CC BY
14
ность прохождения тока по участку цепи выразится произведением
Р = Р(А)Р(В)Р(С),
а для п приборов А1, А2, ..., Ап - произведением
P = P(A)-P(A2)...P(A„).
В частности, если приборы однотипны, точнее говоря, если вероятности их исправности равны P(Aj) = Р(А2) =... = Р(Ап) = р, то вероятность прохождения тока Р = рп.
Можно поставить в некотором смысле обратную задачу. Предположим, что вероятность исправности первого прибора Р(А) известна. После испытаний установили вероятность прохождения тока по всему участку Р. Тогда из формулы (1) можно найти вероятность исправности второго прибора Р(В). Например, если Р(А) = 0 ,9; Р = 0,72, то в силу (1) Р(В) = Р/Р(А) = 0,72/0,9 = 0,8.
2. Параллельное соединение приборов
Рассмотрим участок цепи, содержащий два прибора А и В, соединенных параллельно (рис.2). Предположим, что приборы работают независимо и Р(А)- вероятность прохождения сигнала по прибору А, а Р(В)- по прибору В. Например, сигнал проходит по прибору, если прибор исправен, и не проходит - в противном случае. Очевидно, сигнал пройдет, если будет исправен хотя бы один прибор. Таким образом, вероятность прохождения сигнала по участку цепи - это вероятность Р(А+В), где сумма А + В означает исправную работу хотя бы одного из приборов. Так как приборы работают независимо, то эту вероятность можно вычислить по формуле
Р(А + В)=Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). (2)
Рис. 2
Например, если Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,9, то
Р(А + В) == 0,8 + 0,9 - 0,8 • 0,9 = 0,98. (3)
Можно поставить и обратную задачу. Предположим, что один из приборов - эталонный и вероятность его безотказной работы (т. е. вероятность прохождения по нему сигнала) известна. После испытаний установили вероятность прохождения сигнала по всему участку. Тогда из формулы (2) можно найти вероятность безотказной работы второго прибора. Например, если Р(А)=0,8, Р(А+В) = 0,95, то, подставив это в (2), будем иметь
0,95 = 0,8 + Р(В) - 0,8 Р(В).
Отсюда
Р(В) = — = 0,75 0,2
Из формулы (3) видно, что параллельное соединение увеличило вероятность прохождения сигнала. Второй прибор подстраховывает, дублирует первый. Можно ожидать, что параллельное соединение трех и более приборов еще более увеличит эту вероятность.
3. Последовательное и параллельное соединение приборов
В предыдущих пунктах мы рассмотрели порознь последовательные и параллельные соединения приборов и установили, как вычисляется вероятность прохождения сигнала по участку схемы в том и другом случае. На практике приходится иметь дело с различными сочетаниями соединений обоих типов. Рассмотрим два характерных примера.
Предположим, что сигнал проходит по участку схемы, состоящему из двух параллельных блоков А и В, первый из которых состоит из одного прибора А, а второй содержит два последовательно соединенных прибора В1 и В2 (рис. 3а). Пусть возможность отказа одного из приборов не зависит от работы остальных. Сигнал проходит, если хотя бы один из блоков исправен, а каждый из блоков выходит из строя, если хотя бы один из его приборов отказал.
Обозначим Р(А), Р(В]) и Р(В2)- вероятности безотказной работы соответствующих приборов; Р(В) - вероятность исправности блока В (вероятность исправности блока А, очевидно, равна Р(А)); Р(А +В)-вероятность прохождения сигнала по цепи. Тогда, используя формулы сложения и умножения, можем написать
Р(А + В ) = Р(А) + Р(В) - Р(А )■ Р(В) = Р(А)+Р(Б]) Р(В2) - Р(А)Р(Б1) Р(В2) (4)
а)
Рис. 3
б)
Например, если Р(А) = 0,9; Р(Бц) = 0,93; Р(Б2 = 0,92, то Р(А + В) = 0,9 + 0,93 ■ 0,92- -0,9 ■ 0,93 ■ 0,92 = 0,986.
