CC BY
17
8. Iniiiaii D. L., Bowen A. J. Flume experiments on sand transport by waves and current // Proc. 8th conf. Coastal. Eng. -Mexico City, 1963. - Vol. 2. - Р. 137-150.
9. Jonsson I. Wave boundare layers and frietion factors // Proc. 10th Conf. Coastal. Eng. - ASCE, 1967. - Р. 75-123.
10. Nilsen P. Some basic concepts of wave sediment transport // Inst. of Hydro-dyn and Hydraulic. Eng. Tech. Univ. Den. - Lyngby, 1979. - 160 p.
11. Сидорчук А. Ю., Михинов А. Е. Морфология и динамика руслового релье-
фа // Итоги науки и техники. - 1985. - Т. 5. - Серия «Гидрология суши». - 161 с.
12. Lambakos K. F. Seabed wave bound-are layer measurements and analysis // J. Geophys. - 1982. - V. 87. - Р. 4171-4189.
Материал поступил в редакцию 05.10.11. Эшев Сабир Саматович, кандидат технических наук, доцент Тел. 8 (99875) 203-70-00 E-mail: telnets@mail.ru Мурадов Навруз Курбанович, аспирант Тел. 8 (99875) 112-32-36
УДК 502/504 : 532.5 Д. М. ГРЕКОВ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СТАБИЛИЗАТОРЕ ДАВЛЕНИЯ
Приведены различные математические модели стабилизаторов давления: линейная и нелинейная. В линейной модели стабилизатора давления рассмотрены свободные колебания жидкости и апериодическое движение жидкости, выполнен расчет движения жидкости в стабилизаторе.
Переходные процессы, стабилизаторы давления, пневмостабилизаторы, гидравлический удар, математическая модель.
There are given different mathematical models of pressure stabilizer: linear and nonlinear. In the linear model of pressure stabilizer there are considered free liquid fluctuations and aperiodic liquid motion, calculation of liquid motion in the stabilizer is fulfilled.
Transitional processes, pressure stabilizers, pneumostabilizers, hydraulic impact, mathematical model.
В процессе проектирования и экс- ных и ударных процессов на трубопровод
плуатации напорных систем водопода- приводят к многократному увеличению
чи трубопроводов необходимо учитывать скорости коррозии и уменьшению срока
происходящие в них гидравлические его эксплуатации. Стабилизаторы давле-
переходные процессы. Резкие колебания ния являются эффективным и современ-
давления могут привести к разрушению ным способом разрешения перечислен-
трубопроводов [1]. ных проблем. Стабилизаторы предназна-
При гидравлических ударах возни- чены для гашения пульсаций давления,
кают аварии, которые наносят существен- вызванных изменением режима работы
ный экономический и экологический насосного агрегата или трубопроводной
ущерб, поэтому вопросы охраны природы арматуры.
с основами экологии в водохозяйственном В настоящей статье рассмотрены ли-
строительстве весьма актуальны. Кроме нейная и нелинейная модели стабилизато-
того, воздействия волновых, вибрацион- ра давления и выполнен расчет движения
(б8\
№ 1' 2012
жидкости в стабилизаторе. Материалы, изложенные в статье, являются продолжением исследований, приведенных в [2].
Стабилизатор работает следующим образом. В установившемся режиме движущая жидкость, протекающая по трубопроводу, через перфорацию заполняет полость, охватываемую разделителями. Полость между корпусом и разделителем заполнена упругим материалом. При появлении пульсаций в трубопроводе давление в жидкостной полости стабилизатора не совпадает с давлением упругой полости, и разделитель под воздействием этого перепада испытывает упругие деформации, при которых объем жидкостной полости изменяется, обеспечивая податливость стабилизатора для гашения волновых процессов.
