CC BY
43
УДК 517.925.41 ББК 22.151.54 Т 49
Тлячев В.Б.
Доктор физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой теоретической физики физического факультета Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-08, e-mail: tlya-chev@adygnet. ru
Ушхо А. Д.
Старший преподаватель кафедры теоретической физики физического факультета Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-08 Ушхо Д.С.
Кандидат физико-матаматических наук, доцент, зав. кафедрой информатики и вычислительной техники факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-01, e-mail: damirubych@mail.ru
Прямые изоклины и особые точки кубичных дифференциальных систем на плоскости
(Рецензирована)
Аннотация
Доказывается утверждение о том, что кубичная дифференциальная система на плоскости имеет девять особых точек при условии наличия у нее не менее девяти прямых изоклин и отсутствия двух параллельных прямых изоклин, на которых индуцированы различные направления. Дается видоизмененное доказательство теоремы об оценке общего числа прямых изоклин системы.
Ключевые слова: прямые изоклины, особые точки, кубичная дифференциальная система на плоскости.
Tlyachev V.B.
Doctor of Physics and Mathematics, Assistant Professor, Head of Theoretical Physics Department of Physics Faculty at Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: tlyachev@adygnet.ru Ushkho A.D.
Senior Lecturer of Theoretical Physics Department of Physics Faculty at Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-08 Ushkho D.S.
Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Informatics and Computer Equipment Department at Mathematics and Computer Science Faculty of Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-01, e-mail: damirubych@mail.ru
Straight-line isoclines and singular points of plane cubic differential systems
Abstract
The statement is proved that the cubic differential system in the plane has nine singular points provided that it has not less than nine straight-line isoclines and that two parallel straight-line isoclines on which various directions are induced, are lacking. The modified proof of the theorem on an estimation of the total number of straight-line isoclines of the system is given.
Key words: straight-line isoclines, singular points, plane cubic differential system.
Представленная работа является непосредственным продолжением статьи [1], поэтому для удобства изложения будем сохранять соответствующую нумерацию теорем, замечаний, утверждений, следствий, формул и систем, заданную в [1].
Одной из задач работы является доказательство анонсированного в статье [2] неочевидного утверждения о том, что кубичная система, имеющая не менее девяти прямых изоклин, обладает девятью особыми точками. Это утверждение, как будет доказано ниже, верно лишь при условии, что среди прямых изоклин системы нет двух па-
раллельных, на которых индуцированы различные направления, так как существуют системы с девятью и десятью прямыми изоклинами, но с шестью и семью особыми точками.
Теорема 4. Пусть система (1) имеет хотя бы одну особую точку и не менее девяти прямых изоклин. Тогда число параллельных между собой прямых изоклин - не более трех.
Доказательство. Из доказанных в [1] утверждений следует, что при наличии у системы (1) пяти параллельных прямых изоклин и не менее одной особой точки эта система обладает не более чем шестью прямыми изоклинами. Поэтому в условиях данной теоремы система (1) имеет не более четырех параллельных между собой прямых изоклин. Пусть вопреки утверждению теоремы система (1) имеет четыре параллельные
между собой прямые изоклины. Множество М, состоящее из этих четырех прямых
изоклин, согласно [2] может быть логически разбито на непустые непересекающиеся подмножества следующими тремя способами:
a) м = {/;\ і іт }и {т }, т ф т2;
b) М = {іт1,121 }и { т2 }и {т }, т1 Ф т2, т1 Ф т3, т2 Ф т3;
c) М = и { т>}, где все ті - попарно различны.
і =1
Случай а) невозможен. Действительно, какие бы три прямые изоклины ни взять из остальных не менее пяти прямых изоклин системы (1), в силу [2] найдется одна, на которой индуцировано направление т0 Ф т12, так как не более чем на трех прямых изоклинах система (1) индуцирует одно и то же направление. Таким образом, найденная прямая изоклина пересекает все четыре, параллельные между собой прямые изоклины, т. е. система имеет на одной прямой не менее четырех особых точек, что недопустимо для кубичной системы.
В случае Ь) посредством подходящего аффинного преобразования [2] системе (1) можно придать вид:
—Х- = (у - кх - Ь )(у - кх - Ь2 \Ах + Ву + С), —у = (у - кх - Ьъ)) (, У). (27)
ш аі
Обозначим прямые у - кх - Ь1 = 0, у - кх - Ь2 = 0, у - кх - Ь3 = 0 соответственно через 1“, £2, 10. Прямая Ь : Ах + Ву + С = 0 пересекает прямые 1“ , €°2, 10, так как иначе имели бы случай а). Поэтому на прямых 10 и ітз, где т3 є Я \ {0}, система (27) имеет по одной особой точке.
Пусть Е = 1° IЬ, G = 1 тз IЬ . Из не менее четырех остальных прямых изоклин системы (27) найдется хотя бы одна, на которой индуцировано направление, отличное от т3. Следовательно, эта прямая проходит через точку G (иначе на 1тз расположены не менее двух особых точек) и пересекает прямую 10 в точке, отличной от Е . Поэтому эта прямая является изоклиной нуля (в противном случае на 1° кроме Е,
есть еще одна особая точка), обозначим ее 10о. Согласно [2] не более чем на одной из остальных не менее чем трех прямых изоклин системы (27) индуцировано направление т2 = 0 . Тогда не менее двух прямых изоклин, отличных от главных изоклин системы (27), проходят через точку Е . Эти две прямые и прямая £0о пересекают хотя бы одну из двух параллельных изоклин бесконечности 1“ и 1“ в трех особых точках. Но это
невозможно, так как 1“ и 1“ пересекаются с кривой второго порядка Q2 (х, у,) = 0 не более чем в двух точках. Тем самым доказана невозможность разбиения множества М способом Ъ).
В случае с) существует линейное невырожденное преобразование [2], приводящее систему (1) к виду:
= (у - кх - Ъ1 )р2( y), = (у - кх - Ъ2 )02 (x, y), (28)
ш т
где Р2, Q2 - неприводимые многочлены второй степени. Так как, кроме прямых 1“ :
у - кх - Ъ1 = 0, £°2: у - кх - Ъ2 = 0, система (28) имеет еще прямые изоклины: I ^ :
у - кх - Ъ = 0, 1тА4: у - кх - Ъ4 = 0, причем Ъ1, Ъ2, Ъ3, Ъ4 - попарно различные числа, то
имеют место равенства:
^ {х у)- тзР2 ( у ) = (у - кх - Ъ3 К (х у), (29)
^ (x, у )- т4Р2 (^ у )=(у - кх - Ъ4 )^1 (x, у ), (30)
где т3 ■ т4 Ф 0, т3 Ф т4 .
Решив систему (29), (30) относительно Р2 и Q2 с учетом замены Шт =■ Ш
т3 - т4
приведем систему (28) к виду:
ах
— = (у - кх - Ъ )[(у - кх - Ъ4 ) (х,у)-(у - кх - Ъ3 ) (х,у)],
Шт (31)
Шу = (у - кх - Ъ2)[ (у - кх - ЪА ) (х, у)-тА (у - кх - Ъ3) (х, у)], ат
где Я и £ - линейные функции.
Как видно из (31), на каждой из прямых 1“ и 1° расположено не более одного состояния равновесия. Поскольку система (31) имеет не более четырех параллельных между собой прямых изоклин, то не менее чем пять прямых изоклин пересекают эти параллельные между собой прямые изоклины. Учитывая, что на каждой из прямых ^
и С расположено также не более одного состояния равновесия, приходим к выводу, что каждой из четырех прямых изоклин 1“ , 1°2, 1т3 и 1"14 принадлежит ровно одно состояние равновесия системы (31).
Пусть А - особая точка системы (31), принадлежащая прямой 1“ . Через точку А не проходит, кроме 1“, другая прямая изоклина бесконечности, так как на такой прямой система имела бы четыре особые точки. Через А не могут проходить две прямые изоклины, на которых индуцировано одно и то же направление, ибо в противном
случае хотя бы на одной из прямых изоклин 1°, и I т4 система имеет не менее
двух особых точек. Но, как отмечено ранее, каждая из трех перечисленных прямых изоклин проходит только через одну особую точку системы (31). Через А не могут проходить также две прямые изоклины, на которых индуцированы различные направления. В противном случае хотя бы одной из прямых 1*2, С и С принадлежат не менее двух особых точек системы (31).
