CC BY
44
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
НАУКА- ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2017
удк 551.466 Савотченко С.Е. [Savotchenko S.E.], Горлов А.С. [Gorlov A.S.]
РЕЗОНАНСНЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ ПО ТРУБАМ
Resonance peculiarities of the forced wave propagation in the liquid in the tubes
В статье предложена математическая модель распространения звуковых волн в жидкости по цилиндрической трубе, возбуждаемых гармоническими колебаниями мембраны произвольной формы. Математическая формулировка модели сводится ко второй краевой задачи для волнового уравнения. В случае гармонического внешнего воздействия волновое уравнение для потенциала скорости жидкости переходит в уравнение Гель-мгольца. Получено аналитическое выражение, описывающее распределение потенциала скорости жидкости в волне. Приведена функция Грина краевой задачи. Определены фазовая и групповая скорости. Рассмотрены особенности распространения звуковых волн, возбуждаемые гармоническими колебаниями круглой мембраны. В работе показано, что возбуждается конечное число гармоник. Указаны резонансные частоты, вблизи которых амплитуда колебаний будет максимальной. Установлено, что таких частот может быть конечное число.
The article is devoted to the problem of the modeling of the sound wave propagation in cylindrical tube exited harmonic oscillations of the freeform membrane. The mathematical formulation of the model Is reduced to the second boundary value problem for the wave equation. The wave equation for the potential velocity of the liquid passes Into the Helmholtz equation in the case of harmonic external force. The analytical expression described of liquid velocity potential distribution is derived. The boundary value problem Green function is obtained. The phase and group velocity are determined. The particularities of propagation of sound waves exited harmonic oscillations of the round membrane are considered. In this paper it is shown that the finite number of harmonic is exited. The resonance frequencies near which the oscillation amplitude will maximize are specified. It is founded that the finite number of such frequencies can exist.
Ключевые слова: давление, плотность, потенциал скорости, волны в жидкости, вынужденные колебания, сжимаемая жидкость. Key words: pressure, density, velocity potential, waves in liquid, forced vibrations, compressible liquid.
Введение
Проблемам анализа колебательных и волновых процессов, происходящих в жидкостях, посвящено большое количество литературы [1, 2]. Исследования вопросов распространения возбуждений показывают, что в современной математической теории волн используется единый подход к описанию физических явлений, происходящих в широком классе различных по природе систем, например, таких, как распространение звука в трубах, пульсация крови в артериях и венах, распространение колебаний в органах слуха, волны в открытых каналах и водоемах.
Целью данной работы является формулировка новой модели, описывающей распространение звуковых волн в жидкости вдоль цилиндрической трубки, когда возбуждение волн должно происходить за счет гармонических
колебаний мембраны, закрепленной на одном конце цилиндра. Модель должна быть применимой для цилиндра произвольного сечения.
В данной работе будет показано, что математическая формулировка предлагаемой модели приведет к начально-краевой задаче для волнового уравнения с неоднородными краевыми условиями второго рода относительно потенциала скорости жидкости. К достоинству данной модели следует отнести возможность получения решения поставленной задачи в явном аналитическом виде.
Материалы и методы исследования
Формулировка модели и вывод основных уравнений
Основным методом теоретического анализа закономерностей поведения жидкости в различных условиях являются математические методы теоретической физики. Будем рассматривать малые колебания в сжимаемой идеальной жидкости, называемыми звуковыми волнами [1], описываемые стандартным уравнением Эйлера для вектора скорости движения частиц жидкости V(М, I). давления р(М. I) и плотности р(М, I) жидкости в точке М е Ш в момент времени / > О (/? множество вещественных чисел). Плотность жидкости р подчиняется уравнению непрерывности. В силу малости колебаний скорость V в жидкости мала, поэтому в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (У.У)\;. V - оператор набла. Поэтому давление и плотность представимы в виде р =р0 +р' и р = р0 + р', где ра и р0 - постоянные равновесные давление и плотность жидкости, р' и р'- их малые изменения в звуковой волне, такие что р0 » р' и р, » р'.
Так как рассматриваемое движение идеальной жидкости является адиабатическим, то малое изменение давления линейно связано с малым изменением плотностир' = \2р', где 5 - скорость звука в жидкости [2]: \2 = (др/др0), производная вычисляется при постоянной энтропии 5". Пренебрегая членами второго порядка малости относительно величин V, р' и р' в уравнениях Эйлера и непрерывности, и переходя к потенциалу скорости ср(М, /): V = Уср, причемр' = - р0'<3ф/б)/, можно получить волновое уравнение [3,4]:
-е?=*2Дф, (1)
где А - оператор Лапласа.
