Метод построения крутильно-поступательных форм собственных колебаний многоэтажных зданий Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.042.7

Егупов К. А.

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КРУТИЛЬНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ

K.A. Egupov

METHOD OF CONSTRUCTION TORSIONAL-TRANSLATIONAL FORMS OF OWNERSHIP VIBRATIONS MULTI-STOREY BUILDINGS

Разрабатывается смешанный аналитический метод построения крутильно-поступательных форм собственных колебаний многоэтажных зданий. Осуществлено решение для каркаса, определяющее относительные смещения перекрытий по высоте, и отдельно решение для одноэтажного каркаса с жёстким в своей плоскости перекрытием, определяющего крутильно-поступательные смещения в его плоскости. В качестве примера рассматривается 9-ти этажное каркасное здание, расчёт которого выполнен предлагаемым методом. Для контроля точности предложенного метода выполнено численное решение полной системы уравнений, определяющих поэтажные крутильно-поступательные колебания здания.

Ключевые слова: каркасное здание, деформации сдвига, случайные эксцентриситеты, крутильно-поступательные колебания.

Developed an analytical method for constructing a mixed torsion-translational forms of natural vibrations of multi-storey buildings. Implemented solution framework defining the relative displacement height ceilings and a separate solution for the one-story frame with rigid in its plane overlap defining the torsion-translational displacement in its plane. As an example, the nine-story frame building, the calculation is carried out using the proposed method. To control the accuracy of the proposed method the numerical solution of the complete system of equations defining the floor torsionally-and-forth oscillation of the building.

Key words: frame building, shearing, random eccentricities, torsionally-and-forth oscillation.

Нормами [1] для строительства в сейсмических районах рекомендуется проектировать здания простой симметричной в плане формы, используя расчётную схему в виде консольного стержня с сосредоточенными в уровне перекрытий массами для вычисления сейсмической нагрузки, действующей на здание. Однако для зданий длиной более 30 м нормами предусматривается проведение расчёта и на действие крутящего момента, вызванного эксцентриситетом между центрами масс и жёсткости, вследствие чего перекрытия поворачиваются в своей плоскости.

Хотя метод такого расчёта в нормах не предложен, ими рекомендуется принять величину такого эксцентриситета e=0,1L (L- размер здания в направлении, перпендикулярном действию сейсмических сил).

В нормативных документах, разработанных Сапожниковым А.И. и др. [2, 3], рекомендуется принятие, даже в симметричных в плане конструкциях, эксцентриситета случайного характера, определённого авторами экспериментальным путём, в интервале e=(0,01.. .0,03)L, поскольку при эксцентриситетах больших значений из-за расстройки парциальных частот степень кручения здания снижается. В работе [4] показано, что при эксцентриситете в интервале e=(0,01...0,03)L за счёт кручения смещение торцовой рамы увеличивается на 60% и более (рис. 1), в то время как при эксцентриситете, рекомендуемом нормами [1] e=0,1L, увеличение составляет лишь 40%.

Таким образом, эксцентриситет в интервале е=(0,01.. .0,03)£ является более опасным, нежели рекомендуемый нормами, и его следует учитывать в расчётах, отсюда и возникает задача разработки метода расчёта многоэтажного здание с учётом крутильно-поступательных колебаний.

Интерес к крутильно-поступательным колебаниям зданий существовал давно, поскольку их появление в здании ощущалось из анализа разрозненных экспериментов и даже интуитивно. К первым непротиворечивым и завершённым решениям этой задачи относится разработка метода расчленения В.К. Егупова [5]. При этом им принимался сдвиговый характер колебания здания по высоте.

У_

УПГ 1.6

1.5

1.4

1.3

О 2 4 6 8 10 е, %Ь

Рисунок 1. График зависимости отношения смещения крайней рамы при крутильно-

поступательных колебаниях к смещению при плоских колебаниях от величины

эксцентриситета

Внимание учёных к сдвиговым колебаниям зданий не случаен: им подчиняются колебания зданий каркасных, с поперечными несущими стенами, включая и панельные. Из недавно опубликованных можно назвать работы [6, 7], где для решения задачи о сдвиговых колебаниях зданий используются дискретные расчётные схемы. При этом задача описывается системой уравнений, решаемой численным методом. Для составления уравнений требуется вычислить коэффициенты, задающие жесткостные параметры системы.