Таким образом, через точку А проходит только одна прямая изоклина, отличная
от 1“, остальные, не менее чем четыре прямые изоклины, пересекают 1“ вне точки А . Но, как известно [2], из этих прямых найдется не менее одной, на которой индуцировано направление т0 є Я . Пришли к противоречию с тем, что на прямой 1“ находится одна (единственная) особая точка системы (31). Таким образом, случай с) также не реализуется и теорема доказана.
Утверждение 6. Если система (1) имеет три параллельные между собой прямые изоклины, на которых индуцировано одно и то же направление, то любая ее особая точка расположена на одной из этих прямых.
В самом деле, согласно работе [2] систему (1) можно привести к виду:
= у - кх - ьі Ху - кх - ъ2 Ху - кх - ^ х ^ у уX (32)
аі аі
Ъ, Ъ2, Ъ3 - попарно различные числа.
Как видно из (32), все состояния равновесия системы лежат на прямых изоклинах бесконечности.
Теорема 5. Пусть система (1) имеет три параллельные между собой прямые изоклины, на которых индуцировано одно и то же направление. Тогда эта система имеет не более семи прямых изоклин, если хотя бы через одну ее особую точку проходит не менее двух прямых изоклин, на которых индуцировано одно и то же направление.
Доказательство. Согласно условию теоремы существует аффинное преобразование [2], переводящее систему (1) в систему
Шх = (у - кх Ху - кх - Ъ Ху - кх - Ъ2), Шу = (у - к{х Ху - к2 х )(Ух + Ву + С), (33)
аі аі
где Ъ1 • Ъ2 Ф 0, Ъ1 ф Ъ2.
Ни одна прямая изоклина, отличная от главных изоклин, не проходит через начало координат системы (33). В самом деле, если бы существовала прямая изоклина у = к3 х, не являющаяся для системы (33) главной, то выполнялось бы равенство
(у3 - к1 )(к3 - к2 )х2 [ + Вк3 )х + С] = (у3 - к)х[(^3 - к)х - Ъ1 ][ - к)х - Ъ2 ]• m3, (34)
где т3 є Я \ {о}. Но равенство (34) невыполнимо в силу неравенства Ъ1 • Ъ2 ф 0 .
Для удобства дальнейших рассуждений введем обозначения:
1“ : у - кх = 0, 1“ : у - кх - Ъ1 = 0, 1“ : у - кх - Ъ2 = 0,
Г4: у - к1х = 0, 1 °: у - к2 х = 0, 16: Ах + Ву + С = 0.
Если С = 0, то система (33) не имеет прямой изоклины, не являющейся главной. Предположим, что это не так, т.е. пусть существует 1т - прямая изоклина системы (33), на которой индуцировано направление т є Я \ {0}. Тогда мы приходим к невыполнимому равенству:
(у7 - к1 )(у7 - к2 ХА + Вк7 )х3 = т(у? - к)х[(у? - к)х - Ъ1 ][(^7 - к)х - Ъ2 ],
полагая, что у - к7х = 0 - уравнение изоклины 177. Итак, С Ф 0 и прямая £06 не
проходит через начало координат.
Будем различать два случая: 1) Ъ1 • Ъ2 > 0; 2) Ъ1 • Ъ2 < 0.
Очевидно, в случае 1) прямые изоклины 1“ и 1“ расположены либо выше, либо ниже прямой I “, в случае 2) - в разных полуплоскостях относительно прямой 1“ . На
рисунке 1 а (б) изображен случай 1) (2)) взаимного расположения главных изоклин за исключением прямой 1°, причем в случае 1) считаем, что Ь1 > 0, Ь2 > 0, так как этого всегда можно добиться путем изменения положительного направления на оси у .
/°
Рис. 1. Взаимное расположение главных изоклин при а) Ь1Ь2>0; б) Ь1Ь2<0
Согласно утверждению 6 все особые точки системы (33) расположены на прямых изоклинах 1 “, 133, £3. Кроме этого, как нами установлено выше, изоклина нуля 1° проходит через любую точку плоскости, кроме начала координат, в противном случае теорема доказана.
Согласно теореме 4 любая прямая изоклина, не являющаяся главной, обязательно пересекает три параллельные между собой изоклины бесконечности, т.е. проходит через три особые точки.
Теперь, обращаясь к рисунку 1, видим, что прямой изоклиной, отличной от главных изоклин системы (33), может быть только одна из прямых АС и ББ. При этом прямая АС - изоклина системы (33), отличная от главных ее изоклин, тогда и только тогда, когда прямая 1° проходит через точку Е = АС п 13.
Аналогично, прямая ББ - изоклина системы (33), отличная от ее главных изоклин, тогда и только тогда, когда 1° проходит через точку G = ББ п 13 . Тем самым и доказано утверждение теоремы.
Теорема 6. Пусть М"1 - множество, состоящее из трех параллельных между собой прямых 1^', 1^', 1^', на которых индуцировано одно и то же направление тг, М2"2 -множество, состоящее из трех параллельных между собой прямых 1
1"
1 "2 6
на
которых индуцировано направление "2 . Тогда система (1) имеет не более восьми прямых изоклин.
Доказательство. В силу работы [2] и теоремы 4 т1 Ф т2 каждая прямая из множества М"1 пересекает каждую прямую из множества М"2, т.е. система (1) имеет девять точек покоя, через каждую из которых проходит одна прямая из множества М"1 и одна прямая из М"2. Любая прямая изоклина системы (33) проходит через три особые точки, так как она имеет девять особых точек [2]. Следовательно, если есть прямая изоклина системы (33), не являющаяся главной, то она может быть только диагональю параллелограмма АСЖО (рис. 2), проходящей через точку покоя Е.
Но указанные две диагонали пересекаются в точке Е тогда и только тогда, когда прямые 1"1 и 1"1 равноудалены от прямой 1"1, а прямые 1"2 и I"2 равноудалены
от прямой I"2. Теорема доказана.
А /
В /
С
1 з1
Б
Е
1т1
в Н W
1 Г1
Б
IГ IГ IГ2
Рис. 2. Прямая изоклина системы (33), не являющаяся главной, которая может быть только диагональю параллелограмма ЛСЖО , проходит через точку покоя Е
Теорема 7. Пусть множество всех прямых изоклин системы (1) разбито на подмножества так, что элементами одного и того же подмножества являются прямые, на которых индуцировано одно и то же направление. Если среди этих подмножеств есть такое, которое состоит только из двух прямых, то число прямых изоклин системы (1) при наличии у нее хотя бы одного состояния равновесия - не более шести.
Доказательство. Пусть М1Г1 - подмножество множества М всех прямых изоклин системы (1), состоящее из двух прямых. Относительно остальных подмножеств множества М возможны следующие предположения:
1) существует хотя бы одно трехэлементное подмножество;
2) нет трехэлементного подмножества.
Если наряду с М1Г1 у системы (1) существует трехэлементное подмножество, то в силу [2] систему (1) можно преобразовать в систему:
-\ = (у - кх х - Ъх) - к 2 х - ^2 )2, -у = а(у - кз х - Ьз) - к4 х - Ь4) - к5 х - Ъ5 ),(35)
ш т
где ае Я \{0}.
Введем обозначения: 1“ : у - к1х - Ъ1 = 0, 1“ : у - к2х - Ъ2 = 0, 10: у - к3х - Ъ3 = 0, 14: у - к4х - Ъ4 = 0, 105: У - к5 х - Ъ5 = 0.
Здесь уместно рассмотреть два случая: а) 1“ || 1“; Ъ) 1“ 11“ Ф 0.
Пусть имеет место случай а). Тогда можно утверждать, что никакая прямая изоклина системы (35), отличная от главных изоклин, не параллельна ни одной из трех изоклин нуля этой системы. Предполагая противное, без ограничения общности, считаем, что 1Г I11°, где 1Г - прямая изоклина системы (35), на которой индуцировано направление т е Я \ {0} и которая задана уравнением у - к6 х - Ъ6 = 0. Прямые 1Г и 10 не параллельны прямым 1 “ и 1 “. По условию теоремы система (35) имеет хотя бы одну особую точку, поэтому одна из прямых 14 и 105, по крайней мере, пересекает 1 “ и 1 “, а значит, и прямую 1Г, что означает наличие у системы (35) особой точки, расположенной на прямой 1Г. Это противоречит тому, что все особые точки системы лежат на прямых 1 “ и 1 “. Итак, 1Г и 10 пересекают прямые 1 “ и 1 “.
