CC BY
28
УДК 517.2/.3 ББК 22.161.61 Т 49
Тлячев В.Б.
Доктор физико-матаматических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-08, e-mail: stvb2006@rambler.ru Ушхо А. Д.
- , -
физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 5939-08, e-mail: uschho76@mail.ru Ушхо Д.С.
Кандидат физико-матаматических наук, доцент, зав. кафедрой информатики и вычислительной техники факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-01, e-mail: damirubych@mail.ru
Оценка числа прямых изоклин полиномиальных векторных полей на плоскости
(Рецензирована)
Аннотация
Решается задача оценки числа прямых изоклин автономной дифференциальной системы с полиномиальной правой частью на плоскости. Показано, что если система имеет хотя бы одну особую точку и удовлетворяет условиям: правые части системы - взаимно простые многочлены степени п, правая часть хотя бы одного из уравнений системы содержит однородный многочлен степени меньше п, - то число ее прямых изоклин не превосходит 6п - 5 (п > 2). При этих же условиях доказано, что число инвариантных
прямых системы не превосходит 3п -1 (п > l). Кроме этого, доказаны различные теоремы о числе параллельных прямых изоклин, а также прямых изоклин, инцидентных отдельно взятой особой точке. Ключевые слова: изоклины, полиномиальное векторное поле, особая точка.
Tlyachev V.B.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: stvb2006@rambler.ru Ushkho A.D.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engi-neering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: uschho76@mail.ru Ushkho D.S.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Informatics and Computer Equipment Department of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-01, e-mail: damirubych@mail.ru
Assessment of the number of straight-line isoclines of the polynomial
vector fields on the plane
Abstract
The problem to be solved is to assess the mmber of straight line - isoclines of autonomous differential system with polynomial right part on the plane. It is show/п that if the system has at least one special point and meets the following conditions: the right parts of system are mutually simple polynomials of п degree and, the right part of at least one of the equations of system contains the uniform polynomial of less than n degree, then the number of its straight line-isoclines does not exceed 6n - 5 (n > 2). Under the same conditions, the number of invariant straight line-isoclines of system is proved not to exceed 3n -1 (n > l). Besides, various theorems about the number of parallel straight line-isoclines and straight line-isoclines, incidental to separately taken special point, are proved.
Keywords: isoclines, polynomial vector field, special point.
При изучении поведения траекторий автономной дифференциальной системы
Их п
— = 2 Р (х, у) = Р( х, у),
М і=0
Му = (x, у) = °( x, y),
М 7=0
(1)
где Р (х, у) = ^ агХу°, 0, (X, у) = ^ ЪГХУ*, Ьг*, ага є К, п > 1, определенную роль
г+*=і г+*=і
играют прямые изоклины.
В данной работе решается задача оценки числа прямых изоклин системы (1). Будем говорить, что система (1) удовлетворяет условиям (а), если:
1) ^(РП(х у) + 02 (х у)) = 2п;
2) (Р, 0) = 1;
3) выполняется хотя бы одно из неравенств
п-1
ЦР (х, у)|* 0
і=0
и
(2)
(3)
і=0
Для краткости условимся писать, что на изоклине Ь системы (1) индуцировано направление т, если угловой коэффициент касательных к траекториям системы (1) в точках Ь, отличных от особых точек (1), равен т . Под символом 1тт будем понимать прямую изоклину I., на которой индуцировано направление тт.
Теорема 1. Какие бы п +1 прямых изоклин системы (1) ни взять, среди них найдутся хотя бы две прямые, на которых индуцированы различные направления.
Доказательство. Следуя работе [1], применим к системе (1) преобразование
х = У, У = х + ту, переводящее каждую прямую, на которой индуцировано направление т , в изоклину бесконечности системы:
дХ
0( х у) - тР( х уХ
му=Р( х, у),
(4)
где Р( х, у) = Р( у, х + ту), 0( х, у) = 0(у, х + ту).