Однако этими авторами рассматриваются лишь поступательные колебания зданий, в то время, как показано выше, существуют данные [2-4], что здания и сооружения получают заметные крутильные деформации в плане. Ниже на примере каркасного многоэтажного здания предложен метод определения крутильно-поступательных форм собственных колебаний.

Суть предлагаемого метода заключается в следующем: отдельно вычисляются поступательные формы колебания всего здания и отдельно крутильно-поступательные формы колебания одного первого этажа. Далее, на основе полученных решений выполняется построение крутильно-поступательных форм колебания всего здания. Следует отметить, что для определения частот и форм поступательных колебаний здания

в работе используется расчётная схема в виде условного консольного сдвигового стержня в континуальной постановке.

В континуальной постановке, которую мы и будем использовать, свободные колебания сдвигового стержня описываются одним дифференциальным уравнением, которое имеет следующий вид:

С Ар ''(у, 0 -тр(у, 0 = 0 (1)

с граничными условиями:

V ( 0,0 = 0 ; Р' (Н ,0 = 0 , (2)

где GA - суммарная жёсткость поперечных несущих конструкций здания - рам, при относительном сдвиге их этажей (перекрытий);

m- погонная масса каркаса: т=Мс/Н; Mо - общая масса каркаса - масса конструкций, полезная нагрузка;

H - высота каркаса;

р ' ( 0 ,0 - смещение опорной точки каркаса в момент времени t, соответствующее/'-й форме колебаний каркаса; р ' (Н , 0 - угол поворота верхней точки каркаса в момент времени t, соответствующий/-й форме колебаний каркаса; р (у, 0 - поперечное смещение точки каркаса с координатой у в момент времени ^

р (у, 0 - ускорение точки каркаса с координатой у в момент времени t. Приведём методику определения величины GA применительно к раме. Если для сплошной стены сдвиговая жёсткость GA равна произведению её модуля сдвига G на площадь её поперечного сечения А, то для определения эквивалентной сдвиговой жёсткости поперечных рам следует рассмотреть эквивалентную пластину с теми же размерами этажа рамы, но с неопределённой толщиной (рис. 2). При этом принятая пластина при действии единичной поперечной силы (0=1) в уровне перекрытия должна иметь то же линейное смещение (¿), что и рама. Из закона Гука при сдвиге имеем, т=Gy (т - касательное напряжение; у - угол сдвига; G - модуль сдвига). Умножая это равенство на площадь поперечного сечения пластины, получим: Q=1=GAрy, откуда, у=1^Ар, где GAр -условная сдвиговая жёсткость отдельной рамы здания. Для ячейки рамы и пластины выполняется равенство: yh=S, откуда у=ё/И, где к - высота этажа рамы. Таким образом, получим условную сдвиговую жёсткость рамы: С А р = К/8 . При этом 8 = К2 ( 1 /б + 1 /г) / 12 , где ^ - суммарная погонная жёсткость стоек рамы; г - суммарная погонная жёсткость ригелей рамы [8]. Для здания рамной конструктивной схемы суммарная сдвиговая жёсткость поперечных рам равна: С А = пС Ар, где п- количество

Рисунок 2. Ячейка рамы (а) и эквивалентная по сдвиговой жёсткости пластинка (б)

Решение уравнения (1) находится методом Фурье (приняв Р,(у, I) = ^(у^тш^) и

имеет вид:

р,(у) = А]зтА]у + В]СоъХ]у, (3)

Х}=тш}/вА. (4)

Подставляя (3) в (2), находим:

ш, = (2)- 1) п/аЛ/т/2Н, (5)

р,(у) = А,зт(2_) - 1) пу/2Н, (6)

где ш, -]-я частота собственных колебаний.

