CC BY
40
РАСЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗОТРОПНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ В ОДНОРОДНОЙ БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ
Шевченко Светлана Сергеевна
канд. физ.-мат. наук, доцент, филиал Военной Академии Министерства
обороны, РФ, г. Череповец E-mail: sveta-shev@yandex.ru Костин Иван Владимирович канд. физ.-мат. наук, доцент, филиал Военной Академии Министерства
обороны, РФ, г. Череповец E-mail: ivk20062006@yandex.ru Нилова Людмила Ивановна заведующий кафедрой физики, филиал Военной Академии Министерства
обороны, РФ, г. Череповец E-mail: samurasam@rambler.ru Андреева Наталья Владимировна доцент кафедры физики, филиал Военной Академии Министерства обороны,
РФ, г. Череповец E-mail: samurasam@rambler.ru
ISOTROPIC RADIATOR PHYSICAL CHARACTERISTICS CALCULATION IN HOMOGENEOUS UNBOUNDED MEDIUM
Svetlana Shevchenko
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of branch of Military Diplomatic Academy of the Ministry of Defence, Russia Cherepovets
Ivan Kostin
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of branch of Military Diplomatic Academy of the Ministry of Defence, Russia Cherepovets
Lyudmila Nilova
head of the chair of Physics of branch of Military Diplomatic Academy of the
Ministry of Defence, Russia Cherepovets
Natalia Andreeva
associate professor of the chair of Physics of branch of Military Diplomatic Academy
of the Ministry of Defence, Russia Cherepovets
АННОТАЦИЯ
Рассчитываются некоторые физические характеристики и параметры изотропного оптического излучателя в однородной безграничной диэлектрической и проводящей средах, в частности амплитуда напряженности электрического поля направленной антенны. Исследована зависимость диэлектрической проницаемости от частоты колебания внешнего поля. Рассчитана глубина проникновения волны в среду.
ABSTRACT
There are calculated some physical characteristics and parameters of an isotropic optical radiator in homogeneous unbounded dielectric and conducting mediums, namely the amplitude of electric field intensity of a guided antenna. The dependence of capacitivity from vibration frequency of external field has been studied. The depth of wave penetration into medium has been calculated.
Ключевые слова: однородная безграничная среда, изотропный излучатель, антенна, свободное пространство, мощность излучения
Keywords: homogeneous unbounded medium; isotropic radiator; antenna; free space; radiated power.
Однородная безграничная среда может представлять собой свободное пространство, диэлектрическую среду, среду с проводимостью, а также среду со свободными зарядами.
Свободное пространство представляет собой безграничную среду, у которой диэлектрическая и магнитная проницаемость равны единице, удельная проводимость равна нулю, поглощение в среде отсутствует. Реально таких сред не существует, однако, выражения, описывающие условия распространения электромагнитных волн, являются фундаментальными. Распространение электромагнитных волн в более сложных случаях характеризуется теми же выражениями с внесением в них определенных поправок.
Пусть источником электромагнитных волн является изотропный излучатель, т. е. антенна, излучающая одинаково во всех направления. Реальные антенны излучают неизотропно, но направленность реальных антенн можно учесть с помощью так называемого коэффициента направленного действия (КНД) D. Под КНД антенны понимается число, представляющее отношение квадрата модуля напряженности электрического поля, создаваемого антенной в направлении максимального излучения, к среднему (по всем направлениям) значению квадрата напряженности этого поля
D _ |Emax\
E2
(1)
ср
Например, элементарный диполь — это слабо направленная антенна с КНД 1,5. Как известно, характеристикой движения энергии в волне является
вектор Пойнтинга S _ EH, где E _ Em cos(wt - ky), H _ Hm cos(wt - ky). Среднее значение этого вектора
^р _ 2 EmHm .
(2)
На расстоянии г от излучателя мощность излучения равна
1
P _ ^EmHm • 4РГ2 _ 2pEmHmr
2
(3)
Учитывая, что в электромагнитной волне в любой момент времени плотности энергии электрического и магнитного полей равны найдем связь между амплитудными значениями Ет и Нт:
eoEm _ moHm
2
2
Em _
V
mo
H
(4)
Подставив в (4) значения электрической и магнитной постоянных,
получим Zm
E
m
Hm
o
_ 120p — волновое сопротивление свободного
пространства.
o
Тогда
Em = 120^
(5)
Выразим из (5) значение н., подставим его в (2)
или, из (3) получим
Откуда
Б2
S = ср 240р
(6)
2
Р = Бтг2. 60
(7)
Б
Т6оР
(8)
г
С учетом КНД получаем, что амплитуда напряженности электрического поля направленной антенны равна
Б. = ^РБ (9)
г
Выражение (9) справедливо для антенн любого типа, если поставить в него соответствующее значение коэффициента направленного действия Б.
