Расчет колебаний в круговых цилиндрических оболочках со стабилизатором давления методом характеристик Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ В КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ СО СТАБИЛИЗАТОРОМ ДАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

Ф.В. РЕКАЧ, канд. техн. наук, доцент Российский университет дружбы народов, Москва

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: круговая цилиндрическая оболочка, колебания

Неустановившееся движение несжимаемой жидкости (р = const) описывается уравнениями движения и неразрывности следующего вида:

дх

( v^

gpz + p + ар — + а'р — + р~v | v |= 0, [н /м3 ] (1)

2

dt 2D

V д-Р + 8-Р + рс2 ^ = о, [я /(м2 • сек)], (2)

дх 8t -х

где р - абсолютное гидродинамическое давление; V - средняя по живому сечению скорость; g - ускорение свободного падения; г - геометрическая высота; р - плотность жидкости; t - время; X - коэффициент гидравлического трения по длине; Б - диаметр трубопровода; с - скорость распространения волны давления; а и а'- коэффициенты Кориолиса и Бусинеска, принято, что а = а' = 1.

Если в качестве основных характеристик потока принять расход Q = Fv и абсолютный гидродинамический напор (выраженный в метрах водяного столба) Н = p/(pg), то вместо уравнений (1) и (2) получим:

_д_ дх

2 Л

gFz + gFH +

дQ Л + — +-

д( 2DF

0101= 0, [м3/ сек2 ] (3)

0 дН дН с

—-+-+ —

F дх дt gF дх

=о,

\м /сек],

(4)

Умножая уравнение (3) на c/(gF) и, прибавляя (вычитая) к полученному выражению (4), получим для прямой характеристики

■^т 0101= о, (6)

dx 0 дН с д0 dz

— = — + с; (5) -+--— + с— + с-

dt F & gF & dx 2DgF2

для обратной характеристики:

Л

dx 0 дН с д0 dz — __. , „

— = — -с; (7)--+--— + с— + с--0 | 0 |= 0. (8)

dtF дt gF & dx 2DgF2

Пусть значения Н и 0 в сечениях А и В трубопровода (рис. 1) соответственно в моменты времени tA и tв известны. Требуется найти значения Нс и 0С в сечении С X < xв < xC) в момент времени tC, причем xC и tC неизвестны и определяются расчетом. Используя конечно-разностные уравнения первого порядка [1] в соответствии с (5)-(8), получим зависимости для определения tC, xC, НС, 0С ( для (11) суммируем (6) и (8); для (12) вычитаем (8) из (6)):

tc =

X А XB (0А

/ F + са Уа + (0в / F-Cв Ув

0с =

(0в / F-Cв )-(0а / F + са )

XC = XА + (0А / F + сА - tA ^

НА -НВ + <2АсА /(^А ) + <2всв /(^В )-сА ^С Z А )/(x С XA ) ' (С t А )

(9) (10)

са /(gFA) + св /(gFв)

+

сВ (7,В 7,С )/(ХВ ХС )(tB tC ) сА лп 0^2 (tC А ) + сВ лп „тВ- (^В tC )

+

2DлgFi

2DвgF-

НС = Н В +

са /(gFA) + св /(gFв)

В ) + св 7 ) (^с ) + св

— (0С-0В) + св _ ) ^В (XC XB)

ЛвШв1

2DвgF-

(11)

(tc-tв). (12)

Расчет неустановившегося напорного движения жидкости ведется непосредственно по сетке характеристик по уравнениям (9)-(12) при заданных начальных и граничных условиях - рис. 1 и рис. 2. Величина шага по времени ^ и величина шага по X - Ax являются в общем случае переменным и определяются в процессе счета, т.е. сетка характеристик является нерегулярной.

Расчет граничных точек на левой границе X = 0) ведется по формулам (7)

¿1

Рис. 1

Рис. 2

и (8) для обратной характеристики и граничным условиям на левой границе. Расчет граничных точек на правой границе (хм = L) ведется по формулам (5) и (6) для прямой характеристики и граничным условиям, заданным на правой границе. В данной работе рассматривается регулярная прямоугольная сетка характеристик: шаг по времени Дt и координате Дх являются постоянными (рис. 3). Из уравнений (6) и (8) для характеристик КР и SP запишем расчетные зависимости для определения Qp и Нр:

Я^ = Нк-Н^ gF + ^ + ^

ге г Б

2с

2

Хо X с

gFAt -

( ¿кЯкШщ + ХДЯД|ЯД|

I . (13)

Нр = НК Яр + Як gF

или

Нр = Н5 Яр + Яs gF

с -

гр _ гк * _ ХкЯк 1 Як 1

2 gDF2

2DF 2DF

ч у

сAt (по прямой характеристике); (14)

с _-

гР _ г

S-сAt _ ^^ 1 Я 1 с А (по обратной характеристике). (15)

2gDF

В качестве начальных условий задаются параметры установившегося течения потока в гидравлической системе: 1) расходы ОУ1 и напоры НУ1 на каждом участке системы; 2) параметры системы - плотность жидкости р, диаметры /), труб, отметки осей заложения труб в расчетных сечениях, усредненные коэффициенты сопротивления XI и т.д.

