Расчет динамических усилий в элементах подвесного здания Текст научной статьи по специальности «Физика»

TECHNICAL SCIENCE

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ УСИЛИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ ПОДВЕСНОГО ЗДАНИЯ

Азизов Т.Н.

доктор технических наук, профессор, Уманский государственный педагогический университет

CALCULATION OF DYNAMIC FORCES IN THE ELEMENTS OUTBOARD BUILDINGS

Azizov T.N., Doctor of Engineering, Professor, Uman State Pedagogical University

АННОТАЦИЯ

Приведена динамическая расчетная схема подвесного здания. Предложена методика определения уравнений движения системы и реакций связей, являющихся нагрузками на несущую раму. Методика основана на составлении дифференциальных уравнений относительного движения, а также уравнений Ла-гранжа второго рода. Показаны преимущества подвесного здания по сравнению с традиционными зданиями, работающими по консольной схеме.

ABSTRACT

Shows the dynamic suspension design scheme of the building. The method of determining the motion of the system and connections reactions which are the loads on the bearing frame. The technique is based on the preparation of the differential equations of the relative motion, and the Lagrange equations of the second kind. The advantages of the suspension of the building compared to traditional buildings, the scheme operating on a console.

Ключевые слова: подвесное здание, сейсмическая безопасность, относительное движение, уравнения Лагранжа, динамические силы

Keywords: Suspended building, seismic safety, relative motion, Lagrange equations, dynamical forces

Анализ исследований и постановка задачи. Известно, что в сейсмических расчетах традиционных зданий массы этажей сосредотачиваются в уровне перекрытий [5]. Горизонтальные динамические силы от массы каждого этажа, как известно, равны произведению массы на ускорение колебания грунта. При этом, чем большее количество этажей имеет здание, тем большие усилия будут возникать в уровне обреза фундамента.

Основная идея систем сейсмической изоляции с выключающимися связями состоит в том [4, 6, 7], что выключающийся элемент прикрепляется жестко к связевому элементу и к основной несущей конструкции, обеспечивая жесткую связь вышележащих этажей и фундамента до определенных пороговых величин сейсмической нагрузки. После превышения этих пороговых величин выключающийся элемент разрушается. Недостатком такой защиты является необходимость замены выключающихся элементов после землетрясения. Кроме того, величина таких пороговых значений весьма сложно поддается расчету. Сейсмические усилия снижаются, но остаются при этом достаточно большими.

Изоляция с помощью демпферных устройств также имеет ограниченную степень изоляции.

Автором настоящей статьи в работе [1] предложена конструкция подвесного здания, отличающегося высокой сейсмической безопасностью. Эта конструктивная схема является новой и требует разработки методов расчета ее элементов. Ее преимущества очевидны, однако методика расчета динамических усилий требует совершенствования.

В связи с вышесказанным целью настоящей статьи является развитие предложений [1] и уточнение динамических расчетных схем для расчета подвесного сейсмически безопасного здания.

Изложение основного материала. Схема подвесного здания по [1] представлена на рис. 1. Конструкция состоит из несущей рамы 2, на которой шарнирно подвешен каркас здания 1 на тросе 3. Преимущества такой конструктивной схемы по сравнению с традиционной схемой с точки зрения сейсмической безопасности можно видеть из рис. 2, где приведены динамические расчетные схемы зданий.

1 - каркас здания; 2 - несущая рама; 3 - подвеска

В традиционном здании при наличии внешнего горизонтального ускорения в уровне перекрытия каждого этажа будут действовать динамические силы Р — т • а, где т - масса одного этажа; а - ускорение колебания грунта от землетрясения.

В уровне обреза фундамента суммарный изгибающий момент в условной консольной схеме традиционного многоэтажного здания будет складываться из моментов от силы в уровне каждого этажа. В рассматриваемом же подвесном здании динамическую схему приближенно можно представить (см. рис. 2, б) как одна масса величиной

М — П • т . И горизонтальная реакция на несущую раму будет меньше реакции по консольной схеме.

Рассмотрим принцип предварительного динамического расчета, целью которого является определение уравнений движения системы и порядка сейсмических сил, действующих на несущую раму, что позволит принять предварительные размеры и материалы.

Если все подвесное здание (или сооружение) рассматривать в первом приближении как сосредоточенную массу, подвешенную на раму, то расчетную динамическую схему можно представить в

виде маятника с подвижной точкой подвеса. Эта точка подвеса совершает колебания около нулевой точки, которые возникают в результате колебаний грунта при землетрясении. В [8] имеется решение задачи об определении относительного движения такого маятника с использованием дифференциальных уравнений относительного движения. Схема к

Точка подвеса маятника массой т колеблется в горизонтальном направлении по оси х около центра колебаний О с амплитудой А. В [8] рассмотрено решение задачи для маятника, точка подвеса которого совершает горизонтальные колебания по уравнению:

х = А • соэрЬ , (1)

Рис. 3. Схема усилий в маятнике с подвижной точкой подвеса

Уравнение малых вынужденных колебаний маятника, полученное для условий (1), выглядит [8]:

<Рг

Ар2

l(k2-p2)

(cospt — coskt) , (2)

где I - длина подвески троса; р - частота вынужденных колебаний точки подвеса; к = ; Е

- ускорение свободного падения.

