CC BY
25
УДК 531.19 • 533.9
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДРЕЙФА ЭЛЕКТРОНОВ В ГАЗОВОМ РАЗРЯДЕ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ
С. А. Майоров
Проанализированы особенности функции распределения электронов по энергии при их дрейфе в неоне для, типичных условий экспериментов с пылевыми структурами в плазме. Приведены результаты расчетов энергобаланса электронов и характеристик дрейфа в электрическом поле при напряженностях 13 < Е/Ы < 42 Тд с учетом неупругих столкновений и влияния, гибели электронов на стенке газоразрядной трубки.
Ключевые слова: дрейф электронов, газовый разряд низкого давления.
Введение. Диффузия и дрейф электронов в газах очень хорошо изучены [1 3], но во многих работах по исследованию пылевой плазмы полагается, что электроны плазмы имеют максвелловское распределение с температурой, определяемой из зондовьтх измерений [4]. В качестве альтернативной модели иногда используется распределение Дрювестейна. которое не приводит к значительному отличию в характеристиках пылевой плазмы (см. недавнюю работу [5]). Но хорошо известно, что распределения Максвелла и Дрювестейна значительно отличаются от реальных распределений электронов по энергии в газовом разряде.
Для конкретности будем рассматривать дрейф электронов в неоне, для которого была выполнена детальная табуляция различных дрейфовых характеристик [6]. При напряженности электрического поля Е/Ы < 2 Тд дрейф электрона в неоне определяется только упругими столкновениями с атомами, а уже при значениях Е/Ы > 0.1 Тд средняя кинетическая энергия электрона значительно превышает энергию (температуру) атомов. Функция распределения электрона по модулю скорости в этом случае (при учете только упругих соударений) имеет вид [1 3]:
ИОФРАН, ул. Вавилова, 38, 119991 Москва, Россия; e-mail: may@fpl.gpi.ru + mayorov_sa@mail.ru.
(1)
здесь m, M - массы электрона и атома, ael - сечение упругих столкновений, константа
ОО
A определяется из условия нормировки 1 = 4п f c2 f (c)dc. В частном случае степенной
о
зависимости сечения от скорости: uel(c) = a0(c/c0)r интеграл в (1) вычисляется. При ael(c) = u0(c/c0)-1/2, когда постоянна частота столкновений, распределение (1) переходит в распределение Максвелла, при постоянном сечении: uel(c) = а0 распределение (1) переходит в распределение Дрювестейна [1 3].
Распределение Дрювестейна обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем распределение Максвелла. Но оба этих распределения (которыми обычно и ограничиваются) не учитывают дрейф электронов вверх по энергетической оси. Распределение Максвелла
f Maxwell(£) ^ £ / ехр( £/Te'), (2)
и распределение Дрювестейна
fDruwestain(£) ^ £ / ехр( £ /£d(3)
лишь качественно верно описывает функцию распределения электронов поскольку именно неупругие процессы определяют характер протекания тока через газоразрядную трубку при самостоятельном разряде.
В режиме стационарного протекания тока через трубку, длина которой много больше ее диаметра, ионы дрейфуют из положительного столба к стенкам трубки и там гибнут. Их восполнение происходит за счет ионизации атомов электронным ударом. Но эволюция электронов в самостоятельном газовом разряде такова: сначала электрон рождается в результате акта ударной ионизации, затем относительно долго дрейфует в электрическом поле, в положительном столбе набирая энергию, а после того, как его энергия превысит потенциальный барьер стенки, почти сразу же на ней гибнет. На качественном уровне этот процесс неплохо описывает “трубопроводная” модель (pipe-line model). В ней полагается, что электроны дрейфуют от первоначально нулевой энергии до энергии, равной потенциалу ионизации. При постоянной частоте столкновений электронов с атомами получаем распределение [3]
fpipe-line(£) = 3[1 - (£/I)]1/2/2I. (4)
Здесь и далее все функции распределения электронов по энергии (ФРЭЭ) для нагляд-
СО
ности будут нормироваться на единицу 1 = 4п f f (e)d£.