Теперь предположим, что участок схемы состоит из двух последовательно соединенных блоков А и В, один из которых состоит из одного прибора А, а другой содержит два параллельно соединенных прибора В1 и В2 (рис. 3б). Пусть по-прежнему приборы работают независимо. Блок В выходит из строя, если отказали оба его прибора. Сигнал проходит, если оба блока А и В исправны. Обозначив Р(АВ) - вероятность прохождения сигнала по цепи и сохранив остальные обозначения для вероятностей, можем написать Р(АВ) = Р(А)Р(В) = Р(Ау[Р(В]) + Р(В2) - Р(В]) Р(В2)]. В частности, для данных предыдущего примера
Р(АВ) = 0,9(0,93 + 0,92 - 0,93 ■ 0,92) = 0,895.
Литература
1. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятности. - М.: Наука, 1970.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятности и её приложения. Т. 1. - М.: Мир, 1984.
ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В.С. Корнилов, кандидат физико-математических наук, доцент Московского городского педагогического университета
Многие прикладные исследования, в которых решающее слово остается за экспериментом, сталкиваются с решением обратных задач для дифференциальных уравнений. Самый первый этап ее решения заключается обычно в формулировке законов, связывающих причины со следствиями. Так как основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений, мы в результате и приходим к математическим моделям обратных задач для дифференциальных уравнений. Процесс их решения играет важную роль в подготовке будущих специалистов в области прикладной математики, которая определяется целями обучения. Рассмотрим проблему обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в плоскости психологических аспектов. Они заключаются в способности сознания отражать внешний мир не во всем его многообразии и полноте внешних и внутренних связей, а в приближенном виде. Та неполная информация о реальном явлении, которую мы приобретаем непосредственно через каналы ощущений и восприятий опираясь на ранее приобретенные знания, фиксируются в нашем сознании в неполном виде как система представлений и образов, которые являются моделями. Вследствие этого наши представления об окружающем мире носят принципиально модельный характер.
Одной из фундаментальных проблем в психологии, философии, социологии, этике и других науках является проблема исследования личности. В психологии существует несколько десятков концепций, посвященных изучению личности, каждая из которых связана с многогранностью феномена личности, отражающей объективно существующее многообразие проявлений человека в его разнообразной деятельности. Л. Д. Кудрявцев видит в математике гносеологическое значение [1]. Л.М. Фридман рассматривает использование моделирования как цель учебного познания [2]. В.В. Давыдов отмечает, что в основе обучения моделированию положена возможность переноса знаний с одного объекта на другой, возможность репрезентации одного через другое [3]. На воспитательное значение обучения математическому моделированию и его роли в развитии мыслительных способностей обращает внимание А. Я. Блох [4]. Н.Г. Салмина основную роль моделирования в учебной деятельности связывает с реализацией познавательной функции обучения [5]. Г.Д. Бухарова отмечает, что решение задач выполняет определенные функции в учебно-воспитательном процессе [6]. Проблеме использования задач в обучении математике уделено вниманию в исследованиях А. К. Артемова, В. А. Гусева, М. И. Зайкина, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Е.С. Канина, В.И. Крупича, Г. Л. Луканкина, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, Р.С. Черкасова, П.М. Эрдниева и др.
Достижение полноценного результата в обучении обратным задачам для дифференциальным уравнениям возможно при условии применения конкретным методов их решения. В этом случае решение обратных задач выступает и как цель и как средство обучения. Этот вид учебной деятельности студентов служит средством формирования и развития прикладного математического мышления, способствует глубокому и прочному усвоению сложных определений, понятий, методов и подходов используемых при решении обратных задач, способствует формированию умений и навыков исследования обратных задач, создает условия для осуществления профессиональной ориентации. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений выполняет определенные функции в учебно-воспитательном процессе: мотивационную, познавательную, развивающую, воспитывающую, управляющую, иллюстративную, контрольно-оценочную и приводит к изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике решающего эту обратную задачу.
