Расчет электрических токов и полей сферически- симметричной ударной волны в ионосферной плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчет электрических токов и полей сферически-симметричной ударной волны в ионосферной плазме

Сергеев И.Ю. ( fje@beep.ru ) , Ященко А.К.

Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН)

Рассмотрена задача о генерации ударной волной и распространении электромагнитного импульса в однородной ионосферной плазме. Получено выражение для электрических токов, вызываемых ударной волной расширяющегося сферически-симметричного «поршня». Эти токи являются источником электромагнитного излучения, распространяющегося в ионосферной плазме. Проведен расчет пространственно -временного распределения этого излучения. Показано, что электромагнитное поле перед фронтом ударной волны в основном распространяется вдоль линий магнитного поля в виде квазигармонического импульса внутри конуса с осью, совпадающей с линиями поля. Вне конуса поле распространяется по закону диффузии.

1. Введение.

Функционирование космической техники и аварийные ситуации на ней сопровождаются процессами взрывного типа на высотах ионосферы, генерирующими электромагнитные возмущения. В настоящее время эти возмущения рассматриваются как фактор экологического воздействия на околоземное космическое пространство [1]. Процессами, моделирующими подобные воздействия, являются активные эксперименты в ионосфере, например, со взрывной инжекцией легко ионизируемых веществ [2-5]. При проведении этих экспериментов в ионосфере за пределами возмущенной области наблюдаются низкочастотные электромагнитные импульсные сигналы с амплитудой до 100-200 мВ/м. Значительные возмущения электрического поля зарегистрированы лишь в тех случаях, когда измерения проводились вблизи той силовой линии магнитного поля Земли, которая проходила через точку подрыва. Расчет электромагнитного импульса ударной волны взрыва в слабоионизованной плазме с анизотропной проводимостью был проведен в работе [6]. Для расчета тока за фронтом ударной волны в этой работе использована полуэмпирическая модель возмущения термодинамических параметров газа, в котором проводимость Холла много меньше проводимости Педерсена. Показано, что поле распространяется по закону диффузии в магнитной силовой трубке с поперечным размером, совпадающим с диаметром сферической ударной волны. В нижней ионосфере величина проводимости Холла одного порядка или превышает значение проводимости Педерсена. Анализ импульсной функции электромагнитного поля в этой области ионосферы, проведенный в работах [7-10] показал, что возмущение распространяется в виде волнового пакета. Ниже проведен расчет пространственно-временного распределения электромагнитного поля на высотах нижней ионосферы перед фронтом ударной волны на основе полуэмпирической модели ее распространения, приведенной в работе [6].

2. Электрический ток за фронтом ударной волны.

Подрыв взрывчатого вещества сопровождается разлетом продуктов взрыва. Так как их плотность много больше плотности разреженного газа, то поверхность продуктов взрыва является расширяющимся сферическим поршнем. При своем расширении поршень формирует ударную волну в результате перемещения сжатых слоев воздуха между его поверхностью и фронтом ударной волны. Согласно модели формирования ударной волны, возникающей в результате разлета продуктов взрыва произведенного в момент времени I = 0, плотность р и давление р газа за ее

фронтом определяются выражениями [6]:

р = рф[ - 6(t)]2/[(1 -£0(t))]2 ,p = 0.81 рф. Рф =pi { + 2/ ((1 + r)M 2)}},

Рф =[2pi D V(y +1)][1 -(Y-1)/ 2yM 2 ],

(1)

4 = г/Я, 4о() = VЛ = 2 (1 -1/М2 )/(Г +1),

где: Рф и р ф - плотность и давление газа на фронте ударной волны, р - плотность газа в невозмущенной области, у - показатель адиабаты, М = О/Сзв - число Маха, сзв - скорость звука, г -расстояние от точки взрыва. Радиус Я и скорость О фронта ударной волны определяются равенст-

вами:

R = R, {1 +1 (1 + k) Dj R, } 1

D = D, (RJ R )k, k = 3 [31 + 3 (-Y)

где обозначено: Ян , Бн - соответственно начальные радиус и скорость фронта ударной волны.

