CC BY
40R/S - анализ температурных временных рядов
Александрович Сергей Всеволодович;
канд. физ.-мат. наук, доцент, Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, tannuola@Gmail.com
Проведено исследование временных рядов среднегодовых температур воздуха в городах Москве и Санкт-Петербурге во временном промежутке с 1821 по 2018 годы. Показано, что эти временные ряды сильно коррелированы. Эмпирические распределения температур для обоих городов соответствуют нормальному распределению. Автокорреляционные функции для обоих временных рядов являются слабо убывающими с увеличением лага. Все коэффициенты автокорреляции имеют положительный знак и являются статистически значимыми для
уровней, отстоящих друг от друга с лагом до 40 лет. R / S -анализ временных рядов показал, что показатели Херста обоих временных рядов близки к значению 0,8. Это свидетельствует о том, что временные ряды являются фрактальными рядами с длинной (долговременной) памятью, обладающими свойством персистентности (трендоустойчивости). Для обоих временных рядов были найдены значения фрактальной размерности. На основании полученных результатов сделан прогноз о сохранении тренда на потепление климата в течение ближайших десятилетий.
Ключевые слова: Температурные временные ряды, R/S -анализ, показатель Херста, персистентный стохастический процесс, длинная память, фрактальная размерность.
Исследование динамики температуры воздуха у поверхности земли является актуальной задачей как в научном плане (при изучении эффекта глобального потепления), так и в практическом. Прогнозирование будущего характера поведения среднегодовых температур крайне важно для планирования экономического развития.
В настоящей работе были исследованы временные ряды среднегодовых температур воздуха в городах Москве и Санкт-Петербурге с 1821 по 2018 годы. Значения среднегодовых температур были взяты на сайте «Погода и климат» [1] и представлены на рисунках 1 и 2.
Рис. 1
X X
о го А с.
Рис. 2
Из этих графиков видно, что эти временные ряды являются реализациями случайных процессов. Среднее значение и стандартное отклонение значений рассматриваемых временных рядов (в градусах Цельсия) равны соответственно: 4,389899 и 1,259401 (для Москвы) и 4,493434 и 1,309360 (для Санкт-Петербурга). Коэффициент корреляции среднегодовых температур Москвы и Санкт-Петербурга на исследуемом временном промежутке равен 0,883247.
На рис. 3 и 4 представлены гистограммы частот среднегодовых температур для Москвы и Санкт-Петербурга.
X
го m
о
2 О
м о
о es о es
es
о ш m
X
<
m о x
X
вают с увеличением лага и являются статистически значимыми для уровней, отстоящих друг от друга с лагом до 40 лет. Следовательно, можно предположить, что исследуемые временные ряды не являются случайными блужданиями, а относятся к классу фрактальных временных рядов, обладающих длинной (долговременной) памятью.
11,2,2,0! (2.0. 2,3] 12,8, 3,6] (3,6.4,4J (4.4. S.J] |5,2Д9] (5,9.6,7] (6,7.7,5] (7.5.8.3]
Рис. 4
Тест Шапиро - Уилка на нормальность распределения показал значения p — value = 0,1970 для
Москвы и p — value = 0,5137для Санкт-Петербурга. Это свидетельствует о том, что распределения температур соответствуют нормальному распределению при любом уровне значимости а< 0,1970 для
Москвы и при любом уровне значимости а< 0,5137
для Санкт-Петербурга.
На рисунках 5 и 6 представлены автокорреляционные функции исследуемых временных рядов.
Рис. 5
Из этих рисунков видно, что наблюдаемые значения среднегодовых температур не являются независимыми для обоих временных рядов. Коэффициенты автокорреляции имеют положительные значения, медленно убы-
Для процессов с короткой памятью (например, ARMA) характерно экспоненциальное убывание автокорреляционной функции: pk ^ ak , где к > 0 - номер лага, 0 < a < 1 - константа.
Для процессов же с длинной памятью автокорреляции убывают по степенному закону: р^ ^ ка, где
к > 0 - номер лага, а < 0 - константа [2].
