Расчет элементов конструкций при заданной надежности и нормальном распределении нагрузки и несущей способности Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.042.1

А.Г. Тамразян

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ПРИ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ И НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

Точное и адекватное описание внешних воздействий и несущей способности материала конструкции требует привлечения методов теории вероятностей и такой характеристики конструкции, как надежность, мерой которой является вероятность безотказной работы.

Анализ расчета конструкций по заданной надежности показывает, что изменчивость несущей способности влияет на относительные размеры поперечного сечения сильнее, чем изменчивость нагрузок.

Ключевые слова: заданная надежность, нормальное распределение, нагрузка, несущая способность, коэффициенты вариации, железобетонная плита, срок службы, поперечные размеры.

При расчете конструкций с заранее заданной надежностью предполагается, что внешнее воздействие может быть адекватно описано в рамках теории случайных величин.

Как известно, для упругих систем зависимость максимальных напряжений $ от нагрузок в общем виде можно записать следующим образом:

где коэффициент К зависит от поперечных сечений элемента конструкции.

Пусть на конструкцию действует случайная нагрузка q , закон распределения которой /2 ^) известен. Несущая способность материала конструкции также случайна, и закон распределения ее /2 (Я) также известен [1]. Требуется определить размеры поперечного сечения конструкции из условия равенства ее заданной надежности.

Под мерой надежности будем понимать вероятность того, что максимальное напряжение, возникающее под действием нагрузки, не превысит несущей способности

где Н — надежность; Р — вероятность события; Я — несущая способность; $ — действующее максимальное напряжение.

Если закон распределения нагрузки известен, то, пользуясь правилами нахождения закона распределения функций случайного аргумента [3], можно найти закон распределения максимальных напряжений, действующих в конструкции / ($):

5 = Кд,

(1)

[2], т.е.

Н = Р (Я У Б),

(2)

(3)

Тогда надежность может быть представлена как

(4)

или

X

X

(5)

—X

—X

ВЕСТНИК

10/2012

Подставив известные / (Б), /2 (Я) в (4) или (5), проинтегрировав с учетом требуемого равенства Н = Нзад, получим выражение для определения К :

К = ф( а2, ...ап,Нзад),

где а1, а2, а3 — известные заранее параметры законов распределения нагрузки и несущей способности. Зная К, легко найти размеры поперечного сечения.

Случайный характер других характеристик, например, модуля упругости Е, можно учесть, используя формулу полной вероятности. Пусть модуль упругости Е случаен и закон распределения его /5 (Е) известен. Принимая значение модуля Е равным фиксированной величине Е*, определим по формуле полной вероятности

Л»:

то -

А »= ^ Л

аЕ * К *

/5 (Е)сЕ.

Подставляя это выражение в соответствующую формулу надежности по жесткости и интегрируя при условии Н = Нзад, получим выражение для определения К с учетом случайного характера модуля Е.

Геометрические параметры сечения конструкции также являются случайными величинами с законом распределения /4 (к). Поэтому, найденный в соответствии зависимостью (4), размер поперечного сечения йрасч представляет собой

¿расч = ¿ном (6)

где кном — искомый номинальный размер; А — допуск на изготовление, который зависит от вида закона распределения /4 (к) и доверительной вероятности расчета Ик. Таким образом

¿ном = ¿расч + Д. (7)

Если /4 (к) подчиняется нормальному закону распределения, то

¿ном = ¿расч/ (1 -ТА), (8)

где у — гауссовский уровень надежности для вероятности Ик; Аь — коэффициент вариации случайного размера сечения.

В случае учета случайного разброса геометрических параметров сечения необходимо в расчетные формулы вместо Нзад подставлять Нзад / Нк

Рассмотрим решение задачи для случая, когда распределения нагрузки и несущей способности подчиняются нормальному закону [4]. Таким образом

/3 (ч ) =

1

л/2го

-exp

яст„

/2 (Я 2 =

^¡2nc

-exp

(Ч - тч) 2-2 _

(Я - тК )2

2с2

(9)

(10)

По правилам нахождения законов распределения функций случайного аргумента получим нормальный закон распределения [5]

/2 (Б2 =

1

л/2лк с

-exp

(Б - тБ )2

2К 2сБ

(11)

с параметрами тБ = Ктд, ст = К ид.

