CC BY
34
УДК 538.9; 537.874
РАСЧЕТ g-ФАКТОРА В МАЛЫХ КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ
А.М. Мандель1, В. Б. Ошурко1'2, С. Г. Веселко1, К. Г. Соломахо, С.М. Першин2, А. А. Шарц1
Показано, что эффективное значение фактора магнитного расщепления электронов, локализованных на ге-т,ерост,рукт,урах типа малых квантовых точек, всегда формируется в виде разности двух величин. Первая из них относится к материалу самой точки и критически зависит от ее размеров и формы, вторая - к материалу барьера (окружающей матрицы), причем зависимость от последнего не исчезает ни при каких размерах квантовой точки. Известная (k, р)-теория Кейна, определяющая перенормировку массы и g-фактора электрона в объемных полупроводниках, модифицирована для малых квантовых точек с "недостроенной" зонной структурой. Конкретные расчеты энергии основного состояния электрона и его g-фактора проведены для ковариантной ге-т,ерост,рукт,уры InAs/AlSb, не локализующей дырки и потому способной формировать чистые одноэлектронные состояния (прототипы твердотельных кубитов).
Ключевые слова: малые квантовые точки, перенормировка, фактор Ланде, (k,p)-теория Кейна, размерное квантование, кубиты.
Проблемы квантовой обработки информации на базе твердотельных гетерострук-тур [1] с необходимостью требуют четкого ответа на вопрос - как формируется фактор магнитного расщепления Ланде в квантовых точках малых (порядка нескольких нм) размеров. Наиболее перспективны в этом смысле квантовые точки, названные в обзоре [2] идеальными - их спектр содержит ровно одно связанное состояние, так что они являются "чистыми носителями" спиновой переменной. Однако до полной ясности в представлении о природе g-фактора упомянутых гетероструктур пока далеко. Напри-
1 МГТУ "СТАНКИН", Россия, Москва, Вадковский пер., 3А; e-mail arkadimandel@mail.ru.
2 НЦВИ ИОФАН, Россия, Москва, Магистральная 5-я, д. 11.
мер, в работе [3] авторы задаются вопросом - как эффективное значение g-фактора сферических квантовых точек InAs/GaAs может быть положительным (что подтверждается экспериментом), если оба объемных значения - и в материале точки InAs (din = -14.5), и в материале барьера GaAs (gex = -0.45) отрицательны? Ясно, что никакой метод квантово-механического усреднения этого объяснить не может. Авторы [3] даже утверждают, что это - проявление ранее неизвестного эффекта (phenomenon of angular-momentum quenching). В более поздней работе [4] с участием тех же авторов, где рассматриваются цилиндрические квантовые точки InAs/InP (gex = 1.26), эффективные значения g-фактора отрицательны даже для самых маленьких из рассмотренных точек. К сожалению, авторы даже не ставят самый важный, на наш взгляд, вопрос: чем обусловлены столь драматические различия с результатами предыдущей работы -составом материала барьера, формой квантовых точек или иными причинами?
По нашему мнению, ситуация с g-фактором обстоит следующим образом1. Пусть E - энергия связи (единственного) локализованного на квантовой точке электрона, отсчитываемая, как обычно в таких случаях, от дна зоны проводимости материала барьера. В магнитном поле B абсолютное значение этого уровня трансформируется следующим образом [5-8]
Здесь индекс "+" соответствует ориентации спина вдоль магнитного поля, "-'', соответственно, против, первый член в скобках соответствует минимуму подзоны Ландау, формирующейся на каждом изолированном уровне в магнитном поле (первый уровень Ландау), а второй - энергии взаимодействия спина с магнитным полем (зееманово расщепление), т - масса свободного электрона, - магнетон Бора, т*п(Я) и дгП(Я) -соответственно эффективная масса и фактор Ланде в материале квантовой точки. Везде в дальнейшем мы будем рассматривать только сферические квантовые точки. Чтобы подчеркнуть отличие их параметров от объемных значений, мы явно указываем в этих обозначениях аргумент Я - радиус квантовой точки.
хВезде в дальнейшем, во избежание дополнительной громоздкости, эффекты типа влияния на д-фактор граничных механических напряжений, его тензорную природу, нелинейную зависимость от магнитного поля и т.п. мы рассматривать не будем. Каждый из упомянутых эффектов несомненно заслуживает отдельного исследования.
