CC BY
262GEOMETRIYA VA KOMBINATORIKA
Anvar Mustafaqul o'g'li Jo'rayev Ro'zimurod Baxriddin o'g'li Abiyev
Nizomiy nomidagi TDPU Aniq va tabiiy fanlarni o'qitish metodikasi (matematika)
yo'nalishi 1-kurs magistrantlari
ANNOTATSIYA
Hammamizga malumki geometrik masalalarni yechishda o'quvchilardan kengroq va asosan ijodiy yondoshuv talab etiladi. Ko'pgina masalalarni ishlash jarayonida o'quvchilardan nafaqat formula va qoidalarni bilishlari balki ularni qo'yilgan masalaga tadbiq eta olishlari ham muxim omil hisoblanadi. Bu maqolada bir nechta mana shunday geometrik masalalarni yechish usuli bilan tanishamiz.
Kalit so'zlar: kombinator, tekislik, to'g'ri chiziq, aylana, geometriya aksiomalari, uchburchak, to'rtburchak.
GEOMETRY AND COMBINATORY
Anvar Mustafakul ugli Juraev Ruzimurod Bakhriddin ugli Abiev
1st year master's degree in teaching methods and mathematics (mathematics) of the Tashkent State Pedagogical University named after Nizami
ABSTRACT
We all know that solving geometric problems requires a broader and more creative approach from students. In the process of working on many problems, it is important that students not only know the formulas and rules, but also apply them to the problem. In this article, we will look at a way to solve several such geometric problems.
Keywords: combiner, plane, straight line, circle, geometric axioms, triangle, rectangle.
KIRISH
O'quvchilarda matematikaga bo'lgan qiziqishlarini orttirish, tayanch kompetentsiyalarni shakllantirish uchun ta'lim jarayonida amaliy va nostandart xarakterdagi masalalardan foydalanmasdan bo'lmaydi. Bunday masalalarni yechish o'quvchilarda analiz, sintez, analogiya, umumlashtirish, deduktsiya va induktsiya kabi mantiqiy mushohada yuritish faoliyatini, intuitsiya, egiluvchanlik va moslashuvchanlik kabi fazilatlarni rivojlantirib, o'quvchilarni olingan natijalar ustida tanqidiy fikrlashga o'rgatadi. Ko'pincha nostandart xarakterdagi masalalarni yechimi darxol topilmasdan, bir necha bor urinishlar natijasidagina aniqlanishligi sababli, bu maqsadga erishish uchun tirishqoq bo'lishlikni, ya'ni shaxsning irodalilik kabi juda ahamiyatli sifatlarni
tarkib topishiga imkon beradi. Va nihoyat, eng asosiysi: bunday masalalarni yechilishi o'quvchilarga natijaga erishilganlik bilan, va shuningdek yechim yo'lining go'zalligi va an'anaviy emasligi bilan bog'liq bo'lgan katta emotsional zavq berilishi katta ahamiyatga ega. Quyida biz nisbatan yangi bo'lgan yo'nalish - kombinator geometriya masalalaridan namunalarni keltirmoqdamiz.
ASOSIY QISM
1. Tekislikda n ta nuqta shunday joylashganki, ulardan xech qaysi uchtasi bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. Shu nuqtalarning turli juftliklaridan jami bo'lib nechta to'g'ri chiziqlar o'tadi?
Yechilishi. Masala shartini qanoatlantiradigan nuqtalarni A1, ..., An deb belgilaymiz. Bunday nuqtalar mavjud, misol tariqasida bitta aylanada yotgan n ta nuqtani olishimiz mumkin. A1 nuqtani qolgan nuqtalar bilan n - 1 ta to'g'ri chiziq bilan tutashtirishimiz mumkin. Jami nuqtalar n ta bo'lgani sababli, masala shartini qanoatlantiradigan to'g'ri chiziqlar soni n(n - 1) ta bo'lishi kerak. Ammo bunday sanashda biz har bir to'g'ri chiziqni ikki marta sanab chiqqanimiz bois n ta
n(n — 1)
nuqtalarning turli juftliklaridan jami bo'lib —-- ta to'g'ri chiziq o'tishini hosil
2
qilamiz.
