ELLIPTIK EGRI CHIZIQDA RATSIONAL KOORDINATALI NUQTALARNI ANIQLASH UCHUN TAYYORLANGAN MUHITNING ALGORITMI Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 6

educational, natural and social sciences ( ) ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423

ELLIPTIK EGRI CHIZIQDA RATSIONAL KOORDINATALI NUQTALARNI ANIQLASH UCHUN TAYYORLANGAN MUHITNING

ALGORITMI

Raxmonova Nilufarxon Vaxobjon qizi

Qo'qon universiteti Biznes kafedrasi o'qituvchisi. rahmonovanilufar406@gmail .com

ANNOTATSIYA

Mazkur maqolada elliptik egri chiziqning nuqtalarini qo 'shish usullari bayon etilgan. EECh da ratsional koordinatali nuqtalarini Viyet teoremasi yordamida hisoblashning samarali usuli taklif etilgan. Ushbu usullar misollar yordamida ko 'rsatib o 'tilgan va elliptik egri chiziqda ratsional koordinatali nuqtalarni aniqlash uchun tayyorlangan muhitning algoritmi PHP dasturlash tili orqali keltirilgan.

Kalit so'zlar: elliptik egri chiziq, ratsional nuqtalar, kesuvchi, simmetrik nuqta, Viyet teoremasi, urinma.

ABSTRACT

This article describes how to add points to an elliptical curve. An effective method of calculating rational coordinate points using Viet's theorem has been proposed in the EC. These methods are illustrated with example and the algorithm of the prepared environment for determining rational coordinate points on an elliptical curve is presented using the PHP programming language.

Keywords: elliptical curve, rational points, intersection, symmetric point, Viet's theorem, experiment.

АННОТАТЦИЯ

В этой статье описывается, как добавить точки к эллиптической кривой. В ЕЭК был предложен эффективный метод вычисления рациональных координатных точек с использованием теоремы Виета. Эти методы проиллюстрированы примерами , aлгоритм подготовленной среды для определения точек рациональных координат на эллиптической кривой представлен с использованием языка программирования PHP.

Ключевые слова: эллиптическая кривая, рациональные точки, пересечение, симметричная точка, теорема Виета, эксперимент.

KIRISH

Hozirda elliptik egri chiziqlarning axborot texnologiyalari sohasiga tadbiqi keng qo'llanilmoqda. Elliptik egri chiziqda ratsional koordinatali nuqtalarini

Scientific Journal Impact Factor

aniqlash masalasi haligacha dolzarbligicha qolmoqda.

Ushbu maqolada elliptik egri chiziq va uning nuqtalari haqida umumiy tushunchalar, hamda ularga bog'liq bo'lgan amallar bilan tanishiladi.

MUHOKAMA VA NATIJALAR

Elliptik egri chiziq deb, quyidagi Veyershtrass tenglamasi deb ataluvchi tenglik orqali aniqlanuvchi

y2 + axy + ay = x 3 + &2X2 + aAx + a6 (3.1)

egri chiziqqa aytiladi, bu yerda ax, a2, a3, a4, a6 - haqiqiy sonlar. [1. 204-b] Biz quyidagi,

y2=x2- 22x+4 elliptik egri chiziqda F(0;2) , Q(-l;5) nuqtalar mavjudligini bilganimiz holda uning boshqa ratsional koordinatali nuqtalarini aniqlaylik.

Buning uchun, bu nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazaylik. U holda, o'tkazilgan chiziq, egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o'tadi. Bu B(x2ty2) nuqta Ox o'qiga simmetrik ko'chiriladi va hosil bo'lgan B'(x2f— y3) nuqta, P va Q nuqtalarning elliptik egri chiziq ustida yig'indisi deb e'lon qilamiz:

Tasdiq. Agar P(x1,y1),QCx2,y2) E E nuqtalar ratsional koordinatali bo'lsa, u holda B(x3 y2) nuqta koordinatalari ham ratsional bo'ladi. [1.209-b]

Isboti. P(Xij^i), QCx2ly2) E E nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziqning umumiy ko'rinishi:

B (x 3. - y3> = P(X1. yi) + Q(X2> y2>

o

yo

Scientific Journal Impact Factor

ifodaga ega bo'lib, bu yerda k, d- koeffisientlar. POc^yO, CO^^) -nuqtalar y = kx + d chiziqqa tegishli. Bundan esa:

k'2 — A. %^2 ^ " A'-l Ä'2

/1 F _ IF \ IT V _ IF V

l2

e

. , (y-yi\ y2xi ~ y±

d=y1- kx± = y± - l——1 ■ x1 =--—

ekanligi kelib chiqadi.

y = kx + d to'g'ri chizig'i tiklab olindi. Demak, y = 2 — 3x to'g'ri chiziq P va Q nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Keyingi qadamda y = kx-\- d ifoda

elliptik egri chiziqning tenglamasiga qo'yilsa, to'g'ri chiziq va elliptik egri chiziqning 3- nuqtasini topa olamiz, ya'ni:

(2

,3

3x)2 = x3 - 22x + 4 — 9x2 - 10x = 0

u holda uchinchi tartibli tenglama uchun Viyet teoremasiga ko'ra:

tenglik o'rinli bo'lib, bu oxirgi tenglikda xlßxz ratsional sonlar bo'lganligi uchun, x2 ham ratsional son bo'ladi. Xuddi shuningdek,

ifodaga ko'ra, sonining ham ratsional ekanligi kelib chiqadi.