Так как 1 1 - изоклина системы (35), то мы приходим к невыполнимому равенству:
а(б - ьз )[б - к4 )х + Ь6 - К 1(б - Ь5 )х + Ь6 - Ь5 ] = - кі )х + Ь6 - Кі 1(б - к2 )х + Ь6 - Ъ2 ]2
(левая часть является многочленом степени не выше второй, а правая часть - многочленом третьей степени).
Таким образом, в случае а) любая прямая изоклина системы (35), не являющаяся главной, непременно пересекает все ее главные изоклины.
Пусть 1 т - одна из таких изоклин. Обозначим точки пересечения 11 с прямыми 1 “ и 1 °2 через А и В соответственно. Так как 11 пересекает все изоклины нуля, а система (35) не имеет особых точек, лежащих вне прямых 1 “ и 1 “, то каждая из прямых 10, 14, 10 проходит через одну из точек А и В . Так как 10, 14, 10 - попарно различны, то две из них проходят через одну из точек А и В , а третья прямая изоклина нуля - через вторую особую точку (см. рис. 3).
Г
2
Г
і
Рис. 3. Прохождение прямых изоклин через особые точки
Очевидно, что через особую точку В не проходит никакая прямая изоклина, отличная от изображенных на рис. 3, так в противном случае система имела бы на прямой 1 “ четыре особые точки, что недопустимо для кубичной системы. Именно по этой причине любая прямая изоклина должна проходить через точку Е или А, или В, если она отлична от изображенных на рис. 3. Вместе с тем каждая такая прямая пересекает, как нами установлено выше, все три изоклины нуля. При этом одна из этих точек
пересечения расположена вне прямых 1 “ и 1“ , что противоречит свойству системы (35) иметь все особые точки на 1 “ и 1“ . Если бы точки Е и В лежали по одну
сторону от А или точка С лежала левее, мы рассуждали бы аналогично и пришли бы к такому же противоречию. Тем самым доказано, что система (35) в случае а) не может иметь более шести прямых изоклин.
Пусть далее имеет место случай Ъ). Предположим, что существуют прямые изоклины системы (35), отличные от главных изоклин, и одной из них является прямая
1т . Относительно расположения 1т существуют две возможности: 1т пересекает
6 6 6
обе изоклины бесконечности, ^ пересекает только одну из прямых 1 “ и 1“ . Если
лт л“ ^
1 пересекает 11 и 1 , то никакая прямая изоклина нуля не параллельна прямой С . Иначе имеет место равенство:
4(6 - к3 )Х + Ь6 - Ь3 ][к6 - к4 )Х + Ь6 - Ь4 ][(к6 - к.5 Х + Ь6 - Ь5 ]
= да[(^6 -кі Х + Ь6 -Ьі][к6 -к2)х + Ь6 -Ь2]2.
где левая часть - многочлен не выше второй степени, а правая часть - многочлен третьей степени.
Пусть 1 ^ пересекает только одну из прямых 1 “ и 1 “, например, 1 “ и
А = 1“ 11т. Ясно, что на 1т - единственная особая точка А . Поэтому через А про-
і 6 6
ходит хотя бы одна изоклина нуля. Все три прямые 10, 14, 10 не проходят через А, ибо в противном случае в правой части (36) имеет место многочлен не выше второй степени, а в левой части - многочлен третьей степени. Если допустить существование
седьмой прямой изоклины системы (35), отличной от 1т и главных изоклин, то рас-
суждаем так. Две прямые из трех изоклин нуля не параллельны прямой 1”
6
(см. рис. 4 а, б).
Обозначим седьмую прямую изоклину 1 ” .
1“
а) б)
Рис. 4. Все три ИЗОКЛИНЫ 10, 14, 10 ме проходят через точку А
Прямая і 1 проходит через Е параллельно прямой 1 “, либо пересекает 1 “ в одной из особых точек А, В, С . В каждом из этих случаев пересекает хотя бы одну из изоклин 10 и 14 в точке, расположенной вне прямых 1 “ и 1 “, но особых точек система (35) не имеет вне 1 “ и 1 “ .
Таким образом, две изоклины нуля проходят через А, а третья параллельна прямой
лт лт V* л “
1 , иначе она пересечет 1 в точке, не лежащей на 11 .
Рассмотрим рисунок 5.
Прямая 1 т1 не проходит через точку А, так как на прямой 1 “ система (35) имеет только две особые точки Е и G. Если іті проходит через В и Е или через В и G, то она пересекает /0 или 10 в точке, не лежащей на изоклинах бесконечности, что невозможно.
Таким образом, и в случае Ь) система (35) не имеет более шести прямых изоклин.
Рассмотрим теперь случай 2) отсутствия трехэлементного подмножества М .
Здесь уместно различать случаи: с) существует хотя бы одно двухэлементное подмножество множества М, отличное от М”1; Ш) нет ни одного двухэлементного под-
множества множества М, отличного от М 1.
1
В случае с) систему (1) приводим к виду [2]:
= а(у -\х-ь)(у -к2х-Ь2)2, ШУ = в(У -къх-Ьз)(у -к4х-ь4)2. ш т
(37)
В случае трех и меньшего числа особых точек системы (37) отсутствие прямой изоклины, отличной от главных изоклин, очевидно. Поэтому пусть система имеет четыре особые точки. В результате параллельного переноса начала координат систему (37) можно переписать в виде:
= а(у - кгх - Ь Ху -к2х)2, аУ = в(у -кзх - Ьз Ху - кАх)2. аі аі
(38)
Если допустить существование у системы (38) прямой изоклины I”: у - к х - Ь = 0, отличной от главных изоклин, то придем к невыполнимому равенству
в[(У5 -к3 )х + Ь5 -Ь3][(У5 -к4)х + Ь5] = а”(У5 -к1 )х + Ь5 -Ь1 ][(У5 -к2 )х + Ь5]2,
так как к Ф к , г = 1,4. Итак, случай с) невозможен.
5 г
Пусть имеет место случай ф). Тогда в силу [2] систему (1) запишем в виде: шх
'.{у - кіх - Ьі )(у - к2Х - Ь2 )2, ^ = ( - к3Х - Ь3 ))2 (X,У),
аі аі
(39)
где
б, (x, У) -
неприводимый многочлен второй степени.
Если к = к = к , то на прямой I : у - кх - Ь = 0 нет особых точек системы (39),
1 2 3 3^33 \
поэтому любая прямая изоклина, отличная от главных изоклин, если она есть, параллельна трем прямым I0 1“ : у - кх - Ь = 0, 1“ : у - кх - Ь = 0. В противном слу-
О
4
чае на 10 есть особая точка системы. Но по теореме 1 [1] система (39) имеет не более пяти параллельных между собой прямых изоклин.
Пусть далее к = к , к Ф к . Тогда на прямой 1° система (39) имеет две особые
12 13 3
точки. Легко видеть, что при этом система не имеет прямой изоклины, параллельной изоклине нуля 1° (полагая противное, мы получим невыполнимое тождество). Следовательно, какая бы прямая изоклина системы (39), отличная от ее главных изоклин, ни существовала, она обязательно проходит через одну из особых точек А = 1° 11“ и
В = 1° 11“ .Предположим, что система имеет более шести прямых изоклин. Тогда, учитывая положение [2] о том, что через особую точку кубической системы проходит не более пяти прямых изоклин, можно утверждать: либо через одну из особых точек А и В проходят три прямые изоклины, отличные от главных изоклин, а через другую - не менее одной прямой изоклины, либо через каждую из этих двух точек проходят по две прямые изоклины.
В результате мы приходим к противоречию, которое состоит в том, что либо на одной из изоклин бесконечности 1 “ и 1“ расположены четыре особые точки, либо система (38) имеет особые точки вне прямых 1“ и 1 “ .
