Расчет характеристик дрейфа электрона в неоне при постоянном электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ДРЕЙФА ЭЛЕКТРОНА В НЕОНЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

С. А. Майоров

Проанализированы особенности функции распределения электронов по энергии при их дрейфе в одноатомном газе. Рассмотрен случай дрейфа электронов в неоне в типичных условиях экспериментов с пылевыми структурами в плазме. Приведены результаты расчетов энергобаланса электронов и характеристик дрейфа в электрическом поле при напряженностях 0.1 < Е^ < 1000 Тс1 с учетом неупругих столкновений.

Ключевые слова: дрейф электронов в газе, электрон-атомные столкновения.

Диффузия и дрейф электронов в газах исследованы достаточно подробно во многих работах (см., напр., книги [1-3]). Однако в большинстве работ по пылевой плазме (см., напр., обзор [4]) полагается, что электроны в газовом разряде имеют максвелловское распределение с температурой, определяемой из эксперимента.

Хорошо известно, что функция распределения электронов по энергии (ФРЭЭ) в газовом разряде постоянного тока при пониженном давлении газа сильно отличается от распределения Максвелла. Особенно велики отличия в области энергий, в несколько раз превышающих среднюю энергию электронов (температуру).

В настоящей работе рассмотрена модель электрон-атомных столкновений, позволяющая правильно учитывать энергобаланс электронов, в том числе и при неупругих столкновениях. На основе численного эксперимента протабулированы характеристики функции распределения электронов по скоростям, энергетические характеристики дрейфа электронов в постоянном электрическом поле.

Рассчитаны значения скорости дрейфа, средней энергии электронов, характеристической энергии Таунсенда, средние энергии электрона, приводящие к актам возбуждения и ионизации атомов, соотношение между энергопотерями в упругих и неупругих

столкновениях, ионизационный коэффициент Таунсенда. Кроме того, рассмотрена диффузия электронов вдоль и поперек электрического поля и получена зависимость коэффициентов диффузии от времени диффузии. Приведенные данные могут использоваться при анализе экспериментов с пылевой плазмой.

Энергобаланс электронов. При дрейфе в электрическом поле электроны приобретают энергию от электрического поля. За счет джоулева нагрева при дрейфе в постоянном и однородном электрическом поле за единицу времени электрон приобретает в среднем энергию

Яеуу = еЕЖ, (1)

здесь е - заряд электрона, Е - напряженность электрического поля, \У - скорость дрейфа. Рассмотрим случай, при котором энергия электронов значительно превышает энергию атомов. Тогда в стационарном, пространственно-однородном случае энергия, получаемая электроном, теряется в упругих столкновениях с атомами, затрачивается на возбуждение атомных уровней и ионизацию, кроме того, электроны уносят или приобретают энергию при рекомбинации:

= Я еа + д ех Qion + д гес- (2)

Здесь в правой части представлены соответствующие средние энергопотери одного электрона за единицу времени (при рекомбинации электрон может и приобретать энергию, например, при тройной рекомбинации).

Процессы возбуждения, ионизации и рекомбинации в реальных условиях чаще всего не могут быть учтены в рамках пространственно-однородной модели. Тем не менее, примем следующую модель, в которой рассматривается пространственно-однородный стационарный поток электронов:

1) Атомы газа имеют максвелловское распределение по скоростям и не меняют своей температуры из-за столкновений с электронами;

2) Упругие электрон-атомные столкновения происходят как столкновения твердых сфер, т.е. при столкновении происходит изотропное рассеяние в системе центра масс, но сечение столкновения полагается зависящим от энергии их относительного движения;

3) Потери электронов на возбуждение атомных уровней невосполнимы, т.е. полагается, что возбужденные атомы теряют энергию возбуждения в режиме объемного высвечивания, метастабильные атомы диффундируют за границы рассматриваемого объема;

4) При ионизации электронным ударом налетающий на атом электрон теряет энергию, равную сумме энергии ионизации и кинетической энергии второго электрона. После акта ионизации его энергия полагается равной ei = бг —/ —б2. Положим, что энергия первого электрона с равной вероятностью принимает все возможные значения:

б! = (б! - I)R,

(3)

где 0 < Я < 1 - случайное число, энергия второго электрона е2 = (б1 — /)(1 —

5) Процессы рекомбинации электронов и атомов, тушения возбужденных уровней и переноса резонансного излучения не меняют энергии электронов.