Javob.
n(n — 1) 2
2. n ta to'g'ri chiziqlar eng ko'pi bilan nechta nuqtada kesishishi mumkin? Yechilishi. Ravshanki, n ta to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalari soni eng katta bo'lishi uchun quyidagi holat bo'lishi kerak (rasmga qarang).
1) Har bir to'g'ri chiziq qolgan to'g'ri chiziqlardan har biri bilan kesishadi.
2) Xech qanday uchta to'g'ri chiziq bitta umumiy nuqtaga ega emas.
Bu holatda har bir to'g'ri chiziq qolgan to'g'ri chiziqlar bilan n - 1 ta kesishish
n(n — 1)
nuqtadaga ega. Oldingi masaladek, jami bo'lib —-- ta nuqtaga ega bo'lamiz.
2
Javob.
n(n — 1) 2
3. Bitta nuqtada kesishadigan n ta tug'ri chiziq tekislikni nechta qismga ajratadi?
Javob. 2n.
4. n ta o'zaro kesishadigan to'g'ri chiziqlardan xech qaysi uchtasi umumiy nuqtaga ega bo'lmasa, tekislikni nechta qismga ajratadi?
Yechilishi. Bir nechta berilgan to'g'ri chiziqqa bittasini qo'shsak tekislik qismlari nechtaga ko'payishini aniqlaymiz. Masalan, ikkita o'zaro kesishadigan to'g'ri chiziqqa uchinchi to'g'ri chiziqni qo'shsak, mavjud to'rtta tekislik qismlardan uchtasi yangi to'g'ri chiziq bilan teng ikkiga bo'linadi. Demak, hosil bo'lgan tekislik qismlari soni 7 = 4 + 3 ga teng bo'ladi.
Umumiy holda, n - 1 ta to'g'ri chiziqqa n-chi to'g'ri chiziqni qo'shsak, mavjud tekislik qismlaridan n - 1 tasi yangi to'g'ri chiziq bilan teng ikkiga bo'linadi. Shuning uchun yangi hosil bo'lgan tekisliklar qismlari soni n ga ko'payadi. Demak, n ta o'zaro kesishadigan to'g'ri chiziqlardan xech qaysi uchtasi umumiy nuqtaga ega bo'lmasa,
tekislikni 4 + 3 +. + n
_ (n + 1)n 2
+1. ta qismga ajratadi.
5. n ta aylana eng ko'pi bilan nechta kesishish nuqtaga ega bo'lishi mumkin? Yechilishi. Ravshanki, n ta aylanalarning kesishish nuqtalari soni eng katta bo'lshi uchun quyidagi holat bo'lishi kerak (rasmga qarang).
1) Har bir aylana qolgan aylanalardan har biri bilan kesishadi.
2) Xech qanday uchta aylana bitta umumiy nuqtaga ega emas.
Bu holatda har bir aylana qolgan aylanalar bilan 2(n - 1) ta kesishish nuqtadaga ega. Demak, jami bo'lib n(n - 1) ta nuqtaga ega bo'lamiz.
6. n ta aylanadan har biri qolgan aylanalardan har biri bilan kesishib, bunda xech qanday uchta aylana bitta umumiy nuqtaga ega emas bo'lsin. Bu aylanalar tekislikni nechta qismga ajratadi?