Уравнение (5) определяет ]-ю частоту собственных колебаний, а уравнение (6) ]-ю форму собственных колебаний. Для наших целей используется формула (6), которая зависит только от высоты всего здания, что упрощает расчёты. По формуле (6) вычисляются нормированные ординаты собственных форм, принимая ординату соответствующую верхней точке за единицу.

При расчёте по схеме консольного сдвигового стержня вычисляется к форм и частот поступательных колебаний (к - число этажей). При вычислении крутильно-поступательных форм одного этажа с жёстким в своей плоскости перекрытием получается две частоты и формы, так как в такой постановке система имеет две степени свободы. Соответственно для всего здания получаем 2к крутильно-поступательных форм собственных колебаний.

Крутильно-поступательные колебания одного этажа описываются системой из двух уравнений:

ШЭД + + Ъ(р(г) = О,

{вф(0 + ЪУ(€) + йф) = О, ()

где М - масса этажа (масса перекрытий, приведённых к нему стен, полезной нагрузки);

а - суммарная сдвиговая жёсткость поперечных несущих конструкций, п - количество поперечных рам;

С[ - расчётная горизонтальная жёсткость /-й рамы, С = х,С£; С - сдвиговая жёсткость /-й рамы;

X, - коэффициент, учитывающий влияние верхних этажей на смещение первого этажа [5]; ] - номер формы собственных колебаний;

Ь - сила, которую надо приложить к перекрытию в её центре масс, чтобы предотвратить её поступательное смещение при единичных поворотах, Ъ = С (у£;

у± - расстояние от /-й рамы до центра вращения, принимается с учётом знака;

е- эксцентриситет между центром масс и центром жёсткости, е=Ь/а;

ё- жёсткость здания при повороте вокруг вертикальной оси, й = Ъ?=1С1у?;

0- физический момент инерции перекрытия относительно центра

масс, 0 = —(Ь2 + В2); 12

Ь и В - длина и ширина перекрытия в плане; М - масса, отнесённая к перекрытию;

V ( 0 - линейное перемещение перекрытия;

V (0 - ускорение;

р ( 0 - угол поворота; Ф ( 0 - угловое ускорение.

Приняв V ( 0 = V б [ п ш р ( ;) = р б [ п ш ; и подставляя эти равенства в (7), получим:

{{а - Мш2)р + Ь<р = О

,Ъ v + ( й-вш2 ) р = 0 ()

Круговая частота собственных колебаний а находится из векового уравнения системы (8):

ш 1,2 = I (ш2 + ш2р)/2 + Л1(ш2 - ш2р)2/4 + Ъ2 / Мв , (9)

где а>2 ; - квадраты парциальных частот поступательных и крутильных колебаний, а>2 = а/М; ш^р = й /в.

Перед продолжением изложения методики определим влияние на отпорность стен при колебании изолированного первого этажа здания его этажности при разных формах колебания.

Воспользуемся для этого равенством, характеризующим взаимодействие этажей между собой при дискретном способе решения задачи [5], записанном на примере 1-го этажа:

,71 'р=1

где Г1 р - коэффициент жёсткости 1-го этажа при смещении р-го.

Поскольку для у'-й формы соотношение относительных смещений перекрытий 1 и р-го этажей VП/ /vп j и смещений стен этих же этажей Vст/vpт равны, имеем [9]:

I

vпlj (

V}

уст

Тогда ^р=1г1^р(;) =1Р=1Ър-Pт^vпj(0 = С1^1(;), то есть жёсткость стен по

Х>ст

отношению к перекрытию первого этажа С 1 ]=Т1р=1 Ъ р~ст, вычисляется простым

перемножением членов строки матрицы жёсткости на отношение смещений этажей. В раме с жёсткими ригелями приведённая сумма вырождается в член ъ ^ 1j (;) ¡V 1j (;) + Ъ 2 v2j(О¡V 1j(;), поскольку ъз и т.д. равны нулю.

