Расчет амплитуд собственных колебаний для мембран прямоугольной и круглой формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534

РАСЧЕТ АМПЛИТУД СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ МЕМБРАН ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И КРУГЛОЙ ФОРМЫ

Владимир Станиславович Корнеев

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630180, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физики, тел. (383)343-29-33, e-mail: korneyv@mail.ru

В работе сделан теоретический анализ математических моделей и выполнен расчет амплитуд собственных колебаний для мембран прямоугольной и круглой формы с заданными начальными условиями. Определены собственные частоты колебаний для материалов мембран, наиболее часто используемых в так называемых пленочных технологиях.

Метод Фурье позволяет получить аналитические решения, в которых собственные функции и собственные числа задачи выражаются: в случае прямоугольной мембраны через тригонометрические функции, а в случае круглой мембраны - через функции Бесселя. В обоих случаях амплитуды собственных колебаний обратно пропорциональны собственным частотам и собственным числам задачи и уменьшаются при увеличении числа стоячих полуволн, количество которых, при заданных начальных условиях, всегда нечетное число.

Математические модели собственных колебаний мембран могут быть полезны разработчикам микроэлектромеханических систем, а полученные решения могут быть использованы для расчета динамических параметров подвижных элементов микроэлектромеханических систем.

Ключевые слова: микроэлектромеханические системы, волновое уравнение с заданными начальными и граничными условиями, метод Фурье, собственные функции, собственные числа, собственные частоты и амплитуды колебаний.

Введение

Микроэлектромеханические системы (МЭМС) находят широкое применение в современных системах управления, сбора и обработки информации о состоянии природной среды и промышленных объектов. Основными преимуществами МЭМС являются стабильность эксплуатационных параметров, низкое энергопотребление и повышенное быстродействие, которое достигается на резонансных частотах, равных собственным частотам свободных колебаний подвижных элементов [1-3].

Габаритные размеры подвижных элементов МЭМС определяются возможностями технологий получения свободных мембран и задают рабочий диапазон частот МЭМС устройств. В настоящее время серийно выпускаемые МЭМС работают в диапазоне звуковых частот и используются, в том числе, для возбуждения акустических волн.

Подвижные элементы МЭМС имеют, как правило, прямоугольную или круглую форму, как наиболее простую с точки зрения технологии производства и управления параметрами, поэтому изучение математических моделей колебаний прямоугольных и круглых мембран для мегагерцового диапазона частот -актуальная задача.

На рис. 1 представлен общий вид: а) прямоугольной мембраны в прямоугольных координатах, б) круглой мембраны в полярных координатах.

и(х;у)

А 14/",ф)

а) б)

Рис. 1. Общий вид мембран в выбранных системах координат:

а) прямоугольная мембрана в прямоугольной системе координат (х;у); б) круглая мембрана в полярной системе координат (г; ф)

Теоретическая часть

Прямоугольная мембрана

Задача о собственных колебаниях прямоугольной мембраны (см. рис. 1, а) сводится к решению волнового уравнения с заданными начальными и граничными условиями в прямоугольной системе координат (х; у) [4]:

(

V

^

V

д и + д и дх2 ду2

у

д2и

а2:

и=о = ф( х; у);

V д Jt=0

= ¥( х; у);

(1)

их=о=0; их=1=0; иу=0 = 0; иу=т = 0.

Решение уравнения находится методом Фурье в следующем виде [4]:

и( х; у; t) = X (х)У (у)Т ($); X (0) = X (/) = 0; у (0) = У (0) = 0.

Разделяя пространственные переменные х и у, получим выражения для собственных функций задачи [4]:

X (х) = С б1п (Ах) + С2 соб (Ах); У (у) = £ б1п (цу) + £ соб (цу).