Разность Я - Б также будет распределена по нормальному закону с математическим ожиданием

Я

m

R - S

m

K а

и дисперсиеи

2

а

= а R + K 2 а2.

R-S ~ w R

Тогда надежность будет

да

Н = P(О p R - S p да) = J f (Z)dZ = Ф

0

1

4R - S

(12)

где Ф (у) = —=■ [ е 'гл — табулированная нормальная функция распределения.

Для заданной надежности Н по таблицам этой функции можно найти соответствующее ей значение у. Тогда можно записать тЯ

R - S

а

R - S

mR - K а q

JcR + K 2 а2

- У-

JR ' " ~q

Решив это уравнение относительно K, получим

K = -

2а

(13)

(14)

где а = т2 —у2 а2, р = тЯ —у2 аЯ, £ = 2 тятч.

Задача сводится к определению К, после чего можно легко определить размеры поперечного сечения элемента.

Часто формулу (14) преобразуют в более наглядную форму

тя (1 — У2 АЯ )

K =-

,(i + у/aR + Aq2 -У2ARA2 )'

(15)

где Ar = ^, Aq .

mR

mq

F/F* 5r

Я

Из этого выражения видно, что не при всех значениях АЯ и возможно спроектировать конструкцию с заданной надежностью. В частности, при АЯ Р 1/у не существует конструкции, имеющей гауссовский уровень надежности у. Графики, показывающие зависимость относительных размеров поперечного сечения г/ Г * от гауссовского уровня надежности и изменчивости несущей способности АЯ и нагрузки Ац, приведены на рис. 1 и 2. Здесь Г * — площадь поперечного сечения, подсчитанная при значениях нагрузки и несущей способности, равных их математическим ожиданиям.

Анализ показывает, что изменение АЯ сильнее влияет на г/г * , чем изменение А(1. Поэтому особенно важно уменьшать величину АЯ. Один из возможных путей — усечение закона распределения несущей способности путем отбраковки материала конструкции. Так, усечение нормального закона распределения на уровне ±2а дает АУ = 0,9Лк, а усечение на уровне ±а дает уже Лу = 0,54Ля. Если значения коэффициентов вариации АЯ и невелики, то их квадратами, умноженными на у2, по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получаем приближенную формулу

/ j /

/ /

A у / J>*

/

о

1

Рис. 1. Зависимость относительных размеров поперечного сечения от гауссовского уровня надежности у: 1 — АЯ = А = 0,1;

2 — АЯ = А = 0,2; 3 — АЯ = А = 0,316 91

Я ^ ^ ' Я q '

ВЕСТНИК

К = -

(1лк+)'

т,

(16)

Рис. 2. Зависимость относительных размеров поперечного сечения от изменения несущей

способности ЛК (а), нагрузки А (б) и нагрузки А н несущей способности ЛК при

постоян-

ном значении

у(в): 1 — ^/Г = /Л ) при Ли = 0,1; 2 - ^/Г = /(АЛ) при Л, = 0,1

Подобным образом поступаем при проектировании конструкций заданной надежности по жесткости и устойчивости для случая нормального закона распределения нагрузки.

Рассмотрим элементы конструкций, максимальные напряжения $ в которых линейно зависят от нагрузки q, т.е. напряжения определяются по (1).

Найдем вероятность того, что в течение данного периода времени не будет более заданного числа выбросов, которые подчиняются закону Пуассона.

Вероятность Р0 того, что за время Т не произойдет ни одного выброса (это и есть принятая надежность):

Н = Р0 = ехр

Т то

(я, 5 ц)) а&ж

о о

(17)

Подставив в (17) уравнение (1), получим выражение для определения К. Зная К, легко получить размеры поперечного сечения.