1x10

¿,1x10o 'о

llxlO7

<£н

■с •о с

1x10

8 ы

1x10'

0.1

10

100

lxlO3 lxlO4

lxlO3 lxlO4

0.1 1 10 100 1x10 1x10 0.1 1 10 100

Ш, Td E/N, Td

Рис. 1. Характеристики дрейфа электрона в зависимости от напряженности поля: (а) скорость дрейфа; (б) средняя энергия - жирная сплошная кривая, две трети средней энергии (температура) - штрихованная кривая, характеристическая энергия Таунсенда eD±/ц: тонкая сплошная кривая представляет результаты расчета, точки - результаты экспериментов [13]; (в) доля энергопотерь: в упругих столкновениях с атомами - сплошная кривая, затраты на возбуждение атомов - штрихованная кривая, потери на ионизацию - штрих-пунктир.

Рис. 2. Функции распределения электронов по энергии в логарифмическом и линейном масштабе: результаты расчета ФРЭЭ для Е/./V = 41 Тс1 (сплошная), для сравнения также приведены ФРЭЭ Максвелла (мелкая штриховая), Дрювестейна (жирная штриховая) и рапределение, соответствующее линейной зависимости сечения от энергии, с такой; же средней кинетической энергией, как и в расчете.

Результаты расчетов характеристик дрейфа, электрона в неоне. Для расчета характеристик дрейфа электронов в газе использовался метод Монте-Карло, аналогичный тому, который использовался в работах [5-7] для моделирования ион-атомных столкновений. После каждого столкновения проводилось интегрирование уравнения движения электрона в постоянном поле и, в соответствии с известными сечениями упругих и неупругих процессов, определялась вероятность того или иного события.

В таблице приведены результаты расчетов характеристик дрейфа электрона в неоне при температуре газа 293 К и различных приведенных напряженностях электрического ноля Е/Ы = 0.1 — 1000 Тс1. В большей части справочников и книг приводятся лишь ско рость дрейфа электронов и наблюдаемая в экспериментах величина еБ±/р., называемая также характеристической энергией Таунсенда. В случае максвелловского распреде ления характеристическая энергия Таунсенда совпадает с температурой электронов. Но для реальных распределений электронов по энергии соответствия между средней энергией электронов и значением характеристической энергии Таунсенда нет, поэтому, помимо значений еП±/р, в таблице приведены также значения средней энергии элек гро

оо

нов (б) = ^е/(б)с/б. Здесь функция распределения электронов по энергии нормируется о

оо

на единицу 1 — 4л- J /(е)ёе.

о

Таблица

Результаты расчетов методом Монте-Карло характеристик дрейфа электрона б неоне при температуре Та = 293 К для различных приведенных напряженностей _электрического поля Е/М = 0.1 — 1000 Тй_

E/N, Td w, km/s eD±/p, eV eV eV eV Qew Qew Qion Qew Dx

0.1 2.1 0.53 0.62 0 0 1.00 0 0 0.87

0.2 3.6 0.83 0.99 0 0 1.00 0 0 0.82

0.5 3.8 1.6 2.1 0 0 1.00 0 0 0.76

1 5.7 3.3 3.9 0 0 1.00 0 0 0.69

2 7.8 5.2 6.1 0.8 0 0.89 0.11 0 0.62

5 17.6 5.9 7.2 1.6 0.6 0.21 0.79 0.0001 0.78

10 33.5 6.4 7.8 2.6 1.7 0.08 0.91 0.01 0.74

20 60.8 7.2 8.7 3.9 2.7 0.04 0.88 0.08 0.72

50 128 8.8 10.5 6.7 5.3 0.04 0.72 0.24 0.67

100 217 10.3 12.9 10.3 8.8 0.08 0.58 0.34 0.67

200 346 12.7 16.6 15.9 14.2 0.14 0.47 0.39 0.64

500 605 18.8 25.4 29.4 27.2 0.26 0.36 0.38 0.62

1000 869 24.7 35.9 41.5 38.5 0.44 0.26 0.30 0.67

При наличии актов возбуждения атомов и их ионизации проводилось вычисление средней энергии превышения порога соответствующей реакции по всем происшедшим актам возбуждения и ионизации:

00 оо

(б -Ег) = J (е- Ei)f(e)o-ex(e)de/ J f(e)aex(c)de, (4)

Ei Ei

оо оо

(e-I)=-J(e- I)f(e)aiaa(e)de/ J f(t)aioa(t)de. (5)

1 i

Множитель 1/2 в (5) появляется из-за перераспределения энергии между налетающим и выбитым из атома электроном в соответствии с (3). Пятый и шестой столбцы таблицы характеризуют скорость спада ФРЭЭ за порогами возбуждения атомов неона электронным ударом Е\ — 16.7 eV и ионизации I — 21.565 eV.

Энергобаланс электронов характеризуют столбцы 7-9 таблицы, в которых приведены относительные потери энергии электронов в упругих столкновениях, на возбуждение и ионизацию атомов. Величина Q\on!QEW является ионизационным коэффициентом

Рис. 3. Функции распределения электронов по энергии для Е/N — 41,27,16 Тд.

10 20 30 40

Епег§у, еУ

10 20 Епе1£!у, еУ

-1x10 о

■а

=3 -Л

£1x10 Б

(Л

51x10 5

Таунсенда, нормированным на потенциал ионизации и соответствует доле ионизационных потерь.

В экспериментальной работе [8] на основе времяпролетной диагностики впервые мерялся коэффициент продольной диффузии, в отличие от обычно измеряемой поперечной диффузии. Было обнаружено, что коэффициент продольной диффузии значительно меньше, чем коэффициент поперечной диффузии. Этот факт представляется достаточно неожиданным (см. также [1, 9-12]), ведь распределение частиц по скоростям изотропно с очень высокой точностью (до сотых долей процента при низких Е/М). Поэтому в 10 столбце приведено соотношение между коэффициентами продольной и поперечной диффузии.

Обсуждение результатов расчетов. Приведенные в таблице данные позволяют не только получать с помощью интерполяции данные о характеристиках дрейфа при каких-либо конкретных параметрах разряда, но и дают полную картину качественных характеристик дрейфа электронов в электрическом поле. Результаты расчетов представлены также и на рис. 1, где жирными точками приводятся экспериментальные данные [13]. На основании результатов расчетов можно сделать следующие выводы:

1) При напряженности электрического поля Е/ТУ < 2 Тс1 дрейф электрона в неоне определяется только упругими столкновениями с атомами. При значениях Е/И > 0.1 Тс! средняя кинетическая энергия электрона значительно превышает энергию (температуру) атомов, а функция распределения электрона по модулю скорости

имеет вид:

/о(») = Лехр ^ , (6)

здесь т,М - массы электрона и атома, сге; - сечение упругих столкновений, констан-

оо

та А определяется из условия нормировки I = Аж J с2/(с)с/с. При степенной зави-

о

симости сечения от скорости: сге((с) = сг0(с/со)г - интеграл в (6) вычисляется, при <тег(с) = <7о(с/Со)~1!2, когда постоянна частота столкновений, (6) переходит в распределение Максвелла, при постоянном сечении: сге/(с) = <т0, распределение (6) переходит в распределение Дрювестейна [1, 2].

2) При напряженности электрического поля 2 < Е/М < 20 Тс1 дрейф электрона в неоне сопровождается возбуждением резонансных и метастабильных состояний атомов. Средняя кинетическая энергия электрона в этом диапазоне напряженностей поля слабо зависит от него, в то время как скорость дрейфа зависит от поля почти линейно.

3) При напряженности электрического поля 20 < Е/./V < 200 Тс1 дрейф электрона в неоне сопровождается преобладающим влиянием на энергобаланс неупругих столкновений. Но при Е/Ы > 1000 Тс1 доля упругих столкновений с увеличением поля начинает расти и энергопотери за счет упругих столкновений при сильных полях преобладают (при условии правильности экстраполяции упругих сечений на диапазон энергий > 20 эВ).

Распределение электронов по скоростям. В исследуемом диапазоне электрических полей функция распределении электронов по скоростям с очень хорошей точностью изотропна по направлению. Поэтому для анализа достаточно привести функцию распределения по модулю скорости или энергии.