Первая производная по времени выражения (2) даст нам величину относительной угловой скорости Юг, а вторая производная - величину относительного углового ускорения ег. Линейные относительная скорость уг и относительное касательное ускорение аТгГ получатся умножением на длину I соответственно угловой скорости и углового ускорения.

Для определения горизонтальной составляющей реакции, приложенной к точке подвеса (в нашем случае несущей рамы, к которой подвешено здание) применим принцип кинетостатики. На рис. 3 на маятник массой т приложены следующие силы:

1. сила тяжести G=mg, направленная вертикально вниз;

2. проекция переносной силы инерции Рех = т • аех, где аех - переносное ускорение, полученное из двукратного дифференцирования выражения (1) и направленная вправо по горизонтали;

3. Касательная составляющая относительной силы инерции РТГ, равная произведению массы на касательное относительное ускорение и направленная в обратную от направления скорости уг и касательного относительного ускорения аг (см. рис. 3);

4. Нормальная составляющая относительной

г г уг2

силы инерции гпг, равная гпг = т^— и направленная по оси подвески;

5. Усилие в связи (нити подвеса) маятника, имеющей угол с вертикалью <рг, выражение для которого получено в [8] (см. выше выражение (2)).

Проектируя (по принципу Даламбера) все силы, включая и силы инерции, на ось нити, получим величину усилия Б в нити:

5 = РехБтф + всозф + Рпг, (3)

где составляющие выражения Рех, С и Рпг определяются по вышеприведенным формулам (п. 1,2. и 4).

Можно также определить силу натяжения нити Б, проектируя все силы на ось X. При этом в выражение войдет сила РТ Г и не войдет сила в, результат при этом будет аналогичным.

Раскладывая величину усилия натяжения нити Б на составляющие по осям X и У, получим величину вертикального Бу и горизонтального Бх давления на опору маятника (в нашем случае - давление на точку подвеса в несущей раме здания).

Величины 5У, 5х являются, как видно из вышеприведенных выражений, функциями времени, а также функциями периода и частоты колебаний точки подвеса (выражения 1).

Если уравнение движения основания задано не в форме (1), а, например, по закону синуса или какому-либо другому закону, то принцип расчета не отличается от приведенного выше.

Как показывают расчеты, величина горизонтальной составляющей 5х усилия натяжения нити существенно меньше аналогичной составляющей при консольной схеме здания (см. рис. 2). Рассмотрим для примера одномассовую систему в двух вариантах: масса подвешена на нити длиной I (рис. 4, а) и консольная (рис. 4, б).

Рис. 4. Горизонтальные динамические усилия на одномассовую систему: а) - подвесной массы; б) - консольной

Пусть колебания грунта подчиняется закону согласно выражению (1). Проанализируем на основе вышеприведенной методики расчета, как будет отличаться максимальная горизонтальная составляющая динамической реакции опор в обоих случаях. В схеме по рис. 4, а эта сила Sx будет приложена в точке подвеса массы, а в схеме по рис. 4, б - сила Fex приложена непосредственно к самой массе. Если амплитуда колебаний выражения (1) составляет А=0.036м, а частота p=10 с-1, то максимальная скорость, полученная однократным дифференцированием выражения (1) составит vmax=0.36 м/с, а максимальное ускорение, полученное двукратным дифференцированием выражения (1) составит amax=3.6 м/с2. Такие скорость и ускорение являются средними значениями скорости и ускорения колебания грунта при 9-бальном землетрясении. При длине подвески /=4м отношение максимальных горизонтальных составляющих Fe,max/Sx,max составляет 20.2. Т.е. горизонтальное давление на

опору в схеме по рис. 4, б будет в 20 раз больше давления в схеме по рис. 4, а. При длине подвески /=6м отношение Fe,max/Sx,max будет уже равно 30.3. Следовательно, изменением длины подвески можно регулировать величину Fe,max/Sx,max.

Следует отметить, что величина Fe,max/Sx,max существенно зависит от амплитуды А и частоты р колебаний выражения (1), а, следовательно, от ускорения. Чем больше ускорение, тем больше величина Fe,max/Sx,max.

Более точная расчетная схема получится, если учесть, что кроме горизонтальных колебаний точки подвеса как жесткого целого следует учитывать деформацию несущей рамы. В таком случае динамическая расчетная схема будет выглядеть, как показано на рис. 5. При этом в расчетной схеме фигурируют масса тг консоли (рамы) и масса т2 маятника (здания).