(1)
Однако не следует забывать, что энергия дна зоны проводимости матрицы, от которой отсчитывается энергия связи, также трансформируется в магнитном поле по закону
Е,±(В) = цвВ (m- ± ^) , (2)
где m*x и gex - соответственно объемные значения эффективной массы и фактора Лан-де в материале барьера. Таким образом, эффективное значение фактора Ланде для локализованного на квантовой точке электрона
ДЕ- - ДЕ+ = д>БВ, (3)
причем знак выбран таким образом, чтобы более устойчивое состояние с большей энергией связи соответствовало при положительном д* направлению спина против магнитного поля, как для свободных электронов. В результате из (1)-(3) получаем определение эффективного значения g-фактора в квантовых точках
д* = gin(R) - gex. (4)
Отметим принципиальный момент - даже в пределе больших квантовых точек, когда "внутреннее" значение фактора Ланде gin должно стремиться к его значению в соответствующей среде, эффективный g*-фактор не перестает зависеть от значения gex в материале барьера. Этим наше определение принципиально отличается от целого ряда работ (напр., [1, 3] и т.д.). Наше определение сразу и автоматически разрешает мнимый парадокс результатов работ [3] и [4], о котором шла речь выше - отрицательное значение gex, как в GaAs, "работает" на положительное значение g*, в то время как положительное значение gex в InP уменьшает эффективное значение g*. Для объяснения этого нет необходимости придумывать новые эффекты типа "angular-momentum quenching" [3].
Вторая задача, без решения которой невозможно рассчитать g* - определение внутренних характеристик малой квантовой точки gin(R) и m*n(R), когда расстояния между уровнями в ней сравнимы с шириной запрещенной зоны. Фактически - это частный случай общей проблемы размерного квантования - каков критерий того, что квантовая точка стала "кусочком" соответствующей среды.
Общепринято, что в объемных полупроводниках состава А3В5 перенормировка массы и фактора Ланде правильно описывается известной (к,р)-теорией Кейна [9, 10]. Суть ее в том, что характеристики S-электрона в окрестности дна зоны проводимости перенормируются из-за смешивания с дырочными P-состояниями на вершине валентной зоны в сочетании со спин-орбитальным взаимодействием. Ясно, что в такой ситуации
решающим фактором, влияющим на величину перенормированных параметров, становится ширина запрещенной зоны. В самом деле, д меняется в довольно широких пределах от "свободного" значения 2 в широкозонных проводниках до весьма больших отрицательных значений в узкозонных материалах.
Не имея возможности в этой короткой заметке подробно описывать мотивировочную часть, приведем лишь результат нашей трансформации теории Кейна применительно к малым квантовым точкам с "недостроенной" зонной структурой. Суть этой трансформации можно выразить формулой
ед ^ ед + ДЕс - Е, (5)
где £д - ширина запрещенной зоны в материале точки, ДЕС - скачок дна зоны проводимости на гетерогранице (он, естественно, играет роль глубины потенциальной ямы), Е -энергия основного состояния электрона, локализованного на точке. Другими словами, расстояние по энергетической шкале между вершиной валентной зоны и минимумом зоны проводимости в объемном полупроводнике £д мы заменяем на расстояние между той же вершиной и основным состоянием электрона, локализованного на квантовой точке. Поскольку в дальнейшем мы будем вести расчеты для ковариантной гетероструктуры типа ¡пАя/А^Ь, трансформация на точке дырочных уровней матрицы нас беспокоить не должна. В результате для внутренних перенормированных значений эффективной массы и д-фактора получаем
1 = 1 Ер[3(£д + ДЕС - Е) + 2Д]
т*п(Я) т 3(£д + ДЕс - Е)(£д + ДЕС - Е + Д), ( )
2Е Д
дт(Я) = 2 - З(£д + ДЕс - Е)(£д + ДЕс - Е + Д), (7)
где Ер - энергия "перемешивания" Кейна, Д - энергия спин-орбитального взаимодействия в материале точки. Легко видеть, что эти выражения переходят в обычные формулы Кейна в пределе Е ^ ДЕС. Другими словами, критерий перехода перенормированных параметров электрона к своим объемным значениям в нашей модели следующий: щель между уровнями локализованных на точке электронов становится много меньше ширины запрещенной зоны.