(3)

Подстановка граничных условий в уравнения (3) позволяет определить, что С2 = 0, £>2 = 0, а также вычислить параметры разделения А, ц:

к п 1 пп т

Ак =—; Цп =

(4)

где к, п - любые целые положительные числа (собственные числа задачи). Для переменной * решение может быть найдено в следующем виде [4]:

Тк ,п (*)=Ак ,п соб (ю п)+вк ,п (с п);

Юк ,п =™\

12 2 к п

"¡2 + ~~2 1 т

(5)

где ®к п - собственные частоты колебаний мембраны.

Окончательно имеем решение, зависящее от пары собственных чисел к, п

ик,п (х;у;*)= Тк,п БЧАкх>т(цпУ) БЦюк/+Фкп); Тк ,п =>/ 4,п + вк2,п ;Цф к ,п )=Вт

(6)

Величина, стоящая в квадратных скобках выражения (6), представляет собой амплитуду стоячей волны, которая зависит от координат точки (х; у). Рассмотрим простейшее решение, когда собственные числа к = п = 1 [4]

ып (х; у;* ) =

тп б1п

пу

Б1П

пх 1

V ' У

V т у

б1п (соц* + фп);

Юц = п V

V

2 + „ 2

12 т2

где Юц - наименьшая собственная частота колебаний мембраны.

Для квадратной мембраны, когда / = т, собственная частота равна

юн =■

/ V

£ р:

(8)

где £ - сила натяжения мембраны; р - плотность материала.

Необходимо сделать следующее допущение: для квадратной мембраны частота ®0, не зависящая от собственных чисел к, п, равна

ю0 =

п

£ Р'

(9)

При заданных размерах мембраны, / = т = 1 (см), когда сила натяжения

мембраны определяется только собственной упругостью материала мембраны, значения собственных частот ®0 представлены в таблице.

Собственные частоты колебаний мембран ю0 для материалов, наиболее часто используемых в пленочных технологиях

Материал Е (ГПа) р-103 (кг/м3 ) ^Е / р)-103(м/с) Ю0 (МГц)

Алюминий 69-72 2,7 5,1 1,60

Железо 195-205 7,87 5,04 1,58

Хром 280-315 7,16 6,44 2,02

Кремний 110-140 2,33 7,32 2,30

Полиимид 1,5-3 1,14 1,4 0,44

Из данных таблицы можно сделать вывод, что собственные частоты колебаний ®0 прямоугольных мембран, при размерах / = т = 1 (см) достигают значений в нескольких МГц.

Каждое частное решение задачи зависит от пары собственных чисел к, п и поэтому общее решение задачи найдем как сумму двойного ряда Фурье [4]

да да

и (х; у^)=Ак п005 Кп)+вкп^ )] ^ {4х )т (ПУ ). (10)

к=1п=1

Используя начальные условия, получим выражения для определения амплитуд собственных колебаний мембраны [4]:

/т

Ак ,п — т Яф(х; у )1п (Хкх )^п (пУ ^у;

00

1т

(11)

Вк,п —'

/т©

кп

Ц^(х; у )бш (А^х )т (|пу )сХсу.

0 0

Если начальное отклонение Ф( х; у) — 0, а начальная скорость для всех точек мембраны х; у) — V0, тогда все амплитуды Ак п — 0, Вкп равны [4]

Вк ,п — ,2

4¥0

/т

1

1 ©к,п 0 0 юкп — ©0 ^

Цвт ( кХ )т (| пу )СхСу;

(12)

— ©0\1 к2 + п2

Собственные частоты колебаний прямоугольных мембран выразим из

©: © — л/2©; ©12 — ©21 — >/5©0; ©22 — >/8©0; ©13 —©31 — >/10©0; ©33 — •\Я8©0 и т. д. Вычисление интеграла выражения (10) приводит к следующему результату:

Вк ,п —

0; У к, п — 2 N;

V 1

©кп кп'

Ук, п — 2N +1,

(13)

где N - натуральное множество чисел.

Следовательно, амплитуды последующих обертонов Вк п будут убывать

обратно пропорционально значениям собственных частот ©кп, при этом амплитуда колебаний равна нулю, если хотя бы одно из собственных чисел к, п - четное.