Далее рассмотрим случай к Ф к , но к = к либо к = к . Ради определенности
считаем, что 1 ° 11“ = А - единственная на прямой 1° особая точка системы (39). Так
как все прямые изоклины, отличные от главных изоклин системы (39), являются элементами одноэлементных подмножеств множества М, то любая такая прямая либо
параллельна прямой 1°, либо пересекает ее в точке А. Но прямых изоклин, параллельных прямой 1°, не более двух, так как иначе на прямой 1 “ более трех особых
точек. Через точку А проходит также не более двух прямых изоклин, иначе на прямой 1“ система имеет не менее трех особых точек. Это противоречит тому, что прямая 1“
пересекается с кривой второго порядка (х, у) = ° не более чем в двух точках.
Рассмотрим последнюю возможность взаимного расположения прямых изоклин 1“, 1“ и I“ . Пусть они попарно пересекаются, т.е. А = 1° 11 “ и В = 1° 11“ - особые точки системы (39). Если А = В, то согласно упомянутому положению из работы [2] через А проходит не более пяти прямых изоклин, а других система не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда А и В - несовпадающие особые точки. Если через одну из особых точек А и В проходят две прямые изоклины, отличные от главных, то через другую не проходит ни одна такая прямая изоклина. В самом деле, если через А проходят две прямые изоклины, отличные от 1“ и 1°, а через точку В проходит хотя бы одна прямая изоклина, не являющаяся главной, то из этих трех прямых хотя бы две пересекаются в точке, не лежащей на изоклинах 1“ и 1“ . Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы.
Следствие 2. Если система (1) имеет не менее семи прямых изоклин и хотя бы одну особую точку, то во множестве всех ее прямых изоклин содержатся лишь трехэлементные и одноэлементные подмножества.
Как показано в работе [3], множество всех прямых изоклин дифференциального
уравнения траекторий кубичной системы, имеющего семь интегральных прямых, содержит не менее двух трехэлементных подмножеств.
Пример 4 [3]. Дифференциальное уравнение
= у(- 1)-а), а >а Ф2
Шх х(х - 1)(х - а)
имеет ровно семь прямых изоклин (они же интегральные прямые) х = 0, х = 1, х = а, у = 0, у = 1, у = х. Причем все множество прямых изоклин разбито на два трехэлементных подмножества:
М = {х = 0; х = 1; х = а} - множество изоклин бесконечности,
М^ = {у = 0; у = 1; у = а} - множество изоклин нуля,
М^ = {х = у} - одноэлементное множество, состоящее из одной изоклины, на которой индуцировано направление ” = 1 .
Следствие 3. Если дифференциальное уравнение траекторий системы (1) имеет восемь интегральных прямых, то во множестве его прямых изоклин содержится не менее двух трехэлементных подмножеств.
Пример 5 [4]. Дифференциальное уравнение — = у(у (1)3х 2у. 2) имеет де-
Шх х(х - 1)х - 2)
вять прямых изоклин, в том числе три трехэлементных подмножества:
М1 ={х = 0; х -1 = 0; х - 2 = 0}- множество изоклин бесконечности,
М2 = {у = 0; у -1 = 1;3х - 2у - 2 = 0} - множество изоклин нуля,
М^ = |у = х; у = х -1; у = -1 х +11 - множество изоклин, на которых индуцировано направление ” = 1 .
М^ = |у = 1 х| - множество, состоящее из одной прямой изоклины, на которой ин-
3
дуцировано направление т = —.
4 4
Пример 6 [4]. Интегральными прямыми дифференциального уравнения
Ф = у {у - ^(у - 2)
Шх х(х - 1)(х - 2)
являются следующие: х = 0; х = 1; х = 2; у = 0; у = 1; у = 2; у = х; у = -х + 2.
Множество всех прямых изоклин данного уравнения исчерпывается указанными восемью интегральными прямыми. Оно разбито на два трехэлементных подмножества: множество изоклин нуля и множество изоклин бесконечности и два одноэлементных подмножества {у = х} и {у = - х + 2}.
Теорема 8. Если система (1) имеет не менее девяти прямых изоклин и хотя бы одну особую точку, то во множестве всех ее прямых изоклин не может быть более одного одноэлементного подмножества.
Доказательство. Допустим, что во множестве всех прямых изоклин системы (1) имеются не менее двух одноэлементных подмножеств. Тогда согласно [2] эту систему можно привести к виду:
Ши = (у - V - ь )р2 (x, у), Шу = (у - к2х - Ъ2 ))2 (x, у), (40)
ш т
где Р ух, у) и ^ ух, у)- неприводимые многочлены второй степени.
Так как система (40) не имеет ни одной прямой изоклины бесконечности, отличной от прямой 1 “ : у - кх - Ъ = 0, и ни одной прямой изоклины нуля, отличной от прямой
10: у - к х - Ъ = 0, то любая прямая изоклина этой системы, отличная от ее главных
2 2 2
изоклин, пересекает 1 “ и 10 только в особых точках.
Рассмотрим два случая: а) к = к , т.е. 1 “ || 10; Ъ) к Ф к , т.е. 1“ П10 Ф О . Согласно теореме 4 в случае а) система имеет не более одной прямой изоклины, параллельной прямым 1 “ и 10 . По условию система имеет не менее девяти прямых изоклин, следовательно, не менее шести прямых изоклин пересекают каждую прямую 1“ и 10 . В соответствии с работой [2] через особую точку кубической системы проходит не более пяти прямых изоклин. Значит, на прямой 1 “ система (40) имеет две
особые точки, причем через одну из них проходят четыре прямые изоклины, а через другую - две прямые изоклины, отличные от главных изоклин, либо через каждую особую точку на 1“ проходят по три прямые изоклины, отличные от 1“ .
В том и другом случае не менее трех прямых изоклин пересекают изоклину нуля
ц0
1 , но это невозможно, так как система уравнений
Г у - к2х - Ъ2 = 0 1р2 ^ у )= 0
имеет не более двух решений. Таким образом, случай а) невозможен в условиях теоремы.
Из (40) следует, что в случае Ъ) число особых точек на прямых /“ и 120 в сумме не превосходит пяти.
Рассмотрим случаи: одной, двух, трех, четырех и пяти особых точек на прямых /“ и /20 (в сумме). Если прямым /“ и /20 принадлежит только одна особая точка А системы (40), то, как отмечено выше, любая прямая этой системы, отличная от /1“ и /20, проходит через А. Но это противоречит теореме 3.2 [2], в силу которой через особую точку кубичной дифференциальной системы проходят не более пяти прямых изоклин.
Рассмотрим теперь случай, когда, кроме особой точки А, на одной из прямых /“ и /20 система (40) имеет одну особую точку. Пусть это будет точка В е /1“. Заметим, что через точку В проходит не более одной прямой изоклины, причем, если есть такая
/“ ^ 70
1 , то она непременно параллельна прямой /2 , так как иначе на /20, кроме А, есть еще хотя бы одна особая точка, но это не так. Приходим к выводу, что через точку А, кроме /“ и /20, проходят не менее шести прямых изоклин, что невозможно по теореме 3.2 [2].
Пусть система (40) имеет три особые точки А, В и С, через которые проходят прямые /1“ и /20. Здесь будем различать два случая: 1) А, В и С - вершины треугольника; 2) А, В и С лежат на одной прямой, например, на /“.
Если А, В и С - вершины треугольника, то существует не более двух прямых изо-
клин, отличных от /“ и /20, проходящих через особые точки В и С. Для определенности положим, что В е /1“ и через В проходят две прямые изоклины, отличные от /1“. Тогда одна из них проходит через точку С е /20, а другая параллельна прямой /20, так как в противном случае система (40) имеет на прямой /20 три особые точки.
Аналогичное заключение можно сделать в предположении, что через точку С проходят две прямые изоклины, отличные от /20 . Если даже допустить, что через каждую точку покоя В и С проходят две прямые изоклины, отличные от /1“ и /20, то через точку А при этом обязательно проходят не менее шести прямых изоклин. Снова приходим к противоречию с теоремой 3.2 [2]. Если А, В и С расположены на одной прямой, например, на /1“, рассуждаем так. Через каждую особую точку В и С проходит, кроме /1“, не более одной прямой изоклины. Такая прямая изоклина, если существует, то параллельна прямой /20, иначе на /20 система (40) имеет более одной особой точки. Все остальные прямые изоклины (40) проходят через А, что противоречит теореме 3.2 [2].