К уравнению движения добавляются граничные условия, задающие нормальную компоненту скорости У„ на поверхности Е, ограничивающей жидкость. Поэтому для потенциала граничные условия в общем случае представляют собой заданные нормальные производные на поверхности X. и они записываются в виде:
5ф
дп
= Г (2)
£
Таким образом, моделирование волновых процессов в жидкости сводится к нахождению потенциала скорости ср, удовлетворяющего волновому уравнению (1) и граничным условиям (2).
Рассмотрим теперь постанову задачи для нахождения поля скоростей в звуковой волне в цилиндрической трубке произвольного сечения, возбуждаемой гармоническими колебаниями мембраны, закрывающей один конец трубки (второй конец трубки считается закрепленным). Пусть длина цилиндра И, а мембрана занимает область I) а Е2, ограниченную гладким плоским контуром С.
Направим ось Ох в глубину вдоль оси цилиндра и пусть мембрана расположена на границе г = 0 в плоскости хОу. Тогда решение волнового уравнения (1) будем искать в области В ¡(.V. у, г): (х, у) е 1) а Я2, 0 <г<Ь } с: Я3 при т 0. Будем обозначать через М точки из трехмерной области В, а через М-, точки мембраны I).
Рассмотрим подробнее формулировку граничных условий (2) в явном виде. Пусть на закрепленную по краям тонкую мембрану действует внешняя гармоническая сила с заданной частотой т. Такое воздействие можно описать выражением /(Л/.)*то>/. где функция ДМ2) моделирует распределение внешнего воздействия по поверхности мембраны. Это означает, что нормальная к мембране производная потенциала при г = О будет равна /(М2)вт®1. На втором конце цилиндра г = Ь нормальная к этой плоскости производная потенциала будет равна нулю, поскольку он закреплен жестко и жидкость не выливается из цилиндра. Также будет равна нулю нормальная производная потенциала на контуре С, ограничивающем мембрану. Сформулированные граничные условия можно записать в виде:
Эф
~дг
Эф дп
= /(М2)чт Ш- —
Эф &
= О, М2 е £> (3)
к
= О, .VI е С (4)
с
Граничные условия (3), (4) добавляются к уравнению (1) и получается математическая формулировка модели в виде второй краевой задачи для потенциала ср.
Известно (см., например [3]), что если краевой режим содержит зависимость от времени только в виде 5то)/. то решение краевой задачи (1), (3)—(4) будет зависть от времени только по такому же закону впко I. Следовательно, потенциал можно представить в виде: ср(М, I) = и(М)вико?, где и{М) - новая искомая функция только пространственных координат. Подстановка данного выражения в (1) приводит к уравнению Гельмгольца (уравнению стационарных колебаний) для функции и{М)\
Аи(М) + ¥и(М) = 0 ,МеВ,
где к <•> '.V волновое число. Поэтому функцию и(М) можно называть потенциалом стационарных колебаний (или кратко - стационарным потенциалом).
Основное отличие рассматриваемого в данной работе типа волн от изученных в [5, 6] состоит в том, что капиллярные силы не рассматриваются, поэтому данный тип волн не относится к капиллярным. Природа возбуждения рассматриваемых в данной работе волн связана исключительно с механическим взаимодействием жидкости в трубе с колебаниями мембраны под внешним гармоническим воздействием.
Звуковые волны, возбуждаемые гармоническими колебаниями мембраны произвольной формы
Решение краевой задачи (1), (3—(4) представимо в виде обобщенного ряда Фурье ряд по полной системе функций (м/„}:
и(М) = £[/»¥л(М2)С089л(А - г). (5)
п
где д^ = к1 — Хп и амплитуда колебаний определяется выражением:
С1„(со) = —(6)
дп8тд„к
коэффициенты Фурье распределения воздействия по мембране определяются выражением:
Л = тЛг Л /(М2ШМ2)Жм, (7)
II ТВ II Г;
норма собственных функций: о
¿¡> - элемент поверхности мембраны.
В качестве полной системы функций выбираются собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:
Д2М/„(М2)+^;М/„(М2) = 0, 1ЦеЯ (8)
дУп
дп
= 0, М2еС (9)
с
Д, - двумерный оператор Лапласа по координатам Мг X -собственные значения задачи (8)-(9). Собственные функции задачи Штурма-
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Резонансные особенности распространения вынужденных волн.
