Расчет частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИБОРЫ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ

УДК 622.691.4

С. П. Пирогов, А. Ю. Чуба

РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МАНОМЕТРИЧЕСКИХ ТРУБЧАТЫХ ПРУЖИН

Представлен вывод уравнений движения манометрической трубчатой пружины. Пружина рассматривается как изогнутый стержень, совершающий колебания в плоскости кривизны центральной оси. Приведены зависимости частоты собственных колебаний трубчатых пружин от геометрических параметров.

Ключевые слова: собственные колебания, манометрическая трубчатая пружина.

Манометрические приборы часто работают в условиях вибраций, при этом их основные упругие чувствительные элементы — трубчатые пружины — совершают колебательное движение, что негативно сказывается на точности приборов.

Важной характеристикой виброустойчивости приборов является частота собственных колебаний трубчатых пружин, поэтому необходимо определить влияние их геометрических размеров на данный параметр.

Существуют запатентованные конструкции манометрических пружин, обладающих повышенной вибростойкостью. Все эти пружины имеют поперечное сечение, переменное по длине трубки. В настоящей статье предлагается метод расчета частот собственных колебаний, применимый и для пружин, имеющих переменное поперечное сечение.

Будем рассматривать трубку Бурдона как изогнутый стержень, совершающий колебания в плоскости кривизны центральной оси. Уравнения колебаний (в соответствии с принципом Даламбера) получены из равенств нулю сумм проекций на нормаль и касательную всех сил, приложенных к элементу пружины (с учетом силы инерции) [1] (рис. 1):

w и

дМ

М +-й ф

дф,

дЫ N +-й ф

дф 50 0 + — й ф дф

Рис. 1

0 Л

д 2 w

N 1 д0 , ч -----— = Щ (ф) „

я я дф д?

д2 и

1 дЫ 0 , ч

---— = Ш: (ф)--

я дф я а2

где N — продольная сила; Q — поперечная сила; т1 (ф) — масса единицы длины трубки

(масса поперечного сечения с координатой ф); н, и — соответственно радиальная и окружная составляющие перемещения центра тяжести поперечного сечения с координатой ф. Система уравнений (1) для перемещений и и н имеет следующий вид:

( ди дф

- + н

д дф

Н

я

ди

я2 Л д н

дф дф2

= т (ф)

д2 и

Ы1

- Б

я

ди дф

дф2

Н

я

ди

2

д н

дф дф2

= т1 (ф)

д 2 н

дг2 :

(2)

Бя =

ЕЗ^ = Е/(ф)Кк(ф), т (ф) = рЗ (ф), (1V)я я я4(1 V) ^

где Е — модуль упругости материала трубки; З (ф) — площадь поперечного сечения трубки; ц — коэффициент Пуассона; J(ф) — момент инерции сечения; Кк (ф) — коэффициент Кармана (определяется методом, предложенным в работе [2]); величины З (ф) , J(ф), Кк (ф)

зависят от угловой координаты ф сечения и его геометрических размеров.

Система уравнений (2) решается при следующих граничных условиях: в сечении жесткого закрепления пружины (при ф=0) касательное и нормальное перемещения и угол поворота у поперечного сечения трубки равны нулю, а на противоположном конце (при ф=у) изгибающий момент (М), перерезывающие и растягивающие усилия обращаются в нуль.

Собственные изгибные колебания подчиняются гармоническому закону с частотой к, поэтому решение системы уравнений (2) можно представить в виде

и (ф, I) = и (ф^п (к + в), н (ф, I) = н (ф) Бт (И + в),

(3)

где к — круговая частота колебаний.

При решении системы (2) применялся приближенный метод Бубнова — Галеркина. В соответствии с этим методом зададим искомые функции составляющих перемещений:

и

(ф) = а1и1 + а2и2 + ... + апип = 2 ; н (ф) = Ь1н1 + Ь2н2 + ... + Ьпнп = 2 Ь]н] , (4)

1=1 ]=1

где а1, а2, ..., ап, Ь1, Ь2, ..., Ьп — неопределенные коэффициенты; и1, и2, ип, н1, н2, нп — базисные функции переменной ф.

Подстановка выражений (4) в преобразованную методом Галеркина систему (2) приводит к системе из 2п уравнений, при этом в силу граничных условий часть слагаемых равны нулю:

г( ^ ёи ёи Л ёи, 1Г ёип тт ёип Л ёи

а " Ня~т ~Т ёф + - + апП-^^ - Няёп- ~т

•>1 ё ф ё фу ё ф 0 V " ф " ф У " ф

-ё ф +

Ь\ - Б

- Бян1 + Н

я'

ё ё ф2

ёи;

ё ф

(

ё ф+ .. + Ьп Ц -Бянп + Ня-

ё

ё ф

ёи;

ёф

ё ф =

I I

= -а1к2\тощи^ёф-... -апк2\тоипи}ёф ;

Расчет частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин

41

I

а1 |

■ Г

- Б

я

ёщ ё ф

+ ня

¿2 Л ёи1 ё Wj

ёф ёф2

I

ё ф +... + ап |

1

-DRwlWj -Ня

ё2 w1 ё Wj

2 2

ё ф ё ф

• Г

V

г

- Бя^ + Ня

ё ф

2

ёип ё ^ ёф ёф2

ё ф +

ё ф +... + Ьп |

-DRWnWj - Ня

ё 2 ^п ё2

2 2 ё ф ё ф

ё ф =

I I

-Ь^21да0WlWjёф -... - Ьпк21да0wnwiёф .