Покажем, что и случай четырех особых точек на пересекающихся прямых изоклинах /1“ и /20 невозможен. Предположив противное, мы допускаем две возможные конфигурации из особых точек системы (40), принадлежащих прямым /1“ и /20 (см. рис. 6 а, б).
Рассмотрим рис. 6 а. Заметим, что прямые изоклины системы (40), проходящие через точки покоя Б и С, либо проходят через В, либо параллельны прямой /1“. Если бы существовала прямая изоклина, инцидентная точке Б, но не проходящая через В и не параллельная прямой /1“, то система обязательно имела бы на /1“ точку покоя, отличную от А и В, ибо /1“ - элемент одноэлементного подмножества множества всех прямых изоклин системы (40).
Отметим также, что не существует прямой изоклины системы (40), проходящей через В параллельно прямой /20 . Если предположить существование такой прямой изоклины, то в силу уже выше доказанного случай к1 = к2, /1“ || /20 невозможен, где /1“ и /20 - элементы одноэлементных подмножеств множества М всех прямых изоклин, эта прямая не является элементом одноэлементного множества. Но в силу теоремы 7 эта прямая не является также элементом двухэлементного подмножества множества М.
Из изложенного делаем вывод, что прямая, инцидентная точке В и параллельная прямой /20 , принадлежит некоторому трехэлементному подмножеству множества М. Поэтому в силу [2] существует линейное преобразование, переводящее систему (40) в систему
= (у - к2х - Ъ0 )(у - к3х - Ъ3 )(у - к4х - Ъ4 ) =(у - к2х - Ъ2 ))2 (х,у) (41)
ш ш
где Ъ0 Ф Ъ2. Из (41) видно, что на прямой /20 система имеет не более двух особых точек, но по предположению особые точки А, Б и Се /20.
Таким образом, любая прямая изоклина, инцидентная точке В, обязательно проходит через Б или С. Если существуют прямые изоклины /Б и /с, проходящие через
Б и С соответственно и параллельные прямой /1“, то они не могут принадлежать одному и тому же подмножеству множества М.
В самом деле, допуская противное, систему (40) можно привести к системе:
Шх = (у - кхх - й, )х2(х,у), ^ = (у - к,х - Ъ2)(у - V - ^)х + Ку + #), (42)
аі аі
где Ъ,, Ъ2, Ъ3 - попарно различные числа.
Из (42) видно, что на прямой /“ система имеет не более одной особой точки, но это противоречит нашему предположению о том, что на /“ расположены две точки покоя А и В.
Рис. 6. Конфигурации из особых точек системы (40), принадлежащих прямым /“ и /2°
Через точку В проходят две прямые изоклины, отличные от /“, так как в противном случае через А проходят более чем пять прямых изоклин, что противоречит теореме 3.2 [2]. Итак, в случае конфигурации, изображенной на рис. 6, система (40) имеет прямые изоклины: /Б, /с, БВ, СВ, где /Б и /с параллельны прямой /“. Кроме того, через А проходят три прямые изоклины по меньшей мере. Как нами установлено выше, на прямых /Б и /с индуцированы различные направления т, и т2.
Поэтому любая прямая изоклина, отличная от /“ и /2° (их не менее трех), пересекает прямые /Б и /с. Впрочем, по теореме 3.2 [2] через А проходят ровно пять прямых изоклин. Обозначим через qA, гА, прямые изоклины, инцидентные точке А и отличные от /“ и /2°. Никакие две из трех изоклин qA, гА, sA не принадлежат одному и тому же подмножеству множества М, ибо в противном случае систему (40) можно преобразовать в систему [2]:
ШГ = У - к3хХу - к4х)Ух + Ку + N), Шу = (у - к2х)2 У, УX к2 Ф к3, к3 Ф к4, к2 Ф к4. (43)
аі аі
Предполагается, что начало координат предварительно перенесено в особую точку А, а прямая /2° преобразована в изоклину нуля у -к2х = 0. Как видно из системы (43), на прямой у -к2х расположены не более двух особых точек (43), что противоречит конфигурации, изображенной на рис. 6 а.
Таким образом, прямые изоклины qA, гА, хА принадлежат трем различным подмножествам множества М. Поэтому на каждой из параллельных прямых /Б и /с система (40) имеет три особые точки.
Согласно работе [2] две прямые являются изоклинами одного и того же наклона, если сумма особых чисел, расположенных на этих прямых, равна шести. Пришли к
противоречию с выше установленным, что /в и /С не являются элементами одного и того же подмножества множества М.
Доказательство невозможности конфигурации, изображенной на рис. 6 б, проводится аналогично. Тем самым доказано, что в условиях настоящей теоремы случай четырех особых точек системы (1), принадлежащих пересекающимся прямым изоклинам,
70
1 и /2 не реализуется.
Рассмотрим последний случай пяти особых точек, принадлежащих прямым /1°° и /20. Здесь возможны конфигурации из пяти особых точек, изображенные на
рис. 7 а, б, в.
Рис. 7. Конфигурации из пяти особых точек, принадлежацих прямым /“ и I0
Рассуждения проведем для случая, изображенного на рис. 7 а, так как для двух остальных случаев рассуждения аналогичны. Ни через одну из четырех особых точек В, С, Б, Е не проходит прямая изоклина системы (40), параллельная одной из прямых,
70
1 или /2 .
Это утверждение доказывается с помощью тех же рассуждений, которые проведены при доказательстве отсутствия прямой изоклины, инцидентной точке В и параллельной прямой 120 в случае четырех особых точек, принадлежащих прямым /1°° и 120 . Через каждую из особых точек В, С, Б и Е проходят три прямые изоклины, так как при условии, что хотя бы через одну из них проходят не более двух прямых изоклин, мы неизбежно придем к противоречивому утверждению - через А проходят не менее шести прямых изоклин.
Итак, система (40) имеет четыре прямые изоклины: БВ, БС, ЕВ и ЕС, образующие выпуклый четырехугольник ВЕСБ. Кроме того, через А в соответствии с теоремой 3.2 [2] проходят три прямые изоклины qA,гА,яА, никакие две из которых не принадлежат одному и тому же подмножеству множества М.
В противном случае системе (40) можно придать вид системы (43), которая имеет не более двух особых точек на прямой у - к3 х = 0. С другой стороны, в эту прямую может
быть переведена прямая изоклина /20 , на которой расположены три особые точки.
Итак, среди прямых изоклин qA, Га , ^, проходящих через точку А, нет двух прямых, на которых система (40) индуцирует одно и то же направление. Именно поэтому на прямых ВБ, ВЕ, СБ и СЕ система (40) имеет не менее четырех особых точек, пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 9. Если система (1) имеет ровно девять прямых изоклин и хотя бы одну особую точку, то множество всех ее прямых изоклин разбито на три подмножества, в каждом из которых три прямые изоклины.
Доказательство. Пусть п - число всех прямых изоклин системы (1), к - число одноэлементных подмножеств множества М, состоящего из п прямых изоклин.
Тогда в силу следствия 2 имеет место сравнение
п = к (гпоёЗ), к = 0;1. (44)
Из (44) при п = 9 следует, что к = 0, т.е. число трехэлементных подмножеств множества М равно З. Теорема доказана.
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 10. Если система (1) имеет десять прямых изоклин и хотя бы одну особую точку, то множество этих десяти прямых изоклин имеет три трехэлементных подмножества и одно одноэлементное подмножество.
Теорема 11. Пусть Ми М2"2 - подмножества множества всех прямых изоклин системы (1), состоящие из трех прямых, причем т1 и т2 - различные направления, индуцированные на прямых из множеств Ми М"2 соответственно. Если система (1) имеет менее девяти особых точек, то либо существуют прямые /1т1 е М"1 и /"2 е М"2, такие, что /"1 || /"2, либо хотя бы в одном из множеств М" и М"2 найдутся две прямые, пересекающиеся в особой точке.
Доказательство. Так как по условию существуют два трехэлементных подмножества Мт1 и М2"2 множества всех прямых изоклин системы (1), то в силу [2] система (1) может быть преобразована в систему
^ = а(у - кгх - Ь ) - к2 х - Ъ2) - кз х - Ьз ),
т (45)
= Р{У - к4Х - Ъ4 - к5Х - Ъ5 - к6Х - Ъ6 X
т
где арф 0.