Кратко проанализируем эти функции.
1. Мотивационная функция. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений позволяет формировать и развивать внутреннюю мотивацию учебной деятельности студентов, среди которых - познавательный интерес. Обратные задачи для дифференциальных уравнений представляют собой математические модели, описывающие конкретные физические процессы или явления.
2. Познавательная функция. В результате решения обратных задач для дифференциальных уравнений определяются неизвестные свойства объектов (нередко недоступные или труднодоступные человеку). Тем самым приобретаются новые знания об окружающем мире. В процессе ее решения у студентов формируется умение применять полученные знания в своей будущей профессиональной деятельности. Содержание обратной задачи для дифференциального уравнения и полученное ее решение расширяют кругозор обучаемого, способствует реализации профессиональной ориентации, являются условием установления межпредметных связей.
3. Развивающая функция. Способствует формированию и развитию логического мышления, памяти, творческой активности, самостоятельности и сообразительности студентов.
4. Воспитывающая функция. Раскрытие гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, приобретение основ гуманитарного анализа математических моделей способствует формированию у студентов научного мировоззрения, любви к природе, нацеливает на бережное отношение к природным ресурсам.
5. Управляющая функция. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений, являясь целенаправленным процессом, создает определенные условия для достижения результатов обучения и воспитания. Управляющий характер решения обратных задач способствует реализации дидактических принципов направленности обучения, систематичности и последовательности.
6. Иллюстративная функция. Обратная задача для дифференциальных уравнений представляет собой математическую модель в виде дифференциального уравнения, которое рассматривается совместно с начальными и (или) граничными условиями, и дополнительной информацией, представляющей собой отклик исследуемого объекта (глубинные участки земной среды, дно мирового океана и т.д.), приобретаемый при помощи различных измерительных приборов. Практическое применение физических законов при исследовании процессов или явлений с помощью обратных задач для дифференциальных уравнений позволяет студентам глубже осознать их содержание, является одним из способов закрепления знаний и преодоления формальности знаний. Деятельность студентов по решению обратных задач для дифференциальных уравнений позволяет формировать и развивать специальные умения и навыки в познании окружающего мира.
7. Формирование и развитие межпредметных умений. Содержание курса обратных задач для дифференциальных уравнений опирается на содержание учебных курсов математического анализа, функционального анализа, алгебры и геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, методов оптимизации, интегральных уравнений, численных методов, информационных технологий в математике и демонстрирует широкое применение математического аппарата для изучения процессов и явлений реальной действительности. Для успешного решения обратной задачи для дифференциальных уравнений нужны прочные знания по перечисленным выше математическим дисциплинам.
8. Формирование и развитие общеучебных умений и способностей. Обратные задачи для дифференциальных уравнений представляют собой причинно-следственные задачи - определяются неизвестные причины по известным следствиям. В ходе решения таких прикладных задач анализируется сам исследуемый физический процесс, явление или объект, что во многом может подсказать выбор математического метода решения или навести на мысль применить новый, более эффективный метод решения. Тем более, что обратные задачи для дифференциальных уравнений, являются, как правило, условно-корректными задачами.
9. Контрольно-оценочная функция. Успешное решение обратных задач для дифференциальных уравнений является достоверным способом проверки знаний и умений студентов не только по обратным задачам, но и по многим математическим дисциплинам, которые им преподавались ранее: математический анализ, функциональный анализ, алгебра и геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, методы оптимизации, интегральные уравнения, численные методы и др.
Процесс решения обратных задач для дифференциальных уравнений необходимо завершать обсуждением, в результате которого можно выяснить, что нового узнали студенты в результате решения этой обратной задачи, какие методы были применены в ходе ее решения, с какими трудностями столкнулись студенты при ее решении.
Литература
1. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. - М.: Наука, 1977.
2. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. - М: Знание, 1984.
