Возмущение ионосферы и электромагнитного поля на поверхности Земли при полете ракеты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Возмущение ионосферы и электромагнитного поля на поверхности Земли при полете ракеты

Сергеев И.Ю. (fie@mail.ru), Сорокин В.М., Ященко А.К.

Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН), Троицк (Московская обл.)

Рассмотрена модель генерации возмущения полного электронного содержания ионосферы и формирования узкополосного спектра электромагнитного возмущения на Земле во время полета ракеты на горизонтальном участке ее траектории. Показано, что изменение полного электронного содержания вызвано распространением в ионосфере импульса акустико-гравитационных волн, генерируемого при полете ракеты на горизонтальном участке траектории. Этот импульс в нижней ионосфере формирует горизонтальные неоднородности ионосферной проводимости. Наведенные фоновым электромагнитным полем в этих неоднородностях электрические токи служат излучателями дискретных мод когерентных гиротропных волн, распространяющихся в горизонтальном направлении в проводящем слое нижней ионосферы конечной толщины. Проведен расчет линейчатого спектра электромагнитных возмущений. Результаты расчетов согласуются с данными наблюдений.

1. Введение.

В работах (Сергеев и Сорокин, 2004; Сергеев и Сорокин, 2005) предложен механизм генерации узкополосного электромагнитного излучения в ультра низкочастотном (УНЧ) диапазоне, сопровождающего полет ракет-носителей на активном участке горизонтальной траектории полета. Такое излучение многократно регистрировалось как во время запуска, так и во время посадки космических аппаратов наземной сетью электромагнитных обсерваторий на территории США (Rauscher and Van Bise, 1999), а так же перед и во время землятресений. Рассмотренный механизм связывает регистрируемые колебания магнитного поля на поверхности Земли с распространением в нижней ионосфере гиротропных волн, генерируемых когерентными источниками. Такими источниками служат электрические токи, наведенные фоновым электрическим полем в горизонтальных неоднородностях ионосферной проводимости. Фоновое поле в низкочастотном диапазоне формируется, в основном, магнитосферными источниками и источниками грозовой активности. Неоднородности формируются импульсом акустико-гравитационных волн (АГВ), генерируемых движущейся ракетой-носителем в нижней ионосфере на горизонтальном участке ее траектории. Подтверждением генерации такого импульса служат данные измерения зависимости от времени полного электронного содержания ионосферы, полученные в работе (Афраймович и др., 2002) во время запусков ракет-носителей «Протон» с космодрома Байконур. В этой работе показано, что возмущение генерируется в окрестности горизонтального участка траектории полета. Оно распространяется волной, фазовая скорость которой порядка скорости звука. Расчеты спектра электромагнитных колебаний в работах (Сергеев и Сорокин, 2004; Сергеев и Сорокин, 2005)проведены с использованием модели тонкого проводящего слоя ионосферы. В результате получена спектральная линия, частота максимума которой порядка 5 Гц совпадает с частотой главного максимума спектра регистрируемого колебания. Однако, на эксперименте наблюдается линейчатый спектр колебаний с частотами максимумов спектральных линий в диапазоне 1-20 Гц примерно равными 5, 8, 12, 17 Гц. Ниже приведено развитие теории формирования

спектров колебаний с использованием модели проводимости ионосферы в виде слоя конечной толщины и в рамках этой модели проведены расчеты спектральных линий колебаний магнитного поля.

2. Возмущение полного электронного содержания ионосферы импульсом АГВ движущейся ракеты-носителя.

Будем полагать, что движение ракеты-носителя в Е слое ионосферы сопровождается генерацией АГВ, которые формируют горизонтальные неоднородности проводимости этого слоя. Это предположение можно проверить, проведя оценку пространственно-временного распределения полного электронного содержания (ПЭС), связанного с распространение АГВ, и сопоставив его с данными наблюдения, полученными во время полетов ракет-носителей. Такие данные приведены в работе (Афраймович и др., 2002). Излучение АГВ движущимися источниками рассмотрено, например, в работах (Григорьев и Савина, 1979; Куликов, 1982). Согласно работам (Calais and Minster, 1996; Li et al., 1994; Нагорский, 1998), генерация АГВ производится во время горизонтального движения ракеты с работающим двигателем на высотах нижней ионосферы 100-130 км. Так как ракета движется со сверх звуковой скоростью и за период волны проходит путь много больший чем расстояние от точки наблюдения до ее траектории, то в качестве модели излучателя АГВ выберем импульсный линейный источник массы q . Введем декартовую систему координат с осью z направленной вертикально вверх. Линейный источник направлен вдоль оси y. Функция Грина источника АГВ G удовлетворяет уравнению (Госсард и Хук, 1978):