Примером свободного пространства может быть космическое пространство в пределах Солнечной системы. Концентрация частиц на таких
расстояниях (п = 1 -3 см-3) не изменяет существенно его свойства. В то же
время межзвездное пространство, имеющее концентрацию атомов и молекул на порядок меньше, не может оставаться свободным ввиду больших расстояний, которые проходят электромагнитные волны и, следовательно, взаимодействуют с большим количеством вещества.
I. Пусть электромагнитные волны распространяются в безграничной среде, характеризуемой е, т и о. Связь этих характеристик дается соотношениями:
Б = е0еЁ; В = т>ЦЙ; ЗЛр = оЁ. (10)
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме
юШ = -§, (11)
3D
rotH = j^ + —. (12)
Уравнения электромагнитной волны для компонент Ё и H запишутся
E = Е cos (wt - ky),
r ( * v\ (13)
H = Hm cos (wt - ky). В комплексной форме (13) выглядят следующим образом:
Ё = Ё ei(fflt-ky) = Е e-iky • eiwt = Ё eiwt
m m m '
где: Em = Eme-iky — комплексная амплитуда колебаний вектора Ё в электромагнитной волне.
Аналогично, для вектора H
H = Йте1И-ку) = Йте-1ку • eifflt = Йте1Ю,
где: Йт — комплексная амплитуда колебаний вектора Й в электромагнитной волне.
——»
Плотность тока проводимости по закону Ома равна = оБ. С учетом вышеизложенного уравнения (11) будет
Эй Э1
гош=-т0т—=-т0ц1юн. (14)
Аналогично, уравнение (12)
——* —* . . —* го1Й = -8081юБ + оБ = (8081ю + о) Б. (15)
Таким образом, в правой части (15) находится вектор, состоящий из двух частей. Для того чтобы записать (15) формально аналогично (14), введем так называемую комплексную диэлектрическую проницаемость.
о
1Ю
' 10Л
1Ю808 + о)Б = 1юБ 808 + — = 1юБ 808--= 1ю8 'Б, (16)
/
v
ю
1о
8 = 808--, (17)
ю
где: 8 — комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Если о = 0, то 8' = 808, т. е. среда является чисто диэлектрической. При прохождении электромагнитной волны через диэлектрик происходит взаимодействие электрической и магнитной компонент Б и Й с электронами, входящими в состав молекул (атомов) вещества. Такие электроны начинают
колебаться с частотой вынуждающей силы, т. е. с частотой ю электромагнитного поля.
ю
Рисунок 1. Зависимость амплитуды колебаний от частоты
электромагнитного поля
Амплитуда колебаний зависит от соотношения между ю и юо, где юо — собственная частота электронного осциллятора (рис. 1). В результате диэлектрическая проницаемость среды становится функцией частоты ю.
Поскольку, согласно теории Максвелла и =
7ё|Т
то это означает, что и
п = у[щ тоже зависит от частоты колебаний внешнего электромагнитного поля ю. Показатель преломления данной волны оказывается зависящим от частоты падающего света, и длина волны в среде
1
и с
1
ср
у уп п
(18)
где: 1 о — длина волны в вакууме.
С ростом частоты колебаний внешнего поля ю диэлектрическая проницаемость уменьшается. Это объясняется тем, что с увеличением ю молекулярные диполи, например, полярные молекулы воды, не успевают ориентироваться в направлении электрического поля. Отметим, что при распространении электромагнитных волн разница между диспергирующими
с
средами и средами без дисперсии имеет смысл лишь в отношении немонохроматических волн (1 Ф const).
Распространение волны в диэлектрике описывается уравнением
E _ Emei(wt-ky) _ Eme-iky • eiwt (19)
2р ю г
Для диэлектрика волновое число к = — = —-\/е .
1 с
Тогда комплексную амплитуду напряженности электрического поля можно представить
.ю Ir -i— Vsy
Em _ Eme c , (20)
где: у — расстояние, пройденное волной в данной среде. II. Пусть волна распространяется в проводящей среде.