Объем жидкости, перетекший из трубопровода в стабилизатор, далее перетекает через патрубок в ту часть жидкостной полости, которая примыкает к разделительным элементам. Из условия сохранения массы имеем [3, 4]:
2пRLx 2 = пгпх, (1) а
где R - радиус трубопровода; Ь - длина стабилизатора давления; х2 - отклонение центра массы жидкости от положения равновесия; пгп - число газовых полостей; 5р- площадь разделительных элементов; х1 - смещение разделительного элемента при изменении давления в трубопроводе.
Отсюда
X
Пгп Sр
■ X",
Полученное уравнение для свободных колебаний жидкости имеет следующий вид [2]:
d2 x2 4 (nRL)
2 í
dt2
- +
+ -
2nRL
sp m
m
C2 +-
пер
+ s„
dx,,
dt
Y
nCx
V
2 nRL
nS„
x2 )£
J
dX2 dt
X2 = °
+
(3)
где т - масса жидкости в жидкостной полости; 5пер - коэффициент гидравлического сопротивления перфорации; 5 - коэффициент гидравличе-
пат
ского сопротивления патрубка; С1 - константа состояния воздуха в газовой полости; С2 - жесткость разделительного элемента; I - длина газовой полости в начальный момент времени; "пат - число газовых полостей;
, - > 0. (4)
"гЛ
Следовательно, величина х2 ограни -чена сверху, т. е.
* "гп ^
х2 <-^ . (5)
2 2ШЬ
Рассмотрим линейную модель стабилизатора давления. Допустим, что смещение жидкости в стабилизаторе достаточно мало. Тогда уравнение (3) станет линейным, допускающим точное решение:
d2 х 2 4 (kRL )2
■ +
d t2
2nRL + -
Sp m
m
C 2 +
пер
n
V пеР
+ -
n
ср
d dt
■ +
V
£
(6)
X 2 = °.
Из уравнения (6) следует, что характер движения жидкости в жидкостной камере при малых смещениях не зависит от количества газовых полостей.
Введем обозначения:
4 (nRL)
2f s s Л
пер + пат
в2 =
m
2nRL
V
n
ср >
пат у
sp m
C Л
C2 + C
. 2 £ j
Тогда уравнение (6) примет следующий вид:
(2) d2x
a-
dx.
в2 x2 = 0.
(7)
&2 &
Решение уравнения (6) зависит от дискриминанта. Свободные колебания жидкости возникают, если дискриминант отрицателен. Соответственно
-0,5ш
X,
A cos (g t) + B sin (g t)]. (8)
Константы А и В определяются из начальных условий:
dx
X2 X20'
2 _
dt
= C3 при t = 0 .
(9)
Если известно смещение разделительных элементов х1 = х10 при t = 0, то х20 можно определить из (2).
Из (8) следует, что колебания жидкости в стабилизаторе будут затухающими, т. е. стабилизатор будет гасить возникающие в трубопроводе вибрации.
№ 1'2012
1б9)
Запишем выражение дискриминанта полностью:
4 (иЯЬ)
2пКЬ
^ Sm
2 пКЬ
2
? (.
пер пат
П
V пер
2
V
(^ С,
\С 2 + I1 ).
1 С
—\ С2 + 1
SР12 с
< 0;
2 (пКЬ)
3 ( 5 , ^
пеР , °пат
П
V пеР
1
~ — \С2 +— 1< 0.
ср SP \ 2 £
Из последнего неравенства следует условие колебательного движения жидкости в жидкостной камере:
г ^ Л 2
1
S„
С 2+С
. 2 £ у
/
>
т
5 ^
пер + пат
\2
П
V пеР
п
Апериодическое движение жидкости возникает, если дискриминант равен нулю. Тогда решение будет следующим:
- 0,5а
X.
2
(А+Вг)
Для начальных условий типа Сг„
Х2 Х20 ' '
Сл
= о при г = о
постоянные А и В примут следующие значения:
А = Х20 =
гп р
2кЯЬ
г
X
в = пт кЯЬЗр
т
10'
пер
п
V пеР
п
У
Условие апериодического затухающего движения в жидкостной камере:
1
S_
/
С
С2 + -1
2 £2у
2 {пЯЬ)Ъ
т
л2
пер
+ -
п
V пер
пат у
х2 = Ае71 + Ве7^
где ,-
а
71 =-т + <
а
72 = ---
/ Л 2
( а4
I;
-в2;
2
( а4
-в2.