На рис. 2 представлена зависимость амплитуд собственных колебаний прямоугольной мембраны Вк п от собственных частот ©^п, в качестве масшта-

ба по оси абсцисс выбрана ©0, по оси ординат - величина С0 — (4/ л) .

С

ш

0,8 ■

0,7 ■ 0,60,50,40,30,20,1 ■ 0,0-

Ш„

ш

13

ш33 Ш15 Ш

-л-1-1-1-1-1-1-1-1 ш„

ш

Рис. 2. Зависимость амплитуд собственных колебаний прямоугольной мембраны Bk п от собственных частот

5

Круглая мембрана

Задача о собственных колебаниях круглой мембраны (рис. 1, б) сводится к решению волнового уравнения с заданными начальными и граничными условиями в полярных координатах (г; ф) [4]:

д2ы

^д2ы 1 ды

V

■ + —

1 д2ы ^

ы=о = ф(г; ф);

ды

дг2 Г дг г2 дф2

;0 <г ^ Я;* ^ 0;

(14)

V д* У*=0

= ¥(г; ф);

ы

г=Я

0.

При решении задачи будем рассматривать только осесимметричные колебания, т. е. не зависимые от угла Ф, это означает, что искомые решения задачи ы = ы (г;*) будут функцией двух переменных.

В этом предположении задача об осесимметричных колебаниях круглой мембраны упрощается [4]

д2ы

: V

^д2ы 1 дыЛ + —

V

ы(=0 = Ф(г); ды

дг 2 г дг

,0 < г Я;* ^ 0;

у

(15)

V д* У*=0 ыг=д = 0.

¥(г);

Решение будем искать методом Фурье в следующем виде: ы(г; *) = и(г)Т(*), подставляя решение в уравнение (13) и разделяя переменные, получим два уравнения:

1

и "(г) + - и '(г ) + А2и (г) = 0;

(16)

Т''(* ) + А^2Т (* ) = 0.

(17)

Уравнение (16) относится к уравнениям Бесселя и решением его является функция Бесселя нулевого порядка и(г ) = Jо (Аг). Подстановка краевых условий Jо (АЯ) = 0 позволяет определить собственные числа задачи

Ак =

Ц0)

Я

(18)

где цк°} - корни функции Бесселя Jо.

Решение уравнения (17) имеет следующий вид:

Тк (*) = ак соб (Ок*)+ьк б1п (Ок*);

О цк0) 2цк0) Ок =р~Ю0,

(19)

где ®0 _ собственные частоты колебаний, представленные в таблице.

Для круглых мембран, при условии 2Я = I = 1 (см), собственные частоты колебаний равны: О1 = 1,53Ю0; О2 = 3,51<<0; О3 = 5,5®0; О4 = 7,51«0; О 5 = 9,5 1ю 0 и т. д.

Собственные функции задачи Ык (г; *) находим в следующем виде [4]:

ык

(г;*) = [ак соб (О^) + Ьк б1п (О^ )]jо (ц^г / Я),

(20)

где О) - собственные частоты колебаний мембраны, приведенные выше.

Общее решение задачи представляет собой сумму собственных функций:

ик

да

(г; I) = £ [ак cos (Оу) + Ьк sin (Оу )]/ (г / Я).

к=1

(21)

Подстановка начальных условий ц=0 = Ф(г),

V д Л=0

= ¥(г) в уравнение

(21) позволяет получить выражения для амплитуд собственных колебаний круглой мембраны [5, 6]:

ак=/2 (Г)

Я

| г/ 0 ((г / Я )ф(г

Ьк =

о/ (40))

Я

г/0 (г / Я ))(г

(22)

где 31 (ц)0)- функция Бесселя первого порядка.

