Работы Л. В. Канторовича о полиномах С. Н. Бернштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51:519.65

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2

РАБОТЫ Л.В.КАНТОРОВИЧА О ПОЛИНОМАХ С.Н.БЕРНШТЕЙНА

В. С. Виденский

Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, д-р физ.-мат. наук, профессор, ilya.viden@gmail.com

1°. В 1912 году С. Н. Бернштейн, используя некоторые соображения из теории вероятностей, ввел полиномы

п

в„(/;*) = £/(£К*(*), (1)

к=0

Рпк(ж) = СкХк(1 - ж)п-к, (2)

и установил, что для любой функции / € С[0,1] последовательность {Бп(/; ж)} сходится при п ^ <х к /(ж) равномерно по ж € [0,1]. Тем самым, было дано очень простое доказательство знаменитой теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении на отрезке непрерывной функции алгебраическими полиномами.

Работа С. Н. Бернштейна, занимавшая всего две страницы, была опубликована на французском языке в «Сообщ. Харьк. матем. об-ва». С. Н. Бернштейн разослал оттиски многим крупным математикам. Разумеется, в первую очередь авторам других доказательств теоремы Вейерштрасса: А. Лебегу, Л. Фейеру и Эдм. Ландау.

В 1925 году Г. Полиа и Г. Сегё в своем сборнике задач поместили доказательство теоремы Бернштейна, которое, как и первоначальное, опиралось на теорию вероятностей, но при этом не привлекало ее терминологии и техники. Необходимые тождества устанавливались непосредственно. В книгах по теории приближения функций теперь обычно излагается этот вариант. Кажется, в других работах до тридцатых годов не встречались какие-нибудь существенные результаты, связанные с полиномами (1).

2°. В 1930 году по инициативе академика С. Н. Бернштейна в Харькове состоялся Первый всесоюзный съезд математиков. На этом съезде три молодых математика— Е. В. Вороновская, Л.В.Канторович и И. Н. Хлодовский — сделали интересные доклады о свойствах и применении полиномов Бернштейна.

Л. В. Канторович исследовал приближение двух принципиально различных классов функций, а именно: функций, измеримых по Лебегу, и функций аналитических.

Для аппроксимации функций / € Ь[0,1] по базису Бернштейна (2) пространства полиномов степени п строятся полиномы

п

ад; ж) = <Рпк (/)рпк (ж), (3)

к=0

где фпк (/) — некоторые положительные функционалы, не обязательно линейные, подбираемые в зависимости от рассматриваемой задачи. Как правило, ^пк (/) —некоторое усреднение значений / в окрестности точек Этот метод видоизменения полиномов (1) Л. В. Канторович применял для явного построения полиномов, приближающих измеримые функции, в случаях, когда были известны только теоремы существования сходящихся последовательностей.

© В. С. Виденский,2013

По теореме Фреше, если / € Ь[0,1], то существуют полиномы Р„, которые сходятся почти всюду к / .В качестве подходящих ^„к Л. В. Канторович выбирает

fc+i

fnk(f) = (n+1) f(t)dt,

к

n+1

то есть полиномы

fc+i

^„(/;х) = (п+1)]Грпй(х) f(t)dt. (4)

fc=0 n+1

Из полиномов Бернштейна (1) полиномы Канторовича (4) получаются так. Если

F(x) = /" f (t)dt,

то

П

= + -р(^))Рпк(х) = км]Х).

к=0

Доказывается, что К„(/; хо) сходится к /(хо) в каждой точке Лебега хо, следовательно, почти всюду. Для оценки разности |К„(/; хо) — /(хо)| применяются известные из теории вероятностей неравенства для центральных моментов:

W*) = £(£ - < A„x{1 х). (5)

k=0

0

3°. Приводится также другой вариант применения операторов (3). Рассматривается вопрос о приближении на отрезке [0,1] полунепрерывных сверху и ограниченных сверху функций f. По теореме Бэра для любой такой функции существует последовательность полиномов, которая сходится к ней на [0,1]. Л.В.Канторович строит приближающие полиномы, полагая

^fc(/) = max(/(x) | < (6)

Выбор окрестностей точек ^ диктуется применением в дальнейшем неравенства (5) при v = 9. Обозначим оператор (3) с ^>„k(f) вида (6) через <£n(f; x). Доказывается, что для всех x £ [0,1]

lim #„(f; x) = f (x); #„(f; x) > f (x).

n—

4°. Вторую часть доклада Л. В. Канторович посвятил аппроксимации аналитических на отрезке [0,1] функций. Для исследования поставленных проблем оказались достаточными классические полиномы (1), и не потребовались их видоизменения (3).

Сначала рассматривается случай, когда / является целой функцией. К ее степенному ряду

/ (*) = £ ак гк

к=о

почленно применяется оператор Бернштейна

в„(/(*); г) = ^ айВ„(*к; г).

к=0

Легко доказать по индукции, что при Д > 1 в круге |г| < Д выполняются неравенства

; г)| < 3к-1Дк,

в которых правая часть не зависит от п. Таким образом,

|В„(/; г)| |3к-1Дк = 5(Д).