Поскольку отношение (О/Vст (0 является константой, его можно заменить отношением Vрj(;)/ v1 j(;) из равенства (6) в любой момент времени, кроме 1= 0.

Для иллюстрации предложенной методики построим крутильно-поступательные формы 9-тиэтажного здания. Для расчёта примем: размеры здания в плане Ь=42 м, 5=18 м; шаг рам 6 м; величина пролёта 6 м; эксцентриситет между центром масс и центром жёсткости е=0,03£=1,26 м; модуль упругости для бетона В20 Е = 2,7 х 1010 Па; размер сечения колонн: а=0,4 м; размер сечения ригелей: 0,6 х 0,4 м; высота этажа И=3 м; высота всего здания Н=27 м; толщина перекрытия 1=0,14 м; масса здания Мо=3834000 кг. Ригель принимается жёстким, так как выполняется условие /р//к=2,53>2,5, где /р, /к - погонные жёсткости ригеля и колонны соответственно /р=Е/р//р, ¡к=Е1к/Ьк, 1р, 1к - момент инерции ригеля и колонны, /р - длина ригеля, кк - высота колонны.

Определим параметры здания, необходимые для вычисления форм его собственных колебаний по сдвиговой схеме: т =141900 кг;

Е1 = 57600000 Нм2;

в А = 2480000000 Н.

По формуле (6) вычислим относительные смещения точек консольного стержня в уровне перекрытий, приняв смещение верхнего перекрытия за единицу.

Далее определим необходимые величины для вычисления частот и форм крутильно-поступательных собственных колебаний первого этажа рассматриваемого здания: М = 426000 кг - масса этажа; а = 2 3966О О О Н/м;

у1 = 21 м; у2 = 1 5 м; у3 = 9 м; у4 = 3 м; у5 = - 3 м; у в = -9 м; у7 = -1 5 м; у8 = - 21 м; Ъ = 30197100 Н; й = 48919 31О О О Н-м; 0 = 74100000 кг-м2.

Вычислим парциальные поступательную и крутильную частоты: шп = 1 , 5 рад/с; шкр = 8,13 рад/с. По формуле (8) вычислим частоты колебаний:

рад/с; рад/с.

Определим угол поворота перекрытия, соответствующий вычисленным частотам собственных колебаний, для чего примем поступательное перемещение за единицу, тогда из первого уравнения системы (8) имеем:

(1,2 = (а-Мш2,2)/Ъ . (10)

По формуле (10) определим: (1=-0,034; (2=0,171.

Зная у-ю поступательную форму собственных колебаний и вычислив две крутильно-поступательные формы собственных колебаний первого этажа, можно построить две крутильно-поступательные формы колебания всего каркаса.

Для этого поступаем следующим образом. За ординаты у-й и (/+1)-й форм собственных колебаний для точек, лежащих на вертикальной оси, проходящей через центр масс здания, вокруг которого происходит вращение, примем ординаты, соответствующие у-й форме, вычисленные по сдвиговой схеме, формула (6). Значения ординату-й и (/+1)-й форм собственных колебаний /-й рамы определяются по формуле:

V 1 = Р]+(Р]1 £, (11)

V I + 1=Р]+(Р] +11 £, (12) - ордината точки пересечения /-й рамы и р-го этажа,

соответствующаяу-й крутильно-поступательной форме;

р? - ордината у-й поступательной формы соответствующая р-му

этажу;

( ] - угол поворота, соответствующийу-й собственной крутильно-поступательной частоте;

ордината точки пересечения /-й рамы и р-го этажа, соответствующая (у+ 1)-й крутильно-поступательной форме;

( ,+1 - угол поворота, соответствующий (/+ 1)-й крутильно-поступательной частоте;

- расстояние от /-й рамы до центра вращения с учётом знака. Для контроля полученных результатов была решена система крутильно-поступательных уравнений, составленных для всего 9-и этажного каркаса (18 уравнений). При этом первые две частоты равны: рад/с ; рад/с , а

соответствующие им углы поворота перекрытия первого этажа: ( 1=-0,036; (2=0,162.

