Прямой метод и алгоритм построения сплайнов третьего порядка в задачах управления работой приводов движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Литература

1. Бодров A.C. Автореферат диссертации «Технология ремонтного окрашивания сельскохозяйственных машин порошковыми красками» на соискание учёной степени кандидата технических наук, Москва 2007.

Прямой метод и алгоритм построения сплайнов третьего порядка в задачах управления работой приводов движения

д.т.н. проф. Гданский Н. И., доц. к.т.н. Карпов A.B., асп. Бугаенко A.A.

Университет машиностроения, РГСУ 8(905) 7658738, al-kp@mail. ru

Аннотация. При использовании предсказания в управлении вращательным движением возникает необходимость построения дважды гладкой траектории, проходящей через ранее измеренные ее узловые точки. В качестве кусочно-полиномиальной кривой, обеспечивающей требуемую гладкость, рассмотрены интерполяционные кубические сплайны, которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в узлах с гладкостью степени 2. При наложении дополнительных краевых условий данные сплайны минимизируют ее суммарную кривизну.

Ключевые слова: интерполяционные сплайны, задачи управления, алгоритмы прогнозирования, кинематические характеристики, сплайны Эрмита.

Введение

Основным путем повышения эффективности оборудования является автоматизация основных и вспомогательных производственных операций. Выполнение последних, как правило, сопровождается недетерминированным изменением внешней нагрузки на приводах. В работе [1] на наборе эталонных кривых произведен сравнительный анализ эффективности методов интерполирования траектории перемещения в задаче управления приводами с прогнозированием внешней нагрузки. Результаты показали, что наилучшим методом интерполирования в задачах управления приводом движения является интерполирование сплайнами Фергюссона. Рациональным шагом является проведение дополнительного исследования на предмет возможности модификации метода с целью снижения вычислительных затрат и увеличения точности.

В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки M = M (t, ф (t)), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов Mk, имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени t и углу поворота вала ф, мгновенную величину M (t, Ф (t)) в общем случае можно представить в виде скалярного произведения M(t, ф^)) = (Mk, фk(t)), в котором вектор фk(t) называемый вектором кинематических характеристик, соответствующим модели Mk, зависит только от t и производных ф по t, имеющих порядок от первого до k - порядка модели Mk.

При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа A, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления T. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [ti, ti+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле:

ti+i _

At (t) = \(Мk ^ (t ))p'(t )dt. (1)

ti

Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология

входят только производные ф по 7, порядков от 1 до к. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка М2 максимальный порядок производных ф по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость ф (7) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам.

Допустим, задан упорядоченный массив узлов Р/ = (7г, фг) (/ = 0, ..., п), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [2, 3], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках 71, ..., 7п-1 (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия ф"(70) = ф"(7п) = 0, то он будет минимизировать функционал

J (ф(7)) = | ф"(7 )|2 &,

который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном.

Рассмотрим глобальную переменную 7. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно 7, накладываемых на кубические параболы {Б/ (7), /=1,2,...,п}, имеет вид:

а) ф (7) = (7) при 7/-1 < 7 < / =1, 2, ..., п. - условие кусочности ф (7);

б) Б / (7г-1) = Р/-1; Б / (7г) = Р,, / = 1, 2, ..., п - условия прохождения сплайна Б / (7) через заданные узлы ломаной Р/-1 и Р;

в) Б' (7/) = Б1+1 '(7г.), / = 1, ..., п-1 - гладкость порядка 1 во внутренних узлах;

г) Б"(7.) = Б+1''(7/), /=1, ..., п-1 - гладкость порядка 2 во внутренних узлах;

д) Б1"(70) = Бп"(7п) = 0 - краевые условия в начальном и конечном узлах. (2)

Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам 7, в которых помимо значений Б/ (7.) заданы также величины первых производных Б/(7). Поскольку в исходной задаче значения первых производных Б/(7г) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальной упрощенной модификации метода Гаусса - метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются:

1) расчет коэффициентов матрицы,

2) прямая прогонка,

3) обратная прогонка.

Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении п сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1 - 3 таблицы 1): сложений 9п-3, умножений 8п-3, делений 4п-2.

Существенной особенностью данного метода является то, что:

1) независимой переменной каждого сплайна Б / является нормированная на отрезке [7г-1; 7,] локальная переменная х, = (7 - 7/-1)/Н, где И/ =( 7/ - 7г-1),

2) результирующие сплайны Б/ имеют вид полиномов Эрмита.

При каждом расчете значений сплайна Б/ переход 1) от глобальной переменной 7 к локальной х, при однократном расчете длин отрезков требуется выполнение одного вычитания

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология

и одного деления.

Таблица 1

Расчет минимального числа расчетных операций при построении п сплайнов

Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления

1.Расчет коэффициентов матрицы 5п-2 4п-2 (п-1)

2. Прямая прогонка 3п-1 3п-1 3п-2

3. Обратная прогонка п п 1

4а. Переход к каноническому виду по т, 5п 5п 0

46. Переход к каноническому виду по t 19п 28п 2п

ИТОГО при переходе к каноническому 14п-3 13п-3 4п-2

виду по и,

ИТОГО при переходе к каноническому 28п-3 36п-3 6п-2

виду по X

Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки, и при большом числе расчетов значений сплайна Б. необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной т.. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении п сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п.4а таблицы 1): сложений 5п, умножений 5п.

