 с.

5. Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентельные электрические машины. - М.: Энергоатомиздат, 1997.

6. Толмачев В.А. Синтез следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. - Т. 51. - № 6. - С. 68-72.

7. Борцов Ю. А., Соколовский Г.Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями. - СПб: Энергоатомиздат, 1992. - 288 с.

Толмачев Валерий Александрович -Никитина Мария Владимировна -Сергеева Мария Евгеньевна

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, va-tolmachev@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, nikitina@ets. ifmo .ги

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студентка, sergeeva.maria@mail.ru

УДК 519.673

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов

Построена математическая модель системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Ключевые слова: квантовая механика, связанные волноводы, численное моделирование.

Введение

Принципиально новые возможности в построении вычислительных систем открывает перед нами квантовая механика, так как сложность квантовой системы возрастает экспоненциально относительно ее размера [1]. Проблема квантовых вычислений тесно связана со сложностью физической реализации. В настоящее время существует несколько возможных элементных баз для квантового компьютера: связанные ионы, ядерный магнитный резонанс в жидкости, квантовые точки и др. [2]. Каждая из них имеет свои преимущества, но и соответствующие недостатки. Идеальной для реализации базы пока не существует, поэтому актуальна проблема исследования и разработки наноустройств для квантовых вычислений.

Целью данной работы является исследование поведения плоских слабосвязанных наноструктур, как возможной основы для реализации квантовых элементов. В работе произведено построение математической модели системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. Кроме того, данную модель можно использовать для поиска стационарных состояний волновой функции для заданной системы.

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...

Математическая модель

Для исследования возможности построения квантовых операций при «волноводной» [3, 4] интерпретации очень важно знание коэффициентов прохождения и отражения в системе при различных значениях ее параметров. Рассмотрим систему двух волноводов, связанных через отверстия, с условиями Дирихле на границе (рис. 1).

Рис. 1. Схема математической модели системы связанных волноводов

При этом допускается, что в области связи могут быть введены некоторые дополнительные условия, зависящие только от вертикальной координаты, например, потенциал, электрическое поле и др. Пусть ширины верхнего и нижнего волноводов равны d+ и соответственно, Ь = 2a - ширина окна, Ь - высота области связи (если область связи отсутствует, то Ь = 0). Положим также полную энергию электрона равной к 2 .

В силу квантовых свойств системы поперечная составляющая волновой функции в волноводе ширины d может выступать только как суперпозиция квантованного набора состояний sin^у^ . Воспользовавшись этим свойством, зададим в первой граничной области волновую функцию в виде [5]:

^ = X sin

n=1

n%

v d+

V

(У - L - d_)

iklx

+ bne

-iklx

, /2 2

где кп = у к _ (п%Ш +) . Соответствующие коэффициенты для волновых функций остальных трех граничных областей Тц, и ^¡у положим равными Сп и dn , gn и кп , Рп и ^ соответственно. В области взаимодействия положим волновую функцию в виде:

да

Ууц = X

n=1

srní ^x ф(кП)

где

кп = ^к2 - (п тс/2 а)2 . В областях,

прилегающих к отверстию, представим ее в виде суммы

продольной и поперечной составляющих

да / V

Чу = Xsin -L-d-) n=1 V d+

ee

ikZx

+ rne-ik+n X] + £ín sin[^x|Ф+(у,кП)

Аналогично вводим коэффициенты Vn , Un и Wn для волновой функции нижнего волновода в области VI . Совокупность функций ф(у,kn) и Ф±(у,kn) образуют базисный набор функций, по которым раскладывается y-составляющая в этих областях. Так, например, в отсутствии внешних полей они будут иметь вид:

Ф(у, kn)= fneik'n y + ene ~ikn y, Ф+(у,kn)=sm(¿n(y-d + -L -d-)),

Ф-(у, k'n )=srn(k'n y )

Будем также обозначать символами Ф(у,kn) и ф±(y,kn) производные по y соответствующих функций.

Проведем согласование разложения на границах областей по значениям и первым производным вдоль нормали:

a„e

n

Y = Y

г ту

_ dYj

dn д

j

Уравнения, соответствующие «вертикальным» граничным условиям, умножаем на sin интегрируем по длине границы. В силу ортогональности базиса синусов имеем:

ту

v d± У

í sin

Í____Л

sin

= -к

2 mn.

Введем так же обозначение A±m : í Ф+ (y, km ) sin

L+d _ +d+ ,,+ m- r +

AT = I

Лnm

bd+k,

+ n L +d

d

' d- (y~L-d_)' V d+

dy,

A~ = ■

m-

bd-kn o

ÍФ (y, km ) sin

(n- ^

Vd- У

dy.