д4 - a2 д2 Г V2 V 1 ^

_д t4 д t2 4 H2 J

<2 = д2 д х2 д2 ' д y 2' v =д 2 д z

2 2 v-7 2

-0 a V±

-+VL б =

G = б, q

Va

(1)

Компоненты скорости выражаются через функцию G по формулам:

a

Гд2

yfp~0

д t2

■ + a„

G; у, =-

a2 д2 Г д

VPд 12

д z

+ Г

G

(2)

где а =(/а)у-1 - частота Бранта-Вяйсяля, Г = р0' /2р0 + g/а2 = (2-у)/2уИ -коэффициент Эккарта (Осташев, 1992), V - скорость газа, р1, р1 - возмущения плотности и давления, р0(z) = р(0)ехр(-г/И) - высотное распределение невозмущенной плотности атмосферы, р0 - плотность атмосферы на поверхности Земли, И - высота однородной

атмосферы, g - ускорение свободного падения, у - отношение теплоемкостей, а = ■\JygH -скорость звука. Для модели генерации АГВ линейным импульсным источником массы, ось которого направлена вдоль траектории ракеты, имеем:

q( X Zt) = f(t) 5(х) 5( z - z0)

(3)

где г0 - высота траектории, /(^) - временная зависимость импульса источника массы.

Решение уравнения (1) с источником (3), дополненное условием излучения (Владимиров, 1981), может быть представлено в виде:

: f (o) е-"' H01) ({r)

G (x, z, t ) = -^rRe J v ' 4na J

-do

0 C0JOo -o

где Н01) - функция Ганкеля. В (4) обозначено:

ад

f (o) = J f (t)exp(/ot)dt, r = yjx2 + (z - Z0)2, { = Q(o)/

a,

Q(o)=,

(( -Of )(( -O2 )

2 2 o — Og

oc = o sin(p), p = arccos I

o„ =a/2H

(5)

Выражение (4) является разложением импульса АГВ по монохроматическим цилиндрическим расходящимся волнам. Период наблюдаемых колебаний ПЭС соответствует акустической ветви АГВ. Поэтому, для оценки интеграла (4) воспользуемся асимптотическим разложением функции Ганкеля

Н01)( z): 12 1 П

— exp I iz -i — I, z ^ад nz I 4)

и методом стационарной фазы (Федорюк, 1987). Для акустической ветви получим:

G(r, t) = - Re {F (r, t) exp [1Ф(г, t)]} = -F (r, t) cos [Ф(г, t)], 1 f (os)

F = ■

2nar

o.4&(os )| П "(os )| ((-og)

Ф = -ot + s' r

(6)

Значение точки стационарной фазы os определяется из уравнения:

d П

do

ct r

Расчеты пространственно - временной зависимости АГВ проведены для функции источника /(^) = /о ехр (2/ ¿0 ). Подставляя (6) в (2), получим выражения для компонент скорости в импульсе АГВ:

V*(r,t) =

a

p0(z0)

exp

^ z - z ^

0

V 2 H )

Fkx (og-o2)Re[iexp(/Ф)]

(r, t) = -

a

P( z0)

exp

z - z,

\

V 2 H

F os Re

ikz +-

yH

exp (/Ф)

(7)

где вектор к (г, I) = УФ = )г / аг .

Движение газа в АГВ со скоростью (7) приводит к изменению концентрации п электронов и ионов согласно уравнениям непрерывности (см. например Гершман, 1974). Представим п в виде:

п(г, г) = и0( г) + ^(г, Г)

где п0(г) - невозмущенный высотный профиль электронной концентрации, а п1(г,г) - его

малое возмущение. Простую оценку величины возмущения концентрации электронов можно получить, пренебрегая влиянием магнитного поля на движение ионизованной компоненты плазмы. Будем полагать, что в квазистационарном приближении ионы движутся со скоростью молекул. В этом случае уравнение непрерывности имеет вид:

д п

+ Лп1 = -п0 Уу -

ёп0 ёг

х =

ёЯ( п)

ё п

(8)

где Я(п) - скорость рекомбинации. Принимая ее зависимость от концентрации электронов в виде (Иванов-Холодный и Никольский, 1969) Я(п) = авп2/в+ ап , получим:

X = авп0 (2в + ап0))(в + ап0)2 Подставляя (7) в (8), имеем:

д п1

~дг

(9)

Хп1 = Яе {М (г, г) ехр [¡Ф(г, г)]} ,

м (г,г) =

а

-ехр

г - г0 V 2 И ,

х-! п

Р(г0)

к2 ("( -"2 )+( ¡к + )

р (Г,г)X

гк, +-

уИ

(О.

