CC BY
118
УДК 65.012:519.8
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКАМИ ВОЗДУШНОГО ДВИЖЕНИЯ В РАЙОНЕ АЭРОДРОМА
В.В. БЕЗРЯКОВ, Г.А. КРЫЖАНОВСКИЙ, В.А. СОЛОДУХИН
Обоснована постановка детерминированной задачи управления потоками воздушного движения в районе аэродрома по комплексному показателю эффективности, учитывающему время выполнения взлетно-посадочных операций (пропускную способность) и суммарную задержку воздушных судов (среднюю задержку).
Рассмотрено использование обратной задержки оптимизации для принятия решения об эффективности решения прямой задачи приближенным методом или принятого органом (лицом) управления.
Ключевые слова: оптимизация управления, обобщенная постановка задачи оценки эффективности решений, параметрические исследования.
На всех этапах развития и совершенствования системы управления воздушным движением (СУВД) в центре внимания всегда находятся проблемы организации и реализации процессов управления потоками воздушного движения (УПВД) в районе аэродрома (РА). Качество их решения во многом, если не в основном, определяет эффективность функционирования СУВД в целом, особенно в условиях высокой интенсивности ВД. При этом ключевой становится задача оптимизации очередности взлетно-посадочных операций. Сложность ее решения обусловлена, с одной стороны, тем, что реальные процессы по УПВД происходят в условиях неполной информации о развитии динамической воздушной обстановки (ДВО), что практически исключает возможность получения точных, оптимальных в каком-либо смысле решений. С другой стороны, считается общеизвестной вычислительная сложность задач этого класса, что делает невозможным решение задачи в реальном масштабе времени даже для полностью определенных (детерминированных) постановок.
Однако при этом нельзя согласиться с недостаточно или совсем необоснованными высказываниями: о бесперспективности и, следовательно, нецелесообразности разработки точных методов решения задач УПВД в детерминированной постановке; о практической полезности только эвристических приближенных методов решения, или тех или иных способов совершенствования технологии УПВД, основанных на результатах имитационного моделирования и статистических оценках, а также их экспертной оценки; о достижении приемлемой для практики точности решений. Во всех этих случаях открытым остается вопрос о фактически достигнутой точности, которую нельзя корректно оценить, не зная точного, оптимального (не говоря уже о принципе оптимальности) для конкретных исходных данных решения задачи.
В [1] рассмотрена постановка обобщенной задачи планирования и управления потоками воздушного движения (ПУПВД). Применительно к задаче управления в районе аэродрома (РА) она определяется следующими данными: 1р = {г = 1,..., М} - множество воздушных судов (ВС);
тг = {тц,} = 1,...,ш;} - множество вариантов допустимых маршрутов (схем в РА) полета г -го ВС; Т0г - время начала диспетчерского обслуживания (вылета, входа в зону УВД) по плану воздушного движения; 1к = {б = 1,...,К}- множество точек (элементов воздушного пространства) с установленными минимально-допустимыми интервалами обслуживания (МДИ)
1Г -1; >8ГЧ V1Г - 1; >8;(в етГ п^), (1)
* б
где тг е тг- маршрут полета, устанавливаемый в результате решения задачи; 1;г - время пролета г - м ВС б - й точки; 8^, 8^г- значения МДИ, в общем случае неодинаковые.
При фиксированных бесконфликтных схемах ВД в РА мощность множеств |ir, r = 1,..N и Ik формально определяется количеством взлетно-посадочных полос (ВПП). Представляется очевидным, что в первую очередь практический интерес представляют задачи УПВД для одной ВПП (K=1) при высокой интенсивности ВД.
Для каждого ВС можно определить значения задержек Ar, формируемых в системе УВД для обеспечения условий безопасности (1)
Ar = tr - tor ^ 0, (2)
где to - минимальное возможное значение времени начала выполнения взлетно-посадочной операции.
Значения задержек уровнем профессионального мастерства диспетчера УВД определяются организационно-структурными параметрами зоны УВД и техническими характеристиками ВС. При этом на значение задержки может быть установлено ограничение, связанное, например, с учетом остатка топлива или приоритета обслуживания
A r < A r. (3)
Также как в [2] введем дополнительные переменные zrq,zqr е {0,1} и заменим условия (1)
эквивалентной им системой линейных ограничений
t — t > 5 — Mz , t — t > 5 — Mz , z + z = 1, M >> 0 (4)
r q rq rq q r qr qr rq qr
Теперь можно сформулировать задачу оптимизации УПВД по критерию минимизации
суммарной задержки, которая при фиксированном значении N эквивалентна минимизации
средней задержки
N
J1 = min £ Ar (5)
r=1
при ограничениях (2) - (4).