0
Постановка задачи. Процессы возбуждения, ионизации и рекомбинации в реальных условиях чаще всего не могут быть учтены в рамках пространственно-однородной
модели. Только размножение лавины до определенной степени можно моделировать, рассматривая пространственно-однородный стационарный поток электронов. Модель самостоятельного газового разряда должна включать в себя механизм убыли электронов. Для процесса дрейфа электронов в положительном столбе можно положить, что число актов рождения и гибели электронов равны. Тогда учет гибели электронов на стенках можно сделать путем введения в алгоритм правила, по которому на каждый акт ионизации из ансамбля электронов убирается один электрон. Наиболее естественным для задачи о дрейфе электрона в положительном столбе будет положить, что покидать ансамбль будет не появляющийся в результате акта ионизации электрон, а самый энергичный в рассматриваемом ансамбле. Средняя энергия электронов, которые покидают систему, может служить хорошей оценкой потенциала стенки. Таким образом, потенциал стенки определяется из условия равенства числа актов ионизации и уходов частиц из системы (число актов гибели на стенке).
При ионизации электронным ударом налетающий на атом электрон теряет энергию, равную сумме энергии ионизации и кинетической энергии второго электрона. После акта ионизации его энергия полагается равной: е\ = £1 — I — е'2. Положим, что энергия первого электрона с равной вероятностью принимает все возможные значения:
£1 = (£1 — 1 )Я) (5)
где 0 < Я < 1 - случайное число, энергия второго электрона £!2 = (£1 — I)(1 — Я).
Влияние соотношения энергий между налетающим и выбитым при ионизации электронным ударом электронами обсуждается в работе [7], где рассмотрено 4 различных модели. Приближение о равновероятном распределении энергий выбрано из-за наилуч-тттего соответствия ситуации газового разряда, где поля невелики.
Для простоты модели положим, что процессы рекомбинации электронов и атомов, тушения возбужденных уровней и переноса резонансного излучения не меняют энергии электронов. При выполнении расчетов также полагалось, что потери электронов на возбуждение атомных уровней невосполнимы, т.е. возбужденные атомы теряют энергию возбуждения в режиме объемного высвечивания, а метастабильньте атомы диффундируют за границы рассматриваемого объема и гибнут на стенках.
Для расчета характеристик дрейфа электронов в газе использовался метод Монте-Карло [6, 8]: после каждого столкновения проводилось интегрирование уравнения движения электрона в постоянном поле и, в соответствии с известными сечениями упругих и неупругих процессов, определялась вероятность того или иного события.
Таблица 1
Результаты расчетов методом Монте-Карло характеристик дрейфа электрона в неоне при температуре Та = 298 К для, различных приведенных напряженностей
электрического поля Е/Ы =13 — 41 Тд
Неон, Е = 2У/еш, 298 К, Е1 = 16 еУ, I = 20.5 еУ
Хо расчета 1 2 3 4 5 6 7 8
Давление, Па 20 30 50 60 20 30 50 60
и то то то то 29.0 27.0 24.8 23.9
Ш, кт/э 63.8 45.7 29.5 25.2 65.3 46.3 29.7 25.3
еБ±/^ 8.5 7.4 6.8 6.7 8.0 7.6 6.8 6.5
(є) 10.1 9.2 8.4 8.1 9.9 9.1 8.2 8.1
а/Ыа 0.040 0.018 0.0047 0.0025 0.028 0.013 0.0035 0.002
^еа/^ЕШ 7.4 7.6 11.1 13.7 24.6 19.2 16.0 16.8
^ех / ^ЕШ 71.2 78.1 82.7 82.4 60.1 70.5 79.2 80.0
^гап/^ЕШ 21.4 14.3 6.2 3.9 14.8 10.3 4.7 4.1
(є — Ег) 6.3 4.9 3.6 3.2 5.5 4.5 3.5 3.1
(є — I) 4.9 3.7 2.5 2.1 3.7 2.8 2.1 1.9
Е/Ы, Тс1 40.6 27.1 16.2 13.5 40.6 27.1 16.2 13.5
Те эксперимент, эВ 4.5 3.8 3.5 7±1
Примечание: Потенциал поверхности трубки - фшаи, В; скорость дрейфа - км/с; средняя энергия - (е), эВ; энергетический коэффициент Таунсенда - вО±/^, эВ; приведенный ионизационный коэффициент Таунсенда - а/Ма в ед. 10“16 см2; доля энерговклада от электрического поля, пошедшая на упругие потери в газ, 100% Qea/QEW', доля на возбуждение, 100% Qex/QEW; ДОЛЯ в ионизацию, 100% Qion/QEW ■