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что нет двух параллельных прямых, одна из которых является изоклиной нуля, а другая - изоклиной бесконечности, и нет двух прямых изоклин нуля или бесконечности, пересекающихся в особой точке.
Тогда на каждой прямой изоклине системы (45) имеется ровно три особые точки, среди которых нет общих для двух изоклин бесконечности (изоклин нуля), т. е. число особых точек системы (45) равно девяти.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 12. Если система (1) имеет не менее девяти прямых изоклин и хотя бы одну особую точку, то у этой системы не существует особой точки, через которую проходят две прямые изоклины, принадлежащие одному и тому же подмножеству множества всех прямых изоклин (1).
Доказательство. Множество всех прямых изоклин системы (1) имеет не менее двух трехэлементных подмножеств. Поэтому в соответствии с [2] эту систему можно преобразовать в систему
тХ = а(У - к1Х)(у - к2х)( - кзх - Ъз ), = в(( - к4х)(Т - к5х - Ъ5 ХТ - кбХ - Ъ6 Х (46)
т т
где арф 0.
Рассмотрим два случая: 1) Ъ3 = 0; 2) Ъ3 ф 0.
Если Ъ3 = 0, то у системы (46) не более одной прямой изоклины, отличной от ее главных изоклин и проходящей через начало координат (т. 3.2 [2]). Поэтому найдется
не менее одной прямой изоклины системы (46), не проходящей через точку (0;0).
Пусть /7"7 : у - к7х - Ъ7 = 0 - одна из таких изоклин. Тогда имеет место тождество
Но оно невыполнимо. В самом деле, если к7 = к4, то левая часть равенства (47) является многочленом не выше второй степени, тогда как его правая часть - многочлен третьей степени (к1, к2, к3, к4 - попарно различны). Если к7 ф к4, то (к7 - к4)х + Ъ7 не является делителем ни одного из трех множителей в правой части (47).
Итак, Ъ3 ф 0 . Так как по условию система (47) имеет не менее девяти прямых изоклин, то, кроме главных изоклин и прямой /7т7 , она имеет еще не менее двух прямых изоклин, две из которых обозначим /8т8 : у - к8 х - Ъ8 = 0, /9"9 : у - к9 х - Ъ9 = 0.
Таким образом, имеют место равенства:
Из (48) видно, что (к7 - к4)х + Ъ7 не является делителем ни одного из двучленов (к7 - к1)х + Ъ7 и (к7 - к2)х + Ъ7. Если, кроме этого, (к7 - к4)х + Ъ7 не является делителем двучлена (к7 - к3)х + Ъ7 - Ъ3, то теорема доказана.
Аналогичные выводы можно сделать относительно линейных двучленов (к8 -к4)х + Ъ8 и (к9 -к4)х + Ъ9. Поэтому полагаем выполненными равенства:
Так как Ъ3 ф 0, то из (54) следует, что Ъ (1 - д) ф 0, I = 7, 8, 9. Нетрудно видеть,
ства (54) следует условие к4 = к3. Учитывая это условие и неравенство
По теореме 4 среди прямых изоклин системы (46) не более трех параллельных между собой прямых изоклин. Пришли к противоречию.
в[(к7 -к4)х + Ъ7][(У7 -к5 )х + Ъ7 -Ъ5][(У7 -к6)х + Ъ7 -Ъ6] е = ат7[(У7 - к1 )х + Ъ7][(У7 - к2 )х + Ъ7][(У7 - к3 )х + Ъ7 - Ъ3],
в[(к8 - к4)х + Ъ8][(У8 - к5 )Х + Ъ8 - Ъ5][(У8 - к6 )Х + Ъ8 - Ъ6] Е = ат8[(к8 - к1 )Х + Ъ8][(У8 - к2 )Х + Ъ8][(У8 - к3 )Х + Ъ8 - Ь3],
в[(к9 -к4)х + Ъ9][(У9 -к5)х + Ъ9 -Ъ5][(У9 -к6)х + Ъ9 -Ъ6] = = ат9[(У9 -к1 )х + Ъ9][(У9 -к2)х + Ъ9][(У9 -к3)х + Ъ9 -Ъ3].
(48)
(49)
(50)
(к7 -к3)х + Ъ7 - Ъ3 = Д,[(У7 -к4)х + Ъ7],
(к8 - к3)Х + Ъ8 - Ъ3 = А[(У8 - к4 )Х + Ъ8 ] ,
(к9 -к3)х + Ъ9 -Ъ3 = Д9[(У9 -к4)х + Ъ9].
(51)
(52)
(53)
Из (51)-(53) получаем систему уравнений
У - Д7 )Х7 = к3 - Д7к4, У - Д8 )Х8 = к3 - Д8к4,
(1 -д9)Х9 = к3 -д9к4, (1 -д7)Ъ7 -Ъ3 = 0,
У - Д8 )Ъ8 - Ъ3 = 0, (1 - Д9 )Ъ9 - Ъ3 = 0 .
(54)
что к4 ф к1 VI е {7, 8, 9}. В самом деле, если, например, к4 = к7, то из первого равен-
(1 - д8 )(1 - д9) ф 0, заметим, что к8 = к3, к9 = к3.
Итак, прямые изоклины /Г7, /Г8, /Г9 пересекают главные изоклины /3Г : у - к3х - Ъ3 = 0 и /°: у - к4х = 0 системы (46). Так как Ъ7Ъ8Ъ9 ф 0 и на прямой /° система (46) имеет не более двух особых точек, то прямые /3°°, /40, /?, /Г8, /9т проходят через точку покоя А (см. рис. 8).
Рис. 8. Прямые /3°°, /°, /Г7, /Г8, /Щ9 проходят через точку покоя А
Прямые изоклины /2° : у - к2 х = 0 и /Г8 параллельны, ибо в противном случае на /Г система имеет не менее четырех особых точек. По той же причине параллельны прямые изоклины /1Г : у - к1 х = 0 и /Г7.
Через особую точку Е неизбежно проходит прямая изоклина нуля системы (46), причем она проходит либо через В, либо через С.
Но прямая ВЕ пересечет изоклину бесконечности /3Г и прямую /Г8, заведомо не являющуюся изоклиной нуля, т.е. на прямой ВЕ система (46) имеет не менее четырех особых точек, что невозможно.
Прямая ВС пересекает изоклину бесконечности /3Г и прямую /Г9, не являющуюся изоклиной нуля.
Снова приходим к противоречию с тем, что на прямой ВС система (46) не может иметь более трех особых точек. Теорема доказана полностью.
Теорема 13. Пусть система (1) имеет хотя бы одну особую точку и не менее девяти прямых изоклин, в том числе две параллельные прямые /1 1 и /2 2 , на которых система индуцирует различные направления гп1 и ш 2 соответственно. Тогда существует прямая изоклина /3 3 , параллельная прямым /1 1 и /2 2 , на которой система (1) индуцирует направление 3 , отличное от 1 и 2 .
Доказательство. По условию система (1) имеет не менее девяти прямых изоклин, поэтому множество М всех прямых изоклин (1) содержит не более одного одноэлементного и не менее трех трехэлементных подмножеств.
Относительно /Г1 и /Г2 возможны два предположения:
1) одна из них принадлежит одноэлементному подмножеству множества М;
2) обе прямые принадлежат различным трехэлементным подмножествам множества М.
Пусть имеет место первый случай, а именно /Г1 - элемент одноэлементного под-
множества множества М, а /Г2 є МГ2, где МГ2 - трехэлементное подмножество множества М.
С помощью подходящего преобразования [2] переведем /Г1 в изоклину бесконечности, а прямые множества М2 2 - в изоклину нуля так, что система (1) преобразуется в систему:
^ =( - кх - Ъ1 )/2 ( у ), ^ = ( - кх - Ъ2 )( - к3Х - Ъ3 ХУ - к4Х - Ъ4 X (55)
аі аі
где Ъ1 Ф Ъ2, Р2 (х, у) - неприводимый многочлен второй степени.