Для различения случайных и фрактальных временных рядов применяется R / S - метод или метод нормированного размаха. Этот метод был разработан английским гидрологом Гарольдом Эдвином Херстом [3].
Основным результатом R / S - анализа является определение показателя Херста H . Показатель Хер-ста принимает значения в промежутке 0 < H < 1 и в зависимости от его величины можно делать следующие
выводы [4, стр. 88]. При значении H = 0,5, ряд представляет собой случайное блуждание и уровни временного ряда являются независимыми друг от друга. Когда
H не равно 0,5, то в этом случае наблюдения не являются независимыми. При 0,5 < H < 1 ряд обладает свойством персистентности (сохранения тенденции). Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то он будет сохранять эту тенденцию в течение некоторого времени. Трендоустойчивость (сила персистентности) увеличивается при приближении H к 1. Чем ближе H к 0,5, тем больше вклад случайной компоненты и тем меньше выражен его тренд. При 0 < H < 0,5 ряд обладает свойством антиперсистентности. В этом случае рост в прошлом скорее всего приведет к уменьшению в будущем и наоборот.
Важным преимуществом метода нормированного
размаха является то, что используемая в нем R / S -статистика является непараметрической и не нуждается
в предварительном предположении о законе распределения вероятностей изучаемой системы.
К / 5 - анализ исследуемых временных рядов был проведен по методике, описанной в [5, стр. 63]. Имеющиеся 198 значений среднегодовой температуры для каждого города разбивались на группы следующих друг
за другом промежутков: кх = 33 последовательных промежутка по Шх = 6 лет, ^ = 22 промежутка по = 9 лет, кз = 11 промежутков по Ш3 = 18 лет, к4 = 9 промежутков по т4 = 22 года, к5 = 6 промежутков по тъ = 33 года, к6 = 3 промежутка по
тб = 66 лет и к? = 2 промежутка по т2 = 99 лет. Для каждого значения т были рассчитаны значения статистики (К / 5)т а также значения натуральных логарифмов 1п(т) и 1п(К / 5)т . Результаты расчетов представлены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1
Результаты К/5 - анализа для Москвы
т R/S 1п(т) 1п^)
6 2,2098826 1,791759469 0,792939392
9 2,87720492 2,197224577 1,056819309
18 4,455462131 2,890371758 1,494130789
22 5,25220107 3,091042453 1,65864724
33 6,214978805 3,496507561 1,826962315
66 14,67816419 4,189654742 2,686360961
99 22,9835096 4,59511985 3,134776985
Таблица 2
Результаты К/5 - анализа для Санкт-Петербурга
т R/S 1п(т) 1п^)
6 2,213132636 1,791759469 0,794408994
9 2,895926776 2,197224577 1,06330519
18 4,585064099 2,890371758 1,522804086
22 5,152491845 3,091042453 1,639480451
33 6,724829794 3,496507561 1,905806616
66 13,64370825 4,189654742 2,613278482
99 21,80330512 4,59511985 3,082061569
Линейная регрессия !п(1*/$) на 1п{т) (данные для Москвы)
3,5
3
2,5
1/1 2
си
_с 1,5
1
0,5
0
у = 0,8223х- 0,8068 0,9722 •
• *
2 3 !п(т)
Рис. 7
Линейная регрессия 1п(К/Б) на 1п(т)
(данные для Санкт-Петербурга)
3,5
2,5
1,5
0,5
у = 0,7997х- 0,7389 0,983 _•_
1п(т)
Рис. 8
Показатель Херста Н находится из уравнения [5, стр. 64]:
(К / 5)т = с * тН,
где С - константа.
По данным таблиц 1 и 2 приближенное значение показателя Херста были найдены с помощью линейной регрессии 1п( К / 5) т на 1п(т) :
1п(К / 5)т = 1п(с) + Н * 1п(т).
Результаты регрессионного анализа приведены на рис. 7 и 8.
Как видно из рис. 7 и 8, по результатам регрессионного анализа показатели Херста для временных рядов среднегодовых температур Москвы и Санкт-Петербурга
оказались соответственно равными: Н = 0,8223 (коэффициент детерминации К = 0,9722) и Н = 0,7997 (коэффициент детерминации
К2 = 0,9830). Таким образом, исследуемые временные ряды по терминологии Херста являются перси-стентными.
