CC BY
56
МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ
РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЦВЕТОДЕЛИТЕЛЬНЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
Досколович Л.Л., Тявин Е.В., Казанский Н.Л., Петрова О.И. *
Самарский государственный аэрокосмический университет Институт систем обработки изображений РАН * Тольяттинский государственный университет
Аннотация
Исследована работа цветоделительных дифракционных решеток в рамках строгой электромагнитной теории. Рассчитаны интенсивности дифракционных порядков в зависимости от величины периода. Оценены границы применимости скалярного приближения и приближения геометрической оптики, используемых при расчете микрорельефа оптических элементов такого типа. Проведен расчет цветоделительных решеток в рамках строгой теории с использованием градиентного метода. Оценена степень оптимальности решений, получаемых в рамках скалярной теории.
Введение
Фазовые дифракционные решетки широко используются для разделения излучения различных длин волн по различным дифракционным порядкам [1-10]. Впервые так называемые цветоделительные дифракционные решетки были предложены Дамма-ном (Н. Батшапи) в 1978 году [1].
Для расчета цветоделительных дифракционных решёток в рамках скалярной теории разработан ряд аналитических и итерационных методов [1-10]. Наиболее общим аналитическим решением является цветоделительная решётка, позволяющая разделить три плоских волны с длинами волн
Яд, Л±1 = Яд NI (N ± p), p є Z
(i)
по -1, 0 и +1 дифракционным порядкам [4, 8-10]. Профиль такой решетки состоит из N ступенек равной ширины. Высоты ступенек определяются по формуле:
di =-
Л
-modN (а- i), i = G, N - i,
(2)
(по - О
где п0 - показатель преломления материала решет ки, а - целое число:
N • т +1
а = -
m єZ.
(З)
N + p
Разделение различных длин волн достигается за счет использования микрорельефа с высотой в N раз большей, чем при работе с одной длиной волны. Высота микрорельефа определяется близостью разделяемых длин волн. Чем ближе длины волн, тем больше N и тем выше требуется рельеф.
Цветоделительные решетки (2), (3) рассчитаны с использованием двух основных приближений. Расчет прохождения падающего пучка через решетку проводится в приближении геометрической оптики. Дальнейшее распространение светового поля описывается в рамках скалярной теории. При указанных допущениях интенсивности рабочих порядков решетки имеют вид:
I0 = 1,1+1 = I_x = Sinc2 (п / N) . (4)
Интенсивности порядков определяют доли энергии излучения с длинами волн (1), направляемые в порядки 0, ±1.
Вследствие большей в N раз высоты рельефа, для цветоделительных решеток актуальным является исследование ошибок, вызванных применением скалярного приближения и приближения геометрической оптики.
В данной статье приведены результаты исследования работы цветоделительных решеток (2), (3) в рамках строгой электромагнитной теории и результаты расчета цветоделительных решеток в рамках строгой теории с использованием градиентного метода. Представленные результаты позволяют установить границы применимости использованных приближений и оценить оптимальность решений, получаемых в рамках скалярной теории.
Метод исследования решеток в рамках электромагнитной теории Для решения задачи дифракции на цветоделительной решетке в рамках строгой электромагнитной теории был использован метод связанных волн -RCWA метод (rigorous coupled-wave analysis method) [11-13].
Согласно методу связанных волн введем три зоны (рис.1). Зона 1 соответствует области над решеткой при у>И, где И - максимальная высота микрорельефа. Зона 2 соответствует зоне модуляции
0<у<^ и, наконец, зона 3 соответствует области подложки у<0. Над решеткой и под решеткой диэлектрическая проницаемость постоянна. В зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией г^^у). Магнитную проницаемость будем считать равной единице во всех трех зонах. Согласно методу связанных волн поля в зонах 1 и 3 представляются в виде суперпозиции плоских волн с неизвестными коэффициентами отражения Rn и пропускания Tn. В зоне 2 поле ищется из решения уравнений Максвелла:
тШ = Ч^е ^, у ) Е,
^Е = —^Н.
величине периода от 5Х0 до 50Х0 при нормальном падении, п0=1,5 для ТЕ и ТМ поляризации.