Лиувилля (8)-(9) называют собственными функциями мембраны [4]. Так как задача (8)-(9) является двумерной, то под индексом п следует понимать обозначение двойного индекса, и ряд Фурье (5) считается двойным. По своему построению решение в виде ряда (5) удовлетворяет краевому условию на контуре мембраны (4). Вопросы сходимости ряда (5), существования и единственности решения краевой задачи (1), (3)-(4) будут обсуждены далее.
Следует отметить, что при с) = 0, то есть когда к = \п, краевая задача (I). (3)-(4) не имеет решений. Поэтому случай ц = 0 из дальнейшего рассмотрения исключается. Так как нас интересуют только колебательные движения, то частота внешнего воздействия должна удовлетворять неравенству ю > \л//.„. Тогда для того, чтобы существовала хотя бы одна волна, распространяющаяся вдоль трубки, частота внешнего воздействия должна превышать минимальное пороговое значение шт|п = Ш%к\, где /. - минимальное собственное значение (предполагается, что они упорядочены по возрастанию) задачи (8)-(9). Волны с частотами ниже шт|п в трубке не возбуждаются.
Следует отметить, что решению (5) молено придать другой вид:
и{м) -- Ддлг2х?(м2,ад<я?„, (Ю)
о
где сй^ означает, что интегрирование проводится по точкам Лг2 по-
верхности мембраны, и введена функция Грина краевой задачи (1), (3)-(4):
<${М2,Щ,г) = У С°^(/г"г). (11)
п |к,||
Проанализируем особенности частотных и скоростных характеристик описываемого типа волн. Очевидно, что ряд (5) сходится всюду в области В при ц Ь Ф тс1, где / = 0, 1,2, .... При выполнении условия ц р = тс/ амплитуда (6) обращается в бесконечность. Это означает, что существует набор частот, которые будем условно называть резонансными:
Щ=5(Хл+(П1/И)2Уп. (12)
В реальной ситуации всегда происходит диссипация энергии. Учет в модели каких-либо диссипативных процессов, например, вязкости жидкости, не приводил бы к обращению амплитуды колебаний при некоторой частоте в бесконечность. Тем не менее, как известно из теории колебаний, максимальное значение амплитуды в модели, учитывающей диссипативные процессы, достигается при частоте, близкой к резонансной частоте, при которой амплитуда колебаний обращается в бесконечность в модели, не учитывающей диссипативные процессы. Поэтому выражение (12) позволит прибли-
зительно оценить значения резонансных частот, понимаемых в том смысле, когда амплитуда реальных колебаний будет максимальной.
С физической точки зрения более удобной характеристикой являются не собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (8)-(9) Х,„ а собственные частоты свободных колебаний мембраны ю„ = где с - скорость поперечных колебаний мембраны. Она определяется физическими характеристиками мембраны [4]: с = (о/р^)12, где а - натяжение мембраны, р - поверхностная плотность мембраны. Тогда в терминах собственных частот мембраны выражение для резонансных частот (12) можно переписать в виде:
=я((ю п/с)2+(п1/к)2У'2.
Из этого выражения следует, что резонансные частоты определяются исключительно физическими характеристиками и формой мембраны, а также длиной цилиндрической трубки. Ясно, что число резонансных частот должно быть конечным. Более подробный анализ резонансных частот будет проведен далее для случая круглой мембраны.
Фазовая скорость звуковой волны, распространяющейся вдоль цилиндра, определяется выражением:
урк=<Ычп=<й1{к2-К)1'2. (13)
Выражение для фазовой скорости можно переписать в терминах скорости звука 5:
Отсюда следует, что фазовая скорость больше звуковой: > 5.
Групповая скорость волны определятся выражением:
^¡'^о-^/сшт (14)
откуда видно, что групповая скорость меньше звуковой:
V <5.
г
Так называемая «пространственная» частота колебаний вдоль оси цилиндра определятся выражением:
Оя =8Чп =з(к2-Я„),/2 =(ш2 )„/с)2)1/2 (15)
Звуковые волны, возбуждаемые гармоническими
колебаниями круглой мембраны
Пусть мембрана представляет собой круг радиуса К, тогда удобно перейти в полярные координаты и область I) будет иметь вид: I) = {(г. 0): ()</-< М. ()<()< 2к} а Я7. Собственные функции и собственные значения круглой мембраны для задачи Штурма-Лиувилля (8)-(9) хорошо известны |3, 4]:
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Резонансные особенности распространения вынужденных волн.
