Градиентный метод расчета многопорядковых бинарных диэлектрических решеток в электромагнитном приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МНОГОПОРЯДКОВЫХ БИНАРНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕШЕТОК В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Л.Л. Досколович Институт систем обработки изображений РАН Разработан градиентный метод расчета диэлектрических бинарных решеток. Метод состоит в итерационной коррекции координат профиля решетки и использует для расчета дифрагированного поля точный дифференциальный метод. Получены аналитические матричные представления для градиента функционала невязки, представляющего ошибку формирования заданных интенсивностей прошедших через решетку порядков. Приведены примеры расчета решеток для формирования 5-11 равных порядков.

1. Введение

Широкое использование многопорядковых дифракционных решеток [1-4] требует развития эффективных и точных оптимизационных процедур расчета решеток. Многопорядковые решетки с бинарным (двухуровневым) профилем рельефа представляют особый интерес вследствие наибольшей простоты изготовления. Как правило расчет дифракционных решеток производится в скалярном приближении Кирхгофа, которое применимо только при с!»Л, где (1 - период решетки, X - длина волны освещающего пучка Многопорядковые решетки, рассчитанные на основе разработанных итерационных и градиентных алгоритмов для приближения Кирхгофа (5-10], оказываются неработоспособными при малых периодах 6=2-1 ОХ [11].

В работе [11] на основе точного метода модо-вого разложения [4,12] разработан градиентный алгоритм расчета многопорядковых отражающих бинарных дифракционных решеток, изготовленных из идеально-проводящего материала. В данной работе предлагается градиентный метод расчета диэлектрических бинарных решеток на основе точного дифференциального метода [4]. Градиентный метод сос-

тоит в итерационном расчете координат бинарного профиля решетки из условия формирования заданных интенсивностей прошедших через решетку порядков. При этом использование матричных представлений для поля в зоне модуляции дает аналитическое выражения для градиента функционала невязки, представляющего ошибку формирования заданных порядков.

2. Дифференциальный метод

Рассмотрим дифракцию плоской волны с волновым вектором к = £0 (8ш(0),-ОО8(0),О), где

Ао=2л/Л, Л- длина волны, на бинарной диэлектрической решетке с периодом с1, изготовленной из материала с диэлектрической проницаемостью 8 (рис.1). Ятя приведенной на рис. 1 геометрии задачи имеется три зоны с различной диэлектрической проницаемостью е.

Первая и третья зоны соответствуют областям у>а, где а - высота штрихов решетки и у<0 с постоянной диэлектрической проницаемостью. Без ограничения общности будем считать, что в первой зоне 6=1, а в третьей зоне е>1. Во второй зоне

у € [0,а] - зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией £= е(х).

Рис I Геометрия задачи

Рассмотрим дифракцию двух независимых ТЕ и ТМ поляризованных плоских волн. В зонах 1 и 3 (при у>а и у<0)поле соответствует разложениям Рэлея по плоским волнам. При у>а поле имеет вид

ы(х,у) = ехр(/(«0х - /30у))+

где

IX ехр('(а^ + д,>’))

а„ =к05т(в)+п^-а

(1)

(2)

Рп=№-«1

Скалярная функция «(х^у) в (1) соответствует компоненте Ег{ху) для ТЕ-поляризации и компоненте Нг{хУ) для ТМ-поляризации.