(5)
Далее, коэффициенты отражения и пропускания в зонах 1 и 3 находятся из условия равенства тангенциальных компонент полей на границах зон при У=И и у=0. Метод связанных волн является стандартным и эффективным средством решения задач дифракции на периодических структурах.
Исследование влияния относительного периода и дрейфа волн
Известно, что скалярная теория дифракции правильно описывает распространение монохроматического излучения при характерных размерах объектов, на которых происходит дифракция светового пучка, много больше используемой длины волны. В нашем случае дифракция происходит на штрихах решетки, а удобным для использования характерным размером является период дифракционной решетки. Интересно исследовать границы применимости скалярной теории дифракции для цветоделительных решеток с малым (относительно основной длины волны А0) периодом. Для этого методом связанных волн были рассчитаны интенсивности прошедших дифракционных порядков для типичных цветоделительных решеток (работающих в видимом и ближнем инфракрасном диапазонах длин волн) в зависимости от размера периода. На рис. 2 приведены интенсивности рабочих порядков цветоделительной решетки (2) для разделения длин волн Х-1 = 0,7333 мкм, А = 0,55 мкм, А+1 = 0,44 мкм (р=1, N=4) по порядкам -1, 0, +1. Интенсивности порядков приведены при различной
Рис. 2. Интенсивности рабочих порядков решетки (2) при p=1, N=4 в зависимости от величины периода для ТЕ (верхний график) и ТМ (нижний график) поляризации
На рис. 3, 4 приведены аналогичные графики интенсивностей рабочих порядков цветоделительной решетки (2) для разделения длин волн А^=0,6875 мкм, А0=0,55 мкм, Х+!=0,4583 мкм (=1, N=5) и А-1=0,9167 мкм, А0=0,55 мкм, А+^0,3929 мкм ^=2, N=5) по порядкам -1, 0, +1. Для решеток на рис. 3, 4 (N=5) ошибка несколько больше, чем для решетки на рис. 2 (N=4). Это связано с тем, что максимальная высота рельефа при N=5 в 1,33 раза больше, чем при N=4.
для ТЕ (левый график) и ТМ (правый график) поляризации
Рис. 4. Интенсивности рабочих порядков решетки (2) при р=2, N=5 в зависимости от величины периода для ТЕ (левый график) и ТМ (правый график) поляризации
Таким образом, при высоте дифракционного микрорельефа в 3-4 раза больше, чем при работе с одной длиной волны (при разности разделяемых длин волн в 20-25%), скалярная теория применима с ошибкой 10-15% только при периодах порядка 50А0 и более.
Как изменится работа цветоделительной решетки при освещении ее пучками с длинами волн, отличными от заложенных при расчете решетки? Для ответа на этот вопрос был проведен расчет интенсивности порядков в рамках скалярной и строгой электромагнитной теорий дифракции.
На рис. 5 приведены графики, демонстрирующие уменьшение интенсивностей рабочих порядков цветоделительной решетки при отклонении длин волн от расчетных значений. Графики на рис. 5а рассчитаны в рамках скалярной теории для решетки (2) при р=1, N=4. Графики показывают, что самым чувствительным порядком к изменению длины волны является +1-ый порядок. Интенсивность +1-го порядка уменьшается на 10% при изменении длины волны А+1 в пределах ±3-4%. Эту тенденцию подтверждает и электромагнитная теория. На рис. 5б, в приведены графики уменьшения интенсивностей рабочих порядков решетки (4), рассчитанные в рамках скалярной теории и электромагнитной теории для ТЕ и ТМ поляризации при периоде й?=15А0.
Расчет решеток в рамках электромагнитной теории
Для оценки оптимальности аналитического решения (2), (3) был проведен расчет цветоделительных решеток в рамках строгой электромагнитной теории с использованием градиентного метода.
Поскольку профиль решетки (2) состоит из N ступенек, то в качестве параметров оптимизации использовались координаты и высоты ступенек. В качестве критерия оптимизация была использована функция
1 1
(6)
і=-11=-1
|Т/ и
представляющая отличие расчетных ^(х, А/) требуемых интенсивностей дифракционных поряд ков для длин волн (1).