Один из возможных методов решения задачи рассмотрен в [2].
Введем в рассмотрение переменные у- е {0,1}, i, j = 1,...,n, принимающие значения yij = 1,
если на i - м месте обслуживается j - й объект, и yij = 0 в противном случае. Пусть C - nxn мат-
рица, Crq = 5rq ; r ф q; c„. = 0; r, q = 1,.,N.
Предположим, что любое ВС может быть обслужено первым. Тогда можно поставить задачу оптимизации очередности обслуживания по критерию “максимальная пропускная способность ВПП”, которая при фиксированном значении N эквивалентна минимизации времени занятости ВПП. Эту задачу можно рассматривать в виде квадратичной задачи о назначениях [3]
N—1
J2 = min £ yTCyi+1 (6)
уе{0,1} i=1
при ограничениях
NN
£ yij = 1,i = 1,...,N; £ yij = 1, j = 1,...,N . (7)
j=1 i=1
Для решения задачи (6), (7) можно использовать как прямые методы, специально разработанные для решения квадратичной задачи о назначениях, так и возможно более эффективные алгоритмы, которые применяются к эквивалентной задаче о покрытии [3].
Нетрудно убедиться, что решение задачи (6), (7), которая связывается с минимизацией суммарного времени выполнения взлетно-посадочных операций, в общем случае не совпадает с решением задачи (2) - (5), которая связывается с минимизацией суммарной задержки.
Это следует из анализа зависимости вклада длительности обслуживания ВС на i - м месте 5i,i+1 в суммарную задержку от порядка обслуживания
N—1 N —1
A впп = £ (N — i)yTCyi+1 = £ (N — 1 )5i,i+1. i=1 i=1
Кроме того, значения задержек Дг могут быть определены только после решения задачи (6), (7),
а учет ограничений (3) затруднителен. По аналогии, для задачи (2) - (5) только после ее решения можно рассчитать значение ДВпп.
Таким образом, решение рассмотренных задач позволяет сделать вывод о достижимой эффективности только по одному из показателей 11 или 12. При этом понятно, что к совпадению решений следует относиться как к частному “вырожденному” случаю исходных данных постановки задачи. В связи с этим возникает вопрос о возможности постановки такой задачи, которая позволяла бы проводить исследования эффективности решений одновременно по частным показателям 11, 12 и/или по комплексному показателю = Р(11,12) .
Определим номер места в очереди, на котором обслуживается ] - е ВС
N
Р ] = 11Уу (8)
1=1
Из выражений (4) имеем ъ = 1, если рч < рг (^ < 1;г), ъ = 0 в противоположном случае,
то есть если Уу е {0,1} значения переменных ъ определяются однозначно. Оказывается, что
такое соответствие может быть описано с помощью системы линейных равенств и неравенств. При этом требования целочисленности на переменные не накладываются.
Покажем, что значения переменных ъ определяются путём решения системы вида
N N
X ъчг = N-рч,я = 1,...,^ X 2яг =Рг - 1,г = 1,...^ (9)
г=1,г ^ q=1,q^г
0 < < 1 (10)
Очевидно, что при произвольной очерёдности обслуживания путём изменения нумерации ВС можно добиться, что
Р8 = 8,8 = 1,...,N (11)
Поэтому без нарушения общности рассмотрения будем считать, что это условие выполнено. Вместо условий (9) получаем
N
X ^ = 1,...^ (12)
Г=1,Г^
N
X ^г = q-1, q=и.^ (13)
q=1,q^г
Из первого уравнения (12), учитывая (10), получаем единственное решение ъ1г = 1,г = 2,..., N . Из первого уравнения (13) аналогично получаем = 0, q = 2,.. ,,К
Отбрасывая рассмотренные уравнения и учитывая найденные значения переменных, приходим к системе вида (12), (13) для определения ъ ^, г =2,...,№). Рассуждая аналогично предыдущему, последовательно находим ъ2г=1, г = 3,...,^ zq2 = 0, q = 3,...,^ и т.д. Очевидно, что определённые таким образом значения переменных ъ единственны и с учётом условия (11)
удовлетворяют условиям (4).
Объединение множеств условий (2) - (4), (7) и (8) - (9) с учетом (1) образует агрегированную математическую модель множества допустимых решений, которое согласованно по допустимым решениям для рассмотренных частных задач и позволяет адекватно отразить все основные факторы, учитываемые при УПВД [4].