При у<0 поле имеет вид

и(х,у) = IX ехр((*„* " Р.А

я=~оо

где рп = ^к2е-а2п (4)

(3)

В зоне модуляции (у 6 [0, а]) поле описывается системой дифференциальных уравнений, различных для ТЕ и ТМ поляризаций [4]. Функции Ег{ху), Н-Дху) в зоне модуляции являются квазипериоди-ческими [4], то есть представимыми в виде:

00

Нг (*> У) = Е Нт Мехр(штх)

оо

Ег (*> у) = £ Ет ат х)

(4)

В дальнейшем будем считать, что квазиперио-дические функции ЁАху), Нг(ху) в зоне МОД>'ЛЯЦИИ могут быть аппроксимированы отрезками рядов с 2№Т членами. В этом случае для ТМ-поляризации расчет функции Н7{ху) В зоне МОДУЛЯЦИИ сводится к решению следующей системы 4И+2 дифференциальных уравнений 1-го порядка [4];

Ж М

-

/=-„У

ду

ЦЕр^=ар £а,сМ(у)н,(у)-НМ

(5)

Лу

где

/> = -,¥, Л'

жр{у)

\ .

] 4у

аЯЫ=кЩх,у)

(6)

ду

а - коэффициенты Фурье в разложении

периодических функций к2(х) = к^б'(х) и 1/к2 (х),

(-1У

С(0Я

2т

ехр

,2л- V I—пх.

а >)

пФ О

(7)

,*о(* Ау(-1ух п= О

М) =

2

(-1У

2/г

ехр| 1~тпх]

(8)

к0 с1

где К • ЧИСЛО штрихов решетки, ХЬ...,Х2К -координаты границ штрихов.

Для поиска общего решения системы (5) необходимо найти 4И+2 линейно независимых частных решений. При отсутствии моду ляции (е(х)= е) базисные решения системы (5) имеют вид:

Н±р{у)= ехр(±фру\ р =

Й

| Щ (у)=±тг:ехр(± фрУ\ Р=-\\ N

К о 4*

(9)

Для согласования решения в зоне модуляции с решением (9) в зоне 3, определим граничные условия для системы (5) в виде:

\ /Г„(0)=<У„

[£*„(Ь)=ТЙЛ,/М

(10)

Для удобства выкладок введем 4Ы+2 объединенных векторов начальных условий (о) вида

^н:„(о)1 Гн;(о)Ч

Цё:»(о);....(Д;(о)

/н:Л(о)'| Гн„(о)

(П)

Обозначим (у), / = 1,4ЛГ + 2 вектора базисных функций

ЇП.М'І ГпМ' ІЛМ/......Іпм.

Гпмї ГпЦІ №0');....темі,

(12)

полученные из решения системы (5) с начальными условиями (10). При этом обшее решение системы принимает имеет вид

Нт(у)= I С-^(у) +

+ т ~ ~м,м

/=-*

К(У)= 1С-^(у) +

у=-Л/

+ 1с+^;Су), т = ~К,М

)--х

(13)

(14)

Для определения рэлеевских коэффициентов пропускания Тп и отражения Яп в уравнениях (1), (3), воспользуемся условиями непрерывности поля #,(*,>’) и функции Ёх(х,у) в (6) на границах зоны модуляции при у=0 и при у=а. Из условия непрерывности при у=0 несложно получить, что

Тр=С" (15) с*р=о

Согласно (15), поле в зоне модуляции имеет

вид:

е^Су)

чт(у))

(16)

= т = -м,м

Используя условия непрерывности функций Н,(х,у) и £х(х, у)т верхней границе зоны модуляции (при у-а ),несложно получить для определения коэффициентов 7’п и Яп следующие две системы линейных уравнений.

£ =кр єхр(№ра)+

+ 8. ехрнд а), р = -NyN

У- -V Н

'Ро_ ---------------------------------

кг

(17)

(18)

- 6. ехр(-//?0а)-^-, р = - Л\ /V'

Системы линейных уравнений (17), (18) представим в матричном виде:

Н01 • Т = НЙ2К+ехр(—г/?0я)б,

Ии„ ~ ^(в).