при отклонении длин волн от расчетных значений: а) в рамках скалярной теории при р=1, N=4 б, в) в рамках электромагнитной теории при р=1, N=4, d=15А0 для ТМ и ТЕ поляризации
Вектор х=(хь...,хм_і ,И1, Ид?) содержит набор
параметров оптимизации, однозначно определяющих профиль решетки на периоде. Параметры являются координатами N ступе-
2
нек профиля, а параметры h/>0, /=1,...Д - высотами ступенек. Требуемые интенсивности порядков в (6) заданы функцией б (/'-/), равной 1 при /=] и 0 в противном случае. Вид функции ошибки (6) был выбран не только из условия максимизации рабочих порядков 0, ±1 для длин волн (1), но и из условия минимизации перекрестного влияния рабочих порядков для различных длин волн.
Градиентный метод минимизации функции ошибки (6) состоит в итерационной коррекции вектора параметров профиля по правилу
а)
в)
д)
Х п = Х п-1 - ?Уе(х) ,
^де(х) де( х )^
дх.
дкА
- градиент функции
где Уе (х) =
V дх1 д'^
ошибки (6). Расчет градиента проводился численно по разностным формулам.
На рис. 6 приведены расчетные графики интенсивностей порядков цветоделительных решеток для разделения длин волн А-1=0,6875 мкм, А0=0,55 мкм, А+1=0,4583 мкм (р=1, N=5), рассчитанных с помощью градиентного метода (6), (7).
б)
г)
е)
Рис. 6. Интенсивности рабочих порядков решеток, рассчитанных градиентным методом при р=1, N=5 ; зависимости от величины периода для ТЕ (левые графики а, в, д) и ТМ поляризации (правые графики б, г, е)
В качестве начального приближения были использованы параметры профиля решетки (2). Графики интенсивностей приведены для различной величины периода от 5А0 до 50А0 при нормальном падении для ТЕ и ТМ поляризации. Пунктирными линиями показаны интенсивности порядков решетки (2), а непрерывными линиями - интенсивности порядков решетки после оптимизации. Пунктирные линии повторяют графики интенсивности на рис.3 и приведены для наглядности, разность между непрерывными и пунктирными линиями показывает увеличение интенсивности порядков, полученное за счет оптимизации профиля.
Графики на рис. 6 показывают, что градиентная оптимизация позволяет существенно увеличить интенсивность рабочих порядков (на 10-30%) только при малых периодах в 5-10А0. С ростом периода до 50А0 увеличение интенсивности ±1 порядков падает до 1-3%, а интенсивность нулевого порядка даже снижается на 0,5-1,5%. Таким образом, аналитическое решение (2), (3) является близким к оптимальному при периодах порядка 40А0 и более.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих графики на рис. 6. На рис. 7 показаны профиль цветоделительной решетки (2), (3) (пунктирная линия) и профиль решетки, рассчитанной градиентным методом при периоде d=10А0 для ТМ-поляризации (непрерывная линия). Профиль, рассчитанный градиентным методом, получен при использовании аналитического профиля (пунктирная линия) в качестве начального приближения.
ЬЛ.
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 7. Профиль цветоделительной решетки (2) при р=1, N=5 (пунктирная линия) и профиль решетки, рассчитанной градиентным методом при d=10Л0 для ТМ-поляризации (непрерывная линия)
На рис. 8 символами «о», «*», «+», показаны интенсивности порядков решеток для рабочих длин волн. Для решетки (2), (3) интенсивности рабочих порядков -1, 0, +1 составляют 0,362; 0,5096; 0,4623; а для решетки, рассчитанной градиентным методом
- 0,577; 0,612; 0,593.
На рис. 9, 10 приведены аналогичные результаты для решеток с периодом d=20А0. Интенсивности рабочих порядков -1, 0, +1 для решеток на рис. 9 составляют 0,580, 0,766, 0,650 и 0,648, 0,775, 0,719, соответ-
ственно. Сравнение рис. 8-10 показывает, что при периоде d=10А0, применение градиентного метода значительно эффективнее, чем при периоде d=20А0. При d=10А0 градиентный метод позволил увеличить интенсивность -1, 0, +1 порядков на 59%, 20% и 28%, соответственно. При d=20А0 рост интенсивности порядков составил уже только 11,7%, 1,2% и 11%.