ёпг,

ёг

гк, +-

уИ

о.

Так как М - медленно меняющаяся функция, а ехр(гФ) - быстро осциллирующая функция времени, то приближенное решение этого уравнения с нулевым начальным условием имеет вид:

п = Яе

М ехр(гФ)

Х- г о

(10)

Относительное изменение полного электронного содержания Т(х, г) на расстоянии х от горизонтального участка траектории полета ракеты-носителя определяется формулой:

/•ад / рго

Т(х, г) = Jo п (х, г, г)ёг ^ п0 (г)ёг

(11)

На рис. 1Ь приведены результаты расчета по формуле (11) функции Т(х, г) нормированной на единицу на расстоянии х =200 км. Использовалась параболическая аппроксимация высотного профиля электронной концентрации:

п0( г) = пт

1 ( - )2

ё 2

Рис. 1.

a) Пример записи зависимости от времени полного электронного содержания в районе космодрома Байконур во время запуска ракеты-носителя «Протон» 17.04.2000г. (Афраймович и др., 2002). По оси абсцисс отложено время от момента старта. По оси ординат отложены TECU. Одна единица равна 10-16 м-2.

b) Результаты расчета по формуле (11) относительного возмущения полного электронного содержания нормированного на единицу T(x, t) / Tm при x =200 км.

Выбраны значения: zm =300 км, d =70 км, H =13 км, ^=30 с. Значение коэффициента

ос^Ю'1 см3/с приведено в работе (Антонова и др., 1996). В расчетах использовалась интерполяционная формула (Рыбин, 1983):

в = 10-4ехр[-(z-zm)/d] с-1,

Результаты наблюдения возмущения ПЕС во время запуска космического корабля «Союз», полученные в работе (Афраймович и др. 2002), приведены на рис. 1a. Сопоставление графиков показывает, что функция (11) качественно согласуется с экспериментально полученной записью. Из этого можно заключить, что наблюдаемое возмущение ПЭС связано с распространением АГВ, генерируемой при полете ракеты в Е-слое ионосферы. Следовательно, можно предположить, что АГВ волна формирует в этом слое горизонтальные неоднородности ионосферной проводимости.

3. Вывод уравнений и граничных условий для электромагнитного поля в проводящем слое ионосферы конечной толщины.

Рассмотрим генерацию гиротропных волн при появлении неоднородностей в проводящем слое ионосферы конечной толщины в присутствии фонового электромагнитного поля. Будем полагать, что ионосфера расположена в горизонтальном, однородном геомагнитном поле В =const. Обозначим а[,, а[{ - проводимости Педерсена и Холла

ионосферной плазмы. Электрическое поле Е в ионосфере представим в виде суммы Е = Е0 + Е1. Пусть Е0 - фоновое электрическое поле в УНЧ диапазоне при отсутствии

неоднородностей проводимости. Обозначим Е1 - возмущение электрического поля, обусловленное появлением возмущения проводимостей ионосферы << н 1. Представим компоненты тензора проводимости в виде орн = <0Н 0 + <Р1Н 1, где ор0Н 0 - проводимости невозмущенной ионосферы. В УНЧ диапазоне, для частот в , удовлетворяющих неравенству с << 4п<Р н « 107с-1, возмущение электрического поля и, связанное с ним магнитное поле Ь, удовлетворяют уравнениям (Сергеев и Сорокин, 2004; Сергеев и Сорокин, 2005):

4п д

(УхУхЕ^хВ+ —-(<0Е! хВ-<0ВЕ1) =

с дЛ (12) Л ^ 1

= ^4-(<р1Е0 хВ-< 1ВЕ0), УхЕ1 = --— с дt с дt

В декартовой системе координат с осью z , направленной вертикально вверх, однородное магнитное поле расположено в плоскости x, y под углом а к оси x. Ионосферные неоднородности вытянуты вдоль оси y . Связанные с ними возмущения проводимости мало меняются за временной интервал измерения электромагнитного сигнала. Будем полагать, что фоновое возмущение электрического поля содержит касательную компоненту Ey0. Введем относительные возмущения проводимостей по формулам:

Н(x) = анi(xz)/оо(z); p(x) = Оч(x,z)/оо(z).