(19)

Н02 р, = 8Р-) • ехр(ФРа), р, у = ■- N

Нп .Т = Н12К-^-ехр(-/Дл)5,

Н\\Р] ~ ^РАа\

и- _ с [0р ЛПрЗ ~ир-3 ' ,2

(20)

•ехр(//? «),/>,/ =-N,1V

Из уравнений (19), (20) получим вектора коэф фициентов Рэлея в виде:

Т = 2ехр(-/^0я)(н01 -Ър

И = Н^НП >Т+ехр(-2/Д,я)б

(21)

(22)

где Вр - диагональная матрица с элементами

к20/фр,Р = -К,М

Для рассмотренной задачи дифракции несложно учесть влияние подложки на работу решетки. Подложка обозначена штриховой линией на рис.1. Будем предполагать, что ниже подложки 8=1. Тогда поле в зоне за подложкой имеет вид;

н г {*>У) = Ё Гп ехр(/(а„х - рпу))

(23)

Поле (23) отличается от поля (3) в зоне 3 видом коэффициентов рп. Согласно (9), общее решение системы (5) в зоне (3) имеет вид:

н±Р(у)=с1 ехр(0ру)+Ср ехр{-фру\

£»=с;^ехр^)-

к*е

(24)

-С

і£р_

Рк1е

ехр

{->Ы

р = -М,Ы

Используя условиями непрерывности функций #г (*,>-) и на границе подложка-воздух не-

сложно выразить коэффициенты С* в (24) через коэффициенты Тп в виде:

\с;=Тр-гР

р Р г* р

_Л+ч®,

где

Цр =ехр

(25)

(26)

Подставляя (25) в (24) получим функции ц'Ме'М в явном виде:

н, (у) = ТЛ‘, “Р|[рру)+г, ехр(-‘Д,у))

K^y) = TrTrWw^Ppyh<

к0є

~ГР ехр(-/Д,.у))/> = -Л^

(27)

Согласно (27), при учете подложки в зоне 3 существуют как прошедшие волны, распространяющиеся против оси Оу, так и отраженные от границы подложка-воздух волны, распространяющиеся по оси Оу. Для согласования решения в зоне модуляции с решением (27) в зоне 3, определим граничные условия для системы (5) в виде:

Н\(о) = цт6яу,Н

) = *ХтМт0щ,* (28)

[£"^(о)= Чхпу„А, , хт = Д. /(^о£‘)

Используя условия непрерывности функций Нг(х,у), Ёх(х,у) на нижней границе зоны модуляции, получим

г =С% =С

(29)

При этом общее решение системы (5) принимает имеет вид

ffj)')= + m = -W,.V

(ЗО)

Ё»<у)= І^оо+Ф;оо) я = -лг,лг (31)

J=-N

Далее, используя условия непрерывности функций 7/г(х, у), у) на верхней границе зоны модуляции (при у=а), несложно получить рэ-леевские коэффициенты пропускания Тп и отражения Rn в виде (21), (22), где матрицы Hoi иНц имеют вид

H«rJ =Ч"Е,(а) + Т-в(о),АУ = -Л'.Л' (32)

Решение системы дифференциальных. Уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами (5) для граничного условия Хо, определенного в уравнении (10) или (28), может быть представлено в компактном матричном виде;

Г*рМч

где А™- матрица системи (5). Согласно (5), матрица имеет вид:

= ехр(Аш -у)х0

(33)

А™

ш fNU, F1

^F2, NU

(34)

где NU - нулевые матрицы с размером (2N+l)x(2N+l), a F1 и F2 - матрицы из Фурье коэффициентов;

F1 = с11^ и t-j5

~ ^-(.\'+|)-7^-(.V*I)t 1^1 -j

ij = l2 A'+l,

(35)

Матричное представление (33) позволяет компактно выразить матрицы Н ш и Н ц в (21), (22) через матриц}' системы и граничные условия (10) или (28) в виде:

: = схр(Аш а).ВС

(36)

вс =

Е

DE

(37)

где при расчете без учета влияния подложки матрица ВС составлена из второй половины векторов начальных условий в (10);

((н:»(о)1 (н;у(о)У

где Е - единичная матрица с размером (2Ы+1)х(2Ы+1), а ВЕ - диагональная матрица с элементами -if}J/kQ£fj = -N,^r. При учете влияния