Изоклина бесконечности 0(х, у) - тР(х, у) = 0 системы (4) является кривой не выше п -го порядка. Следовательно, эта система имеет не более п прямых изоклин бесконечности, и теорема доказана.
Следствие 1. Дифференциальное уравнение траекторий системы (1) имеет не более п различных интегральных прямых с одним и тем же угловым коэффициентом.
Замечание 1. В статье [2] доказано утверждение 1, являющееся частным случаем теоремы 1 при п = 3 .
Замечание 2. На основании теоремы 1 нетрудно доказать, что система (1), имеющая хотя бы одну особую точку и удовлетворяющая условиям (а), имеет конечное число прямых изоклин.
Теорема 2. Если система (1) имеет хотя бы одну особую точку и удовлетворяет условиям (а), то число ее прямых изоклин не превосходит 6п - 5 (п > 2).
Доказательство. Пусть у = кх + Ь - изоклина системы (1). Тогда выполняется равенство
0( х, кх + Ь) - тР( х, кх + Ь) = 0. (5)
В силу замечания 2 сумма числа прямых изоклин и числа направлений, индуцированных на них системой (1), конечна. Поэтому, не сужая общности, считаем, что координатные оси не являются изоклинами и пересекают все прямые изоклины, но никакие две прямые изоклины не пересекаются на осях координат, т.е. к, т є Я \ {0}. Кроме того, все особые точки (1) расположены в первом квадранте, исключая сами оси координат.
Из (5) при х = 0 получаем равенство
0(0, Ь)
т = ^ у . (6)
Р(0, Ь)
Продифференцируем дважды по х обе части (5):
[0у (х, кх + Ь)Р(0, Ь) - Р'(х, кх + Ь)0(0, Ь)]к + 0х (х, кх + Ь)Р(0, Ь) - Р'(х, кх + Ь)0(0, Ь) = 0, (7)
02 (х, кх + Ь) Р(0, Ь) - Р" (х, кх + Ь)0(0, Ь) + 2[0Ху (х, кх + Ь)Р(0, Ь) - Р" (х, кх + Ь)0(0, Ь)]к +
+ [0'(х,кх + Ь)Р(0,Ь)-Р”г (х,кх + Ь)0(0,Ь)]к2 = 0.
Из (7) и (8) при х = 0 получаем уравнения:
[0 (0, Ь) Р(0, Ь) - Р; (0, Ь)0(0, Ь)]к + 0х (0, Ь) Р(0, Ь) - р: (0, Ь)0(0, Ь) = 0, (9)
0; (0, Ь) Р(0, Ь) - Р''2 (0, Ь)0(0, Ь) + 2[0Ху (0, Ь) Р(0, Ь) - ру (0, Ь)0(0, Ь)]к +
+[02 (0, Ь) Р(0, Ь) - Р- (0, Ь)0(0, Ь)]к2 = 0.
іВ)
il0)
Нетрудно показать, что выражения Q'y (0, Ъ) P(0, Ъ)—P' (0, Ъ)Qi0■ Ъ) и Qy^ (0, Ъ)P(0, Ъ) — P'' (0, h)Q(0, Ъ) являются многочленами степени не выше Зп — З и
Зп — 3 соответственно относительно переменной Ъ . Выразив k из уравнения (9) и подставив в уравнение (l0), получим уравнение степени не выше 6n — 5 . Так как на оси ординат нет точек пересечения прямых изоклин, то число прямых изоклин (l) не превосходит 6n — 5 . Теорема доказана.
Так как инвариантная прямая системы (l) является ее изоклиной, то для оценки сверху числа инвариантных прямых будем рассуждать так же, как и при доказательстве теоремы З.
