CC BY
112YneHHH XXI BeKa • 2022 • № 5-1 (86)
QUTB KOORDINATALAR SISTEMASIDA FUNKSIYA
ASIMPTOTASI
S. Samatov1, A. Komilov2
Ushbu tezisda Qutb koordinatalar sistemasida berilgan funksiya asimptotalarini o'rganamiz. Unga doir Qutb koordinatalar sistemasida berilgan bir qancha maxsus funksiya asimptotalarini topamiz.
Kalit so'zlar: Egri chiziq, asimptota, to'g'ri chiziq va nuqta orasidagi masofa, burchak koeffisenti.
Ba'zi egri chiziqlarning cheksizlikka ketadigan shoxchalari shunday bo'ladiki, ular biror to'g'ri chiziqqa borgan sari yaqinlashadi. Bunday egri chiziqlarni yasashda aytilgan to'g'ri chiziqlarni bilish kerak bo'ladi. Bizga ma'lumki egri chiziqlar Dekart va Qutb koordinatalar sistemasida beriladi. Biz egri chiziqlarga cheksiz yaqinlashuvchi to'g'ri chiziqni qutb koordinatalar sistemasida o'rganamiz.
Tarif. Egri chiziq p = p(ç) ustidagi nuqtalar chiziq bo'ylab cheksiz uzoqlashganda bu nuqta bilan birorta to'g'ri chiziq orasidagi masofa nolga intilsa, u holda bu to'g'ri chiziq p = p(<p) chiziqning asimptotasi deyiladi.
Biz chiziq asimptotasiga ta'rif berdik. Endilikda bu asimptotani topish bilan shug'ullanamiz. Buning uchun qutb koordinatalar sistemasida to'g'ri chiziq tushunchalarini kiritamiz.
Bizga ma'lumki dekart koordinatalar sistemasidan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi
ax — by + c = 0
ko'rinishida bo'ladi. Bu tenglamada x = pcosç, y = p sin ç deb dekart koordinatalar sistemasidan qutb koordinatalar sistemasiga o'tsak
p (a cos ç — b sin ç) + c = 0
i
ko'rinishiga keladi. So'ngra tenglikning har ikkala tarafini , ga ko'paytirib
•Ja2 + b2
a b c
= sin^0, ■ = cos tp0, ■ = — p0
Va2+b2 ' Va2 + b2 ' Va2 + b2
almashtirishlarni bajarsak
p(cos ç • sin ç0 — sin ç • cos ç0) = p0 Bu tenglikdan quyidagiga ega bo'lamiz:
P(<P) =—r°—\ (1)
Demak, ax — by + c = 0 to'g'ri chiziqning qutb koordinatalari sistemasida (1) ko'rinishida bo'ladi.
Endi qutb koordinatalar sistemasida nuqta va to'g'ri chiziq orasidagi masofa
tushunchasini kiritamiz. Biz bilamizki dekart koordinatalar sistemasida y = kx + b
to'g'ri chiziq va M(x; y) nuqta orasidagi masofa quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
|y — kx — b1
-, = d
Vk2 + 1
Shu masofani biz qutb koordinatalar sistemasiga o'tkazamiz. Agar k = tan ç0, y = psinç, x = p cos ç almashtirishlarni bajarsak
Ipsinç — tan ç0* p cos ç — bl
= d
J(tan<p0)2 + 1 Bundan quyidagiga kelamiz:
lp sin(^ — ç0) — b cos p0l = d Agar p0 = b cos ç0 almashtirish olsak
1 Samatov S. - Sharof Rashidov nomidagi Samarqand Davlat Universiteti, Matematika fakulteti 2-kurs talabasi.
2 Komilov A. - Sharof Rashidov nomidagi Samarqand Davlat Universiteti, Matematika fakulteti 2-kurs talabasi.
YHeHbiH XXI BeKa • 2022 • № 5-1 (86)
^sinOp - <po) - Po1 = d (2)
ega bo'lamiz.
Demak, qutb koordinatalar sistemasida to'g'ri chiziq va nuqta orasidagi masofa (2) ko'rinishida hisoblanadi.
Teorema. Agar lim p(^) = bo'lib, lim p(^) sin(^ — co) = I limit chekli va
noldan farqli bo'lsa, u holda p = sin^ ' ^ to'g'ri chiziq berilgan p(<p) chiziqning
asimptotasi bo'ladi, bunda 0 < w < 2n.