Рассмотрим, как меняется уравнение плоской волны в среде с потерями, где о^ 0. Введение комплексной диэлектрической проницаемости среды (17), позволяет получить выводы, относящиеся к распространению волн в проводящей среде из соответствующих формул для диэлектрика путем замены в них вещественной диэлектрической проницаемости среды е0е на
комплексное значение диэлектрической проницаемости е = е0е--. При этом
ю
квадрат постоянной распространения (волнового числа) вместо к запишем к ':
2p ю I— I-
k _—_-_ю^еоЧтот 1 u
1 '2 2 /2 ( is ^ 2 • /"Ч1\
k _wm0me _wm0m e0e— _w£0em0m- iowm0m. (21)
0^
v w
Постоянная распространения
k' ^80т08цю2 - юю|0|1ю . (22)
Так как корень квадратный из комплексного числа напрямую не вычисляется, сделаем следующие преобразования. Запишем
kf = k - is. (23)
Здесь k — действительная часть постоянной распространения, s — мнимая часть.
Уравнение (23) возводим в квадрат и приравниваем к значению k12 из (21):
k '2 = ^ - + = ^ - - s2 - s2 + k2 - 2ksi = ю2е0е|0т - (24)
Приравнивая действительные и мнимые части (24), находим
k - э = ю £0£|0| = a (25)
2ks = ою|0| = Ь (26)
Введя обозначения а и Ь, решаем систему относительно э2 и ^ Из (25) находим к k = ±л/э2 + а , и подставляем в (26)
±2^э2 + а = Ь.
Возведем в квадрат обе части:
4э2 (а + э2 ) = Ь2; 4э4 + 4э2а - Ь2 = 0. (27)
<
Получили биквадратное уравнение; вводим новую переменную х = б2 ; х2 = б4. Тогда 4х2 + 4ах - Ь2 = 0,
2 Ь2 .
х2 + ах--= 0.
4
Решаем полученное уравнение:
2
х = б
а
=а = 2
-а ±
2 V
22
а Ь2 а а Ь2
— + —= — ±-„ 1 + ^
4 4 2 2
а
±"+а^-1
с
2
\
1+^ -'
v " у
1 ±.а+ь2
- а у
(28)
(б2 не может быть отрицательным). Подставляя (28) в (25) в итоге имеем
с
к2 = б2 + а =
2
Л
1+ь2+1 v- а у
(29)
тт ^ Ь оют0т о Найдем — =- --
а ю 808Ц0т 808Ю
Тогда
Ь
2 ' о Л
а
v 808ю у
(30)
с
б2=а
2
2
Л
'+$ -1
v ' у
ю 808Ц0т
2
1 +
Г \
о
v 808ю у
-1
(31)
2
2
с
к2 =
.2
л
1 + Ь +1
v " у
ю е0ет0т
2
1 +
г \ о
v е0ею у
+1
(32)
С учетом полученных выражений, запишем решение волнового уравнения для плоской одномерной волны, распространяющейся в проводящей среде в направлении оси оу. к ' представим в виде (23):
Е = Е еЧ®1"кУ) = Е . е-1к'у = Е _ "¡(к-18)у
т т т
= Е е;®1 ■ е-;кУ ■ е;2'У = Е е;(и1 -ку) ■ е-'У.
(33)
Экспонента е Бу говорит об уменьшении амплитуды Ет при
1 -'1 1
распространении волны в среде. На пути 8 = —, е б =— — амплитуда волны
б е
затухает в е раз. Эта величина определяет глубину проникновения волны в проводящую среду. Найдем б из (31)
б =
2
г л2 о
1+
v еоею у
-1
(34)
Для всех разумных значений частот ю и проводимостей о отношение
о
£0£Ю
>> 1.
Например, для морской воды о»4
ю = » 2 ■ 104; тогда = 2 ■ 105 >> 1. >/е1 е0ею
1
Ом ■ м
е = 80, 1 = 104
м
Пренебрегая единицами в (34), получаем
2
V
— е0ет0т а
2
£0£->
2
(35)
Б
Глубина проникновения, на которой амплитуда волны уменьшается в е раз, равна
5 = 1 =
'V
-О—. (36)
Таким образом, волна, попав в проводящую среду, частично или полностью поглощается и характеризует поглощение мнимая часть б комплексного коэффициента распространения к', связанная с удельной проводимостью.
Глубина проникновения волны в проводящую среду зависит от частоты волны и проводимости среды. Например, глубина проникновения световых волн в металл имеет порядок 10-9 м. Энергия волны переходит в джоуль-ленцево тепло. В средах с достаточной проводимостью для целей радиосвязи следует использовать радиоволны с большей длиной волны. Например, связь с подводными лодками, находящимися в морской воде, осуществляется на
длинах волн 1»10-4 м, если удельная проводимость морской воды а » 4—1—,
Ом • м
то из (36) следует, что 5 »10м . Список литературы:
1. Грудинская Г.П. Распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1975.
2. Марков Г.Т., Петров Б.В., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. М.: Сов. радио, 1969.
Б
3. Татур Т.А Основы теории электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1989.