Пусть у = kx + Ъ - инвариантная прямая системы (l), то есть имеет место равенство
Qi x kx+Ъ). k. (id
P( x, kx + Ъ)
Из (ll) при x = 0 получаем равенство
k = Q(0, Ъ) , k є R\{0}. (із)
P(0, Ъ)
С учетом (із) перепишем уравнение (9) в виде:
qx (0, Ъ) • P 2(0, Ъ)+[Qy (0, Ъ)—Px'(0, Ъ)^(0, Ъ^(0, Ъ)—P' (0, ^Q 2(0, Ъ) = 0. (із)
Уравнение (13) является уравнением степени не выше 3п -1 относительно Ь, следовательно, оно имеет не более 3п -1 корней. Тем самым доказана теорема:
Теорема 3. Число инвариантных прямых системы (1), удовлетворяющей условиям (а) и имеющей хотя бы одну особую точку, не превосходит 3п -1 (п > 1).
Замечание 3. В работе [3] получено уравнении (13) иным способом, а именно с использованием условия равенства нулю кривизны прямой.
Замечание 4. В статье [2] отмечается, что можно доказать утверждение: максимальное число прямых изоклин системы (1) больше максимального числа ее инвариантных прямых, разумеется, при п > 2 . При п = 1 через особую точку системы (1) проходит бесконечное множество прямых изоклин.
Действительно, при п > 2 6п - 5 > 3п -1.
Далее рассмотрим систему
дх ду_
где р (х у) = X аыхку
к+і=і
= Е Р, (X, у) = Р (X, у),
і=г
п
= Ё 0(: у) = 0( х у^
І=*
0(: у) = Е Ь
(14)
к 9
'ЫХ у
а
Ьк(є Я
п > 2, і, і є N.
к+<’=І
Теорема 4. Пусть система (14) удовлетворяет условиям: (Р, 0) = 1,
Рп (х, у)0п (х, у) = 0, и кроме этого, Рг (х, у) = 0, г < * ( 0!і (х, у) = 0, * < г ), тах(г, *) < п . Тогда через особую точку (0,0) системы (14) проходит не более г + п ( * + п ) прямых изоклин.
Доказательство. Рассуждения проведем для случая Рг (х, у) = 0, г < *, так как случай 0* (х, у) = 0, * < п сводится к первому заменой х = у, у = X.
Пусть прямая у = кх - изоклина системы (14). Не уменьшая общности, считаем, что т є Я \ {0}, так как этого можно добиться с помощью преобразования х = ах + /Зу , у = ]Х + ду.
Таким образом, имеет место равенство 0( : кх) = т, из которого следует система
Р (х, кх)
уравнений:
/г (к )т=а
/г+1(к )т=а
/*_#)т=а fs (к )т = gs (к х
(15)
/п-!(к)т = £„-# X
/п (к)т = gn (кX
где / (к) (1 = г, п ) и gj (к) ( ] = 5, п ) - многочлены степеней I и ] соответственно.
В силу условия Рп (х, у) =£ 0 выполняется неравенство /п (к) =£ 0 . Поэтому, исключив т в системе (15), получим:
1г (к) • gя (к) = 0, /г+1 (к) • ^ (к) = 0,
/Лк) • gя (к) = 0,
(16)
Л (к) • gя (к) = gs (к) • /„ (к),
Уравнение /г (к) • gn (к) = 0 не вырождено, следовательно, система (16) имеет не более г + п решений. Это означает, что число прямых изоклин системы (14), инцидентных особой точке (0,0), не превосходит г + п. Теорема доказана.
Следствие 2. Число прямых изоклин (14), инцидентных особой точке (0,0), при выполнении условий теоремы 4 не превосходит 2п -1, причем если г = 5,
| Р (х, у) | +1 Q] (х, у) |= 0, т, ] е г +1, п -1, г и п - числа разной четности, то существует хотя бы одна прямая изоклина системы (14), проходящая через особую точку (0,0).
Действительно, при г = 5 = п -1 из теоремы 4 следует, что число прямых изоклин, инцидентных особой точке (0,0) , не более 2п -1.
Если г = 5, | Р (х, у) | +1 Q] (х, у) |= 0, 1, ] е г +1, п -1, то система (16) вырождается в уравнение
Так как п и г - числа разной четности, то уравнение (18) имеет хотя бы один действительный корень, которому соответствует прямая изоклина системы (14). Если а0гЬоп - а0пЬ0г = 0, то прямая х = 0 - изоклина системы (14). Следствие доказано.