Таким образом, во введенной системе обозначений, получаем систему линейных уравнений. Решение дает значение выходных параметров Ьт, ст, кт и рт относительно входных ат, ёт, gm и

Чп

Ьп = dn + гYAL (1 -(-\)metnb)tn, cn = an + iYsm (i-(-\)me-tnb )tn,

hn = qn + г(i - (-1)"* eitnb ) wn, pn = gn + i£-A-m (i - (- i)"* e-itnb ) wn.

Сами значения tn и wn определяются из «горизонтальной» системы связи в районе окна:

t Ф+ (L + d , k') = Ф(L + d , k'),

п п' v п S'

w Ф- (d , k') = Ф^ , k'),

n - > n ' - > n S'

ф( L + d-, К) = ifc^ + X + tn ф+ (L + d-, kn), (1)

/=1

, К) = iYf- W/ + Yn + w„ ф- (d-, k'n),

где

C± = 2(1 + (-1) n+l) X B±mA±¡ (1-(-1) neikmb)

m=1

B ± =

- mn

, Xn = X 2B+m (am (1 - (-1)neikmb ) + dm (1 - (-1)ne~ikmb)),

й± ((ил)2 — (Ъкп)2) т=1

ТО — , — ,

7„ = X 2(— 1)тВ—т (8т (1 — (—1)"егктЬ) + dm (1 — (— 1)пе~(ктЬ)).

т=1

Заметим также, что в случае Ь = 0 данная система преобразуется к более простому виду:

tяФ+ (d-, k'n )

= WяФ (d-, k'n ),

iXc+ti + Xn + (d-,k'n) = iXCnlWl + Yn + WnФ (d-,k'n).

I I =1 I =1

Для численных вычислений бесконечные суммы ограничиваются некоторой константой N, в рамках которой и производятся вычисления. Матрица, соответствующая исходной системе уравнений, в силу большего размера имеет гораздо более плохую обусловленность, что негативно сказывается при численном решении. Плохая обусловленность вызвана волновыми функциями, соответствующими комплексным значениям энергии к± и к'п . Скорее всего, при аналитическом решении бесконечной системы, соответствующие коэффициенты системы должны обращаться в ноль.

Заметим, что после построения системы появляется возможность решения ряда задач.

и

d

d

/=1

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ..

Во-первых, появляется возможность решить задачу рассеяния. Для этого положим ап = 8п1, а dn, gn и цп тождественно равными нулю. Решив систему и найдя выходные параметры Ьп, сп, кп и рп, коэффициенты прохождения определяются исходя из формул:

да да

Т12 = Яе XI си |2 ки+ / к^, Тп = Яе XI Ь„ |2 к+ / к+,

п=1 п=1

дада

Т14 = ЯеХ I Рп I2 к;/к_, Т13 = ЯеXIК |2 к; /к_.

п=1 п=1

Во-вторых, облегчается поиск связанных состояний. Для этого некоторый выбранный параметр (например, Ь или к) варьируется в некоторых пределах для достижения нулевого значения определителя матрицы (1). В этом случае система при нулевых векторах начальных условий имеет ненулевое решение, которое и определяет соответствующую собственную функцию.

Анализ системы без внешнего электрического поля

В случае отсутствия внешних полей в области окна, разумно рассматривать набор функций Ф±(у, кт) как граничные составляющие собственных функций потенциальной ямы шириной

(]+ + Ь + d_):

Ф+ (у, кп) = sin(kn (у _ d+ _ Ь _ d_)), Ф_ (У, кп) = sin (кпу ) Соответствующие константы А±т : 2

+ _ тпж sin(k'md+)

Л+ = _

Лпт

Ьк+ ((пж)2 _ ^+к'т )2)

2

А_ = _(_1)п тпж sin(k'md_)

Апт ( 1)

ьк_ ((пж)2 _ (d_km )2)'

Пусть, в секторе VII будет потенциальный барьер высотой У , тогда функция Ф будет иметь вид:

Ф( у, к'п ) = /пв1к'п У + епе~1к'п У,

ф(у,кп) = 1К(егкпУ _епе~гк'пУ ),

где к'П = у!(к'п)2 _ У = ^к2 _ (пж/Ь)2 _ У . Перепишем систему (1), используя выбранную систему функций:

да sin(k']] )

¿ХО, + Хп + %cos(k;d+)+К .1(Кcos(k;ь)+= о,

м sm(k_L)

» sin(k"] )

¿Хо,+Г + к'п w_ ^(К ]_ )+кп . + ^ ^Ь)) = 0.