Bu keltirilgan tasdiq isbotidan esa P + Q yig'indi nuqta koordinatasini hisoblash formulasi keltirilib chiqariladi. P + Q nuqta R nuqtani Ox o'qiga simmetrik ko'chirishdan hosil bo'lar edi. Natijada, yig'indi nuqtaning koordinatalari \ii.v) deb belgilansa, bu koordinatalar quyidagi formulalar orqali topiladi, chunki,

u = x3l v =

y3

Demak, y

y.: —22x~- elliptik egri chiziqda mavjud 363

ratsional

Scientific Journal Impact Factor

5(10.2 3) nuqta topildi. Endi, umumiy holda, B nuqtani aniqlaylik. Buning uchun, yuqoridagi formulada k koeffisientning qiymati o'rniga qo'yilsa, ushbu:

tengliklarga ega bo'linadi, bu yerda x1=tx2.

P + P = ? qanday amalga oshirilishi haqida to'xtalaylik. Buning uchun elliptik egri chiziqdagi P -nuqta orqali urinma to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Bu urinma elliptik egri chiziq grafigidagi ikkinchi qismni (giperbola qismida) biror nuqtada kesib o'tadi. Ana shu kesib o'tgan nuqtani Ox -o'qiga nisbatan simmetrik

ko'chiriladi va bu nuqta 2P deb elon qilinadi: So'ngra, 3P -ni topish uchun, 3P = P + 2P, shu kabi 4P = P + 3P, 5P = 4P + P va hokazolar amalga oshiriladi.

Har doim ham P(xl,yx) va Q(x2,y2) nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq elliptik egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o'tavermaydi. Masalan, P(xx, y ) va Q(x,-yi) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq Ox -o'qiga perpendikulyar bo'lib, u elliptik egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o'tmaydi:

Bunday holda o'tkazilgan to'g'ri chiziq elliptik egri chiziqni cheksizlikda kesib o'tadi deb qabul qilinib, cheksizlikdagi barcha nuqtalar bitta nol nuqtaga

y

y

Scientific Journal Impact Factor

birlashtirilgan deb hisoblanadi, ya'ni cheksizlikdagi barcha nuqtalar, elliptik egri chiziq nuqtalari ustida aniqlangan qo'shish amaliga nisbatan, haqiqiy sonlarni qo'shishdagi nol qiymati kabi xossaga ega.

Bevosita hisoblashlar bilan ko'rsatish mumkinki, elliptik egri chiziq nuqtalarini qo'shish amali Abel gruppasini tashkil etadi, yani elliptik egri chiziqqa tegishli bo'lgan a, b, c -nuqtalar uchun:

1 ) kommutativlik a + b = b + a ;

2) assotsiativlik (a + b) + c = (b + c) + a ;

3) nol elementining mavjudligi a + E = a ;

4) teskari (qarama - qarshi) elementning mavjudligi a + (-a) = E

Abel gruppasining aksiomalari o'rinlidir. [2. 116b]

Agarx± = x2 bo'lsa, u holda kesuvchi to'g'ri chiziq o'rniga urinma o'tkazilib, quyidagi formulalar keltirilib chiqariladi:

Shunday qilib, hech bo'lmasa bitta P ratsional nuqta elliptik egri chiziqdagi nuqta bo'lsa, u holda yuqoridagi formula yordamida 2P, 3P, 4P,...va hokazolarni topishimiz mumkin bo'ladi.

Misol. Elliptik egri chiziq

unga tegishli nuqta

?('l/;-/û) berilgan bo'lsa, bu nuqtaning yig'indisini ifodalovchi nuqtalar topilsin. 2P=?, 3P=?, 4P=?, 5P=?

Yechish. (1) va (2) formuladan foydalanilsa,

Javob.

196001

2y±

906937 \ 2,744000/

2744000

Demak, elliptik egri chiziqda yotuvchi kamida bitta ratsional nuqtani bilganimiz holda qolgan istalganicha ratsional nuqtalarni topish imkoniyati mavjud. Tanlab olingan elliptik egri chiziqda tartibi yetarli katta bo'lib, bu tartibni aniqlovchi

Scientific Journal Impact Factor

son tub son bo'lishi samarali amaliy tadbiqlarga asos bo'ladigan ratsional koordinatali nuqtalarni toppish masalasi yechimi muhimdir. shu masala yechimiga bag'ishlangan adabiyotlar ro'yhatida keltirilgan [1-5] manbaalarda berilgan.