Таким образом, обеспечивается возможность исследования эффективности решения у *, полученного приближенными методами или принятого ЛПР, не только по локальным, но и по
комплексным показателям эффективности. Среди них в первую очередь можно выделить пока-
p p
затель вида JS = X apJp, X ар = 1, ар - 0,p = 1,.,P - 2.
p=i p=1
Понятно, что граничными эффективными являются решения
;^p = argminJp, ap = 1,p =1,...,P. Поэтому, если у Ф У1,..., у р центральным становится вопрос:
^ * ф
существуют ли такие значения ap, что у = arg min JS ? При положительном ответе на этот вопрос выбранное решение эффективно по показателю J£ и значения ap могут быть найдены путем решения обратной задачи оптимизации (ОЗО). Некоторые теоретические, методологические и прикладные аспекты ОЗО, в том числе и решения ОЗО для задач (2) - (5) и (6), (7) рассмотрены в [2, 3, 5, 6].
В случае, когда P = 2, а показатели эффективности определяются выражениями (5), (6), решение ОЗО можно найти путем параметрического исследования решений задачи
N
mln{J2 I J1 = XDr £ (1 -a)J1(y2) + аМу*)Л -a- 0} (14)
r=1
при условиях (2) - (4), (7) - (9).
В результате можно определить последовательности значений параметра as (a1 = 1) и соответствующих им решений уs, оптимальных на интервале (as, as+1), и может быть сделан вывод либо об эффективности решения у * (если у е (у 1,..., у s,...}), либо о необходимости уточнения принципа оптимальности. В последнем случае, а также при P > 2 общее решение ОЗО для рассматриваемой задачи неизвестно.
Сложность получения решений ОЗО обусловлена тем, что значения МДИ в агрегированной модели являются одновременно параметрами целевой функции (6) и ограничений (4). Это при попытках непосредственного использования результатов [2,3,5,6] приводит к необходимости формализации условий существования решений нелинейных систем. Разработка метода решения такой ОЗО позволит перейти к анализу эффективности и устойчивости принятых решений в процессе УПВД в условиях не полностью определенных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Солодухин В.А. Задачи оптимизации процессов планирования и управления потоками воздушного движения // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 139. - С.85 - 90.
2. Крыжановский Г.А., Солодухин В.А. Проблемно-ориентированные методы решения прямой и обратной задач принятия рациональных решений в эргатических системах // Авиакосмическое приборостроение. - 2003. - № 8. - C. 47 - 53.
3. Крыжановский Г.А., Солодухин В.А. Интеллектуальные транспортные системы и обратные задачи оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2011. - № 1. - С.21 - 24.
4. Алешин В.И., Алешин А.В., Бабаев Н.В., Крыжановский Г.А. Задача математического моделирования процессов управления потоками прилетающих и вылетающих воздушных судов при управлении воздушным движением // Проблемы летной эксплуатации и безопасность полетов: межвуз. сб. научн. тр. - СПбГУ ГА, 2010. - Вып. IV. - С.88 - 92.
5. Солодухин В. А. Обоснование решений в автоматизированной системе поддержки деятельности диспетчера по управлению воздушным движением и обратная задача линейного программирования // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 11. - С. 47 - 53.
6. Крыжановский Г.А., Солодухин В.А. Методологические и прикладные аспекты обратной задачи оптимизации в процессах принятия решений при управлении воздушным движением // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - № 11. - С. 54 - 60.
DIRECT AND INVERSE PROBLEMS OF OPTIMIZATION CONTROL TRAFFIC AIR FLOW IN THE TERMINAL AREA
Bezryakov V.V., Kryzhanovski G.A., Solodukhin V.A.
Raising of the determined task of air traffic flow management in an airport area on the complex index of efficiency, to taking into account time of implementation of take-off and landing operations (air space capacity) and total delay of aircraft (average delay). The use of reverse delay of optimization is considered for a decision-making on the efficiency of direct task resolving or control action realized by a control unit.
Key words: control optimization, generalized statement of the problem of estimating the effectiveness of solutions, parametric study.
Сведения об авторах
Безряков Виталий Васильевич, 1967 г.р., окончил ОЛАГА (1992), старший преподаватель кафедры УВД МГТУ ГА, автор 2 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование технических систем, теория оптимизации и исследование операций.
Крыжановский Георгий Алексеевич, 1934 г.р., окончил Ленинградский кораблестроительный институт (1958), доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, заведующий кафедрой организации и управления в транспортных системах СПбГУ ГА, автор более 200 научных работ, область научных интересов - процессы принятия решений, управление знаниями в теории транспортных систем.
Солодухин Виктор Александрович, 1943 г.р., окончил ЛИТМО (1969), старший научный сотрудник, кандидат технических наук, профессор кафедры организации и управления в транспортных системах СПбГУ ГА, автор более 90 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование технических систем, теория оптимизации и исследование операций.