Yechilishi. Bir nechta berilgan aylanaga bittasini qo'shsak tekislik qismlari nechtaga ko'payishini aniqlaymiz. Masalan, ikkita o'zaro kesishadigan aylanaga uchinchi aylanani qo'shsak, mavjud to'rtta tekislik qismlari yangi to'g'ri chiziq bilan teng ikkiga bo'linadi. Demak, hosil bo'lgan tekislik qismlari soni 8 =4 + 4 ga teng bo'ladi. Endi shu uchta aylanaga to'rtinchisini qo'shsak mavjud oltita tekislik qismlari yangi to'g'ri chiziq bilan teng ikkiga bo'linadi. Demak, hosil bo'lgan tekislik qismlari soni 14 =8 + 6 ga teng bo'ladi.
XULOSA
Umumiy holda, n - 1 ta to'g'ri chiziqqa n-chi to'g'ri chiziqni qo'shsak, mavjud tekislik qismlaridan n - 1 tasi yangi to'g'ri chiziq bilan teng ikkiga bo'linadi. Shuning uchun yangi hosil bo'lgan tekisliklar qismlari soni 2(n - 1) ga ko'payadi. Demak, n ta o'zaro kesishadigan to'g'ri chiziqlardan xech qaysi uchtasi umumiy nuqtaga ega bo'lmasa, tekislikni
4 +4 + 6+ ... +2(n - 1) = 2(2 +2 + 3 + ... +(n - 1) = n(n - 1) +2 ta qismga ajratadi.
7. n-burchak nechta diagonalga ega?
Yechilishi. Ko'pburchak uchlarini A1, ..., An deb belgilaymiz. A1 nuqtadan 3 ta
n (n — 3)
diagonal o'tadi. Demak, n ta nuqtadan ——-. ta diagonal o'tadi.
Javob. nin^. 2
8. Diagonallar soni tomonlari soniga teng bo'lgan ko'pburchaklar mavjudmi?
n(n — 3)
Yechilishi. ——- = n, tenglikdan n q 5 ekanligi kelib chiqadi.
9. To'g'ri chiziq uchburchakning barcha tomonlarini kesib o'ta oladimi?
Geometriya aksiomalariga ko'ra har bir to'g'ri chiziq tekislikni yarimtekislikka bo'ladi. Bunda agar ikki nuqta tekislikning turli yarimtekisliklarga tegishli bo'lsa, u holda ularni tutashtiruvchi kesma shu to'g'ri chiziq bilan kesishadi. Agar ikki nuqta tekislikning bitta yarimtekislikga tegishli bo'lsa, u holda ularni tutashtiruvchi kesma shu to'g'ri chiziq bilan kesishmaydi.
To'g'ri chizig'imiz ABC uchburchakni AB va AC tomonlarini kessin. Bu holda A va B nuqtalar turli yarimtekisliklarida yotadi. A va C nuqtalar ham bu to'g'ri chiziqdan turli yarimtekisliklarda yotadi. Shuning uchun B va C nuqtalar bitta yarimtekislikda yotadi va BC kesma bu to'g'ri chiziq bilan kesishmaydi. Javob: yo'q.
10. To'g'ri chiziq to'rtburchakning barcha tomonlarini kesib o'ta oladimi?
Javob: Ha. Rasmga qarang.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 1 I 2021
ISSN: 2181-1601
11. To'g'ri chiziq beshburchakning barcha tomonlarini kesib o'ta oladimi?
a to'g'ri chiziq ABCDE beshburchak AB, BC, CD va DE tomonlarini kessin (rasmga qarang). a to'g'ri chiziq AE tomonni kesa olmasligini ko'rsatamiz. Haqiqatdan ham, A va B, B va C, C va D, D va E nuqtalar a to'g'ri chiziq hosil qilgan turli yarimtekisliklarda yotadi. Demak, A va E nuqtalar a to'g'ri chiziq hosil qilgan bitta yarimtekislikda yotadi. Shuning uchun AE kesma a to'g'ri chiziq bilan kesishmaydi.
REFERENCES
1. Matousek, Jin. Lectures on discrete geometry. — Berlin: Springer, 2002. 2.1Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry. — Springer, 1997.
3. В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. М., Наука, 1965. 108 с.