Из (55) видно, что прямым 1° : у - кх - Ъ1 = 0 и £0: у - кх - Ъ2 = 0 принадлежат не более чем по две особые точки (55). Ни одна из прямых Ц0: у - к3х - Ъ3 = 0 и £4: у - к4х - Ъ4 = 0 не параллельна прямой Ц.
Допустим, что это не так, т.е. пусть Ц° || /0. Тогда в силу теоремы 4 Ц п/0 Ф0, т.е. на прямой Ц система (55) имеет одну особую точку. Рассмотрим два подмножества {/Г1} и МГ3 множества М, где МГ3 - трехэлементное множество, на прямых изоклинах этого множества индуцировано направление 3 , отличное от 1 и 2 .
Как и выше, переведем прямую /Г1 в изоклину бесконечности, а прямые множества М3 3 - в изоклину нуля:
Шх =( - кх - ^ )Р2 ( у Х ^ =( - к5 х - Ъ5 )( - к6х - Ъ6 )( - к7х - Ъ7 ), (56)
аі аі
где Р2 (х, у) - неприводимый многочлен второй степени.
В силу теоремы 4 ни одна из прямых изоклин нуля системы (56) не параллельна прямой . Следовательно, все эти три прямые проходят через единственную на прямой особую точку, приходим к противоречию с теоремой 12.
Итак, прямой параллельна только одна прямая изоклина 10 системы (55).
Рассуждая аналогичным образом и рассматривая пары подмножеств {/1 1 } и М3 3 ,
{г } и МГ4 множества М, мы легко убеждаемся в том, что в каждом из не менее чем трех трехэлементных подмножеств множества М найдется одна прямая изоклина, параллельная прямой Ц.
Пришли к противоречию с теоремой 4.
Итак, случай, когда одна из параллельных прямых изоклин является элементом одноэлементного подмножества М, не реализуется.
Пусть М1 1 , М2 2 , М3 3 - трехэлементные подмножества множества М, причем
ші - направление, индуцированное системой (1) на прямых множества МГ‘, і = 1,2,3.
Согласно работе [2] 1, 2 , 3 - попарно различные числа.
Следуя [2] в случае 2), прямые множества М1 1 переведем в изоклины бесконечности, прямые множества М2 2 - в изоклины нуля:
Ш = а(у - кх - Ъ )(у - к2 х - Ъ2 )(у - к3 х - Ъ3), аі (57)
(Шу = вуу - кх - Ъ4 )(у - к5х - Ъ5 ) - к6х - Ъ6 ).
Введем обозначения: Ц : у - кх - Ъ1 = 0, Ц : у - к2х - Ъ2 = 0, Ц : у - к3х - Ъ3 = 0,
Ц4: у - к4х - Ъ4 = 0, : у - к5х - Ъ5 = 0, Ц6: у - к6х - Ъ6 = 0.
Как и в случае 1), нетрудно показать, что ни одна из прямых Ц, Ц, Ц5, Ц не па-
Г0
1 и Ц4 .
Далее, рассматривая пару множеств М” и М”3, убедимся в том, что одна прямая из множества М”3 параллельна прямым Ц и Ц4, а остальные две прямые изоклины из М3”3 пересекают эти две параллельные прямые изоклины. Теорема доказана.
Впрочем, из рассуждений, проведенных нами при доказательстве теоремы 13, следует, что в условиях этой теоремы число трехэлементных подмножеств множества М не менее трех.
Пример 7. Рассмотрим систему
(х-3)-2)х, -^ = у у + -х-3 (у-х-1).
Ші Ші
2
л
V 3 у
Кроме шести прямолинейных главных изоклин, данная система имеет еще три пря-
4
мые изоклины: у = 1, у = - х + 3, у = — х, на которых индуцировано направление
ш = 2. Заметим также, что на трех параллельных между собой прямых изоклинах
у = 0, у = 1, у = 2 индуцированы попарно различные направления и система удовлетворяет условиям теоремы 13.
Пример 8.
(Щх = у(у + х - 1)(.у - х - 2) Шу = (у - 1)у + х - 2)(у + 2 х).
Данная система имеет десять прямых изоклин, в том числе: три изоклины нуля, три изоклины бесконечности, три изоклины: у = 2, у = - х, у = -1 х +1, на которых индуцировано направление 1 = -1 и одна прямая х = 0, на которой индуцировано направление 2 = 1.
В отличие от системы предыдущего примера данная система имеет две тройки параллельных прямых изоклин, удовлетворяющих условиям теоремы 13.
Заметим также, что число особых точек системы равно семи.
В связи с последним примером уместно поставить вопрос о максимальном числе троек параллельных прямых изоклин системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы 13.
Под символом МГі, который нами неоднократно упоминался, будем понимать подмножество множества М всех прямых изоклин системы (1), где ші - направление, индуцированное системой (1) на прямых из множества Мі і .
Множество, состоящее из трех параллельных между собой прямых изоклин системы (1), взятых по одной из множеств МГ , М™1, МГк обозначим через М1к, причем
Согласно теореме 13 наличие уже одного множества М1к свидетельствует о том,
считаем, что М^к ф М^к, если 51 Ф s2, 51, s2 є N.
что система (1) имеет не менее девяти прямых изоклин, а множества М, М.1, М”к -трехэлементные.
Теорема 14. Пусть система (1) имеет не менее девяти прямых изоклин и хотя бы одну особую точку. Тогда число подмножеств вида М1к множества М не превосходит трех. Доказательство. Прежде всего, покажем, что существуют системы вида (1) из [1]:
Шх = Е аху1 = р3 У у) О-= Е 1у1 = &(x, у)
аі і+1 =0 аІ і+1 =0
где а у, Ъ є Я, (Р3,03 ) = 1, имеющие три тройки параллельных между собой прямых
изоклин, взятых по одной из трех трехэлементных подмножеств множества М всех прямых изоклин системы (1).
Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Шх = а{у - к1х - Ъ! )( - к2 х - Ъ2 )( - к3х - Ъ3 ),
аі
= в(у - к1х - Ъ4)(у - к2х - Ъ5)(у - к3х - Ъ6)
аі
(58)
где а-^Ф0, ( -Ъ4)(Ъ2 -Ъ5)(Ъ3 -Ъ6)ф0.
Введем обозначения: Ц°°: у - к1 х - Ъ1 = 0, Ц : у - к2х - Ъ2 = 0, Ц : у - к3х - Ъ3 = 0, Ц: у - к1 х - Ъ4 = 0, Ц0: у - к2х - Ъ5 = 0, Ц6: у - к3х - Ъ6 = 0.
Предположим, что система (58) имеет не менее девяти прямых изоклин и хотя бы одну особую точку. Так как Ц1 || Ц04 , то по теореме 13 существует прямая изоклина Цк є МГк, такая, что Ц'7к || Ц°, т.е. во множестве М имеется подмножество М1к, состоящее из прямых Ц°°, Ц4, Цк.
Аналогично рассматривая изоклины Ц и Ц5, а затем Ц и , в силу теоремы 13, приходим к утверждению о том, что существуют также множества М2 и М1, где М2 состоит из прямых Ц, Ц0, ЦТ , а М3 состоит из прямых Ц, , Ц1 г .
Покажем, что прямые 1Шк, Ц1, ЦЩПг принадлежат одному и тому же множеству МГк или что тоже совпадают множества МГк, МГ/, МГГ. Тем самым мы покажем отсутствие какой-либо тройки параллельных между собой прямых изоклин, отличных от МІк, МІ, М3, и теорема будет доказана.
В процессе доказательства теоремы 13 нами установлено, что на каждой прямой изоклине, принадлежащей множеству вида Мьіік, расположены две особые точки. В
силу теоремы 12 у системы (58) нет также особых точек, через которые проходили бы две прямые изоклины, на которых индуцировано одно и то же направление. Предположим, что существует множество вида М*ік, отличное от трех множеств М1к, М2 ,
М^, существование которых установлено выше, и Ц - одна из прямых изоклин этого
множества. Ц пересекает любую прямую из множеств М1к, М2 , Мг3г.
Следовательно, на Ц система (58) имеет три особые точки, пришли к противоречию с тем, что любая прямая из множества вида Мьіік проходит только через две особые точки системы (58). Отсюда следует, что прямые изоклины ГГк, ЦП/, Цг принадлежат одному и тому же множеству МкГк . Теорема доказана.