Если начальное отклонение Ф(г) = 0, а начальная скорость для всех точек мембраны ^(г) = V0, тогда амплитуды равны

ак=0;

Ьк =•

2¥0

0/2

(к0))

Я

г/0(

Цк

(0)

г / Я )

(23)

Чтобы вычислить интеграл выражения (23), введем переменную г = ц^г / Я . В силу рекуррентных соотношений для функций Бесселя получим [6]

Я / Я2 Цк Я2

/ / ( /Я) = 7^ / / (г )<ъ = ,—./ (к). (24)

(к )

И

Окончательно получим следующее выражение для амплитуды стоячих волн круглой мембраны, все точки которой имеют начальную скорость :

Ьк =

2^0

( )о kJl ()

(25)

Необходимо отметить, что узловые линии стоячих волн, возникающих при колебаниях круглых мембран, представляют собой окружности с радиусами:

г1 =(Ц1/Цк)Я; г2 =(Ц2/Цк)- гк-1 =(Цк-1/Цк)Я; гк = Я, т. е. там, где

^ (цк0) )=0.

Пучности стоячих волн расположены там, где Jо (цк0) достигает максимума.

Значения корней функций Бесселя Jо и Jl приведены в таблицах [5]. На рис. 3 представлена зависимость амплитуды собственных колебаний круглой мембраны Ьк (г = 0) от собственных частот Ок, в качестве масштаба по оси абсцисс выбрана величина ®0, по оси ординат - величина С = 2Уд.

В рамках данной работы не рассматривались решения для амплитуд собственных колебаний круглой мембраны Ьк как функции от г, то есть полученная графическая зависимость (рис. 3) рассчитана для центральной точки г = 0.

С.

0,5-

0,4-

0,3-

0,2-

0,1 -

0,0-

О.

О„

О,

ш„

2 3 4 5 6

Ок

Рис. 3. Зависимость амплитуды собственных колебаний круглой мембраны Ьк от собственной частоты Ок

Обсуждение результатов

Сравнительный анализ полученных графических зависимостей (см. рис. 2, 3) приводит к следующим выводам:

а) собственные частоты колебаний мембран образуют дискретный спектр, каждой частоте соответствует определенный набор собственных чисел: для квадратной мембраны (к, п) - нечетные целые числа, для круглой мембраны

к = цк - корни функции Бесселя нулевого порядка;

б) амплитуды собственных колебаний мембран Вкп (Ьк) обратно пропорциональны собственным частотам <кп (Ок);

в) в центральной точке обеих мембран амплитуда колебаний всегда максимальна и зависит от значений V) ( Вц = 1,15^0; Ь = 0,94^0);

г) на краях мембраны амплитуда равна нулю, что соответствует заданным граничным условиям.

Заключение

Полученные решения для моделей колебаний прямоугольных и круглых мембран имеют прикладное значение и могут быть полезны разработчикам и конструкторам МЭМС для проектирования устройств в рабочем диапазоне частот от единиц до сотен МГц. Конфигурации стоячих волн, возникающих при резонансе на частотах собственных колебаний, позволяют использовать рельеф поверхности мембран для управления амплитудой и фазой отраженного от поверхности электромагнитного излучения.

Измерение амплитуды стоящих волн, как для прямоугольной, так и для круглой мембраны, представляет сложную техническую задачу, в которой необходимо использовать современный инструментарий и отработанную методику эксперимента.

В работах [7-11] представлены результаты экспериментальных исследований параметров МЭМС с электромагнитным управлением и описан метод, позволяющий определять амплитуду колебаний подвижных элементов.

В работах [12, 13] представлены результаты компьютерного моделирования и расчета устройств, применение которых получило интенсивное развитие в современных системах сбора и обработки оптической информации.

В работах [14, 15] описаны методики проведения экспериментов и измерений, позволяющие определить сверхмалые значения размеров элементов и их перемещений при оптико-электронной обработке интерференционных картин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чесноков В. В., Чесноков Д. В. Информационные возможности динамических микромеханических устройств // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. - С. 113-116.