Рис. 5. Динамическая расчетная схема консольно-подвесной системы: а) - реальная схема; б) - упрощенная схема

Для упрощения расчетной схемы можно заменить реальную схему по рис. 5, а на упрощенную по

рис. 5, б, где защемленная в основании консоль заменяется жестким стержнем, шарнирно закрепленным в основании и пружиной жесткости С в вершине.

Жесткость пружины С подбирается из условия равенства статического прогиба конца консоли от единичной горизонтальной силы перемещению пружины от той же силы. Основание системы (точка О на рис. 5) колеблется по горизонтали влево и вправо с амплитудой О-О1.

Расчет такой схемы можно производить с использованием уравнений Лагранжа второго рода. При этом система будет содержать три обобщенные координаты: горизонтальное перемещение основания q г, угол поворота стойки д2 и угол поворота нити qз (рис. 5, б). Составляя уравнения Лагранжа второго рода, придем к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Начальные условия задачи вытекают из заданных колебаний грунта (типа выражения 1) при сейсмическом воздействии. Углы поворота и угловые скорости стойки и нити в начальный момент равны нулю, т.е.:

Чг(0) = 0; ч2 = 0; ^(0) = 0; = 0 ; (4)

перемещение точки О основания в начальный момент равно нулю, ускорение в начальный момент задано условиями, например, если колебание основания описывается в виде выражения (1), то имеем: Ч1(0) = 0; = -Ар2 ; (5)

Точка или две точки над символом в выражениях (4) и (5) обозначают соответственно первую и вторую производную по времени £

Представление схемы в виде, показанном на рис. 5, является более точным по сравнению с представлением в виде тележки с подвешенным грузом, наезжающим на упругий упор.

Вариантом расчета может также быть трехмас-совая система, когда учитывается также масса тележки (см. рис. 5, а), моделирующая массу фундамента. При этом уравнения Лагранжа все равно будут состоять из системы трех дифференциальных уравнений, т.к. система и в этом случае будет содержать три обобщенные координаты (см. рис. 5, б).

Система дифференциальных уравнений Ла-гранжа достаточно просто решается как численно, так и аналитически. Решение этой системы даст нам закон движения системы. Зная закон движения, достаточно просто получить силы, действующие на элементы системы, в том числе на пружину, что в нашем случае является горизонтальной составляющей на опорную раму.

После определения предварительных сечений конструкции несущей рамы и самого подвесного здания окончательный сейсмический расчет можно

производить с использованием известных программных комплексов типа «Nastran», «Ansys», «Лира» и др.

Динамические силы на такую несущую раму будут ниже, чем в случае, когда колонны каркаса здания являются защемленными в фундаменте (см. приведенный выше пример). Кроме этого изменением соотношения массы рамы и массы здания, а также изменением длины нити подвески можно регулировать частоту собственных колебаний такого здания для исключения резонансных явлений при землетрясении.

Выводы и перспективы исследований. Преимуществом ранее предложенного автором подвесного здания является факт существенного уменьшения сейсмических сил. Предложенная методика динамического расчета системы с использованием дифференциальных уравнений относительного движения, а также с использованием уравнений Ла-гранжа второго рода позволяет достаточно просто получить уравнения движения системы. Имея уравнения движения системы легко определить динамические усилия и реакции в связях, а, следовательно, усилия в несущей раме. При этом используется принцип Даламбера.

В перспективе предполагается совершенствование предложенного способа определения динамических реакций путем рассмотрения пространственного расчета в отличие от рассмотренного здесь плоского варианта.

Литература

1. Азiзов Т.Н. Конструкщя сейсмiчно стшко! будiвлi / Патент на корисну модель №54247. Укра-!на. Бюлл. №20. 25.10.2010.

2. Айзенберг Я.М. Сооружения с выключающимися связями для сейсмических районов. - М.: Стройиздат, 1976. - 229 с.

3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Учебное пособие - 36-е изд. / И.В. Мещерский. - М: Наука, 1986. - 418 с.

4. Савин Г.Н. Теоретическая механика / Г.Н. Савин, Н.А. Кильчевский, Т.В. Путята. - Киев: Гос-техиздат, 1963. - 610 с.

5. Смирнов А.Ф. и др. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

6. Смирнов В.И. Применение сейсмоизоляции зданий и исторических сооружений в России / В.И. Смирнов, Я.М. Айзенберг // Будiвельнi конструкций Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник. Вип. 60. - К.: НД1БК, 2004. - С. 210-217.

7. Смирнов В.И. Сейсмоизоляция зданий и сооружений / Промышленное и гражданское строительство, 1997, № 12. - С. 37-39.

8. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. Динамика. / А.А. Яблонский. - М.: Высшая школа, 1966. - 411 с.