а)
б) '-5 4 -3 -2 -1 0 2 3 4 3
Рис. 8. Интенсивности порядков решеток на рис. 7 для рабочих длин волн (° -1-1, * -10, + -1+1) а) для решетки (2), (3); б) для решетки, рассчитанной градиентным методом
' 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 9. Профиль цветоделительной решетки (2) при р=1, N=5 (пунктирная линия) и профиль решетки, рассчитанной градиентным методом при d=20Л0 для ТМ-поляризации (непрерывная линия)
Рис. 10. Интенсивности порядков решеток на рис. 9 для рабочих длин волн (° -1.1, * -10, + -1+1) а) для решетки (2), (3); б) для решетки, рассчитанной градиентным методом
Заключение
Исследована работа цветоделительных дифракционных решеток в рамках строгой электромагнитной теории. Оценены границы применимости скалярного приближения и приближения геометрической оптики, используемых при расчете цветоделительных решеток. Показано, что при разности разделяемых длин волн в 20-25%, ошибка скалярной теории составляет порядка 50% для малых периодов с размером 5-15А0. При увеличении периода до 50А0 ошибка скалярной теории снижается до 10-15%.
Проведен расчет цветоделительных решеток в рамках строгой теории с использованием градиентного метода. Оценена степень оптимальности решений, получаемых в рамках скалярной теории. Показано, что при малых периодах в 10-20А0 применение
градиентного метода эффективно и позволяет увеличить интенсивность рабочих порядков до 6G-7G%. При больших периодах в 3G-5GЛG градиентная процедура не позволяет значительно улучшить аналитическое решение (2), (3).
Благодарность
Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № МД-210.2003.01 и № НШ-iGG7.2GG3.i, гранта РФФИ № 04-01-96517 и российско-американской программы “Фундаментальные исследования и высшее образование” (BRHE).
Литература
1. Dammann H. Color separation gratings II Applied Optics.
- 1978, Vol.17, № 15. - PP. 2273-2279.
2. Dammann H. Spectral characteristics of stepped-phase Gratings II Optik. - 1979, Vol.53. - PP. 409-417.
3. Farn M.W., Stern M.B. Color separation by use of binary optics II Opt. Lett. - 1993, Vol.18. - PP. 1214-1216.
4. Doskolovich L.L., Soifer V.A., Kazanskiy N.L., Perlo P., Repetto P. Design of DOEs for multiwavelength demultiplexing and spatial focusing II Proc. of SPIE, vol. 5485, pp.98-106, 2004.
5. Bengtsson J. Kinoforms designed to produce different fanout patterns for two wavelengths II Applied Optics. - i998, Vol.37, № 11. - PP. 2011-2020.
6. Levy U., Marom E., Mendlovich D.. Simultaneous multicolor image formation with a single diffractive optical element II Optics Letters. - 2001, Vol.36, № 15. - PP. 1149-1151.
7. Tasso R. M. Sales, Daniel H. Raguin. Multiwavelength operation with thin diffractive elements II Applied Optics.
- 1999, Vol.38, № 14. - PP. 3012-3016.
8. Doskololovich L.L., Repetto M. Design of DOEs for focusing different wavelengths II Optical Memory and Neural Network. 2000, Vol.9, №1. - PP.13-23.
9. Досколович Л.Л. Расчет дифракционных оптических элементов для фокусировки различных длин волн II Автометрия. 2000. Вып.З. С.99-108.
10. Досколович Л.Л. Расчет спектральных решеток II Материалы Второй Байкальской школы по фундаментальной физике. 1999. T.1. С.287-290.
11. Peng S., Morris G.M. Efficient implementation of rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings II J. Opt. Soc. Am. A. - 1995. - Vol.12, №5. - PP. 1087-1096.
12. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings II J. Opt. Soc. Am. A. - 1995. - Vol.12, №5. - PP. 1068-1076.
13. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D.A., Gaylord T.K. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach II J. Opt. Soc. Am. A. - 1995. -Vol.12, №5. - PP. 1077-1086.