Замечание 5. В статье [4] рассматривалась система
где р, 0, - однородные многочлены степени і = т, п. Для нее доказано, что через особую точку (0,0) проходит хотя бы одна прямая изоклина, если т и п - числа разной четности. При этом, если правые части уравнений системы (19) взаимно просты, то число таких изоклин не превосходит т + п . Таким образом, результат работы [4], приведенный нами, является частным случаем теоремы 4, а именно случаем, когда г = * = т, | Р (х, у) | + | (х, у) |= 0 Уг] є {т +1, т + 2,..., п -1}.
В статьях [1, 5] доказано утверждение о том, что через любую особую точку квадратичной системы проходит хотя бы одна прямая изоклина, и их число не более трех. Оно является следствием теоремы 4 и теоремы, доказанной в работе [4].
Замечание 6. Система (14) может вовсе не иметь ни одной прямой изоклины,
(17)
Их
— = Рт (X, у) + Рп (X, у), ш
^ = От (X у) + Оп (X уХ _ ш
(19)
проходящей через точку (0,0) при выполнении условий теоремы 4.
Пример 1. Не существует ни одной прямой изоклины, инцидентной точке (0,0)
для системы
дх
— = х - 3у + х3 - 7х2у - 38ху2 + 420у3,
Ж
— = х2 -3ху + 2у2 + х3 - 13ху2 - 12у3.
Ж
Действительно, система (16) применительно к данной дифференциальной системе
имеет вид:
|(1 -3к)(1 - 13к2 - 12к3) = 0,
1(1 - 3к + 2к 2)(1 - 7к - 38к2 - 420к3) = 0
(20)
Первое уравнение системы (20) имеет четыре решения, ни одно из которых не удовлетворяет второму уравнению этой системы.
В работе [2] отсутствие прямой изоклины, проходящей через особую точку (0,0) дифференциальной системы, рассмотренной в примере 1, объясняется наличием в правой части хотя бы одного из уравнений системы однородных многочленов степеней только одинаковой четности. Теперь уже очевиден ответ на возникший в [2] вопрос.
Пример 2. Прямые у = 3х, у = -5х, у = 5х, у = - х, у = -10 х являются изоклинами системы
дх
— = -3х2 - 2ху + у2 + (у + 5х)(у - 5х)(у +10х),
Ж
= -3х2 - 2ху + у2 + 4(у + 5х)(у - 5х)(у +10х).
Ж
Пример 3. Система дифференциальных уравнений
Их
Ж
'■—4х — 15ху — 8у + 20х + 36х у + 36ху +16у
— = 5х2 + 15ху + 8у2 - 4х3 - 11х2у - 26ху2 -16у3 _ Ж
имеет пять прямых изоклин, в том числе: х = 0, у = -2х, х = -2у , у = -6х/5,
у = -7х/8. Направления, индуцированные на этих прямых, равны соответственно
7 1 37 2
т = -1, т =—, т = —, т =------, т = —.
1 2 6 3 3 4 64 5 5
Пример 4.
йх
Ж
Му
йі
(у - к1х)(у - к2 х)Х ^(x, у)+П (у - k^x)
і=0 3
: (у - к1 х)(у - к2Х)Е (X, У),
І=3
(21)
і=0
где П к Ф 0, кг= к5, если г = 5 , г, 5 е 1,7, ут (х, у) - однородные многочлены степени
=1
т, у (х, у) =£ 0У/ е {0,1,2,3} . Система (21) имеет семь прямых изоклин, в том числе: у -к5х = 0, 5 = 1,2, у - кх = 0, у = 3,7.
Пример 5.
-X 3 2 8
—=П (у - k.-x)Z f(x у)+П (у - ksx)
T i=0 s=4 (22)
—=П(у- kix)i fi(x y)’
^ —t i=l i=0
8
где fi (x, у) однородные многочлены степени i , fi (x, у) Ф 0 Vi e {0,1,2}, П k=0,
1=1
km= kn, если m = n, m, n e 1,8. Система (22) имеет восемь прямых изоклин, в том числе:
у - kix = 0, i = 1,2,3, у - ksx = 0, s = 4,8.