Результаты расчетов характеристик дрейфа электронов в неоне. В работе [9] были выполнены расчеты зарядки пылевых частиц в плазме газового разряда для условий экспериментов [10] и получено очень хорошее совпадение с экспериментальными данными о значениях заряда пылевых частиц (с учетом облака связанных ионов). Поскольку распределения Максвелла и Дрювестейна дают весьма грубое приближение распределения электронов по энергии, то представляет интерес рассмотрение особенностей распределения электронов в плазме газового разряда, важных для моделирования свойств пылевой плазмы. В настоящей работе для условий экспериментов [10, 11] выполнены
расчеты характеристик дрейфа электронов в более детальной модели, описанной выше. и выполнен анализ энергобаланса электронов. В частности, проведен учет влияния стенки газоразрядной трубки на тело и хвост функции распределения.
При дрейфе в электрическом поле электроны приобретают энергию от электрического поля за счет джоулева нагрева за единицу времени электрон приобретает в среднем энергию QEW = еЕШ, здесь е - заряд электрона, Е - напряженность электрического поля, Ж - скорость дрейфа. Энергия, получаемая электроном от электрического поля, теряется им в упругих столкновениях с атомами, затрачивается на возбуждение атомных уровней и ионизацию, кроме того электроны уносят или приобретают энергию при рекомбинации: QEW = Qea + Qex + Qicn + Qrec ~ в правой части представлены соответствующие средние энергопотери одного электрона за единицу времени. При рекомбинации электрон может и приобретать энергию, например, при тройной рекомбинации.
В таблице 1 приведены результаты расчетов характеристик дрейфа электрона в неоне при температуре газа 298 К и различных приведенных напряженностях электрического поля Е/М = 13 - 42 Тд. В большей части справочников и книг приводятся лишь скорость дрейфа электронов и наблюдаемая в экспериментах величина вП±/^, называемая также характеристической энергией Таунсенда. В случае максвелловского распределения характеристическая энергия Таунсенда совпадает с температурой электронов. Но для реальных распределений электронов по энергии соответствия между средней энергией электронов и значением характеристической энергии Таунсенда нет, поэтому, помимо значений вП±/^, в таблице 1 приведены также значения средней энер-
СО
гии электронов (е) = / е/ (е)йе.
0
При наличии актов возбуждения атомов и их ионизации проводилось вычисление средней энергии превышения порога соответствующей реакции по всем происшедшим актам возбуждения и ионизации:
СО СО
(е — Е1) = J(е — Е1)/(е)^ex(е)dе^ J /(е)аех(е)^е, (6)
Ех Ех
СО СО
(е — 1) = J (е — 1)! (е)^icn(е)dе^ ! (е)&мт(е)3£. (7)
I I
Эти показатели характеризуют скорость спада ФРЭЭ за порогами возбуждения и ионизации.
В таблице 1 приведены также относительные потери энергии электронов в упругих столкновениях, на возбуждение и ионизацию атомов. Величина Qion/Яеш является ионизационным коэффициентом Таунсенда, нормированным на потенциал ионизации, и соответствует доле ионизационных потерь. Приведенные в таблице 1 данные дают достаточно полную картину о качественных характеристиках дрейфа электронов в электрическом поле.
Рис. 1: Функция распределения электронов по энергии при дрейфе в неоне при давлении газа Р = 60 Па, Е = 2 В/см (Е/Ы = 13.5 Тд). Жирные точки - результаты моделирования методом Монте-Карло, для сравнения также приведены ФРЭЭ Максвелла (сплошная кривая), Дрювестейна (штрихованная кривая) и трубопроводное распределение (штрихпунктирная кривая) в линейном и логарифмическом масштабах.