Воспользуемся преобразованием Фурье по координате x и времени t: E1,x,y,z (k, z,a) = J dxJ dtE1 x,y,z (x, z, t)exp (-ikx + iat). Для компонент уравнения (12), получим:

ik - к2 Ezi - i П f 0 E-оеЛл 1 = i П 0 fH

dz c f cosa ) c cosa

f 1 d2 ^

- к

dEz1 , 4п f 0P0 E , 0H 0

E + ik tana-f- + i—\^f-Eyi + Ezl 1 = . (13)

dz c f cos a cos a )

f cos a dz )

= -iAttü) 0p20 fp; Ex1 =-Ey1tana

c cos a

В уравнениях (13) ведены обозначения:

fp (к,®) = J P(x)E0y (x,®)exp(ikx)dx; fH (k,®) = J H(x)E0y (x,®)exp(ikx)dx .(14)

Для решения системы уравнений (13) представим ионосферу в виде двух горизонтальных слоев с различным типом проводимости, как показано на рис. 2. В нижнем слое конечной толщины отлична от нуля проводимость Холла. В верхнем слое отлична от нуля проводимость Педерсена. Проводящая ионосфера характеризуется граничными условиями, которые представляют собой соотношения между касательной компонентой электрического

г А

аРоСг)

1Р

О

►

о

^ноОО

Рис. 2. Модель высотного распределения компонент тензора проводимости ионосферы, используемая для вывода граничных условий.

поля и ее нормальной производной выше и ниже ионосферы. Далее, получим решение уравнений для полей выше и ниже проводящей ионосферы и подставим их в эти равенства, которые получены в Приложении (формула (П9)):

Правая часть в граничных условиях выражается через возмущения проводимостей. Воспользуемся соотношениями (15) для расчета спектра электромагнитного возмущения, генерируемого фоновым полем при появлении горизонтальных неоднородностей ионосферной проводимости.

4. Расчет частотной зависимости амплитуды возмущения магнитного поля.

Горизонтальный пространственный масштаб изменения фонового электрического поля в диапазоне ультранизких частот значительно превышает размер области возмущения проводимости. Это означает, что поле мало меняется на горизонтальном масштабе возмущенной области Е 0(х, с) « Е 0(с). Следовательно, из (14) имеем:

где Р(к); Н (к) - Фурье компоненты относительного возмущения проводимостей. Так как скорость гидромагнитных волн в магнитосфере значительно превышает скорость гиротропных волн в £-слое ионосферы, то компонента поля выше ионосферы удовлетворяет уравнению АЕу1 = 0. Этому же уравнению удовлетворяет касательная компонента поля в не

проводящей области ниже ионосферы. Его решение для горизонтальной компоненты поля имеет вид:

(15)

/р (к, с) = Р(к)Е0у (с); /н (к,с) = Н(к)Е0у(с)

Подставляя решение (16) в равенства (15) и исключая константу A1, получим выражение для горизонтальной компоненты электрического поля на нижней границе ионосферы:

E Г * 1 ) E ( ) (1*1 S ^ )Я-^3P (17)

Eyi\k>z — -Т ,a\ — -Ecy -,2g g-Т (17)

Ч 2 J ^ |*| £ + k + £ + £

Явный вид функций , gt приведен в Приложении. Так как горизонтальные неоднородности

проводимости нижней ионосферы формируются импульсом акустико-гравитационных волн, то, полагая, что этот импульс распространяется в горизонтальном направлении со скоростью акустической волны u, зависимость возмущения проводимости от координаты х интерполируем выражением: Н(х) = P(х) — A0 exp(-х2 / 4x02)cos (k0х), где k0 = 2п/ Л0,

Л0 — uT - пространственный масштаб горизонтальных неоднородностей проводимости,

х0 >> А0 - горизонтальный размер области, охваченной возмущением, A0 - максимальное

значение относительного возмущения проводимостей. Фурье-образ этой зависимости имеет вид:

H(k) = P(k) = у[жх0 A {exp -х02 (k0 - k)2 + exp -х^ (k0 + k)2 } Подставляя в (17) и применяя обратное Фурье преобразование, получим:

Ey1 \ хz=-1 еу 0 \х=0, z=-2

= - ъАП ^ dkF(k, ® ) {exP f (k, х) + exp f (k, х)};. (18)

f\ 2 (k, х) — ikх (k0 ± k) х0 В равенстве (18) обозначено: cv, ч gqsinh(q/) -g2 [1 - cosh(ql)] + g3q2