(16)
Кт = я = 0. 1, 2. 1, 2, ..., (17)
где 3 - функции Бесееля п-ого порядка, ' являются «7-ыми нулями
производных функций Бесселя /?-ого порядка, то есть корнями уравнения: ./'((-С1) = 0. Норма собственных функций:
|wü)f=— — ,/2(llW)Jl-
" ПТП о о О И vr И! ' I
2-Ьл0оиоЬл
(18)
где / = 1 соответствует собственным функциям с косинусами, а / = 2
- с синусами, 8 - символ Кронекера.
С учетом того, что собственные функции круглой мембраны (16) состоят из двух наборов, представление решения краевой задачи (1), (3)-(4) в форме разложения в ряд Фурье (5) будет иметь вид:
u(rAz) = f±UnJ¡^1Xosqnm(h-z), (19)
п=0 м=1 V Л у
где Unm = {7jl> cos и8 + sin и0} / 9jei sin
а коэффициенты Фурье (7) вычисляются по формулам:
1 2r's ^ Л
= Г Яя*»е)-Ч V P°s nQ rdr dQ- (20)
И 0 0 ^
1 /" /Г JJ/(r.6yJ ¡sinnQrdr ¿9, (21)
рГЩ 0 0 Т"*
Таким образом, выражения (16)—(21) полностью определяют решение краевой задачи (1), (3)-(4) для случая круговой мембраны. Оно определяет потенциал скорости и изменение давления жидкости при произвольном распределении внешнего воздействия на нее.
Рассмотрим далее случай, когда внешнее гармоническое воздействие распределено равномерно по всей поверхности круглой мембраны. Тогда /(г,!1) / постоянная величина и ее можно вынести за интегралы в (20) и (21). Поэтому, в силу ортогональности системы собственных функций, отличными от нуля будут только коэффициенты Фурье (20) с п = 0, то есть = 0, и = 1, 2, ..., /и = 1, 2, ..., = 0, и = 0, 1,2, ...,»; = 1,2, ... .
л
Ненулевые коэффициенты Фурье в этом случае вычисляются в явном виде:
7а) = 2/р^ ас)
(22)
В результате решение (19) с учетом (22) принимает вид одномерного ряда Фурье:
щ=I
щ=I
(23)
с амплитудами гармоник
(24)
Таким образом, из (23) следует, что в случае равномерно-
го воздействия по всей площади мембраны потенциал, скорость, давление и плотность жидкости в звуковой волне не зависят от угловой переменной и обладают осевой симметрией.
Результаты и их обсуждение
Собственные частоты свободных колебаний круглой мембраны: сойд, = с^'к1т = / Л. В предыдущем пункте отмечшюсь, что существует минимальная частота гатк = с частотами ниже которой звуковые волны в трубке не возбуждаются. Для круговой цилиндрической трубки эта минимальная частота определяется выражением: юшЬ1 = /с = 5(1г;'' /Я.
Поскольку собственные значения круглой мембраны (17) увеличиваются с ростом номеров п и т, то при фиксированной частоте внешнего воздействия 05, начиная с некоторых номеров п и т. станет справедливо ю< . Это означает, что звуковые волны будут затухающими вдоль оси цилиндра, так как а станет мнимой величиной.
1 пт
Для определенности далее будем рассматривать случай равномерного распределения воздействия на мембрану (как было показано выше, в этом случае п = 0). Тогда наибольшее число М = шах{?и} определяется при фиксированной частоте внешнего воздействия еа из условия того, то выполняется неравенство со >Шш/с = луу'/ /Я. а, начиная с номераМ+ 1, это неравенство нарушается. Ясно, что для каждой частоты внешнего воздействия такое число М будет своим, то есть следует считат ь М = А-/(со). Максимальную возможную частоту внешнего воздействия обозначим (йтах > ^ОУ',/ / с = лур/ /К.
В реальной среде существует граница частотного диапазона, которую обозначим Юти. Тогда наибольшее число возбуждаемых волн М = М(штах) определяется из требования выполнения неравенства йтах > ^Юом/ с = /Я. которое, начиная с М + 1, будет уже несправедливым. Это означает, что в цилиндрической трубке возбуждается конечное число гармоник. Поэтому ряд
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Резонансные особенности распространения вынужденных волн.
(23) не является бесконечным, а представляет собой конечную сумму с числом слагаемых, равных М.