подложки матрица ВС составлена из векторов начальных условий (28);

^Н'-*(0)+1Г-4))'

Ё~-*(о)+Г-/ф)/

/'Н‘*(о)+Н+у(о)'°

ВС =

(38)

E“,v(0)+E'.v(0)/

Для ТЕ-поляризации расчет функции

<0

£,(*>v)= £X(y)exp(/amx)

(39)

в зоне модуляции сводится к решению следующей системы дифференциальных уравнений 2-го порядка [4];

^'А"М-«ХМ+ ІАОКМ-о.

dvl

(40)

n = -N,N

Для поиска общего решения системы (40) необходимо найти 2(2Ы+1) линейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции (е(х)= г.) базисные решения системы (40) имеют вид:

Ер{у)= ±ехр(±фру\ р = - А,А' (41)

Для согласования решения в зоне модуляции с решением (41) в зоне 3. определим 2(2N+1) векторов граничных условий для системы (40) в виде:

£%(<>)= <*„ ду

При этом поле в зоне модуляции имеет вид:

(42)

Ег(х,у) = X Цс"у£’"«/0')+

+ £С+;Е\ЛУ)

У—АГ

ехр(^атх)

Для определения рэлеевских коэффициентов пропускания Гп и отражения Ип в уравнениях (1), (3) запишем условия непрерывности поля Ег(х,у) и производной дЕ1 (х, у)! ду на границах зоны модуляции при у=0 и при у=а. Из условия непрерывности поля и производной при у=0, как и в случае

ТМ поляризации, несложно получить, что Тр = С~,,,

а С+Р = 0. При этом поле в зоне модуляции имеет вид:

Е(х.у)= £ тАу)^катх) (44)

т--А/

Используя условия непрерывности поля и производной на верхней границе зоны несложно получить для определения коэффициентов Тп и 11л следующие две системы линейных уравнений:

Е01 • Т = Е02 К+ехр(- ф0а)5,

Еп„=ЕРЛа), (45)

ео2 р) = Ьр-} • ехр(гДра), р, ] = -М, N

Е,, • Т = Е12 К - /Д , ехр(- 0)5,

а£"д,(а)

Е"» ' ду ■

Е\ 2 А/ = • Фр Р>і = ^

(46)

Из уравнений (45), (46) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:

Т = -2/Д,ехр(-/А<>)(Ем (47)

И = Е^Е0, ■ Т +ехр(- 2/Д,о)б (48)

где О в - диагональная матрица с элементами і0р,Р = -М

Рассмотрим дифракцию на решетке с учетом подложки. Поле в зоне за подложкой имеет вид (3) с

коэффициентами Рп=Р„ , определенными в уравнении (2):

Е.{х.у) = ехР('(а«х - Д..у))

(49)

Общее решение системы (40) в зоне 3 имеет

вид:

Е; (у)=с; ехр(/Др у)+с р ехр(- фру\

р = -1У,А'

(50)

Используя условия непрерывности функции Ег (х, у) и ее производной на границе подложка-воздух, получим функции Е (у) в явном виде:

Ер(у) = Тр(ир ехр{(0ру)+ур ехр(-/Д,у|

где

р = -А', А Рр+Рр

(51)

2А

(-2ф)

ВД,

(52)

Для согласования решения в зоне модуляции с решением (51) в зоне 3, определим граничные условия для системы (40) в виде:

яМо)=а.£,,£-*(о)=гА,

аЕ*„(о) ~

ЗЕ\(0) -

ф, 1РтУ

(53)

Используя условия непрерывности поля и производной на нижней границе зоны модуляции, получим, что как и для случая ТМ-поляризации

т = С% =С~

(54)

■ р - ~ р -р

При этом общее решение системы (40) принимает имеет вид

£„м= Ьф^(у)+Е^(у)\

^ (55)

/л = -А,А

Далее, для определения рэлеевских коэффициентов пропускания Тп и отражения Яп в уравнениях (1)» (49), достаточно воспользоваться условиями непрерывности поля и производной на верхней границе зоны модуляции. Из условий непрерывности несложно получить выражения для векторов коэффициентов Рэлея в виде (47), (48), где матрицы Е0] и Еи, имеют вид:

= Е~а(,а)+£’Р1(а), = -дг.дг

_а£-„(а) дЕ\Ла) .