Если $ (/)— нормальный стационарный процесс, для V (/Т) — среднего числа превышений уровня К в течение срока службы Т — имеем:

\2 '

V (К/Т ) =

Т ас

2п^

^ехр

( - т$ )

2 (а $ +а К)

Тогда для надежности получим:

Н = ехр ^

Т а с

2 2 а о + а0

ехр

(тК - т$ )2

2 (а $ +а К )

(18)

(19)

где а$ — дисперсия напряжений; а К — дисперсия несущей способности; т$ — математическое ожидание напряжений; тК — математическое ожидание несущей способности материала конструкции; Т — срок службы.

Для многих реальных физических процессов корреляционная функция может быть аппроксимирована формулой [6]

К, (х) = а2 в"ат

008

Рт + а бШ р|л

(20)

Константы а и Р подбираются так, чтобы экспериментальная кривая К, (т) совпадала с теоретической кривой, построенной по формуле (20).

Для этого случая имеем

= ^ (°) = ^(Т = 0) = СТ2 (02 +Р2) = К^ (2 +Р2)'

Запишем выражение для надежности

H = exp

Ту/a2 + ß2

4*

2n.l K 2 ст2 +ст2

exp

( - KСтд )2

2 (2 ^ +aR)

(21)

(22)

из которого можно определить К.

Для случая стд = 0 (т.е. уровень, выбросы за который запрещены, детерминирован) уравнение (22) удается разрешить относительно К:

К =-, (23)

где

mq '

A = - ln

2л (-ln H ) Tyja2 +ß2

(24)

Рассмотрим численный пример расчета заданной надежности монолитной железобетонной плиты размерами 5,5 х 6,0 м, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q, величина которой случайна и представляет собой нормальный стационарный процесс с корреляционной функцией

К (т)^Ит(1 + а|т|).

Надо подобрать сечение плиты Н так, чтобы ее надежность Н = 0,99. Зададимся параметрами нагрузки и несущей способности рассматриваемого элемента в соответствии с вышеуказанными выкладками:

= 1-103 КПа; а д = 1-102 КПа; = 5 • 105 КПа; стд = 0;

Т = 50 лет = 1578- 106с; а = 0,707с"1; ц = 0,3, где а подбирается так, чтобы экспериментальная кривая К (т) совпала с эмпирической.

Для рассматриваемой корреляционной функции ст5 = К ст a, следовательно,

2л(- 1п Н ) 2л(- 1п0,99)

А = - 1п—^-= - 1п-^——'— = 23,59.

Та

1578 -10° • 0,707

Отсюда

K =

5 -105

m„ +CTqV2A 103 + 102л/2-23,59

ч ч *

= 296,4.

Для нашей плиты K = -

h

где c = 0,3665 — коэффициент, определяемый в за-

висимости от условий заделки и размеров плиты. Отсюда

h =

0,3665 ■ 6,0 2

= 21,0 • 10 м,

К V 296,4

т.е. при толщине h = 21 см будет обеспечена достаточная прочность плиты.

Библиографический список

1. Лычев А.С. Способы вычисления вероятности отказа в композиции распределений прочности и нагрузки // Труды междунар. науч.-техн. конф. Самара, 1997. С. 33—37.

2. TichyM. In the reliability measure // Stract.Safety. 1988. Vo l. 5. Pp. 227—232.

ВЕСТНИК 10/2012

3. Арасланов А. С. Расчет элементов конструкции заданной надежности при случайных взаимодействиях. М., 1986. 268 с.

4. Тамразян А.Г. Оценка риска и надежности несущих конструкций и ключевых элементов — необходимое условие безопасности зданий и сооружений // Вестник ЦНИИСК. 2009. № 1. С. 160—171.

5. JSO/TK 98 ST 2394 General Principles on Reliability for Structural, 1994, S. 50.

6. Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании : монография. М. : Изд-во АСВ, 1998. 304 с.