F (k—---2---(19)

Gjq sinh(q/) + G2q cosh(q/)

При выводе формулы (19) использованы в явном виде функций ^, , полученные в Приложении:

кН кН sin а Г, i . kp ) кН Г \i\ • kp ) k2 кН sin а . кр

g1 =—г:\ \k\-i—Ь \; g2 =Tdrd lkl-Ь\+ Н^ ; g3=i-5-'

cos a cos а у cos а) cos а у cos а) cos а cos а

. кр h,, кн sin а i ^ _ i, i . кр

G = ^f- - 2*2 + \\k\ + I; G2 = -2 |k| + i-

cos а cos"аг 1 cos"а ) ' ' cos2а

Если в выражении (19) перейти к пределу l ^ 0, а0 ^да при условии cr0l =1 стН0(z)dz = const, то получим формулу (10) работы Сергеев и Сорокин, 2004,

J—да

соответствующую модели бесконечно тонкого проводящего слоя ионосферы.

■X

-АО

-50

-60

-70

a

J U к__ L

10 12 14 16

18 20 £ г«

Рис. 3.

a) Спектр электромагнитного возмущения, зарегистрированного в течении четырех минут в шт. Невада во время полета космического корабля Атлантис, запущенного с мыса Канаверал 18.10.1989г. На графике отмечено значение частоты главного максимума спектра. Уровень нуля db на шкале соответствует чувствительности 10-5 Гаусс (Rauscher and Van Bise, 1999).

b) Результаты расчета функции U(f) по формуле (21). Расчеты проведены для

значений: b0=1.8x10-8 Гс, 4, =0.05,

ан0 =2x106 с"1,

l =3.6x106 см,

£ P =1011 см/с,

а =п/4,

kn =1.15x10-6 см'1

Из уравнения Максвелла УхЕ = (Ш/с)Ь получим соотношение между относительным возмущением электрического поля на нижней границе ионосферы £ = -1 /2 и относительным возмущением магнитного поля Ьх1 / Ьх0 на поверхности Земли £ = -при появлении неоднородностей ионосферной проводимости:

bX1(x,rn)lbx0(ш) z=-Zi = ЕУ1(x^yEy0(®;>|

z=-l /2

Оценку интеграла (18) получим методом Лапласа, заменяя функции /12(к,х) их разложением в ряд около экстремальных точек к12 и оставляя слагаемые второго порядка малости:

/12 (к, х) « /к12 - х0 (к - к12)2; к12 = тк0 + /(х / 2х0) . (20)

Uf), dBV

Рис. 4.

a) Спектр электромагнитного возмущения, зарегистрированного во время посадки космического корабля Колумбия 26.01.1989. На графике отмечены значения частот максимумов спектральных линий. Уровень нуля db на шкале соответствует чувствительности 10"5 Гаусс (Rauscher and Van Bise, 1999).

b) Результаты расчета функции U(f) по формуле (21). Расчеты проведены для

значений: b0 =7.9x10" Гс,

A0 =0.20,

£P =5x1010 см/с, а =п/8, k0=4.5x10-7 см'1

Подставляя (20) в (18), получим:

ан0 =2x106 с"1,

l =3.03x106 см,

A,

ß( X, с) = -^exp

' x

4 x 2

V ЧА0

F

k0 + i —

2 x,

с

exp(lk0 x) + F

0 У

x

k0 -

2 x,

с

exp(-lk0 x)

0 У

(21)

где F (k ,с) определяется формулой (19). В равенстве (21)обозначено:

ß(x, с) = |bx1 (x, z = -Z1, с)/bx0 (x = 0, Z = -Z1, с)| .

На рис. 3a и 4a приведены спектры сигналов, зарегистрированные на наземной сети обсерваторий в работе (Rauscher and Van Bise, 1999)во время запуска космического корабля Атлантис 18.10.1989 и во время посадки космического корабля Колумбия 26.01.1989. Как в первом, так и во втором случае спектры состоят из достаточно узких спектральных линий. На графиках цифрами указаны значения частот максимумов спектральных линий. На рис. 3b и 4b приведены результаты расчета спектров, проведенные по формуле (21). Построены

графики функций и(/) = 201§ [1 + в(/)]| в зависимости от частоты / = с / 2п. Уровень

шума Ьх0 определялся из графика соответствующего эксперимента. Нормировочный коэффициент ¿„=10"5 Гс соответствует нулю dB на оси ординат графиков на рис. 3а и 4а. Из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными следует, что предложенная модель формирования линейчатого спектра сигнала, возникающего при полете ракеты носителя качественно описывает его спектральные характеристики.