Замечание 7. Следствие 2 из теоремы 4 в той части, где дается оценка сверху числа прямых изоклин, инцидентных особой точке (0,0) системы (14), может быть доказано другим способом.
Пусть у = kx - прямая изоклина системы (14), тогда выполняется равенство
s m. (23)
P (x, kx)
Так как число прямых изоклин системы (14) конечно, то, выбрав соответствующим образом систему координат, можно добиться выполнения условия m e R \{0}. При этом общность рассуждений не нарушается.
Из (23) следует равенство
(~(1, k)
m = ~ ’ . (24)
P (1, k )
Продифференцируем обе части (23) по x :
[Q~x (x, kx) + Q'v (x, kx)k]P(x, kx) - [P'x (x, kx) + P'(x, kx)k]Q(x, kx) = 0 . (25)
С учетом (24) из (25) получаем уравнение
Q (1, k) P(1, k) - P'y (1, k )Q(1, k )]k - Q~x (1, k) P(1, k) - P' (1, k )Q(1, k) ^ 0. (26)
Выражение Qy (1, k )P (1, k) - P'y (1, k )Q(1, k) является многочленом степени не выше
2n - 2. Следовательно, (26) - уравнение степени не выше 2n -1. Это и означает, что через точку покоя (0,0) системы (14) проходит не более 2n -1 прямых изоклин.
Теорема 5. Если система (1) удовлетворяет условиям теоремы 2, то число ее прямых изоклин, параллельных между собой, не превосходит 2n -1 .
Доказательство. В уравнении (9) считаем, что k - const, тогда (9) является уравнением степени не выше 2n -1 относительно b . Следовательно, это уравнение имеет не более 2n -1 корней, что равносильно наличию у системы (1) не более 2n -1 параллельных между собой прямых изоклин. Теорема доказана.
Замечание 8. Теорема о числе параллельных между собой прямых изоклин кубической системы, доказанная в работе [6], является следствием теоремы 5.
Теорема 6. Если система (1) имеет не менее n + 2 прямых изоклин, параллельных между собой и на этих прямых индуцированы попарно различные направления, то любая прямая изоклина этой системы параллельна указанным прямым.
Доказательство. Пусть l m1, l m2,..., l m++22 - параллельные между собой прямые изо-
клины системы (1), причем ті = т., если і = і, і, і є 1, п + 2. Предположим, что Ь -
прямая изоклина системы (1), пересекающая прямые І г"‘ (і = 1, п + 2). Тогда направление т , индуцированное на прямой Ь, равно разве что одному из чисел т1,т2,...,тп+2.
Приходим к противоречию с тем, что система (1) имеет на прямой не более п особых точек. Теорема доказана.
Следствие 3. Если система (1) при п = 3 имеет пять параллельных между собой прямых изоклин, и на этих прямых индуцированы попарно различные направления, то эта система не имеет прямой изоклины, отличной от пяти параллельных между собой изоклин.
Теорема 7. Пусть система (1) имеет не менее 2п прямых изоклин (п > 2). Тогда среди них не более п + 1 параллельных между собой прямых изоклин, на которых индуцированы попарно различные направления.
Доказательство. Предположим, что система (1) имеет более п +1 параллельных между собой прямых изоклин, на которых индуцированы попарно различные направления. Тогда по теореме 6 система имеет только параллельные между собой прямые изоклины. Но согласно теореме 5 число параллельных между собой прямых изоклин системы (1) не превосходит 2п -1. Пришли к противоречию с тем, что по условию теоремы система имеет более 2п -1 прямых изоклин. Теорема доказана.
Теорема 8. Если система (1) имеет не менее 3п - 2 прямых изоклин ( п > 2 ), в том числе п +1 параллельных между собой прямых 1 т1,122,. ., 1Г++1, где т, = т} при і = і,
і, і є 1, п +1, то нет у системы (1) прямой изоклины Ь такой, что Ь || 1 (і є 1, п +1).