Elliptik egri chiziqda ratsional koordinatali nuqtalarni aniqlash uchun tayyorlangan muhitning algoritmi:

<?php include_once('config.php');?> <?php

include_once('include/nav.php');

include_once('include/header.php');

?>

<!-- asosiy qism --> <div class="container"> <div class-'row">

<div class-'col-lg-6 col-md-6 col-sm-8 col-xs-10 col-lg-offset-3 col-md-offset-3 col-sm-offset-2 col-xs-offset-1"> <?php

if(isset($_POST['y1'])): $a = htmlspecialchars($_POST['a']); $b = htmlspecialchars($_POST['b']); $c = htmlspecialchars($_POST['c']); $x1 = htmlspecialchars($_POST['x1']); $y1 = sqrt(pow($x 1,3)+$a*(pow($x 1, 2))+$b*$x1+$c); $x2 = -2*$x1 -$a+(pow((3*pow($x 1, 2)+2*$a*$x1+$b), 2)/pow((2*$y1), 2)); $y2 = -$y1-((3*pow($x1, 2)+2*$a*$x1+$b)/(2*$y1))*($x2-$x1); $x3 = pow((($y1-$y2)/($x1-$x2)), 2)-($a+$x1+$x2); $y3 = ((($y1-$y2)/($x1-$x2))*($x1-$x3))-$y1; $x4 = pow((($y 1 -$y3)/($x 1 -$x3)), 2)-($a+$x1+$x3); $y4 = ((($y1-$y3)/($x1-$x3))*($x1-$x4))-$y1;

$baza->query("INSERT INTO 'hisoblash'

VALUES(null,'".$a."','".$b."','".$c."','".$x1."','".$y1."','".$x2."','".$y2."','".$x3."','".$y3 ."','".$x4."','".$y4."')") or die($baza->error); header("Location:view.php");

exit; ?>

Scientific Journal Impact Factor

<?php else: ?>

<form action-"" method-'post">

<div class="form-group"> <label for="exampleInputEmail1">A sonini kiriting</label> <input type="text" class-'form-control" id="exampleInputEmail1" placeholder="A" required name="a"> </div>

<div class="form-group"> <label for="exampleInputEmail1">B sonini kiriting</label> <input type="text" class-'form-control" id="exampleInputEmail1" placeholder="A" required name="b"> </div>

<div class="form-group"> <label for="exampleInputEmail1">C sonini kiriting</label> <input type="text" class="form-control" id="exampleInputEmail1" placeholder="A" required name="c"> </div>

<div class="form-group"> <label for="exampleInputEmail1">X₁ nuqtani kiriting</label> <input type="text" class="form-control" id="exampleInputEmail1" placeholder="x1" required name="x1"> </div>

<center><button type="submit" class="btn btn-success"

name="y1">Y₁ nuqtani topish</button></center> </form> <?php endif; ?> </div> </div> </div>

<?php include_once('include/footer.php');?>

<?php include_once('config.php');?>

Scientific Journal Impact Factor

<?php

include_once('include/nav.php');

include_once('include/header.php');

?>

<center><a href="index.php"><button class-'btn btn-primary">Yangi qiymat kiritish</button></a></center><hr>

<table class-'table table-bordered"> <thead>

<tr class-'info">

<th>id</th> <th>A</th> <th>B</th> <th>C</th>

<th>X₁</th> <th>Y₁</th> <th>X₂</th> <th>Y₂</th> <th>X₃</th> <th>Y₃</th> <th>X₄</th> <th>Y₄</th>

</tr> </thead> <tbody> <?php

$query = $baza->query("Select * from 'hisoblash'");

while($row=$query->fetch_object()): ?>

<tr>

<td><?-$row->id ?></td> <td><?=$row->a ?></td> <td><?-$row->b ?></td> <td><?-$row->c ?></td> <td><?-$row->x1 ?></td> <td><?-$row->y1 ?></td> <td><?-$row->x2 ?></td>

Scientific Journal Impact Factor

<td><?=$row->y2 ?></td> <td><?=$row->x3 ?></td> <td><?=$row->y3 ?></td> <td><?=$row->x4 ?></td> <td><?=$row->y4 ?></td>

</tr> <?php endwhile; ?> </tbody> </table>

<?php include_once('include/footer.php,);?> REFERENCES

[1] Akbarov D.E. Axborot xavfsizligini ta'minlashning kriptografik usullari va ularning qo'llanilishi - Toshkent, "O'zbekiston markasi", 2009 - 434 bet.

[2] "Rational points on Elliptic curves" Alexandru Gica. April. 200

[3] "Rational points on an Elliptic curve" Dr. Carmen Bruni University of Waterloo. 2015

[4] "Elliptic curve cryptography" . November. 2013

[5] Xarin YU. S., Bernik V.I., Matveev G. V., Agievich S. G. «Matematicheskie i komyuterntie osnovti kriptologii» OOO «Novoe znanie» 2003 g.

[6] qizi Raxmonova, N. V., & Akbarov, D. E. (2021). ELLIPTIK EGRI CHIZIQ GRAFIGINI YASASH. Science and Education, 2(1), 9-14.

381 str