Isbot. Bizga p = p(^) chiziqdagi M nuqta berilgan bo'lib, p(<p) chiziqning asimptotasi qutb koordinatalar sistemasida p = bo'lsin. Agar M nuqta
chiziq bo'ylab cheksizlikga intilganda ular orasidagi masofa nolga intilishini hisobga olsak d = 0 bo'ladi. Bundan nuqta va to'g'ri chiziq orasidagi masofaga asosan
lim (p(<p) sin(<p — Wo) —Po)=0
bo'lishi kelib chiqadi.
Bunda yuqoridagi shartlarga asosan lim = bo'lganligidan
Mmp(*)(sin(* —*o)—^j=0
bundan quyidagiga ega bo'lamiz:
lim , sj
V p((p)/
lim (sin(^ — ^0)) = 0
y = sinx funksiya sonlar o'qida uzluzsizligidan sin(w — ^0) = 0 , w — = 0
m = ^o
ekanligi kelib chiqadi. Demak, to'g'ri chiziqning burchak koeffisenti k = , p = p(^) chiziqning cheksiz kattalashtiradigan nuqtasi ekan.
Biz bilamizki asimptota qutb koordinatalar sistemasida p =---
sin(ty-tyo)
ko'rinishida bo'ladi. Bizda p = p(^) chiziqni cheksiz kattalashtiradigan nuqtasi ekanligi ma'lum. Bizda faqat I ni topish masalasi qoldi. To'g'ri chiziqni qutb
koordinatalar sistemasida I = ¿cos^0 ekanligi va xuddi shunday p0 = - ,
V a2 + fc2
ekanligini hisobga olsak I = p0 bo'lishini topamiz. Yuqorida ko'rsatilgan
lim (pO) sinO — ^o) — Po) = 0
tenglik va w = bo'lganligidan lim p(<p)sin(<p — ^0) = I bo'lishi kelib chiqadi.
ty^tyo
Quyidagi qutb koordinatalar sistemasidagi funksiyalar asimptotalarini qaraymiz:
1-misol. Makloren Trisektrisasining asimptotasini toping. p(<p) =—^
cos3
Yechimi: teorema shartiga ko'ra lim p(<p) = bo'lishi kerak. Buning uchun
cos = 0 bo'lib, bundan <p0 = ekanligi kelib chiqadi. lim p(<p)sin(<p — ^0) = I limitni qaraymiz.
ty^tyo
a ( 3n:\
"m*—msin(^—T) = —3a
cos ^ I x 27 Funksiya asimptotasini topamiz : p = —
slnity-3^) cos(ty)
2
x = p cos(^) = —3a Demak p(<p) = —% chiziq asimptotasi x = —3a to'g'ri chiziq bo'ladi.
2-misol. Konxoida Nikomedaning asimptotasini toping. p = —^ + I , (a > 0,1 > 0)
sln(ty)
Yechimi: bu masalada ham yuqoridagi shartlarga asosan lim p(<p) = shartni qanoatlantiruvchi <p0 ni topamiz.
lim —+ I = bundan = 0 ekanligi kelib chiqadi, bundan
sln(ty) T0
Ученый XXI века • 2022 • № 5-1 (86)
I = lim (—+ l) sinw = <P^o\sm(m) )
bo'ladi. Demak asimptotaning ko'rinishi p bo'lib, у = p sin(<p) = a ekanligi
kelib chiqadi. у = a chiziq berilgan funksiyaning asimptotasi ekan.
3-misol. Kappa fuksiyasining asimptotasini toping. p = a ctg(qi)
Yechimi: p = a ctg(qi) funksiyani cheksiz kattalashtiradigan nuqta sin(<p) = 0
tenglamani ildizi bo'lib, bundan ф = 0 ekanligi kelib chiqadi.
I = lim(a ctg(qi) )sinp = a
Bundan p = bo'lib, у = p sin(p) = a ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday (p0 =
n bo'lganda ham у = psin(p) = —a bo'ladi. Demak у = ±a Kappa fuksiyasining asimptotalari ekan.
Umuman olganda qutb koordinatalar sistemasidagi p = p(<p) chiziqni Dekart koordinatalar sistemasiga o'tkazib asimptotasini ham topishimiz mumkin. Lekin hamma vaqt bu masala oson bo'lavermaydi. Shuning uchun biz yuqoridagicha fikr yuritdik.
Фойдаланилган адабиётлар:
1. M.A. Sobirov va A.Y. Yusupov Differensial geometriya kursi "O'z SSR davlat o'quv pedagogika nashriyoti Toshkent-1959
2. Р.Б.Райхмист Графики функций Москва "Высшая школа" 1991
3. T.N.Qori-Niyoziy Analitik geometriya asosiy kursi O'zbekiston SSR "Fan" nashriyoti 1971
4. А.С.Феденко Сборник задач по дифференциальной Геометрии Москва "Наука" 1979
© S. Samatov, A. Komilov, 2022.
а