"р,~ ду

(56)

Запишем решение системы (40) с постоянными коэффициентами для ш-го граничного условия в (42) или в (53) в матричном виде;

ч'п(у)=с^т/а5* .у^е; (о).

+

Л™

ЭЕ.(0)

ду

где

А" = -а^^ +с^, І,} = 1,2^ +1

,0)

(57)

* матрица системы (40). Приведенное матричное представление позволяет представить матрицы Еш и Еи в (47), (48) через матрицу системы (40) и граничные условия (42) или (53) в виде:

(58)

(59)

у --- ч ЯП

Е01 = соб! 'Д ]е+—- РЕ

^ ' >/А

Еи = WA^SІn[7A?Г•a)E +

+COS (7а**"-я)-»е

При расчете без учета подложки матрицы Е и РЕ в (58), (59) являются единичной матрицей и диагональной матрицей с элементами ОЕп = ~\р} у} = -Ы, N, При расчете с учетом подложки матрицы Е и РЕ являются диагональными матрицами с элементами

ВЕп =iPJ(Иj-Y^j = -Ь'^7 > соответственно.

З.Градиентный метод

Рассмотрим обратную задачу синтеза бинарной дифракционной решетки с заданными интенсивностями дифракционных порядков 1п,п = -М,Л/ . соответствующих прошедшим волнам. При расчете решетки ‘без подложки’ под интенсивностями отраженных и прошедших порядков следует понимать следующие нормированные значения коэффициентов Рэлея [4]

' 1 соф) ’ 1 С08^

(60)

пєи і

/„« =кіг^. /I =м2-^т.

” к ■' а*р) ' 1 ТГсовДО

(61)

1/:+і/і=і

паи 2

для ТЕ и ТМ поляризаций, соответственно. Углы 0п>вп в (60), (61) соответствуют направлениям отраженных и прошедших волн в уравнениях (1), (3), а II] и и2 обозначают множества индексов, соответствующих распространяющимся отраженным и прошедшим волнам;

и|й <Ин(*)

<1 (62)

При расчете решеток с учетом подложки интенсивности порядков не зависят от поляризации и определяются по формулам

2 СОь(еп) /Г =|7,|2С08^)

^7 Ъ:+1'.Г=‘Л

СОБ

РГ

Для построения градиентной процедуры расчета профиля дифракционной решетки введем некоторый функционал £(р), характеризующий отличие рассчитанных интенсивностей /„ в дифракционных порядках от требуемых значений

I-

£^(р)= £г(і(р)Д) (64)

где р = (х.,...,х2К)- вектор координат штрихов профиля решетки, К - число штрихов; I, I вектора рассчитанной и требуемой интенсивности в порядках.

Градиентная процедура минимизации функционала еір) состоит в итерационной коррекции вектора р согласно правилу:

Рл+і =Р„-'*'^(Р) (65)

где п - номер итерации, г - шаг градиентного метода,

/^с(р) ^(р)'

У^(р) =

дс

(66)

1К у

- градиент функционала невязки.

Рассмотрим вычисление градиента функционала невязки V£■(]}) для случая ТМ-поляризации. Сог-

ласно (64) частные производные

^(р)

имеют вид:

= 2Яе

^(р) & ^(іД)^(р) _

І--М

Т- ^/(р)

(67)

= 211е

где

^(р) _ (лг»

дх„

3=-М J

Константы ^ в (67)-(69) имеют вид: г С0Б&)

1 4ё С05(^) при расчете решетки без учета подложки _сюф2)

’’ СОБ^)

при расчете решетки с учетом подложки.