Доказательство. Предположим, что существует прямая изоклина Ь системы (1), где Ь || 1 т (іє 1,п +1), и т - направление, индуцированное на Ь . Тогда т равно одному из чисел т1, т2,..., тп+1, так как в противном случае по теореме 6 все прямые изоклины системы (1) параллельны между собой. Вместе с тем по теореме 5 число таких прямых изоклин не более 2п -1, а по условию теоремы система имеет не менее 3п - 2 прямых изоклин. Таким образом, у системы (1) имеется не менее п -1 прямых изоклин (множество этих прямых обозначим М), пересекающих все прямые изоклины 15”1,122,.., 1 т+11, Ь. Ради определенности положим т = т}, і є {1,2,..., п +1} . По теореме 1
одно и то же направление не может быть индуцировано более чем на п прямых изоклинах. Поэтому во множестве М найдется хотя бы одна прямая изоклина Ь1, на которой индуцировано направление ту = ті. Число ту может быть равно разве что одному из чисел т1,..., ті-1, ті+1,..., тп+1. Пришли к противоречию с тем, что система (1) имеет на прямой не более п особых точек. Теорема доказана.
Лемма. Пусть система (1) имеет две параллельные прямые изоклины и I^2, где т1 = т2. Тогда на каждой из этих прямых изоклин система (1) имеет не более п -1 особых точек.
Доказательство. Подходящим линейным преобразованием (см. [1]) систему (1) можно привести к системе
йх
— = (Дх + Ду + С\) Рп-г( х, у),
М (27)
йу = (А2 х + В 2 у + С 2 )0п-1(X у\ аі
где Рп-1, Qn-1 - многочлены степени п -1, А1В2 - А2В1 = 0, С1 = С2. Здесь прямая I т‘
(1 = 1,2) переведена в изоклину Атх + Вту + Ст = 0 (т = 1,2). Из вида правых частей уравнений системы (27) следует, что на каждой прямой изоклине Атх + Вту + Ст = 0 (т = 1,2) система (27) имеет не более п -1 особых точек. Лемма доказана.
Теорема 9. Пусть М3п-2 - множество, содержащее не менее 3п - 2 прямых изоклин системы (1), Мп-1 с М3п-2, причем Мп-1 содержит ровно п -1 параллельных между собой прямых изоклин, на которых индуцированы попарно различные направления. Если во множестве М3п-2 \Мп-1 имеется только одна прямая изоклина Ь, параллельная
прямым изоклинам множества Мп-1, то направление т, индуцированное на прямой Ь, отлично от направлений т1,т2,...,тп-1, индуцированных на прямых изоклинах множества Мп ,.
п-1
Доказательство. Прежде всего докажем, что во множестве М3п-2 \Мп-1 есть хотя бы одна прямая изоклина, параллельная прямым множества Мп-1 . Предположим, что это не так. Тогда число прямых изоклин системы (1), не принадлежащих множеству Мп-1 , не менее 2п -1 .
п -1
Согласно теореме 1 одно и то же направление может быть индуцировано не более чем на п прямых изоклинах, поэтому каждая прямая из множества Мп-1 пересекает не менее чем п прямых изоклин, на которых индуцированы направления, отличные от т1, т2,..., тп-1. Это противоречит лемме, согласно которой на прямых множества Мп-1 не более п -1 особых точек. Тем и доказано, что существует хотя бы одна прямая изоклина системы (1), принадлежащая множеству М3п-2 \Мп-1 и параллельная прямым из
множества М - .