5-
S_
С + С
С 2 + £2
<
2 (к№)3
т
пер + лпат
2
п
пер
< .(17)
пат
< 0; (10)
А =
В =
Для начальных условий типа (9):
7 2«гп Sр
2к1^ (72 -71)
71«гп SР
40'
(18)
V;.(11)
2пЯЬ (72-71) 10' Уравнение (3) представляет собой нелинейную модель стабилизатора. Аналитическое решение можно получить численными методами, не прибегая к линеаризации.
На интервале г е (0; tкон) введем разностную сетку с постоянным шагом А г. Допустим, что х2 = х и заменим первую и вторую производные разностными аналогами:
(12) "ТТ
с1х
XJ ^
а2 х
Аг
С г2
х+1 2 х + . (19)
(А )2
Аналоги первой и второй производных имеют первый и второй порядок точности соответственно.
Подставив (17) в (3), получим явное разностное уравнение первого порядка
(13)
точности для определения X. j+1 по времени:
X+1- 2X + X-1 + 4 (п^)2 х
;+1
на шаге
(А )2
т
г
х
л
пер
+
п
V пер
(14)
Если дискриминант положителен, то решение уравнения будет выглядеть так:
+
2кЯЬ
Sр т
(15)
(16)
п
С 2 +
х- - X
j-1
Аг
С1
х- - х
>1
Аг
+
(20)
Л 2пRL
£--X;
Пгп Sр
X = 0.
-V!
V
Отсюда
2 X-X, - 4 (^)2 (А') х
т
Так как а> 0 и в > 0, то из дискриминанта следует, что 71 < 0 и 72 < 0 . Поэтому и в этом случае движение будет затухающим.
Таким образом, условие апериодического затухающего движения имеет следующий вид:
х
пер + °пат
п
V пер
п
+
2кЯЬ (Аг )2
Sр т
Xj Х-!
С 2 +
( Xj - X3-1)
+
(21)
С1
Л 2пRL
£--X.
Пгп Sр
№ 1' 2012
1
Начальные условия (9) запишем так:
_ гп р
Xo = 7ZT Xio;
ndl x1 = x0 + c3 At.
Введем обозначения:
(22)
2nRL S,
бт
Sр Sp
= hi;
(2nRL)2 2 Sр
--- = hi2—;
m m
(23)
S с
пер + пат
n„
пер
n„
= h2 •
Величина - это отношение площади боковой поверхности перфорированного участка трубы к площади поверхности
разделительного элемента.
С учетом (23) уравнение (20) и начальные условия (22) примут вид:
Л2 |xJ - хН| (х; - хН )■
Xj+1 = 2 Xj Xj-1
+
m
hi (At)2
m
C2 +
C
£-A- X
xj;
Xj+i = 2 Xj Xj-i
m
-h2А^ср (Xj- Xj-1 )
+
hi (At)2
m
C2 +
C
£-A. X
гп у
сетки Дt; точность счета е; величины
nгп, ^ Л^ Л2, m, ^ Po, С2, C3, V ^ определенные в предыдущих разделах. Выходные данные приведены в таблице. Алгоритм решения задачи:
1. Начало.
2. Установить номер итерации k = 0.
3. Установить начальное значение времени t0 = 0.
4. Вычислить = tj + Дt.
5. Если модель нелинейная, то по формуле (24) вычислить Х|+1 , иначе вычислить Х|+1 по формуле (25).
6. Сохранить t■J++1 х^.
7. Если t(+1 + 0,5Дt < Т, идти к пункту 4 данного алгоритма.
8. Увеличить номер итерации: к — к +1.
9. Если k > 1, вычислить q = max (Xi
.(k+i)
X k)),
(24)
иначе идти к пункту 4 данного алгоритма.