Эксперименты показали [11,12], что слои воздуха, заключенные между фронтом УВ и контактной поверхностью продуктов взрыва движутся как единое целое со скоростью, равной скорости поршня и [6]:

2 D

u =

Y +1

1 - 1

M'

(2)

Электрический ток ] за фронтом ударной волны возникает в результате движения со скоростью и проводящего возмущенного газа в магнитном поле Земли В. В цилиндрической системе координат (р, ф, 2) с осью 2, направленной вдоль магнитного поля, компоненты тока определяются выражениями [14]:

]Р = сн (иВо1с .7ф = стр (иВо/с ^п (в), ]2 = ° (3)

где ср, сн - проводимости Педерсена и Холла ионосферной плазмы за фронтом ударной волны, с - скорость света, в - угол между направлением магнитного поля Земли и радиус-вектора. Для расчета возмущенных проводимостей ср и сн воспользуемся равенствами [13]:

ср = e 2 N

V V e_ +__ш_

Ave + ®H) M( + Q2H)

v2 +Q H и

(4)

сH = e 2 N

®H Q H

(ve+®h ) m (+qh).

v т( +®h

vVn +Q H )J

где е, т - заряд и масса электрона; N - плотность электронов; М - средняя масса ионов; ан -ларморовская частота электронов, Пн - усредненная ларморовская частота ионов; ve - эффективная частота соударений электронов с ионами и молекулами; Vj„ - частота соударений ионов с молекулами. За фронтом ударной волны величина частот столкновений частиц и плотности электронов определяется параметрами возмущенного газа. Так как частота столкновений пропорциональна корню квадратному из температуры, имеем:

" р(4)

V = V 1

r e Т e1

1

Р(6)Р(6)

Р1Р1

V = V i

m in1

1

Р(6)Р(6)

; N = Nv

(5)

Р1Р1 Р1

где ve¡ , vin¡ , N¡ ир¡ - значение соответствующих величин в невозмущенной области.

На рис. 1 представлены графики зависимости от £ проводимостей сн и ср, рассчитанные по формулам (4) и (1, 2, 5). Расчеты проводились для различных высот: 100 км, когда в невозмущенной области максимально отношение oH0/oP0 (сро=5,1*104с-1, сн0=2,3*106с-1) 130 км, когда в невозмущенной области gH0kqP0 (ср0=2,2*106с-1, сн0=2,3*106с-1), 160 км, когда в возмущенной об-

ласти Он^ар (в невозмущенной области ар0=1,0*106с-1, Ояо=1,8*105е"1) и 200 км, когда в невозмущенной области ан0<<ар0 (аР0=3,6*105с-1, ан0=1,6*104с-1). Для построения графиков выбраны следующие значения: Пн=10сзв]50 (сзв150=595,24 м/с - скорость звука в невозмущенной области на высоте 150 км), R„=1м, t=2Rн/Dн, 6=П2. ар0,ан0 - соответственно педерсеновская и холловская проводимость в невозмущенной области.

расстояния.

Расчеты показывают, что возмущение проводимости локализовано в достаточно тонком слое вблизи поверхности фронта ударной волны. Подставляя (4) и (2) в (3), получим выражения для компонент электрического тока в возмущенной области за фронтом ударной волны:

ь2 (()

jp (, в, t) = eNlc зв M (1 - ft (t)Aft )2 a(t) j (, в, t) = eNiC в M (1 - ft ()/^)3 a((

(1 -ft (t )ft)2 + b\ (t) (1 -ft (t V^)2 + tf (t(

be (t) , Ь (t)

+

(1 -ft ((Ш2 + b2 (() (1 -ft (()№ + b2 (()

sine

sine

a

(t) = 2-

где a(t), be(t), bi(t) - безразмерные коэффициенты, зависящие от времени.

= 21 - M "2 [1 + 2M "У (y + 1)] Y-1 [1 - 2(1 - M "2 )) +1)]2'

b2 (t )=К 1 YP1 (1 )2(Y2 -1) л} Ve21 0.81c2в P1 (1-Y + 2yM2)+ y + 2M"2)

b2 (t )=^ 1 m (1 -ft )2(Y2 -1)

Л } v21 0.81c2в P (1-Y + 2yM2)+ Y + 2M"2)

M = M,

M

R

- (k +l) зе t +1

k+1

M„=DH/c3e - начальное число Маха.