2. Пат. 2383908 Российская Федерация. Устройство управляемого углового дискретного позиционирования оптического луча / заявл. 16.06.08; опубл. 10.03.10; Бюл. № 7. - 10 с.

3. Чесноков В. В., Корнеев В. С., Чесноков Д. В. Искажение формы колеблющихся микрозеркал микромеханических сканеров // Междунар. конф. АПЭП-2010 : сб. материалов. - Новосибирск : НГТУ. - 2010. - Т. 2. - С. 72-74.

4. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. - М. : Наука. -1969. - С. 114-130.

5. Ватсон Д. Н. Теория бесселевых функций / перевод со 2-го издания В. С. Берма-на. - М. : Издательство иностранной литературы. - 1949. - С. 14-20.

6. Холодова С. Е., Перегудин С. И. Специальные функции в задачах математической физики. - СПб. : НИУ ИТМО, 2012. - С. 13-17.

7. Korneev V. S. Study of the parameters of micromechanical devices with electromagnetic control // Proceedings of International School and Seminar on Modern Problems of Nan-electronics, Micro- and Nan-system Technologies INTERNAN0'2009 (NSTU, Novosibirsk, Russia 2009, Oct. 28-31) - P. 113-115.

8. Nikulin D. M., Chesnokov V. V., Chesnokov D. V. Micromechanical Optical Spectral Devices with Electrostatic Control // In Proceedings of International School and Seminar on Modern Problems of Nan-electronics, Micro- and Nan-system Technologies INTERNAN0'2009 (NSTU, Novosibirsk, Russia 2009, Oct. 28-31) - P.116-118.

9. Корнеев В. С. Микромеханическая управляемая дифракционная решетка с изменяемым углом блеска // Оптический журнал. - 2010. - Т. 77. - № 5. - С. 69-71.

10. Корнеев В. С. Экспериментальное исследование параметров крутильных колебаний полосок микромеханической отражательной дифракционной решетки // Вестник СГГА. -2010. - Вып. 1 (12). - С. 117-122.

11. Корнеев В. С., Райхерт В. А., Кочкарев Д. В. Экспериментальное определение модуля упругости Юнга многослойной консольной микробалки // ГЕ0-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск : СГГА, 2011. Т. 2, ч. 2. - С. 132-135.

12. Кузнецов М. М., Карманов И. Н. Оптические микроволновые линзы // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 4 (32). - С. 79-85.

13. Князев И. В. Моделирование динамических характеристик переключения элементов микро-оптоэлектромеханической перестраиваемой дифракционной решетки // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 1. - С. 235-251.

14. Носков М. Ф. Оптико-электронная обработка изображений шаровых элементов // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 4 (36). - С. 254-260.

15. Корнеев В. С. Измерение сверхмалых перемещений модуляционным методом // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2017. XIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Си-б0птика-2017» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 17-21 апреля 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. Т. 1. - С. 200-203.

Получено 16.10.2017

© В. С. Корнеев, 2017

CALCULATION OF THE AMPLITUDE OF NATURAL OSCILLATIONS FOR RESTANGULAR AND CIRCULAR MEMBRANES

Vladimir S. Korneev

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department ofPhysics, phone: (383)343-29-33, e-mail: korneyv@mail.ru

A theoretical analysis of mathematical models is made and a calculation of the amplitude of natural oscillations for rectangular and circular membranes with given initial conditions have been carried out. The natural frequencies of oscillations are determined for membrane materials, most often used in so-called films technologys.

The Fourier method allows one to obtain analytic solutions in which the eigenfunctions and eigenvalues of the problem are expressed: in the case of a rectangular membrane through trigonometric functions, and in the case of a circular membrane, through Bessel functions. In both cases, the amplitudes of the natural oscillations are inversely proportional to the natural frequencies and eigenvalues of the problem and decrease with increasing number of standingn half-waves, the number of which, under given initial conditions, is always an odd number.