5. Заключение.

Полет ракеты носителя на активном участке горизонтальной траектории сопровождается генерацией АГВ, направление волнового вектора которой близко совпадает с нормалью к траектории полета. Ее распространение в Б - слое приводит к возмущению полного электронного содержания в ионосфере. Сопоставление расчетов его временной зависимости с данными наблюдения подтверждает это предположение. Следовательно, полет ракеты в Е-слое ионосферы в результате генерации АГВ приводит к формированию в этом слое горизонтальных неоднородностей проводимости. Переменное фоновое электрическое поле в УНЧ диапазоне при появлении в нижней ионосфере горизонтальных периодических неоднородностей ионосферной проводимости наводит в них переменные поляризационные электрические токи. Это фоновое поле формируется как магнитосферными, так и атмосферными источниками, в основном, грозовыми разрядами. Поляризационные токи являются пространственно когерентными источниками дискретных мод гиротропных волн, которые распространяются в проводящем слое ионосферы конечной толщины в горизонтальном направлении. В модели бесконечно тонкого проводящего слоя ионосферы распространяется основная мода гиротропной волны, которая формирует главный максимум спектра. Появление дискретного спектра мод волн обусловлено конечной толщиной слоя, в котором они распространяются. Спектральные характеристики дискретных мод для слоя с проводимостью Холла в продольном магнитном поле приведены в работе (Сорокин, 1988). Каждая мода волн обладает дисперсией, а набор значений фазовых скоростей возрастает с увеличением номера моды волны. Если источники волн расположены в горизонтальном направлении с периодичностью, например, в 100 км, то в результате интерференции различных мод волн возникает линейчатый спектр колебаний магнитного поля на поверхности Земли. Расчеты показывают, что в диапазоне 1-20 Гц формируется от 4 до 6 спектральных линий. Результаты расчета согласуются с регистрируемым спектром колебаний, полученным при запусках и посадках космических кораблей.

Работа выполнена при поддержке МНТЦ (проект №2990) и РФФИ (грант №03-05-64553).

Приложение.

Получим решение уравнения (13). Согласно рис. 2, представим ионосферу в виде двух горизонтальных слоев с различным типом проводимости. В верхнем слое проводимость Холла равна нулю, а нижнем слое равна нулю проводимость Педерсена. Так как длина волны много больше толщины проводящей области ионосферы, то внутри каждого слоя можно полагать проводимость постоянной. В нижнем слое, полагая аР = 0 из (13) имеем:

гк - к - г ^СО Еу1 = г4п° а 0

йг

( 1 й2 ^

2 *~'у\

с соБа

2 •'Н

с соБа

■/н

2 » 2 соБ а аг

- к2

Еу1 + гк tan а

йЕг1 . 4по а

- + г-

Н0

с2 соБа

Е = 0

(П1)

В верхнем слое, полагая ан = 0 из (13) получим:

йЕу1

гк tana

С

1

а2

2 г, , . 4пс

- к Е1 + аР 0 Е1 = 0

Л

2 » 2 соБ а аг

- к2

Еу1 + гк tan а

йЕг1 . 4лссо а

- + г-

Р 0

с2 соб2 а

Еу1 =

. 4пс а

-г-

Р 0

2 2 ->Р

с соб а

/р

(П2)

Рассмотрим уравнение для горизонтальной компоненты электрического поля в нижнем слое ионосферы, в котором проводимость Холла отлична от нуля. Исключая Ег1 в уравнениях (П1), получим:

й2 Е,

у1

йг2

к2 -

4по Бта йа

Н 0

4 по а

Н 0

с ксоб а йг I с ксоБа

Еу1 =

4по бШ а йан

4псоаН

с к соб а йг I с к соб а

(П3)

/Н

Функция ан 0(г) отлична от нуля в слое толщиной I, а внутри слоя она постоянна ан0(2) = а0. Расположим начало системы координат в центре слоя:

ан0 = 0, г > I/2; ан0 =0), А < I/2.

Толщина слоя определяется по формуле:

1 = .1>20( г )йг/а

В уравнении (П3) производная йан0(г)/ йг = 0 внутри и вне слоя. На верхней и нижней границе слоя эта производная равна 5 - функции Дирака:

г «I/2, dаH0(z)/dz = -а05(г-1/2); г « -I/2, dстH0(z)/dz = а05(г +1/2) .