Полученное распределение плотности тока за фронтом ударной волны свидетельствует о том, что ток сосредоточен в достаточно узком слое вблизи ее фронта. Это позволяет заменить распределение тока по радиусу его средним значением, определяя поверхностную плотность тока j' равенством:

r

j (r ,в, t )«S(r - R(t ))j j (r ,в, t )dr - S(r - R(t ()j ( t ). (6)

Ri

Данный интеграл считается точно, однако из-за громоздкости результата приводить его не будем.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

/ / (е N с ) 200 км

t 1 ISO 3t/

-IJ(eNc )

fi ISO je

1 60 KM

130 км

100 KM

0 50 100 150 200 Т

Рис. 2. Зависимость тока ударной волны, проинтегрированного по толщине слоя, от безразмерного

времени.

На рис. 2 представлены зависимостиу 'р иу \ от безразмерного времени т=^^нЮн) на тех же высотах, что и на рис. 1. Графики были построены при Dн=\0cзв150, 6=п/2; за N150 обозначена концентрация электронов в невозмущенной области на высоте 150 км.

3. Электромагнитный импульс ударной волны взрыва в нижней ионосфере.

Для расчета возмущения магнитного поля B и электрического поля E, генерируемого в ионосферной плазме электрическим током у формируемым за фронтом ударной волны взрыва, воспользуемся квазистационарными у равнениями Максвелла:

ШЁ = -1 — , rotB = —(дЁ + ]) , divЁ = 4пре c д с

где у - сторонний ток, д - тензор проводимости ионосферной плазмы, ре - плотность электрического заряда, с - скорость света. Элементами тензора являются д|, др и дн - продольная

k

-

проводимость, проводимость Педерсена и Холла соответственно. В ионосфере выполняется неравенство < >> Ср, Сн, используя которое, будем полагать равным нулю продольное электрическое поле и плотность заряда во всём пространстве. При решении будем учитывать, что задача имеет осевую симметрию. Будем использовать цилиндрическую систему координат (р, ф, z) с осью z, направленной вдоль магнитного поля Земли. Введем векторный потенциал по форму-

r 1 дЛ r -

лам: E =---, B = rotA . Компоненты потенциала определяются интегралами:

c dt

t w w

Лг (р, z, t) = J dt 'J dp J dz 'G , (р, P, z - z', t —1 ' jj (P, z', t') , (7)

—да 0 —да

где функция Грина Gпредставляет собой матрицу, элементы которой определяются равенством:

A w w

Gj (р, р, z, t) = c(i+Vg 2) Pn(t) J dk cos( kz) J dyyJi(yp) J i(P) M j (y, k, t) в "Г (y k )t.

В формуле (7) обозначено: r¡(t) - единичная функция, J¡ - функция Бесселя первого порядка. Индексы i,j пробегают значения р, ф. Элементы матрицы M определяются выражениями:

Mрр = cosQt + [ v(k2 + у2) — Г]Sinpt, Мфф = cosQt + [ V2 — Г]^ , A sin ОЛ

cos Qt — Г

Q

М , = - М, = -

рФ фр

где

П(г,к) =-^^4к2^2(г2 + *2)-Г4 , Г(г,к) =-^(г2 + 2к2) ,

2(1 + g 2у 2(1 + g2)

с2 ан

v=l-' g = .

4пар ар

В работе [7] показано, что выражение для й при вычислении интегралов можно заменить ее

^ г—г---с 2

приближенным значением: 0 = /-— кд/у + к , где / =-. Стоит заметить, что в

1+g 4ПОн

пределе при точное выражение для О равно приближенному, в остальных случаях (например, при g=0) использование приближенного выражения в интегралах функции Грина дает метод "перевала". Использую приближенное выражение можно представить функцию Грина в виде:

4у

Ог] (р, р\2, t) = —-2-р'ф)К ,

с(1 + g )

где элементы матрицы К ^ определяются равенствами:

У1 + 2 g 2 V

Крр = Н +VH2 + --2^Нз , Кфф = н +VH1 -—нз ,

2 g2 2 g

V V

К рф = - Кфр = - Ф1 +_ Н 2 + ~ н 3.

g 2 g

В этих равенствах величины Н1, Н 2, Н 3 представляют собой интегралы:

^ "

Н1 = ГdYYJ1 (ур)11 (р) 2(1+ё2)' Гdk)соб] ^ *tkф

I „ V 1+8

Vt ,2

Л

'-2 +г2

е

1+82

тк2

У

2

1 ю ^ у2 ю Sin

н2 =-1dYYJlр Ор')е 2(1+§2) |dkkсоб(^) ^ 1+1

^0 0 д/ к

tkф2 '-2

+г

^ 2

22 2 + г

е

2

1 ю ^ у2 Ю Sin tkлJк2 +г2

Нз = -ГdrrъJx(Гр)/1 (р) 2(1+§2) Гdkсоб(Ь) —

^Ь 00 ^2 V

1+82

^ 2

е

1+82

(8)