Рассмотрим в качестве примера расчеты с параметрами из экспериментов с плазменно-пылевыми структурами [14]: Е — 2 В/см при давлении газа Р = 20,30,50 Па [Е/Ы = 41, 27, 16 Тс1). На рис. 2 приведены результаты расчета ФРЭЭ для Е/N = 46 Тс1, для сравнения также приведены ФРЭЭ Максвелла и Дрювестейна и распределение, соответствующее линейному росту сечения от энергии: /(б) а б1/2 ехр[— (е/бо)3], с такой же средней кинетической энергией, как и в расчете. На рис. 3 приведены результаты расчетов ФРЭЭ для Е/N = 41, 27,16 Тс1.

Анизотропная диффузия. На рис. 4 для Е/М — 10 Тс1 представлены зависимости коэффициентов продольной и поперечной диффузии от времени усреднения:

ш1«А. (7)

I Т

Рис. 4. Зависимости коэффициентов продольной и поперечной диффузии от времени усреднения: штрихованная кривая - коэффициент продольной диффузии, сплошные - поперечной.

Рис. 5. Зависимости коэффициента диффузии по кинетической энергии от времени усреднения для = 10,20,50,100 Тд.

7x10

^ 6x10 В о

g 5x10 и

и 6

is 4xio 0)

° fi S 3x10 о

1

Time

1 10 of diffusion.

100 lxlO3 lxlO4 Collision number

14

«1x10

.a

о

it! 1-,

olxlO о с о

! 1x10

1 10 100 1x10

Time of diffusion, Collision number

где среднеквадратичное отклонение определяется усреднением

((Ах - \¥т)2

Для диффузионного движения среднеквадратичное отклонение ((Ах — \Ут)2) пропорционально величине г, соответственно, при диффузионном движении частиц коэффициент диффузии не зависит от временного промежутка. Для газов коэффициент диффузии не зависит от времени усреднения, если т где и^ - частота столкновений.

Поэтому, для наглядности, на графике по оси вместо времени приведено количество испытанных столкновений.

На рис. 5 для Е/Ы — 10,20,50,100 Тс! представлены зависимости коэффициента диффузии по кинетической энергии от времени усреднения. Обсуждение и анализ этих зависимостей представляет собой отдельную работу, но поскольку автору не известны подобные расчеты, то они могут быть полезны при анализе энергобаланса и оценке границ применимости подходов на основе диффузионно-дрейфовых моделей.

Таким образом, получены характеристики дрейфа электрона в постоянном электрическом поле в неоне.

[x(t + г) - x(t) - Wrfdt.

(8)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-02-00791-а, 08-02-01172-а), Министерства энергетики и минеральных ресурсов Республики Казахстан (грант КТМ-2) и Нидерландского научного общества NWO (грант 047.017.2006.007).

ЛИТЕРАТУРА

[1] JI. Хаксли, Р. Кромптон, Диффузия и дрейф электронов в газах (Мир, Москва. 1977).

[2] J1. М. Биберман, В. С. Воробьев, И. Т. Якубов, Кинетика неравновесной плазмы (М., Наука, 1982).

[3] Б. М. Смирнов, Физика слабоионизованного газа в задачах с решениями (М., Наука, 1985).

[4] В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак и др., УФН 174, 495 (2004).

[5] С. А. Майоров, Физика плазмы 35(9), 3 (2009).

[6] С. А. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН, N 6, 37 (2006).

[7] С. А. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН, 34, 44 (2007).

[8] Е. В. Wagner, F. J. Davis, and G. S. Hurst, J. Chem. Phys. 47, 3137 (1967).

[9] J. J. Lowke and J. H. Parker, Phys. Rev. 181, 302 (1969).

[10] J. H. Parker and J. J. Lowke, Phys. Rev. 181, 290 (1969).

[11] H. R. Skullerud, Journ. Phys. B, 2, 696 (1969).

[12] J. H. Ingold, Phys. Rev. A 43, 3086 (1991).

[13] A. G. Robertson, Journ. Phys. B: At. Mol. Phys. 5, 648 (1972).

[14] V. E. Fortov, 0. F. Petrov, A. D. Usachev, and A. V. Zobnin, Phys. Rev. E 70, 046415 (2005).

Учреждение Российской академии наук Институт общей физики

им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 10 сентября 2009 г.