Таким образом, чтобы замкнуть задачу расчета эффективного д*-фактора, осталось определить энергию основного состояния локализованного на сферической точке электрона с учетом перенормировки его характеристик (6), (7). Кроме того, в плане проблемы квантовой обработки информации надо определить диапазон размеров квантовых
точек с только одним связанным уровнем. Эта задача во внешнем магнитном поле -правда, для постоянных значений д^п и т*га - решена, например, в наших работах [7, 8], а во внешнем электрическом поле - в [11]. В пределе небольших магнитных полей энергию уровня дает условие непрерывности логарифмической производной волновой функции связанного электрона на гетерогранице (см. также [12])
—
у/2тП(Я)[ДЕс - Е]-
т*ехЕ
т*п(К)[^Ес - Е]■
(8)
Численные расчеты в рамках предлагаемой модели (4), (6), (7), (8) выполнены для ковариантной гетероструктуры 1пАз/А18Ь. Она наиболее подходит, насколько мы можем судить, для создания идеальных квантовых точек. Все численные данные о ее характеристиках (ДЕс, £д, Д, объемные значения т*ех, т*п) взяты из обзора [13]. Для сравнения экспериментальные данные по фактору Ланде в той же гетероструктуре -правда, в геометрии квантовых ям - приведены в работе [14].
Рис. 1: Энергия связи Е (эВ) единственного электронного уровня, локализованного на идеальной квантовой точке InAs/AlSb, в зависимости от ее радиуса — (нм) в диапазоне идеальности точки.
Рис. 1 иллюстрирует зависимость энергии связи (в эВ) единственного уровня для электрона, локализованного на сферической квантовой точке радиуса — (в нм), во всем диапазоне идеальности, с учетом перенормировки массы электрона. Первый связанный
уровень появляется в квантовой точке при критическом значении радиуса
Rcr = пП/^2m*in(Rcr)Д£С ~ 0.61 нм
(первый нуль ctg в левой части выражения (8)), а второй - при R = 3Rcr ~ 1.83 нм -соответственно второй нуль ctg в (8) и верхний предел диапазона идеальности. Видно, что энергия связи с ростом радиуса точки растет довольно быстро.
-0.8 -1
-1.2
-1.4
g*
-1.6
-1.8 -2
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 R, нм
Рис. 2: Зависимость эффективного значения фактора магнитного расщепления gi, локализованного на идеальной квантовой точке InAs/AlSb, от радиуса точки R (нм) в диапазоне идеальности точки.
На рис. 2 показана зависимость эффективного значения фактора Ланде от радиуса квантовой точки в том же диапазоне идеальности. Он сразу начинается с отрицательных значений, что, как легко видеть из (4), обусловлено прежде всего значением gex = 1.9 в материале барьера. В пределах рассматриваемого диапазона g-фактор меняется почти в три раза. Своего объемного значения g ^^ -14.8-1.9 = -16.7 он достигает, как показывают расчеты, при R ~ 10 нм. Ясно, что такой значительный интервал изменений наряду с чувствительностью к внешним воздействиям делает фактор Ланде довольно удобным объектом для внешнего управления спиновой степенью свободы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 17-07-00380 и Министерства образования и науки Российской Федерации (грант № 3.6634.2017/6.7).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Е. Л. Ивченко, УФН 128(8), 869 (2012).
[2] В. М. Леденцов, В. М. Устинов, В. А. Щукин и др., ФТП 32(4), 385 (1998).
[3] C. E. Pryor, M. E. Flatte, Phys. Rev. Lett. 96(20.01), 026804 (2006).
[4] J. Van Bree, A. Yu. Silov, P. M. Koenraad, et al., Phys. Rev. B 85, 165323 (2012).
[5] В. Н. Родионов, Г. А. Кравцова, А. М. Мандель, Письма в ЖЭТФ 78(4), 253 (2003).
[6] В. Н. Родионов, Г. А. Кравцова, А. М. Мандель, ТМФ 164(1), 157 (2010).
[7] С. Н. Григорьев, А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, Г. И. Соломахо, Оптический журнал 82(5), 3 (2015).
[8] А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, Г. И. Соломахо, А. А. Шарц, РЭ 60(10), 1073 (2015).
[9] E. O. Kane, J. Phys. Solids, No. 1, 249 (1957).
[10] L. M. Roth, B. Lax, S. Zwerling, Phys. Rev. 114, 90 (1959).
[11] А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, Квантовая электроника 48(1), 49 (2018).
[12] А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (М., Наука, 1966).
[13] I. Vurgaftman, J. R. Meyer, Ram-Mohan, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001).
[14] В. Я. Алешкин, В. И. Гавриленко, А. В. Иконников и др., ФТП 42(7), 846 (2008).
Поступила в редакцию 26 июля 2018 г.