Представляя в выражениях (8) соб^) бесконечным рядом Маклорена, производя интегрирование по частям и дифференцирование по параметру и последовательно воспользовавшись табличными интегралами

ю . -

| ^УСТ) ^(«х^х = 0

' V х2 + с 2^\[х2 + с2 - с

4а2 +Р2

ехр

+ в

, (9)

Г е axJl (2ЪГх ) (сл/х )х = 11[ (с)ехр(- Ъ +с ) (I - модифицированная функция Бесселя

по-

рядка I) из [15] получаем точные значения величин Н1} Н2, Н3 . В результате функция Грина имеет вид:

Ои (р, р', 2, t) = ^-- Р

с(1 + 8 2) ((И )3

-х

X

Ю

I

п=0

1 т п

=) ^-х+у*1 ] ' 1 еХР|

I ((^¿¿Щ Г (уя)2 ,

8 +х -х+у

где ЬПу - линейный оператор, действующий на функцию следующим образом:

Ь" /(,х у) = -— ¥+ (,х(,х,1)

дхп

/

+В

д

дх'

-¥-(,х')/ (,х,1)

—

С

дп

дхп-1ду

¥

,х')/ (,х У)

х=1 V1

при п > 1,

х=1

х=у=1

Ь / (, х, У) = А¥+ (,1) (,1,1) + в1} ¥- (8,1)/ ,1,1)

ё

+

+ Су ]¥-(',1) ду/(8',1,у)

dg'

у=1

где обозначено: ¥± ( 8, х) =

= V У 82 +х_2 ± х

(10)

782 + х2

, Арр = 1' Афф = 1' Арф = Афр = 8, Вфф = 8

ЧФ

рф

фр

ФФ

в

8, В

рр ь ■> ~ рф ^фр ^ рр 8 ■> у-фф Ч & ' ^рф ^ фр Как видно из выражения (10) полученная функция Грина представлена рядом, сходящимся при

Вфр 1, С рр

1+282

, Сфф = V 8 > С

Сф

1, Я

4П д2р +дН ■

Ю

2 п

2

д

Р

любых значениях t, р, 2. Компоненты потенциала электромагнитного поля произвольного осесим-метричного тока определяются формулами (7) и (10).

Анализируя выражение (10) можно заметить, что функция Грина имеет вид:

/ л

О,

Ф )

4пдО

4

2

Р

4пт[с

4

4^

4

2 2 аН +аР у

из которого следует, что пространственное распределение поля будет растягиваться от начала координат с течением времени, со скорость пропорциональной

-л3

Тт[с

4 и убывать по амплиту-

де обратно пропорционально

г^/с

4

4пл1аН +ар у

. Такое же поведение поля будет наблюдаться при

больших расстояниях или временах при свертке функции Грина с токами, ограниченными по времени. Отметим, что временные характеристики поля зависят от проводимости Холла и Педерсена симметричным образом. Из формулы (10) так же следует, что амплитуда функции Грина убывает

/ \

(Р-Р)2

1

2

4

. Аналогичное поведение

при удалении от оси Ъ пропорционально ехр

2

у

будет наблюдаться и при свертке функции Грина с пространственно ограниченными токами.

Электромагнитное возмущение, создаваемое ударной волной, определяется сверткой (7) функции Грина (10) с током (6). Расчет свертки (7) производился численно. Использовалась сферическая система координат: Г = р1 + 22, 0 - угол между Г и осью Ъ.

3

2

2

с

с

2

с

с

На Рис. 3 приведено пространственное распределение поля. Видно, что сферически-симметричная ударная волна генерирует в ионосферной плазме электромагнитные возмущения, характер распространения которых существенно меняется в зависимости от угла между направлением распространения и магнитным полем. В интервале углов 0< 0< 30 поле переносится волно-

вым пакетом, имеющем резко выраженный осциллирующий характер. С увеличением угла количество осцилляций в волновом пакете убывает, а на экваторе при в =900 поле представляет собой одиночный импульс, который расплывается согласно законам диффузии. Численные расчеты показали, что частота в электромагнитном возмущении растет с уменьшением угла между r и осью Z, а степень затухания падает. Это иллюстрирует Рис. 3. Так же расчеты показали, что с уменьшением угла возрастает фазовая скорость волны. Всё это позволяет говорить о каналировании импульса в окрестности магнитной силовой линии, пересекающей начало координат.