Интегрируя по z уравнение (П3)в окрестностях верхней и нижней поверхностей ограничивающих слой, получим:

{ЕД/,=0; 1 йЕу'

А \ = 2 Кн

йг \ 1/2 соб а

Е, 12 )+/н

{„}-,„=0; 1 ^

йг

-I/2

Бта

2 кн

соб а

Е-(-2 ]+/н

(П4)

кн = 4паа0/ с2 к

В (П4) фигурными скобками обозначена разность значений величины выше и ниже соответствующих плоскостей, например: {Еу1}/2 = Еу1(/ /2 + 0) - Еу1(1 /2 - 0). Решение

уравнения (П5) внутри слоя, где 0 /ёг = 0, имеет вид:

Evl (2) = Q exp(-gz) + С2 exp(qz) +

К

q cosa

i - cosh

q I z+-

l

'fn

q2 = k2 -

К

H

cosa

где С1, С2 - произвольные константы. Определяя константы, из этого решения находим:

Ejl- - 0| = cosh(ql) Eyi Г- l- + 0 | + —f-l + 0 | +

yi

dz

yi

(

К

| [1 - cosh(ql)]] v q cosa j

d^Eyi l 2 - 0 j = cosh(q-) dzEyi (- 2 + 0 1 + q sinh(q-)Eyi I- 2 + 0

(П5)

sinh(ql) Г к ,

q

cosa

fH

Объединяя равенства (П4) и (П5) получаем соотношения между касательной компонентой электрического поля и ее нормальной производной на границах нижнего слоя ионосферы, в котором отлична от нуля проводимость Холла:

E

l

yi

cosh(ql) - Кн sini a sinh(ql)

q cos a

4 2)+^ H-1

К

q cosa

[i - cosh(ql)] -

кн sin a

dzEyi 12 )=

cosh(ql) +

q cos a

кн sin a sinh(ql) cos2 a q

sinh(ql U fH

н

—EJ--I +

dz

"yi

k2 - Кн

2

(П6)

cos4 а

sinh(ql)

Eyi|

кК йп-М-[i-^-(^КПО-f,

cos4 а

q2 cos2 a

H

Рассмотрим верхний слой ионосферы, в котором проводимость Педерсена отлична от нуля. Из уравнений (П2) имеем:

Г —I

dz2

Л

- k2

j

„ Ano d „ . Ana a

Eyi- Hk imadt ap0 Ezi +1

c2 cos2 a

P0 Eyi =-1

. Ano a

p 0

c2 cos2 a

fp.

(П7)

Полагая слой тонким оР0(г) = ЪР5(г -(/ + 1Р )/2) и, интегрируя уравнение (П7) по толщине этого слоя, в пределе /Р ^ 0 получим:

Ы,,=0; 1 dEy1

dz

1 /2

+ tK E {L } = —> K

cos a { 2) cos" a

— f

2 Jp

(П8)

kp = 4rnoL p/c

где ЕР - интегральная проводимость Педерсена ионосферы. Складывая равенства (П6) и (П8), получим соотношение между касательной компонентой электрического поля и ее нормальной производной выше и ниже ионосферы:

l

l

d

l

ЕЛ -| —£ Evl\—-\ = £-ew|—-| + с/

y1

dz

nJ Н

d

dzEyi {2 J^ dzEyi I — 2 I = £ЕУ11 — 2 1 — с/н — cf

d

l

l

(П9)

В формулах (П9) обозначено:

{,= cosh(ql) — ^ sinh(ql); £ = ^¡М; =

q cos a

£ = cosh(ql) + КН Sina — KP ; £ =

Кн 1 [1 — cosh(ql)] — Кн sin a sinh(ql);

q cosa

q cos a

cos2 a

k2 кН (кН — Kp sin a

cos4 a

sinh(ql) ;

С2 =

кН (кН — Kp sin a) sinh(ql) 1 — cosh(ql) кн

4

cos a

cos2 a

k2 sin а — К

К

p2

cos a

; Сз =

iK

cos2 a

Если в формулах (П9) перейти к пределу l ^ 0, <j0 ^ да при условии

2 г да 2

<0l = I <Н0(z)dz = const, получим граничные условия на тонкой проводящей ионосфере,

J—да

полученные в работах (Сергеев и Сорокин, 2004; Сергеев и Сорокин, 2005):