Нормированные ординаты, соответствующие первой крутильно-поступательной форме собственных колебаний крайней рамы, вычисленные предлагаемым методом (11) и полученные из решения системы 18 уравнений, представлены в табл. 1. Сравнение результатов, представленных в табл. 1, показывает близость значений, полученных двумя

способами, при этом точность предлагаемого метода повышается при увеличении этажности. В дальнейшем исследовании предполагается определить этажность, начиная с которой рекомендуется применение рассматриваемого метода.

_ Таблица 1

№ этажа Ординаты собственных крайней рамы форм колебания (/=21 м)

Крутильно-поступательная схема (18 уравнений) Предлагаемый метод

1 0,047 0,056

2 0,229 0,249

3 0,402 0,429

4 0,562 0,593

5 0,700 0,733

6 0,817 0,932

7 0,907 0,932

8 0,967 0,983

9 1,000 1,000

Таким образом, разработанный метод можно рекомендовать к использованию для вычисления сейсмической нагрузки и в тех случаях, когда необходимо учитывать кручение, а также для контроля решения системы уравнений, учитывающих совместные крутильно-поступательные колебания перекрытий здания, полученного с помощью компьютера.

Хотя предложенный метод является своеобразной модификацией метода расчленения [5], он существенно отличается от него отсутствием необходимости исходного подобия форм колебания поперечных стен (несущих конструкций). Это имеет место в силу того, что формы колебания, несмотря на внутреннее силовое взаимодействие между ними, за счёт совместной работы с жёсткими или имеющими достаточную жёсткость при работе в своей плоскости перекрытиями, приобретают подобие форм колебания.

Отличие между двумя методами состоит также в определении зависимости жёсткости поперечных стен от этажности. Если в [5] эта зависимость определяется численно, путём рассмотрения решения, подобного вычислению векового определителя, то в предложенной методике для этого используются формы колебания стен, определённые из простого аналитического решения, в которое входит только высота здания, и по существу, в силу их идентичности, установленные априори.

Ещё одним достоинством данного метода является его наглядность, что чрезвычайно полезно для понимания процессов, происходящих в конструкциях зданий при горизонтальных нагрузках - сейсмических и ветровых.

Библиографический список:

1. СП 14.13330.2011 «Строительство в сейсмических районах. Актуализированная редакция СНиП 11-7-81*». - М.: 2011. - 91с.

2. Сапожников А.И., Штанько Л.Ф. Руководство по определению горизонтальной сейсмической нагрузки, действующей на свайные пирсы и набережные. СоюзморНИИпроект, филиал ДальморНИИпроект. - М.: 1974. - 61 с.

3. Сапожников А.И., Абдурахманов А. и др. Методические указания по расчёту одноэтажных каркасных сельскохозяйственных зданий на сваях-колоннах. НИИСК Госстроя СССР. - Киев: 1979. - 43 с.

4. Сапожников А.И., Гуляев Е.А. Численное исследование пространственной работы свайной эстакады при сейсмическом воздействии. Сборник докладов к четвёртой научно-

технической конференции (гидротехническая секция). ДальморНИИпроект. -Владивосток.: 1972. - а 50-54.

5. Егупов В.К. Расчёт зданий на прочность, устойчивость и колебания. - Киев: «Будiвельник», 1965. - 256 с.

6. Мондрус В.Л., Шутовский С.Н. Некоторые особенности расчёта зданий периодической структуры. Вестник МГСУ, 2011. - №1. - С. 188-192.

7. Яксубаев К.Д., Сапожников А.И., Яксубаева Д.К. Методика замкнутого аналитического определения деформированного состояния конструкций, работающих по сдвиговой схеме на поперечные нагрузки. Строительная механика и расчёт сооружений. В печати.

8. Байков В.Н., Сигалов Э.Е. Железобетонные конструкции: Общий курс: Учеб.для вузов. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1991. - 767 с.

9. Сапожников А.И. Обеспечение сейсмо- и карстоустойчивости зданий и сооружений. - Астрахань: АИСИ, 2001. - 15 с.