к=0

Значит, последовательность {Вп(/; -)} по теореме Монтеля компактна в круге |г| < Д. С другой стороны, она равномерно сходится к /(ж) на отрезке [0,1]; следовательно, по теореме Витали последовательность {Вп(/; -г)} сходится равномерно к /(г) в круге

|-| < д.

5°. В 1912 году С. Н. Бернштейн исследовал наилучшее приближение функции /, аналитической на отрезке [а, 6]. С этой целью он разложил / в ряд Фурье по ортогональным полиномам Чебышёва Тк:

^

/ (*) = £ Ск Т*(*). (7)

к=0

Обозначим через Е некоторый эллипс с центром в середине отрезка [а, 6] и полюсами на его концах а и 6. Если / регулярна внутри и на границе Е, то ряд (7) сходится равномерно на ЕЕ.

Л. В. Канторович рассмотрел приближение полиномами Бернштейна аналитической на отрезке [0,1] функции / и применил почленно к ряду (7) оператор Вп:

Вп(/; г) = ^ СкВ„(ТЙ; 2).

к=0

По схеме, аналогичной той, которая была использована для целых функций, Л. В. Канторович доказал, что последовательность {В„(/; г)} компактна на Е и равномерно сходится к /(г) на ЕЕ. Неожиданно он попутно заметил, что иногда в некоторых точках -0, не лежащих в Е, Вп(/; -0) = /(-0).

6°. Эти работы Л. В. Канторовича очень заинтересовали академика С. Н. Бернштейна, который представил две его статьи в академические журналы; одну в ДАН (1930) и другую в ИАН (ОМЕН) (1931). Кроме того, С. Н. Бернштейн и сам включился в исследование области сходимости {Вп(/)} к /, когда / аналитическая на [0,1]. На эту тему он опубликовал две краткие заметки в 1936 году и одну большую статью в 1943 году. Эта статья начинается словами: «Вопрос о сходимости в комплексной области многочленов Вп(/) впервые был рассмотрен Л. В. Канторовичем в прекрасной работе [2]».

Мне кажется, что во всех четырех томах сочинений С. Н. Бернштейна не найдется больше ни одного столь похвального отзыва о какой-нибудь работе другого автора.

С. Н. Бернштейн получил новые глубокие результаты, выразив полином Bn(f; z) через контурный интеграл и использовав всю мощь технического аппарата теории функций комплексного переменного.

7°. По совету Л. В. Канторовича Г. Р. Лоренц рассмотрел вопрос о приближении f £ Lp[0,1] полиномами. Он доказал, что последовательность полиномов {K„(f)} сходится к / в метрике пространства

В. Г. Амелькович — ученица львовского профессора И. Г. Соколова — исследовала в общем виде операторы Канторовича (3). Приведем вкратце ее интересный результат. Пусть (/) —линейные положительные функционалы, определенные на [0,1], и все (1) равны единице, так что Фп(1; x) = 1. Обозначим

ón = ||$n(í2; x) - x2|| +2||Ф„(£; x) - x||. Справедливо неравенство

!Ím„^oo"-¿n > C, (8)

где постоянная c положительна, c > 0,01. Мы видим, что по крайней мере одна из двух функций t или t2 не может быть приближена операторами Фп со скоростью, большей, чем n-1. Неравенство (8) было выведено при помощи рассуждений, которые Л. В. Канторович применил для доказательства теорем Фреше и Бэра.

В. С. Виденский вывел неравенство (8) иным способом и вычислил, что c = 0, 25. Это точная постоянная; равенство достигается для полиномов Бернштейна при любом n.

8°. Съезд математиков в Харькове проходил через 18 лет после того, как были построены полиномы Бернштейна. Однако к тому времени еще немногие начали их применять или исследовать их свойства. Л. В. Канторович был в числе первых, кто внес серьезный вклад в применение и обобщение этих полиномов.

Затем ситуация резко изменилась. Многие математики стали интересоваться полиномами Бернштейна и линейными положительными операторами бернштейновско-го типа. Библиография работ в этом направлении за последние 60 лет насчитывает больше чем 1500 названий.

Я благодарен проф. В. Н. Малозёмову, который выдвинул тему этой заметки и обсудил со мной в общих чертах ее содержание.

Литература

1. Канторович Л. В. О некоторых разложениях по полиномам в форме С. Н. Бернштейна // ДАН(А), 1930. Т. 20. С. 563-566; Т. 21. C. 595-600.

2. Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала // ИАН (ОМЕН). 1931. С. 1103-1115.

3. Канторович Л. В. La representation explicite d'une fonction mesurable arbitraire dans la forme de la limite d'une suite de polynomes // Матем. сб., 1934. Т. 41. C. 508-510.

4. Бернштейн С. Н. Сочинения. Т. 1. М., 1952; Т. 2. М., 1954. Статьи №3, 4, 57, 64, 65, 81.

5. Лоренц Г. Р. Zur Theorie der Polynome von S. Bernstein // Матем. сб., 1937. Т. 2 (44). C. 543556.

6. Амелькович В. Г. Об одном семействе положительных полиномиальных операторов // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку, 1965. С. 98-104.

7. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Л.: Изд-во ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990, п. 10, 11.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.