С помощью показателя Херста, можно определить фрактальную размерность временного ряда по формуле [4, стр. 99]:
В = 2 - Н.
Для исследуемых температурных временных рядов по найденным значениям показателя Херста
Н * 0,82 для Москвы и Н * 0,80 для Санкт-Петербурга, получаем значения фрактальной размерности В * 1,18 для Москвы и В * 1,20 Для Санкт-Петербурга.
Значения фрактальной размерности и показателя Херста характеризуют степень «изломанности» временного ряда. При случайном блуждании Н = 0,5 и
X X
о
го А с.
X
го т
о
ю
2 О
м о
о es о es
es
фрактальная размерность временного ряда D = 1,5 . Персистентные временные ряды, для которых 0,5 < H < 1 и 1 < D < 1,5 являются менее «изломанными» (более гладкими), а антиперсистентные временные ряды, для которых 0 < H < 0,5 и
1,5 < D < 2 являются более «изломанными» (менее
гладкими), чем временные ряды при случайном блуждании. Следовательно, более низкая фрактальная размерность характеризует систему, менее подверженную переменам, а более высокая фрактальная размерность характеризует систему более подверженную переменам.
Таким, образом, на основании R / S - анализа и анализа автокорреляционных функций временных рядов среднегодовых температур воздуха Москвы и Санкт-Петербурга во временном промежутке с 1821 по 2018 годы можно сделать вывод о том, что эти временные ряды являются фрактальными временными рядами с длинной памятью. Полученные значения показателя Херста свидетельствуют о том, что эти временные ряды являются персистентными (трендоустойчивыми). Оценка длины долговременной памяти показала, что для обоих временных рядов она составляет около 40 лет. На основании полученных результатов можно сделать прогноз о том, что существующий в настоящее время тренд на повышение среднегодовой температуры воздуха вблизи поверхности земли в течение ближайших десятилетий будет сохраняться.
Литература
1. Погода и климат [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.pogodaiklimat.ru
2. Granger C.W., Joyeux R. Introduction to longmemory time series models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis. 1980, vol. 1, p. 15 - 29.
3. Hurst H.E. Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of American Society of Civil Engineers. 1951, vol. 116, p. 770 - 799.
4. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М. «Мир», 2000, 333 с.
5. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М., «Интернет-Трейдинг», 2004, 292 с.
R/S - analysis of temperature time series Aleksandrovich S.V.
Financial University under the government of the Russian
Federation, Moscow A study of the time series of average annual air temperatures in the cities of Moscow and St. Petersburg in the time period from 1821 to 2018 was carried out. It is shown that these time series are strongly correlated. The empirical temperature distributions for both cities correspond to the normal distribution. The autocorrelation functions for both time series are weakly decreasing with increasing lag. All autocorrelation coefficients have a positive sign and are statistically significant for levels separated from each other by a lag of up to 40 years. R/S -analysis of time series showed that the Hurst exponents of both time series are close to the value of 0.8. This indicates that time series are fractal series with long-term memory and have the property of persistence. Fractal dimension values were found for both time series. Based on the results obtained, a forecast is made for the continuation of the trend for climate warming over the next few decades. Key words: Temperature time series, R/S - analysis, Hurst exponent, persistent stochastic process, long-term memory, fractal dimension.
References
1. Weather and climate [Electronic resource]. - Access mode:
http://www.pogodaiklimat.ru
2. Granger C.W., Joyeux R. Introduction to long-memory time series
models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis. 1980, vol. 1, p. 15 - 29.
3. Hurst H.E. Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of American Society of Civil Engineers. 1951, vol. 116, p. 770 - 799.
4. Peters E. Chaos and order in capital markets. A new analytical
look at cycles, prices and market volatility. M. "World", 2000, 333 S.
5. Peters E. Fractal analysis of financial markets. Application of
Chaos theory in investment and economics. M., "Internet Trading", 2004, 292 S.
О Ш
m x
<
m о x
X