Рис. 2: Функция распределения электронов по энергии при дрейфе в неоне при давлении газа Р = 20 Па, Е = 2 В/см (Е/Ы = 40.6 Тд). Жирные точки - результаты моделирования методом Монте-Карло, для сравнения также приведены ФРЭЭ Максвелла (сплошная кривая), Дрювестейна (штрихованная кривая) и трубопроводное распределение (штрихпунктирная кривая).
Для иллюстрации точности различных моделей на рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов 5 и 8 из таблицы 1, которые учитывают конечность потенциала стенки и гибель электронов на ней. Для сравнения приведены также распределения Максвелла и Дрювестейна с такой же средней энергией электронов, и функция распределения электронов - по трубопроводной модели.
На основании результатов расчетов можно сделать следующие выводы:
1) при напряженности электрического поля 10 < Е/Ы < 100 Тд дрейф электрона в неоне сопровождается преобладающим влиянием на энергобаланс неупругих столкно-
В6НИИ]
2) при низком давлении газа влияние корректного учета в энергобалансе гибели электронов на стенке дает весьма существенный вклад. В основном это относится к доле энергии, затраченной на нагрев газа и ионизацию. Отличия в теле функций распределения также весьма значительны;
3) следует также отметить, что помимо хорошо известного факта сильного влияния неупругих процессов возбуждения и ионизации на хвост функции распределения, имеется весьма значительное влияние неупругих процессов на функцию распределения электронов в области субтеловых энергий. Распределение электронов в области е <<Те сильно отличается от распределений Максвелла и Дрювестейна. что связано с наличием у электрона при его рождении довольно значительной кинетической энергии. При акте возбуждения электрон имеет энергию (е — Е\) = 3 — 6 эВ, а при акте ионизации -(е — I)/2 = 1 — 2.5 эВ;
4) для рассмотренных параметров разряда энергозатраты на возбуждение в три-четьтре раза превышают затраты на ионизацию.
Заключение. Полученные результаты расчетов показывают основные закономерности в формировании функции распределения электронов по энергии и влияние на энергобаланс различных процессов. Соответственно, эти результаты могут быть полезны при анализе экспериментальных данных, в частности, экспериментов с пылевой плазмой в разряде постоянного тока.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-02-00791-а. 08-02-01172-а) и Нидерландского научного общества Х\¥0 (грант 047.017.2006.007).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Хаксли. Р. Кромптон. Диффузия и дрейф электронов в газах (М.. Мир. 1977).
[2] Л. М. Биберман. В. С. Воробьев. И. Т. Якубов. Кинетика неравновесной плазмы (М., Наука, 1982).
[3] Л. Д. Цендин, УФН 180, 139 (2010).
[4] В. Е. Фортов. А. Г. Храпак. С. А. Храпак. В. И. Молотков. О. Ф. Петров. УФН 174, 495 (2004).
[5] S. A. Khrapak, Pliys. Plasm. 70, 046415 (2010).
[6] С. А. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН, 36(10), 37 (2009).
[7] Y. Tzeng, Е. Е. Kunhardt, Physical Review А 34, 2148 (1986).
[8] S. Dujko, R. D. White and Z. Lj. Petrovic, J. Phys. D: Appl. Phys. 41, 245205 (2008).
[9] С. А. Майоров, А. Д. Усачев, А. С. Зобнин, О. Ф. Петров, В. Е. Фортов, Тезисы докладов 34 Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 12-16 февраля 2007, с. 251; S. A. Maiorov, A. D. Usachev, А. V. Zobnin, О. F. Petrov, V. Е. Fortov “Effective charge of dust grain in dc plasma” 34th European physical Society Plasma Physics Conference, Warsaw, Poland, 2-6 July 2007.
[10] V. E. Fortov, O. F. Petrov, A. D. Usachev, and A. V. Zobnin, Phys. Rev. E 70, 046415 (2004).
[11] A. D. Usachev, A. V. Zobnin, V. E. Fortov, et al., Phys. Rev. Lett. 102, 045001 (2009).
Поступила в редакцию 13 апреля 2011 г.