Начальное распределение давлений и расходов рассчитываются по уравнениям установившегося движения жидкости.

Из теории квазилинейных уравнений гиперболического типа следует, что для решения смешанной задачи необходимо задавать по два граничных условия на каждой границе. В то же время значения одной из неизвестных функций переносятся на границы соответствующими характеристиками. Поэтому на каждой границе следует задать по одному граничному условию. Уравнения (3) и (4) в характеристической форме имеют вид:

~дЯ лдЯ

£

/О

У X

X

¿¿е АХ АХ АХ

Рис.3

8Н ( \8Н с

— + (я / F + с )1т + —: д дх gF

8Н ( )дН с

д дх gF

17 + Я / F + с

д дх

-Я + Я / F _ с

д дх

,-Я

ёг сХЯ | Я п + с— + ^ ' ~ 1 = 0; (16) ёх 2DgF2

ёг сХЯ | Я | п + с— + —^ , = 0. (17) ёх 2DgF2

При определении знака расхода Я применяется следующее правило: расход жидкости, втекающий в узел (направленный к узлу), имеет знак плюс, а расход жидкости, вытекающий из узла - знак минус. В соответствии с (16) и (17) и учетом правила знаков, получим формулу для определения абсолютного напора Нк .+1 в момент времени ] + 1 на правой и левой границах в к -ом граничном

сечении трубопровода:

Нк, .+1 = Кк _ гкЯк,.+1 •т =

К = Нк. + Як, ^т + (с + Ят_Нк.+ А +

+ (с • т + Я / F^ _ Як, ] + ЯК1 I ЯК1 I

с X

(18) (19)

gF

Ах 2 gDF

хр х&

где буква f (например, Нозначает сечение в узле рядом с граничным; гк = с /(gF); т = 1 для правой (прямой) характеристики и т = -1 для левой (обратной).

Рассмотрим узел напорной системы, в котором соединяются N ветвей. Расход в кп -ом граничном сечении п-ой ветви трубопровода в момент времени 1 +1 определяется по формуле:

Q.

Ккп, ] +1 Нкп, ] +1

кп, ]+1

т .

(20)

В каждом узле пересечения труб выполняется условие неразрывности

I е,

п=1

кп , 1 +1

= 0

или

I

Ккп ,1+1 Нкп ,1+1

т

-еот+=о, (21)

где еот и епр вытекающий и притекающий расходы из (в) узла через специальные устройства (используются только правые характеристики). Пренебрегая местными потерями напора в узле, имеем:

Нкъ 1+1 = Нк2,1+1 =... = Нк„, ¡+1. (22) В соответствии с (21) и (22), получим:

Н

п=N

п=N

кп , 1 +1

= I \/ Гк/ 11/Гкп .

(23)

п=1 / п=1

Пусть в узле напорной системы установлена задвижка. Потери напора в задвижке, установленной в г -ом сечении конструктивного участка трубопровода, определяются по формуле Вейсбаха:

-2 е2

к = *З 2g = 2gF2

(24)

где - коэффициент потерь напора в задвижке, который зависит от степени ее открытия к /D; V - скорость в трубе перед (за) задвижкой (рис. 4, рис. 5).

т\

Чг

<2

I I

1-н

Рис. 4

Рис. 5

Соотношения на прямой характеристике (( -1, 1) - (г1, 1 +1) имеют вид:

Н+1,1 )+(&.„ -а+1,1)+ Л+1,д:1 а+и1 а+Fgk +1 )А=0.(26)

5+1 -Н-1,1 )+е,1+1 -а-1,1)+ Л 1 е2 у.у)е^ А + Fgк )£ = 0, (25) -ё1 (Н

с V г2,] +1 г + 1,1 > Y~^2,1 +1 + 2FD '2 ' + '' АХ

Уравнения (25) и (26) справедливы для конструктивного участка с постоянным по его длине диаметром D . Очевидно, что

ен = ег 2 = Qi (27)

для любого момента времени ^ до полного закрытия задвижки.

Уравнения (25)-(27) необходимо совместно решать с уравнением (24), представляемом в виде:

г

к

г

п=1

к

п

кз,1+1 — Нц,1+1 Нг'2,1+1 — ,1+1

йг,1 +ЛQгj +1!

2 gF2

(28)

где к3 ^+1 - f {к^+1 / D) и зависит от конструкции задвижки.