(68)

(69)

(70)

ЯГ(р)

Рассмотрим расчет производных —— в (67).

Согласно (21)

К-Ов .Н.^гехр^Д^ (72)

Дифференцируя (72) по переменной хт, получим вектор производных в виде:

от

ох_

^SHM_D эн,,'

V

дх_

ш01 ан„

Для расчета производных —

(73)

матриц

йгт йсп<

Н01 и Ни воспользуемся аналитическим представлением (36) для матриц Н о] и Нц. Согласно (36), мат-

5Н0) дНи рицы — - имеют вид:

дх_ дх_

= J_(exp(A™.a).Bc)=

ох_

dHpi

дхт

ад»

дх_

= аехр(аш ------------ВС

дх„

Согласно (34), матрица

(74)

ад7

дх„

вид:

д\Т

( dFl^

NU. --------

дх_

дх

5F2

\дхт

N11

в (74) имеет

(75)

где NU - нулевые матрицы с размером

3F1 5F2

(2N-H)x(2N+l), а матрицы ---------,----- могут быть

дхт дхт

получены из (35), (7), (8) в виде:

т _ &!.1, iy *г(б—1).:

дх_ дх.

(76)

crF2

-а

их.

-(.v-il+i^-uwi )v

дх_

(77)

-а а ( IV”

к^а

*ехр|^^(/-у>п | /,У = 12ЛГ+1

Таким образом, компоненты вектора градиента функционала (64) имеют вид

^ = 2Re(K,-D„-H„)-1

дх„

Р дх„

Же

дх_

T,L

, т = 1,2 К

где вектор Т определен уравнением (21), вектор L определен уравнением (69), матрицы Нот и Нц аналитически выражаются через матрицу системы (5) и граничные условия (10) или (28) в уравнении (36), а

матрицы производных

ан01 дян

определены в

дхт дхы уравнениях (74)-(77).

Рассмотрим вычисление градиента функционала невязки Уг(р) для случая ТЕ-поляризации. Для ТЕ-случая компоненты вектора градиента для функционала (64) также имеют вид (66)-(68), где вектор Т определен уравнением (47). При этом константы г, в (66) при растете решетки с учетом подложки имеют вид (71), а при расчете решетки без учета подложки определяются по формуле

соф)

дхт

представим уравнение (47) в виде

(Ец - Ър -Ет)т = -2/Д, ехр(-/Д,а)б (80)

Дифференцируя уравнение (80) по переменной хт, получим вектор производных в виде:

^. - ~(е -О -Р V1 х

^ \^11 ир г-01) х

(81)

Для вычисления производных

(79) в (66)

дЕ,

дх_

й£о

дх_

Для расчета производных —01

дх.

Ж., SE„

дх_

от мат-

риц Eoi и Еп воспользуемся аналитическими представлениями (58), (59). Согласно (58), (59) матрицы

ЭЕП, ЗЕ,

дх,

ЗЕл,

имеют вид:

дх =^(C0^"^i"'aJE+B'DEJ =

да

л. ТЕ

-в).(аГ1Г

дх.

дЕ,

8х_

і-і

ЛЗГ.й]е +

+ соь(уіАп:

а -РЕ =

= -| В/2+|со5^л/а^-о

ал7

сгс.

(83)

д _ +--В 2

ал7

БЕ

БШ

где В = ■

Матрица

л/а^яЇ

ЗА”

дх_

(84)

в (82), (83) может быть

получена из (57) в виде: 5А71 &£>

5х_

X ехр

дх.

_ К

г/

■'■у-О-У'К

(85)

У, у = 1,2Л' + 1

ТЕ-поляризации

для

Таким образом, компоненты вектора градиента имеют вид

^ = 2Ке((Е||-П(,-Е„|)1х

В,

5Е01 5ЕИ

дх_ дх.