Поступила в редакцию в августе 2012 г.

Об авторах: Тамразян Ашот Георгиевич — доктор технических наук, профессор кафедры железобетонных и каменных конструкций, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, 129337, Ярославское шоссе, д. 26, tamrazian@mail.ru.

Для цитирования: Тамразян А. Г. Расчет элементов конструкций при заданной надежности и нормальном распределении нагрузки и несущей способности // Вестник МГСУ 2012. № 10. С. 109—115.

A.G. Tamrazyan

DESIGN OF STRUCTURAL ELEMENTS IN THE EVENT OF THE PRE-SET RELIABILITY, REGULAR LOAD AND BEARING CAPACITY DISTRIBUTION

Accurate and adequate description of external influences and of the bearing capacity of the structural material requires the employment of the probability theory methods. In this regard, the characteristic that describes the probability of failure-free operation is required. The characteristic of reliability means that the maximum stress caused by the action of the load will not exceed the bearing capacity.

In this paper, the author presents a solution to the problem of calculation of structures, namely, the identification of reliability of pre-set design parameters, in particular, cross-sectional dimensions. If the load distribution pattern is available, employment of the regularities of distributed functions make it possible to find the pattern of distribution of maximum stresses over the structure.

Similarly, we can proceed to the design of structures of pre-set rigidity, reliability and stability in the case of regular load distribution. We consider the element of design (a monolithic concrete slab), maximum stress S which depends linearly on load q. Within a pre-set period of time, the probability will not exceed the values according to the Poisson law.

The analysis demonstrates that the variability of the bearing capacity produces a stronger effect on relative sizes of cross sections of a slab than the variability of loads. It is therefore particularly important to reduce the coefficient of variation of the load capacity. One of the methods contemplates the truncation of the bearing capacity distribution by pre-culling the construction material.

Key words: pre-set reliability, normal distribution, load, bearing capacity, coefficient of variation, concrete slab, life cycle, cross section.

References

1. Lychev A.S. Sposoby vychisleniya veroyatnosti otkaza v kompozitsii raspredeleniy prochnosti i nagruzki [Methods of Calculation of the Probability of Failure within the Framework of the Distribution of Strength and Load]. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii [Collected works of the international scientific and technical conference]. Samara, 1997, pp. 33—37.

2. Tichy M. In the Reliability Measure. Struct. Safety. 1988, vol. 5, pp. 227—232.

3. Araslanov A.S. Raschet elementov konstruktsiy zadannoy nadezhnosti pri sluchaynykh vzaimodeystviyakh [Calculation of Structural Elements with the Pre-set Reliability If Exposed to Random Interactions]. Moscow, 1986, 268 p.

4. Tamrazyan A.G. Otsenka riska i nadezhnosti nesushchikh konstruktsiy i klyuchevykh elemen-tov — neobkhodimoe uslovie bezopasnosti zdaniy i sooruzheniy [Assessment of Risk and Reliability of Bearing Structures and Key Elements as the Necessary Condition of Safety of Buildings and Structures].

Vestnik TsNIISK [Bulletin of Central Research and Development Institute of Building Structures]. 2009, no. 1, pp. 160—171.

5. JSO/TK 98 ST 2394. General Principles on Reliability for Structures. 1994, pp. 50.

6. Rayzer V.D. Teoriya nadezhnosti v stroitel'nom proektirovanii [Theory of Reliability in Structural Design]. Moscow, ASV Publ., 1998, 304 p.

About the author: Tamrazyan Ashot Georgievich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Reinforced Concrete and Masonry Structures, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; tamrazian@mail.ru.

For citation: Tamrazyan A.G. Raschet elementov konstruktsiy pri zadannoy nadezhnosti i normal'nom raspredelenii nagruzki i nesushchey sposobnosti [Design of Structural Elements in the Event of the PreSet Reliability, Regular Load and Bearing Capacity Distribution]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 109—115.