10. Если д < е, то идти к концу алгоритма
11. Пересчитать Дtк — Дt
12. Идти к пункту 3. 2 2
13. Конец.
Выходные данные по программе расчета движения свободной жидкости в стабилизаторе
-0 ---10 ; —1 - -0 I С С 3 /\ £.
Лц
Для линейной модели разностная схема будет следующей:
л2
пгп sp hi h2
2 0,101788 4 2000
m At t кон £
110 0,05 15 1,6
Po Ci C2 Xio
1,5 0,152681 120 0,04
Xo = X1 Средняя скорость C3
0,02 0,0147 0
(25)
-0 - -10 ; —1 - -0 I С3 £.
Лц
Для расчетов движения свободной жидкости в стабилизаторе была разработана специальная компьютерная программа. Программа составлена с учетом следующих условий: время счета Т и начальный шаг разностной сетки Дt и точность счета е задаются пользователем; расчет производится итерационно с пересчетом шага Дt — (1/ 2)Дt до тех пор, пока не выполнится условие
тах (х/к+1} -х,(к} )< е, (26)
где к - номер итерации.
Входные данные: время счета одной итерации Т; начальный шаг разностной
Примечание: т - масса жидкости в жидкостной полости; р0 - давление в начальной момент.
Результаты расчетов движения жидкости по линейной и нелинейной моделям приведены на рис. 1.
X, м 0,025-
t, с 6
0,020,0150,010,0050- 0,005-
- 0,01 -- 0,015-
Рис. 1. Расчеты смещений по линейной и нелинейной моделям: 1 - линейная модель; 2 - нелинейная модель
т
№ 1'2012
На рис. 2. приведены расчеты динамической нагрузки р на перфорированную поверхность трубопровода:
т а2X т -2X + X 1
-. (27)
г=ti
^т сг2
г=ti
S,
бт
(А )2
Рй, Н/м2 20
А
М
1 / / \ N
\ / 1\ <1 0 ч э/ 1 4 1
\ У \
1 2
/
15 10
0 I II II /I /ММ / N1 «.с
- ю
- 15
- 20
- 25
- 30
Рис. 2. Расчеты динамического давления по линейной и нелинейной моделям:
1 - линейная модель; 2 - нелинейная модель
Выводы
Получено уравнение движения жидкости в стабилизаторе давления с выносными камерами. При выводе формулы (2) были сделаны следующие допущения: изменение положения разделительных элементов относительно начального равновесного положения незначительно; масса жидкости в жидкостной полости является постоянной величиной; процесс сжатия и расширения в газовой полости принят изотермическим.
Расчеты показывают, что линейная модель существенно занижает время зату-
хания колебаний. Очевидно, это связано с выбором средней скорости.
На частоту колебаний линеаризация уравнения движения жидкости заметного влияния не оказывает, так как в течение всего времени расчета считалось, что смещение жидкости в стабилизаторе достаточно мало.
Из приведенных расчетов следует, что движение жидкости в стабилизаторе следует рассчитывать по нелинейной модели, так как линейная модель, к которой прибегают во многих случаях, может дать неверные результаты.
1. Роскин А. Б. Устройства для стабилизации колебаний давления и расхода в тепловых сетях // Новости теплоснабжения. - 2004. - № 3. - С. 36-40.
2. Бегляров Д. С., Греков Д. М. Моделирование движения жидкости в стабилизаторе давления с выносными камерами // Природообустройство. — 2011. - № 5. — С. 63-66.
3. Аршеневский Н. Н., Поспелов Б. Б. Переходные процессы в крупных насосных станциях. - М.: Энергия, 1980. - 111 с.
4. Ганиев Р. Ф., Низамов Х. Н., Дербуков Е. И. Волновая стабилизация и предупреждение аварий на трубопроводах. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. — 260 с.
Материал поступил в редакцию 27.09.11. Греков Дмитрий Михайлович, аспирант
Тел. 8 (499) 976-11-85
№ 1' 2012