Т,Ь

(86)

, т = 1,2А'

где вектор Т определен уравнением (47), вектор Ь определен уравнениями (68), (71). (79), матрицы Е0і и Ец аналитически выражаются через матрицу- системы (40) и граничные условия (42) или (53), а мат-

рицы производных

дЕ,,, с'Е,

определены уравнс-

дхт дх„ш ниями (82), (83).

4. Результаты расчетов

Для исследования целесообразности использования оптимизационных процедур синтеза решеток в электромагнитном приближении предварительно был проведен анализ работы решеток, рассчитанных

в приближении Кирхгофа Д1я формирования М-2М+1 равных порядков. Для характеристики работы решеток были использованы значения энергетической эффективности

£(М)= £/,

(87)

у=-лг

и срелне-квадратичной ошибки формирования заданной равной интенсивности порядков

4-1/) = -

1[М,

1

.V / 12

(88)

где '1 = т^й //*л5 - среднее значение.

Для исследования были выбраны 11 и 7-поряд-ковые дифракционные решетки с глубиной штриха а=к и с координатами штрихов (0. 0.06857); (0.20885, 0.44467); (0.5293, 0.72101); (0.72854, 0.86437) и (0, 0.23191); (0.42520; 0.52571). соответственно. Приведенные координаты штрихов являются нормированными на период решетки. Согласно работе 110], в приближении Кирхгофа указанные решетки формируют 11 и 7 порядков с энергетической эффективностью Е(11)=76.6% и Е(7)=78.6% при неравномерности интенсивности порядков менее 1%. В таблице I для указанных решеток приведены значения Е и 5, рассчитанные в электромагнитном приближении при 0=0 в зависимости от отношения периода к длине волны. Значения Е и 6 в таблице 1 приведены парами и соответствуют ТМ и ТЕ поляризациям, соответственно. Расчет интенсивности прошедших порядков проводился по формулам (21), (61) и (47), (60) при е=2.25. Согласно данным таблицы 1, 11 -порядковая решетка фактически не работоспособна при периоде с1<2()л. При этом среднеквадратичная ошибка 6 становится менее 10% только при с1>50/.. Для 7-порядковой решетки ошибка б становится менее 10% уже при (1>20А. Лучшая работа 7-порядковой решетки при малых значениях (1/л объясняется большим размером штрихов В частности для 11-порядковой решетки минимальная ширина штриха Д=0.08с1. а для 7-порядковой решетки А=().1с1. Проведенный расчет наглядно демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток.

Таблица /.

Характеристики работы решеток, рассчитанных в приближении Кирхгофа.

Период решетки {(ИХ) 11 -порядковая решетка 7-порядковая решетка

Е(%)(ТМ/ТЕ) 5(%)(ТМ/ГЕ) Е(%)(ТМ/ТЕ) 1 8(%)(ТМ/ТЕ)

5.5 90.3/82.9 95.9/ 144.0 81.3/79.0 35.8/38.2

10 78.9/77.6 42.7/52.3 76.2/75.9 19.6/22.2

15 75.9/75.9 28.6/34.2 75.9/75.5 13.4/14.1

20 75.4/75.4 22.4/25.1 75.6/75.5 11.4/ 11.7

25 74.9/74.8 18.0/20.4 75.5/75.4 9.1 / 8.4

30 74.6/74.6 16.3/16.9 75.5/75.4 7.8 /7.1

50 74.0/74.0 1 9.9/8.6 75.4/75.4 4.8 /4.1

Разработанный градиентный метод (64)-(69),

(78), (86) был использован для расчета бинарных диэлектрических решеток (6=2,25) с равными порядками без учета подложки. В качестве функционала невязки был использован функционал квадрата ошибки