Заключение.

Рассмотренная в работе модель возмущения ионосферы продуктами взрыва позволяет находить закономерности движения ударной волны и распределение газодинамических величин за ее фронтом в зависимости от высоты взрыва, начального числа Маха и начального радиуса. При взрыве в ионосфере образующаяся ударная волна приводит к возмущению проводимостей Холла и Педерсена ионосферной плазмы. При этом формируются две токовые системы: незамкнутая, связанная с возмущением проводимости Холла, и замкнутая, связанная с возмущением проводимости Педерсена. Эти токи являются источником электромагнитного возмущения, распространяющегося в ионосферной плазме перед фронтом ударной волны. Характер его распространения существенно зависит от угла между направлением распространения и магнитным полем. При малых углах поле переносится волновым пакетом. С увеличением угла количество осцилляций в волновом пакете убывает. В экваториальной плоскости поле представляет собой однополярный импульс, который расплывается согласно законам диффузии. Частота осцилляций возрастает с уменьшением угла, а затухание поля убывает. С уменьшением угла возрастает фазовая скорость волны. Все это свидетельствует об эффекте «каналирования» распространяющегося электромагнитного поля в окрестности магнитной силовой линии, пересекающей начало координат.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты №99-05-65650 и №01-05-06109)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адушкин В.В., Козлов С.И., Петров А.В. Экологические проблемы и риски воздействий ракетно-космической техники на окружающую природную среду // М.: Анкил, 2000.

2. Holmgren G., Bostrom R., Kelley M.C. et al. Trigger, an Active Release Experiment that Stimulated Auroral Particle Precipitation and Wave Emission // J. Goephys. Res. 1980. V. 85. № 10A. P. 5043.

3. Kelley M.C., Fahleson U.V., Holmgren G. et al. Generation and Propagation of an Electromagnetic Pulse in the Trigger Experiment and its Possible Role in Electron Acceleration // J. Goephys. Res. 1980. V. 85. № 10A. P. 5055.

4. Marklund G., Brenning N., Holmgren G. et al. On transient Electric Fields Observed in Chemical Release Experiments by Rockets // J. Goephys. Res. 1987. V. 92. № 5A. P. 4590.

5. Schutz S., Adams G.J., Mozer F.S. Probe Electric Field Measurements Near a Midlatitude Ionospheric Barium Releases // J. Goephys. Res. 1973. V. 78. № 28. P. 6634.

6. Метелкин Е.В., Сорокин В.М. Возмущение электрического и магнитного полей ударной волной в средней ионосфере // Космические исследования, 1996. Т. 34. № 3. С. 264.

7. Сергеев И.Ю., Сорокин В.М., Ященко А.К. Низкочастотное излучение осесимметричного тока в ионосферной плазме // Известия ВУЗов. Радиофизика, 2000. Т. 43. № 8. С. 688-695.

8. Сергеев И.Ю., Сорокин В.М., Ященко А.К. Импульсное электромагнитное поле аксиально-симметричного тока в нижней ионосфере // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. Российский новый университет. Москва. 2001. Т. 2. С. 427-428.

9. Сорокин В.М., Ященко А.К. Распространение импульсов низкочастотных электромагнитных волн в ионосферной плазме // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1992. Т. 35. № 5. С. 375-380.

10. Sergeev I.Yu., Sorokin V.M., Yaschenko A.K. Low-Frequency Radiation from an Axisymmetric Current in an Ionospheric Plasma // Radiophysics and Quantum Electronics, 2000. V.43. № 8. P.619-

625.

11. Адушкин В.В., Коротков А.И. Параметры ударной волны вблизи от заряда ВВ при взрыве в воздухе // ПМТФ. 1961. № 5. С. 107.

12. Пункевич Б.С. Развитие гидродинамического возмущения при взрыве сферических зарядов ВВ в воздухе и аргоне различной плотности // Физические процессы при горении и взрыве. М.: Атомиздат, 1980. С. 127.

13. Гершман Б.Н., Ерухимов Л.М., Яшин Ю.А. Волновые явления в ионосфере и космической плазме. М.: Наука, 1984.

14. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы. М.: Наука, 1974.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 1096 с.