п-1
Далее предположим, что существует единственная прямая изоклина Ь е М3п-2 \Мп-1, причем Ь параллельна прямым из множества Мп-1. Покажем, что
т = ті, і = 1, п -1. Допустим противное, т.е. т = ті, і є {1,2,3,..., п-1}. С помощью линейного неособенного преобразования [1] прямые Ь и І™1 переведем в изоклину бесконечности, а одну из прямых изоклин множества Мп-1, отличную от 1 т , - в изоклину нуля системы
йх
— = (А1Х + Ду + С1 )(А2Х + В2у + С2 )Рп-2 (X, У),
М (28)
йу = (А3х + В3 у + С3 )Qя-l(X У), йі
где АгВ* - А6Вг = 0, Сг = С*, если г = *, г, * є {1,2,3}.
Из (28) видно, что на прямой А3 х + В3 у + С3 = 0 система (28) имеет не более п - 2 особых точек. С другой стороны, прямые множества Мп-1 и {Ь} пересекают не менее
2п - 2 прямых изоклин. Принимая во внимание теорему 1, приходим к заключению, что прямая изоклина А3 х + В3у + С3 = 0 пересекает не менее п -1 прямых изоклин, на которых индуцированы направления, отличные от направления индуцированного на прямой Ь1: А3 х + В3 у + С3 = 0, т.е. на Ь1 не менее п -1 особых точек. Пришли к противоречию с тем, что на Ь1 система имеет не более п - 2 особых точек. Теорема доказана.
Теорема 10. Пусть М3п-2 - множество, содержащее не менее 3п - 2 прямых изоклин системы (1), Мп-1 с М3п-2, причем Мп-1 содержит ровно п -1 прямых изоклин, параллельных между собой и на которых индуцировано одно и то же направление. Если во множестве М3п-2 \Мп-1 имеется только одна прямая изоклина Ь, параллельная
прямым изоклинам множества Мп-1, то направление т, индуцированное на прямой Ь, равно направлению, индуцированному на всех прямых изоклинах множества Мп-1 .
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Из теорем 9 и 10 следует
Теорема 11. Пусть М3п-2 - множество, содержащее не менее 3п - 2 прямых изоклин системы (1), Мп с М3п-2, причем Мп содержит ровно п параллельных между собой прямых изоклин. Тогда на всех прямых множества Мп либо индуцировано одно и то же направление, либо индуцированы попарно различные направления.
Примечания:
1. Ушхо Д.С., Горних МЛ. Прямые изоклины и канонические формы квадратичной дифференциальной системы на плоскости // Труды ФОРА. 2002. № 7. С. 72-82. URL: http://Ladygnet.ru
2. Тлячев В.Б., Ушхо АД., Ушхо Д.С. К вопросу о прямых изоклинах полиномиальных диффе-
//
Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 1. С. 156-162.
3. Artes J., Grunbaum B., Ilibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
4. Чересиз B.M. Об изоклинах полиномиальных
//
журнал. 1994. Т. 35, № 6. С. 1390-1396.
5. . . // -
маркандского гос. ун-та им. Алишера Навои. Самарканд: изд-во гос. ун-та, 1964. Вып. 144. С. 93-105.
6. Ушхо АД. Параллельные прямые изоклины кубичных дифференциальных систем на плос-
// -го университета. Сер. Естественно-
. 2009.
Вып. 2 (49). С. 16-25.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
References:
1. Ushkho A.D., Gomikh M.I. Straight isoclines and canonical forms of the quadric differential system on the plane // FORA Proceedings. 2002. No. 7. P. 72-82. URL: http://Ladygnet.ru
2. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. On the question of straight isoclines of polynomial differential systems on the plane // The Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2010. No. 1. P. 156-162.
3. Artes J., Grunbaum B., Ilibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
4. Cheresiz V.M. On isoclines of polynomial vector fields // The Siberian mathematical journal. 1994. Vol. 35, No. 6. P. 1390-1396.
5. Shakhova L.V. On straight isoclines // Proceedings of the Samarkand State Un-ty of Alisher Navoi. Samarkand: the State University Publishing house, 1964. Iss. 144. P. 93-105.
6. Ushkho A.D. Parallel straight-line isoclines of planar cubic differential systems // The Bulletin of the Adyghe State University. Series Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2009. Iss. 2 (49). P. 16-25. URL: http://vestnik.adygnet.ru