Как отмечалось выше, амплитуда колебаний 11 п обращается в бесконечность, когда частота внешнего воздействия будет совпадать с одной из резонансных частот (12). В случае круглой мембраны, подставив в (12) собственные значения (17), получим выражение для резонансных частот
Юй=5(04И)/Я)2+0т///ОТ2 (25)
Количество таких резонансных частот конечно. В случае равномерного распределения воздействия на мембрану, когда п = 0, и при т = 1.2.... М. количество резонансных частот юд /К)2 +(ж1/Н)2}12 бу-
дет определяться так же изменением индекса / = 1,2,.../,. где число Ь находится из условия (йя > й,шх. то есть из неравенства ю^ > /В.)1 + (л/,/к)2)112.
Был проведен численный анализ решения (23) при следующих фиксированных значениях: р0= 1002 кг/м3,/0 = 2, т = 2000, Ь = 0,03 м, Я = 0,0015 м, максимальное значение ютах полагается равным 20кГц. Его результаты показали, что увеличение частоты ш влияет на амплитуду и собственно на частоту бегущей волны. Также можно сделать вывод о том, что изменение координаты г точки на мембране влечет за собой изменение амплитуды волны.
Заключение
В работе была предложена модель распространения звуковых волн, возбуждаемых колебаниями мембраны в цилиндре, заполненном несжимаемой жидкостью. Показано, что математическая постановка сводится ко второй начально-краевой задаче для волнового уравнения с неоднородными краевыми условиями относительно потенциала скорости жидкости.
Получено в явном аналитическом виде решение поставленной задачи, описывающее звуковые волны в жидкости, распространяющиеся в цилиндре произвольного сечения, и при произвольном распределении внешнего воздействия на мембрану.
Установлено, что в системе существуют резонансные частоты, определяемые физическими характеристиками (частотой ее собственных поперечных колебаний, эластичностью и плотностью) и формой мембраны, а также длиной цилиндрической трубки. Таких резонансных частот имеется целый набор. Если частота внешнего воздействия будет близка к одной из таких резонансных частот, то амплитуда колебаний будет резко возрастать.
Проанализирован подробно случай трубы в форме цилиндра кругового сечения. В этом случае потенциал скорости жидкости выражается через цилиндрические функции Бесселя. Далее было рассмотрено равномерное распределение внешнего воздействия по мембране. Было показано, что давление и плотность жидкости в звуковой волне не зависят от угловой переменной и обладают осевой симметрией.
Следует отметить, что рассматриваемы задачи гидродинамики тесно связаны с задачами аэродинамики в силу схожести основных модельных уравнений [7].
Библиографический список
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во ин. лит, 1963. 244 с.
3. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во МГУ 1998. 350 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.
5. Савотченко С.Е. Вынужденные капиллярные волны в покрытом тонкой пленкой бассейне // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008. Т. 51. №3. С. 3-6.
6. Савотченко С.Е. Моделирование вынужденных внутренних капиллярных волн // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2015. Т. 11. №2. С. 87-90.
7. Закинян Р.Г., Авакян K.C., Семенова Ю.А. Развитие экмановс-кой теории пограничного слоя атмосферы при различной ориентации изобар // Наука. Иннфовации. Технологии. 2013. №1. С. 26-30.
References
1. Landau L.D., Lifshic Е.М. Teoreticheskaja fizika. T.VI. Gidrodinami-ka. (Theoretical physics. Vol.VI. Hydrodynamics). M.: Nauka, 1986. 736 p.
2. Birkgof G. Gidrodinamika. (Hydrodynamics) M.: Izd-vo in. lit, 1963. 244 p.
3. Bogoljubov A.N., Kravcov V.V. Zadachi po matematicheskoj fizike. (Problems in mathematical physics). M.: MGU, 1998. 350 p.
4. Tihonov A.N., Samarskij A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki. (Mathematical physics equations). M.: MGU, 1999. 798 p.
5. Savotchenko S.E. Vynuzhdennye kapilljarnye volny v pokrytom tonkoj plenkoj bassejne. (Forced capillary waves in the pool covered with a thin film) Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika. 2008. Vol. 51. No. 3. Pp. 3-6.
6. Savotchenko S.E. Modelirovanie vynuzhdennyh vnutrennih kapil-Ijarnyh voln. (Modelling of the forced internal capillary waves) Vest-nik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2015. Vol. 11. No. 2. Pp. 87-90.
7. Zakinjan P.G., Avakjan K.S., Semenova Ju.A. Razvitie jekmanovs-koj teorii pogranichnogo sloja atmosfery pri razlichnoj orientacii izobar. (Development Ekman theory of the atmospheric boundary layer at different isobar orientations) Nauka. Innfovacii. Tehnologii. 2013. No. 1. Pp. 26-30