*<р)= Х^Ж)’ <87>

В таблице 2 приведены результаты расчетов решеток с периодом d=5.5Я, при нормальном падении для ТЕ и ТМ поляризаций. Данные таблицы 2 показывают, что точный электромагнитный расчет дает решетки, существенно отличающиеся от раннее рассмотренных 11 и 7-порядковых решеток, рассчи-

танных в скалярном приближении Кирхгофа. Следует отмстить, что если использование градиентной процедуры в скалярном случае позволяет снизить среднеквадратичную ошибку 5 до 1-4% [8,10], то в электромагнитном приближении градиентная процедура дает, как правило, большую ошибку 5~10%. Интересно отметить, что рассчитанная 5-порядковая решетка, как и в скалярном случае, имеет относительно низкую энергетическую эффективность (10]. В тоже время рассчитанная 11-порядковая решетка всего с 3 штрихами при относительно большой ошибке 5=14% имеет эффективность более

92%.

Таблица 2.

Результаты градиентного расчета решеток в электромагнитном приближении

Число порядков M Число штрихов К Высота штрихов (atk) Координаты профиля Е (%) 8 (%)

ТМ-поляризация

5 2 1.0 (0.0935,0.1823), (0.4884, 0.7862) 76.8 7.4

7 2 0.9 (0.1574,0.3466), (0.5116,0.7093) 86.6 1.0

9 3 1.0 (0.1813,0.3817), (0.4237,0.5937), (0.7324,0.8920) 91.7 11.1

ТЕ-поляризация

7 2 0.9 (0.1137,0.2474), (0.5201,0.9428) . 83.3 11.9

9 3 0.9 (0.0071,0.1783), (0.3281,0.4742), (0.7910,0.9485) 89.3 8.6

11 3 0.85 (0.2757,0.3795), (0.5264,0.6260), (0.7343,0.9638) 92.6 14.3

Благодарность

Работа выполнена при поддержке Российского

фонда фундаментальных исследований (грант № 96-

15-96026)

Литература

1 Vassara A., Taghizaden MR., Turunen J et all. Binary surface-relief gratings for array illumination in digital optics. // Appl.Opt., 31(7), 1992, pp.3320-3336.

2. Morrison R.L., Walker S.L., Cloonan T.J, Beam array

generation and holographic interconnections in a free-space optical network. // Appl.Opt., 32, 1993, pp.2512-2518.

3. Mait J.N. Design of binary phase and multiphase Fourier gratings for array generation. // JOSA A, 7(8), 1990, pp. 1514-1528.

4. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics, v.22, Ed. tty R.Petit, N.Y.: Springer-Verlag, 1980.

5. Gerchberg R.W., Saxton W.O. A practical algorithm for the determination of the phase from image and diffraction plane pictures. // Optik, 35(2), 1972, pp. 237-246.

6. J.R.Fienup Phase retrieval algorithms: a comparison. // Appl.Opt, 21(15), 1982, pp.2758-2769.

7. Doskolovich L.L., Soifer V.A., Alessandretti G., Perlo P., Repetto P. Analytical initial approximation for multiorder binary gratings design. // Pure&Appl.Opt, 3, 1994, pp. 921-930.

8. L.L. Doskolovich, N.L.Kazanskiy, P. Perlo, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct two-dimensional calculation of binary DOEs using a non-binary series expression approach. // Int Jour, of Optoelectronics, 10, 1995, pp.243-249.

9. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation. V.Soifer, V.Kotlyar, L. Doskolovich, London, Taylor&Francis Ltd, 1997.

10. C. Zhou and L. Liu. Numerical study of Dammann array illuminators. // Appl.Opt,, 34, 1995, pp. 5961-5969.

11. L.L. Doskolovich, S.I.Kharitonov, O.I. Petrova, V.A. Soifer. A gradient method for design of multiorder varied-depth binary diffraction gratings. // Optics and Lasers in Egineering, 29,1998, pp.249-259.

12. Y.-L. Kok ‘Design of a binary chirped grating for near-field operation’, // Opt.Eng, 33,1994, pp.3604-609.