Mathematical models natural oscillations of membranes can be useful to developers of Micro Electromechanical Systems (MEMS), and the solutions obtained can be used to calculate the dynamic parameters of moving elements MEMS.

Key words: micro-electromechanical systems, wave equation with given initial and boundary conditions, Fourier method, eigenfunction, eigenvalues, natural frequencies and amplitudes of natural oscillations.

REFERENCES

1. Chesnokov, V. V., & Chesnokov, D. V. (2000). Information possibilities of the dynamic micromechanical devices. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 5, 113-116 [in Russian].

2. Chesnokov, V. V., Chesnokov, D.V., & Korneev, V. S. (2010). Patent RF No. № 2383908. Novosibirsk: IP Russian Federation [in Russian].

3. Chesnokov, V. V., Korneev V. S., & Chesnokov D. V. (2010). Distortion of the shape of oscillating micromirrors of micromechanical scanners. In Sbornik materialov Mezhdunarodnoy konferentsii APEP-2010: T. 2 [Proceedings of the International Conferenc APEP-2010: Vol. 2] (pp. 72-74). Novosibirsk: NSTU [in Russian].

4. Aramanovich, I. G., & Levin, V. I. (1969). Equations of mathematical physic. M: Nauka. 114-130 [in Russian].

5. G. N. Vatson (1949). A Treatise on the theory of Bessel functions [Teoriya Besselevykh funktsiy]. V. S. Berman (Trans.). Moscow: Foreign Literature Publ. [in Russian].

6. Kholodova, S. E., & Peregudin, S. I. (2012). Spetsial'nye funktsii v zadachakh matematicheskoy fiziki [Special functions in problems of mathematical physics]. St. Petersburg: NIUITMO [in Russian].

7. Korneev, V. S. (2009). Study of the parameters of micromechanical devices with electromagnetic control. In International School and Seminar on Modern Problems of Nan-electronics, Micro- and Nan-system Technologies INTERNAN0'2009 (pp. 113-115). Novosibirsk: NSTU.

8. Nikulin, D. M., Chesnokov, V. V., & Chesnokov, D. V. (2009). Micromechanical Optical Spectral Devices with Electrostatic Control. In Proceedings of International School and Seminar on Modern Problems of Nan-electronics, Micro- and Nan-system Technologies INTERNAN0'2009 (pp. 116-118). Novosibirsk: NSTU.

9. Korneev, V. S. (2010). Micromechanical controlled diffraction grating with variable gloss angle. Opticheskiy zhurnal [Journal of Optical Technology], 5(77), 69-71 [in Russian].

10. Korneev, V. S. (2010). The experimental investigation of beams torsional oscillation parameters of micromechanical diffraction grating reflectoray. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 1(12), 117-122 [in Russian].

11. Korneev, V. S., Reichert, V. A., & Kochkarev, D. V. (2011). Experimental determination of Young's modulus of elasticity of a multilayer cantilever microbeam. In Sbornik materialov GEO-Sibir'-2011: T. 2, ch. 2 [Proceedings of GE0-Siberia-2011: Vol. 2, Part 2] (pp. 132-135). Novosibirsk: SSGA [in Russian].

12. Kuznetsov, M. M., & Karmanov, I. N. (2015). Optical microwave lenses. Vestnik SGUGiT[VestnikSSUGT], 4(32), 79-85 [in Russian].

13. Knyazev, I. V. (2017). Modeling of dynamic characteristics of switching elements of a micro-optoelectromechanical tunable diffraction grating. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 22(1), 235-251 [in Russian].

14. Noskov, M. F. (2016). Optoelectronic processing image of spherical elements. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 4(36), 254-260 [in Russian].

15. Korneev, V. S. (2017). Measurement of Ultra-Small Displacements by the Modulation Method. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2017: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: T. 1. Siboptika-2017 [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2017: International Scientific Conference: Vol. 1. SibOptics- 2017] (pp. 200-203). Novosibirsk: SSUGT [in Russian].

Received 16.10.2017

© V. S. Korneev, 2017