1=1 sin(k_Ь)

Пусть Яп = кп cos(knd_) + k'_l(k'_lL)sin(k'_d_). В случае ]+ = ]_ = ] (соответственно, С+ ных. Обозначим ип = + и Уп = _ , тогда:

В случае ]+ = ]_ = ] (соответственно, С+ = С_ = Сп1) система допускает разделение перемен-

¿Хси + (Хп+7п)+яи+к'п ^ ип = о,

/да ^ад (2)

¿XXСп/У/ + (Хп _ гп)+ЯпУп _ кп sn(knЬ- Уп = 0. /= sin(kn'Ь)

Численное моделирование

Было проведено численное моделирование для случая отсутствия внешних полей (рис. 2). Даже в таком упрощенном случае в зоне взаимодействия, функции коэффициентов прохождения в зависимости от параметров системы являются сложными и мало предсказуемыми. Само моделирование происходило на основе решения системы (2).

T

0,80

0,60 0,40

0,20

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 к

Рис. 2. Зависимость коэффициентов прохождения от энергии для системы с V = 0 , Ь = ё = Ь

Варьируя параметры системы, можно получить ярко выраженный резонанс (рис. 3). Данный результат хорошо согласуется с аналитическими результатами, полученными в [6, 7].

т -0,8 0,60,4"

0,20 -0,

Рис. 3. Эффект полного отражения в системе с V = 2,8, L = d , b = 0,4d

Заключение

Произведено построение математической модели системы связанных волноводов. Ее использование позволяет существенно экономнее и быстрее по сравнению с другими вычислительными методами получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. В дальнейшем, данную модель планируется адаптировать для поиска стационарных состояний волновой функции системы.

Литература

1. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. - Ижевск, 1999. - Т. 2. - 96 с.

2. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. - М.: R&C Dynamics, 2001. - 358 с.

3. Gavrilov M.I., Gortinskaya L.V., Pestov A.A., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006, September 4-7. - SPb, Russia, 2006. - Р. 327-329.

4. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в ЭЧАЯ. - 2007. - Т. 4. - № 2(138). -С. 237-243.

\

-T12

----T„

--T14

T13

1 1 1 г*" 1

40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 к

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ..

5. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. - 10th edition. - New York: Dover Publications, 1972. - Р. 1046.

6. Exner P. and Р. Seba. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. - 1989. - V. 30. -№ 11. - Р. 2574-2580.

7. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. // Proc. of Intern. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. -SPb, 2003. - P. 52.

Гаврилов Максим Иванович - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, аспирант, maxim.gavrilov@gmail.com Попов Игорь Юрьевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, popov@mail.ifmo.ru

УДК 621.391.172

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ А.Б. Торопов, В.А. Васильев

Описывается программный комплекс, позволяющий проводить анализ эффективности алгоритмов решения нелинейных задач при проектировании современных навигационных систем. Ключевые слова: алгоритмы калмановского типа, фильтрация, навигация.

Введение

До недавнего времени необходимость решения нелинейных задач фильтрации, связанных с навигационной тематикой, возникала лишь при построении систем для традиционных объектов, таких как морские суда, летательные и космические аппараты. В последнее время число объектов, для которых требуется решать такого рода задачи, существенно возрастает. Это обусловлено широким внедрением средств навигации в наземный, и, в первую очередь, в автомобильный транспорт [1]. Кроме того, навигационные системы востребованы и самим человеком, а также активно используются у различного вида роботов [2]. Важно отметить, что допущения, справедливые при решении традиционных навигационных задач, для таких объектов не всегда выполняются.

Для анализа эффективности линейных алгоритмов для навигационных систем широко используются различного рода универсальные программы, облегчающие процесс их создания. Существующие пакеты для нелинейного случая [3, 4] в основном ориентированы на проверку работоспособности алгоритмов, в то время как вопросам анализа точности не уделяется должного внимания. Кроме того, такие программы, по мнению авторов, не обладают удобным интерфейсом.

В работе приводится описание программного комплекса для анализа эффективности решения нелинейных навигационных задач. В частности, рассматривается постановка задачи фильтрации, решаемой в программном комплексе, описываются алгоритмы калмановского типа для решения нелинейных задач фильтрации, используемые в программном комплексе, и предлагается методика оценки их эффективности.

Постановка задачи фильтрации, решаемой в программном комплексе

Задана п-мерная случайная последовательность

X =Ф1 Х1_ 1 + Г w 1, (1)

и имеются т-мерные измерения

У1 = 81 (XI) + VI, (2)

где w1■ - вектор порождающих шумов; V! - вектор ошибок измерения, Ф1, Г - известные матрицы;

81 (х1) = [511(х1),..., s¿m (х1)] _ известная нелинейная функция. Последовательности w 1 и v1■ представляют собой дискретные, центрированные белые шумы с известными законами распределения. Предполагается известным закон распределения вектора хо . Векторы хо, w 1 и v1■ считаются некоррелированными между собой.

Требуется, располагая накопленными к текущему моменту времени 1 измерениями

Т Т Т Т

= [У1 ,у2,..,У1 ] , найти рекуррентный алгоритм вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок х1 (У1) последовательности (1), минимизирующих критерий