о

Выберем базисные функции и^ и Wj:

щ (ф) = фг, I = 1,..., п; Wj (ф) = ф7 +1, j = 1,..., п.

Легко проверить, что выбранные функции удовлетворяют главным граничным условиям. Получим однородную систему алгебраических уравнений порядка 2п относительно неизвестных а1, ..., ап, Ь1, ..., Ьп. Данная система уравнений имеет ненулевое решение только в том случае, если определитель матрицы этой системы равен нулю. Запишем его в виде

А:

В

1,п

2п,1

В

'2 п,п

= 0.

(5)

где

А1 =|(-Бя - Ня )ф + к21 то ф2ёф, \п = {( фп+1 + НКп (п + 1)фп-1 )ф;

о о

У

АпД =|(-Бя фп+1 + Няп (п + 1)фп-1 )ф,

В2п,п = }(-Бяф2п+2 - Няп2 (п +1)2 ф2п-2 \ёф + к2 }тоф2п+2ёф.

о о

Условие равенства нулю определителя (5) можно рассматривать как уравнение для определения частот колебаний к. Поскольку порядок определителя равен 2п, то уравнение будет иметь 2п корней, которые являются частотами собственных колебаний трубчатой пружины. Те значения к, при которых определитель равен нулю, являются круговыми частотами собственных колебаний [3].

Результаты численного эксперимента показали, что с увеличением количества базисных функций иI и Wj частота колебаний стремится к некоторому предельному значению. Согласно расчетам для получения удовлетворительных результатов по первой собственной частоте колебаний достаточно вычислять по пять базисных функций.

На основе рассмотренного способа определения частот собственных колебаний составлены алгоритм и программа для ЭВМ [4], с помощью которой проведены расчеты частот собственных колебаний. По результатам расчетов построены графики зависимости частот собственных колебаний от геометрических параметров трубчатых пружин (рис. 2): радиуса изгиба

трубки (Я), толщины стенки трубки (И), радиуса трубки-заготовки (г), угла поворота (у) и отношения полуосей эллиптической трубки-заготовки (а/Ь).

Рис. 2

Для пружин с переменным по длине поперечным сечением установлено, что уменьшение толщины стенки трубки от закрепленного конца к свободному, а также уменьшение радиуса трубки-заготовки от закрепленного конца к свободному приводит к увеличению частоты собственных колебаний. Сравнение манометрических пружин разных конструкций показало, что наибольшей частотой собственных колебаний обладают манометрические пружины, сечения которых изменяются от восьмеркообразного (в закреплении) до плоскоовального (на свободном конце). Частоты собственных колебаний трубчатых пружин переменного по длине поперечного сечения на 20 — 40 % превышают частоты собственных колебаний пружин обычных конструкций.

Метод повышения надежности гидродинамических подшипников скольжения 43

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1980. 408 с.

2. Дорофеев С. М., Пирогов С. П., Самакалев С. С. Приближенное решение задачи об изгибе манометрической пружины переменного сечения // Мегапаскаль: Сб. науч. тр. Тюмень: ТюмГНГУ, 2006. № 2. С. 46—48.

3. Чуба А. Ю., Пирогов С. П., Дорофеев С. М. Определение собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин // Изв. вузов. Нефть и газ. 2007. № 2. С. 70—74.

4. Свид. об официальной регистрации программы ЭВМ, 2007612005 РФ. Программный комплекс „ПКРМТП" для расчета манометрических трубчатых пружин / А. Ю. Чуба, С. С. Самакалев, С. П. Пирогов. 2007611194; Заявл. 2.04.2007; Опубл. 17.05.2007.

Сведения об авторах

Сергей Петрович Пирогов — канд. техн. наук, доцент; Тюменский государственный нефтегазовый университет, кафедра теоретической и прикладной механики; E-mail: [email protected]

Александр Юрьевич Чуба — канд. техн. наук, доцент; Тюменская государственная сельскохозяйственная

академия, кафедра общетехнических дисциплин; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

теоретической и прикладной 24.12.10 г.

механики ТюмГНГУ

УДК 62-233.21, 62-722.2

В. С. Майоров

МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

Рассмотрены причины износа гидродинамических подшипников скольжения и способы повышения надежности их работы. Предложена новая конструкция подшипника, составлена математическая модель и приведены данные компьютерного расчета, а также результаты физического моделирования.

Ключевые слова: гидродинамический подшипник скольжения, несущая способность, эксцентриситет, коэффициент запаса надежности.

Подшипники скольжения получили широкое применение в качестве опор валов и осей благодаря особенностям своей конструкции. Данные подшипники могут применяться при вибрационных нагрузках, особо высоких частотах вращения, для точных опор с постоянной жесткостью, для опор с малыми радиальными размерами, для разъемных опор, при работе в экстремальных условиях.

Принцип работы подшипников скольжения основан на способности воспринимать нагрузку, обеспечивая разделение трущихся поверхностей слоем смазочного материала до полного исключения их непосредственного контакта. Однако несмотря на то, что подшипник, работающий в режиме жидкостного трения, теоретически не должен быть подвержен износу, существует проблема износа опорных поверхностей таких подшипников. В частности, недостаточная надежность подшипников скольжения, применяемых в локомотивных двигателях внутреннего сгорания, приводит к серьезным неисправностям и длительному простою подвижного состава. Повышенный износ подшипников в данных системах связан с воздействием переменных по величине и направлению нагрузок, обусловленных спецификой работы цилиндров и влиянием неуравновешенных масс. Вследствие воздействия этих факторов даже