Значения к3 — f (к / D) приводятся в гидравлических справочниках. Из уравнений (27) и (28) находим:

с Л1-^,1!Qi '

Н1, 1 +1 — Нг-1,1

Н2,1+1 — Н г +1,1

gF

(Qг1,1+1 - а-1,1 )-

gF

2FD

-А - с

+—(а ,+1 - а,+11)+—ЛмЛ+и!й+1,1! *+с -^^Ц А . (зо)

gF^гl,1+1 +1,!' gF 2FD (^ ) К '

^г - -и

- Хг-1,

к - zi+1

- Хг+1

■А!, (29)

Решая совместно (28), (29) и (30), получим:

й-, 1+1 ! аг, 1+1 ! („ „ \ 2с

2gF2

(нг--1,1 - Нг+1,1)-+ ^ - а+11)

(л-1,/аг-1,/!аг-1,/! Л+1Й1+1,,!а1+1,,!

gF

+

или

2FD

+1 + ва, 1+1

2FD

А?

(31)

АГ - 2с — АГ Ах

Аа11+1+а+1+с—о.

к

где А — ^ (йг, 1 +1), В — ^ , С —(Нг+11 - Нг-11 У ^ ^-1,1 - бг+1,1 ) +

+ -

с ( Л-хЛ-1,1 а-1л ! . Л+1Йг+1,1 !йг+1,1 !

gF

\

2FD

+

2FD

А

АГ + 2с — АГ. Ах

Решая квадратное уравнение (32), определим

а,

- В + VВ2 - 4АС

, 1+1

2А

(32)

(33)

По формулам (31) и (32) вычисляем напоры Нг 1+1 и Н^ 1+1 .

В узле напорной системы установлен воздушно-гидравлический колпак (ВГК). Рассмотрим воздушно-гидравлический колпак, установленный в г -ом сечении конструктивного участка трубопровода (1 <г < N )(рис. 6).

В первом приближении находим расход йс, поступающий в ВГК на временном шаге /:

С; а а • сЩШкс

При политропическом законе расширения -сжатия воздуха г /

(34)

НС,1+11 — Нс,^,

где Нс - напор в сечении с-с, м> - объем воздуха в ВГК. Очевидно, что и /+1 = и'( ~()СА , тогда

.. 'У//М////.У,.

и ?

Т "с

■Л

ч

¿V

Нс,1+1 — Нс,1 ^1^1+1 У .

¿-/ I, \ с Мг ¿+4 Рис.6

Зная напор в точке О, расходы в сечениях (1 - г1) и (2 - г2) на временном слое 1 +1 а ч 1+1 и а 1+1 для прямой и обратной характеристик определяются по формуле (20). 64

с

Во втором и последующих приближениях расход

&с=Ьс+^+1 - вw+l )/2.

Для уточнения напора учитываются также напор h и потери напора в узле соединения ВГК с трубопроводом, определяемым по формуле

вс1всI

hd =

2 gFC

где - коэффициент потерь напора в узле соединения.

Рассмотрим схему трубопровода, показанную на рис. 7.

Цифрами обозначены: 1 - резервуар с постоянным давлением

ту "¿¿Ул>/

Рис.7

Н г ; 2 - трубопровод; 3 - задвижка; 4 - воздушно-гидравлический колпак (ВКГ - стабилизатор давления); 5 - узел соединения ВГК с трубопроводом.

Пример. Исходные данные: L = 3500 м, Ll = 2670 м, диаметр трубопровода D = 200 м, НТ = 74 м; hmр = 42 м скорость движения жидкости при установившемся движении уy = 1,4 м/сек (расход вУ = 0,044 м3/сек), коэффициент гидравлического трения X = 0,0239 скорость распространения волны давления с = 1000 м/сек, коэффициент потерь напора в узле соединения колпака с трубопроводом = 0.

На рис. 8 показаны графики изменения давления в точке С в зависимости от времени: кривая 1 - колебания давления без колпака; кривая 2 - колебания давления с колпаком объема = 0,4 м3; кривая 3 - колебания давления с колпаком объема ^о = 0,8 м3. Задвижка закрывается в момент времени ^ = 50 сек.

Расчеты хорошо согласуются с результатами, полученными в [2].

Вывод: При увеличении объема колпака значительно увеличивается период колебаний давления.

Литература

ДАВЛЕНИЕ а МАГИСТРАЛИ, МПа

1. Лямаев Б.Ф.,Небольсин Г.П., Нелюбов В.А. Стационарные и переходные процессы в сложных гидросистемах//J1.: Машиностроение, 1978.-191 с.

2. Масс E.IL, Алышев В.М. и др. Рекомендации по расчету неустановившегося движения многофазной жидкости в напорных системах// М.: рис g ВНИИТС, 1984. - 103 с.

3. Фокс Д.А. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах// М.: Энергоиздат, 1981. - 247 с.

ANALYSIS OF OSCILLATIONS IN CIRCULAR CYLINDRICAL SHELLS BY CHARACTERISTICS METHOD WITH PRESSURE STABILIZER

Rekach F.V.

Analysis of effective facility for reduction of harmful water hammer wave processes in circular cylindrical shells based on elastic-damping action is described.