Пример 9. Система дифференциальных уравнений
Щ- = (у - 1)Су - х)х -1), Щ- = у(х - 2Ь - х -1)
ш т
имеет три тройки параллельных между собой прямых изоклин {у = 0; у =1; у = 2} {у - х = 0; у -х -1 = 0; у -х +1 = 0}, { = 0; х = 1; х = 2}. Эти прямые взяты из множеств прямых изоклин - бесконечности, нуля и направления т = 2. Система имеет шесть особых точек.
Следствие 4. Если система (1) имеет три параллельные прямые изоклины /1,12,13, то в случае существования хотя бы одной особой точки и не менее девяти прямых изоклин все три указанные прямые либо принадлежат одному и тому же множеству М”>, либо они принадлежат трем таким различным множествам.
Следствие 5. Пусть система (1) имеет хотя бы одну особую точку, а множество М всех ее прямых изоклин содержит три подмножества типа М1к. Тогда число прямых
изоклин системы равно девяти, а количество особых точек равно шести.
В самом деле, если бы существовала прямая изоклина, отличная от тех, которые
принадлежат трем множествам вида Мф, то на ней будет три особые точки, но ни на
одной прямой изоклине системы (58) нет трех особых точек, а есть только две.
Следствие 6. Пусть система (1) имеет хотя бы одну особую точку, а множество М ее прямых изоклин содержит хотя бы одно множество вида М1к . Тогда число прямых изоклин (1) - не более десяти.
В самом деле, если множеств вида М.к три, то согласно предыдущему следствию
число прямых изоклин равно девяти, поэтому полагаем, что число множеств М1к - менее трех. Тогда любая прямая, не принадлежащая множеству М.к, проходит через три
особые точки, ибо она является элементом одноэлементного подмножества множества М всех прямых изоклин. Если бы таких прямых было две, то мы вошли бы в противоречие со следствием 2, согласно которому система имеет не более одного одноэлементного подмножества множества М.
Теорема 15. Пусть система (1) имеет не менее одной особой точки и не менее девяти прямых изоклин. Тогда число особых точек системы (1) равно девяти, если во множестве М нет двух трехэлементных подмножеств М т и М”2, элементы которых -прямые /1”1 и /2”2 (т1 ф т2) параллельны.
Доказательство. Так как система имеет не менее девяти прямых изоклин, то нет двух прямых изоклин, проходящих через одну и ту же особую точку, на которых индуцировано одно и то же направление (см. теорему 12).
По условию нет двух параллельных прямых изоклин /1т1 и /2т2 , на которых индуцированы различные направления. Условия теоремы 11 не выполняются, откуда и следует справедливость утверждения теоремы.
Теорема 16. Пусть не существует двух параллельных прямых изоклин /1 и /2, на которых система (1) индуцирует направления т1 и т2 соответственно, причем т1 ф т2. Тогда эта система не может иметь двенадцать прямых изоклин.
Доказательство. Предположим противное, а именно: система (1) имеет двенадцать прямых изоклин. Тогда множество всех этих прямых состоит из четырех попарно непе-ресекающихся трехэлементных множеств М1, М2, М3, М4. При этом на всех трех
прямых из множества Mi индуцировано направление т1 (т1 ф т}, если I ф У; /, ] е {1, 2, 3, 4} ). Кроме этого, в силу теоремы 15 система (1) имеет девять особых точек. Поэтому каждая прямая изоклина системы (1) проходит через три особые точки, и никакие две прямые изоклины, на которых индуцировано одно и то же направление, не проходят через одну и ту же особую точку.
Таким образом, через каждую особую точку системы (1) проходят четыре прямые изоклины (по одной из множеств М1, М2, М3, М4 ).
Прямые изоклины, принадлежащие каждому из множеств М1, условимся обозначать через /г, /2, /3,1 = 1,4. Рассмотрим две прямые изоклины /4 и /4, которые проходят через особые точки А, В, С и Б, Е, Е соответственно (см. рис. 9 а, б).
Через точку А, кроме прямой /4, проходят три прямые изоклины /1, /12, /13, пересекающие прямую /4 в точках Б, Е, Е соответственно.
Прямые изоклины /2, /2, /23, инцидентные особой точке В, пересекают прямую /24 в точках Е, Е, Б соответственно. Прямая /2 пересекает прямую /1, так как они
принадлежат различным подмножествам М1 и М2 множества М всех прямых изоклин системы (1). Через точку С проходит прямая /33 е М3 , которая пересекает прямую /1 только в точке G (через точку Б уже проходит прямая /2 е М3).
Прямая CG пересекает прямую /4 в точке, отличной от трех особых точек Б, Е, Е . Пришли к противоречию с тем фактом, что любая прямая изоклина системы (1) проходит через три и только три особые точки.
Второй возможный случай взаимного расположения прямых изоклин, инцидентных точке В , при условии, что прямые изоклины, инцидентные точке А , расположены так же, как и на рис. 9 а, изображен на рис. 9 б.
Рис. 9. Конфигурации прямых изоклин /4, /^ и особых точек А, В, С, Б, Е, Е
Как видно из рис. 9 б, через точку покоя С проходит прямая изоклина /33, и она пересекает прямую изоклину /12 только в точке Н.
Но прямая СН пересекает изоклину /2 в точке, отличной от особых точек Д Е, Е. Вновь пришли к противоречию с тем фактом, что прямая изоклина /2 проходит через три и только три особые точки.
В случае, когда точка пересечения прямых изоклин /14 и /24 разделяет хотя бы одну пару особых точек, расположенных на этих двух прямых, рассуждения аналогичны, и они приводят к тому же самому противоречию. Тем самым доказана вышеназванная теорема.
Теорема 17. Если не существует двух параллельных прямых изоклин /1 и /2, на которых система (1) индуцирует направления Г1 и Г2 соответственно, причем ш1 Ф ш2, то число прямых изоклин этой системы не более десяти.
Доказательство. В силу теоремы 16 система (1) имеет менее двенадцати прямых изоклин. Согласно следствию 2 кубичная система дифференциальных уравнений, имеющая не менее девяти прямых изоклин, обладает тем свойством, что множество М всех её прямых изоклин содержит только трехэлементные и одноэлементные попарно непересекающиеся подмножества, причем одноэлементных подмножеств не более одного. Отсюда следует, что система (1) не имеет одиннадцать прямых изоклин и поэтому число прямых изоклин системы (1) не превосходит десяти. Теорема доказана.
Пример 10. Система дифференциальных уравнений
Шх = (у - 3х)(у - 3х - 3)(2у + 3х - 3), = (у + 3х)(у + 3х - 3)(2у - 3х - 3) ,
аі аі
кроме шести главных изоклин, имеет еще три прямые изоклины у = 0, у = 1,5, у = 3, на которых индуцировано направление ш1 = -1, и одну прямую изоклину х = 0, на которой индуцировано направление Г2 = 1 .
Примечания:
1. Ушхо АД. Параллельные прямые изоклины кубичных дифференциальных систем на плоскости // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. «Естественно-математические и технические науки». Вып. 2(49). 2009. С. 16-25. ШЬ: http://vestnik.adygnet.ru
2. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической
// . 2003. № 8. С. 7-21. иКЬ: http://fora.adygnet.ru
3. Любимова РА. Об одном дифференциальном
// -
ференциальные и интегральные уравнения: межвуз. сб. Горький, 1984. С. 66-69.
4. Любимова РА. Об одном дифференциальном
// -
ференциальные и интегральные уравнения: межвуз. сб. Горький, 1977. С. 19-22.
References:
1. Ushkho A.D. Parallel straight-line isoclines of planar cubic differential systems // The Bulletin of the Adyghe State University. Series “Natural-Mathematical and Technical Sciences”. 2009. Iss. 2 (49). P. 16-25. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Ushkho D.S. On straight-line isoclines of cubic differential system // Proceedings of FORA. 2003. No. 8. P. 7-21. URL: http://fora.adygnet.ru
3. Lyubimova R.A. About one differential equation with integral straight lines // Differential and integral equations. The interuniversity Proc. Gorki. 1984. P. 66-69.
4. Lyubimova R.A. About one differential equation with integral straight lines // Differential and integral equations. The interuniversity Proc. Gorki. 1977. P. 19-22.