{Ey1} = 0; la2 cos4 aj^J +

Л

+ imv cos2 a

ЕУ1 = —

)

f CD2 f . 2 f Л

—fH + mv cos a/fp

{k )

где обозначено:

a = c

' / рда 2 2 I f" 2

oJ4n\ <Н0(z)dz; v = c Ep 4nI <Н0(z)dz

Если положить Е0 = 0; ЕР = 0, то это равенство переходит в граничное условие, полученное

в работе (Сорокин, 1987). При а = 0 оно совпадает с граничным условием, полученным в работе (Сорокин и др., 2001). Проводимость Педерсена верхнего слоя определяет поглощение волны (см. Сергеев и Сорокин, 2004) и не влияет на фазовую скорость. Форма спектра мало зависит от толщины этого слоя. Поэтому, при выводе равенства (П8) верхний слой, в котором отлична от нуля проводимость Педерсена, полагался тонким.

Литература

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. 1979. М. Наука. С.1-

830.

2. Антонова П.А., Иванов-Холодный Г.С., Чертопруд В.Е. Аэрономия слоя Е. 1996. Янус. М.

С. 1-168.

3. Афраймович Э.Л., Перевалова Н.П., Плотников А.В. Регистрация ионосферных откликов

на ударно - акустические волны, генерируемые при запусках ракет - носителей // Геомагнетизм и аэрономия. 2002. Т.42. №6. С.790-797.

4. Calais E., Minster J.B. GPS detection of ionospheric perturbations following a Space Shuttle as-

cent // Geophys.Res.Lett. 1996. V.23. P.1897-1900.

5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. 1981. Наука. М. С.1-512.

6. Иванов -Холодный Г.С., Никольский Г.М. Солнце и ионосфера. 1969. Наука. М. С.1-455.

7. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы. 1974. Наука. М. С.1-255.

8. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. 1978. Мир. М. С.1-532.

9. Григорьев Г.И., Савина О.Н. Об излучении акустико-гравитационных волн горизонтально

движущимися источниками // Геомагнетизм и аэрономия. 1979. Т.19. С.851-858.

10. Куликов В.В. О генерации акустико-гравитационных волн авроральными электроструями // Геомагнетизм и аэрономия. 1982. Т.22. С.45-50.

11. Li Y.Q., Jacobson A.R., Carlos R.C., Massey R.S., Taranenko Yu.N., Wu G. The blast wave of Shuttle plume at ionospheric heights // Geophys. Res. Lett. 1994. V.21. P.2737-2740.

12. Нагорский П.М. Неоднородная структура области F ионосферы, образованная ракетами // Геомагнетизм и аэрономия. 1998. Т.38. С.100-106.

13. Осташев В.Е. Распространение звука в движущихся средах. 1992. Наука. М. С.1-208.

14. Rauscher E.A., Van Bise W.L. The relationship of extremely low frequency electromagnetic and magnetic fields associated with seismic and volcanic natural activity and artificial ionospheric disturbances // Atmospheric and Ionospheric Electromagnetic Phenomena Associated with Earthquakes. Ed. M. Hayakawa. Terra Scientific Publishing Company (TERRAPUB). Tokyo. 1999. P.459-487.

15. Рыбин В.В. О динамике рекомбинации в области F // Геомагнетизм и аэрономия. 1983. Т.23. С.422-426.

16. Сергеев И.Ю., Сорокин В.М. Генерация узкополосного спектра электромагнитных возмущений при полете ракеты // Электронный журнал «Исследовано в России». C.2604-2609. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/243.pdf

17. Сергеев И.Ю, Сорокин В.М. Механизм формирования узкополосного спектра низкочастотного электромагнитного возмущения, регистрируемого на поверхности Земли во время запусков космических аппаратов // Геомагнетизм и аэрономия. 2005 (в печати).

18. Сорокин В.М. Среднеширотные длиннопериодные колебания геомагнитного поля и их связь с волновыми возмущениями ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т.27. №1. С.104-108.

19. Сорокин В.М. Волновые процессы в ионосфере, связанные с геомагнитным полем // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1988. Т.31. С.1169-1180.

20. Сорокин В.М., Чмырев В.М., Ященко А.К. Низкочастотные колебания магнитного поля на поверхности Земли, генерируемые горизонтальными неоднородностями ионосферной проводимости // Геомагнетизм и аэрономия. 2001. Т.41. №3. С.1-5.

21. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. 1987. Наука. М. С.1-544.