Таким образом, для построения п сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных т., необходимо затратить (сумма пп.1 - 4а таблицы 1): сложений 14п-3, умножений 13п-3, делений 4п-2.

Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты {С1, С2, С3} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент Со не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных т., к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п.4б таблицы 1). В сумме для построения п сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп.1 - 3 и 46 таблицы 1): сложений 28п-3, умножений 36п-3, делений 6п-2.

Постановка задачи

Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов Со. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным.

Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную т = t -

Постановка задачи. На плоскости тОф задан набор из (п +1) точки вида Р. = (ф., т.), ' = 0 ,..., п. Рассмотрим на отрезках [р._1;Р. ] кубические сплайны:

Б. (т) = Со' + С/ т + С2 т2/2 + С3 т3/3,' = 1, п. (3)

Необходимо найти коэффициенты {С/, С2', С3'} всех сплайнов {Б. (т)} (' = 1, ..., п) из условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях:

й"(0) = 0; Бп"(Тп) = 0. (4)

Поскольку свободные коэффициенты С0' сплайнов {Б. (т)} не требуется определять, рассматриваем вместо Б. (т) их первые производные, которые являются квадратными параболами вида:

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология

/Дт) = (Б (т)У = С1г + С2 т + Сэг т2. (5)

Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов Б, (т), зависящих от глобальной переменной т, сведено к полному расчету коэффициентов {С/, С2', Сз', , = 1, ..., п} соответствующих им квадратных парабол {/'(т)} (5).

Прямой метод частичного решения задачи интерполирования

Для решения задачи полного расчета коэффициентов {С/, С2', Сз', ' = 1, ..., п} квадратных парабол {/'(т)}, зависящих от глобальной переменной т, предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым.

Для определённости параболу /х(т) будем называть начальной, параболы /2(т) - /п-1(т) - внутренними, /п(т) - конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход.

Прямой ход

Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы /'(т) (' = 1, ..., п-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент С3'+1 следующей за ней параболы /'+1(т), а свободный С1' и линейный С2' коэффициенты параболы В'(т) выражаются С3':

Сз' = Аз' Сз'+1 + Вз';

С' = А1 Сз' + В1;

С2' = А2 ' Сз' + В2 '. (6)

Отдельно рассмотрим начальную параболу /х(т), внутренние параболы /2(т) - /п-1(т) и конечную /п(т).

1. /х(т). Из условия ¿У'(0) = 0 следует: (/х(0))' = С21+Сз1-0 = 0. Отсюда получаем: С21 = 0. При этом для коэффициента

С21: А21 = В21 = 0. (7)

Из условий прохождения сплайна ^(т) через точки Р0 = (ф0, т0 = 0) и Р1 = (ф1, т1) следу-

Б1 (ю= 0) = С01 = Ф0; (ц) = С01+ С11 Т1 + С21 Т12/2 + Сз1 Т13/3 = Ф1 .

Вычтем из второго соотношения первое с учетом С21 = 0:

С1Ч1 + Сз1 Т1з/з = Аф1, где Дф1 = ф1 - ф0.

Из этого равенства выразим линейную зависимость С11 (Сз1):

С11 = Дф1 /ц - Сз1 Т12/з = А11 Сз1 + В11; А11 = -ц2 /з; В11 = ДФ1 /ц. (8)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С11 и С21 начальной параболы через старший Сз1 следующие:

А11 = -ц2 /з В11 = ДФ1/Т1

А21 = 0 В21 = 0. (9)

Выражение (6) для старшего коэффициента Сз1 у начальной параболы определяется при анализе параболы /2(т).

2. Рассмотрим внутренние параболы /'(т), г = 2, ., п -1.

К началу их анализа для предыдущей параболы /'-1(т) известны линейные зависимости:

С1'-1 = А1'-1 Сз'-1 + В1'-1;

С2'-1 = А2'-1 Сз'-1 + В2'-1. (10)

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Подставим формулы парабол В'-1 (т) и / (т) в условия гладкости второй степени в узле

т = Т'_1 для сплайнов 8-1 (т) и 8 (т) (^'(тм) = 8/(^-1); ^"(т^) = ^'(т^)):

С1'-1 + С2'-1 Т'_1 + Сз'-1 Т'_12 = С1' + С2 Т'-1 + Сз' Т'_12;

С/-1 Ъ '- 1 __' I '

2 + 2Сз ^М = С2 + 2Сз

Умножая обе части второго соотношения на (-Тм), складываем его с первым. При этом

получим систему уравнений более простого вида:

1-1/^ '-1 2 _ 1/^1 2

С1 - Сз Т'-1 = С1 - Сз Т'-1 ;

С2'-1 + 2Сз'-1 Т'-1 = С2 + 2Сз' Т'-1.

Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10): (А1'-1 - Т'-12)Сз'-1 + В1'-1 = С1' - Сз' Т'-12; (А2'-1 +2Т'-1) Сз'-1 + В2"1 = С2' + 2Сз' Т'-1. (11)

Из условий Si (Т'-1) = ф'-1; Si (т;) = ф; получим уравнение:

С1' + С2'(Т'-1 + Т') /2 + Сз'(Т'-12 + Т'-1Т' + т2) /з = Дф' / Дтъ (12)

где Дф ' = Дф ' - ф '-1, Дт ' = %' - т'-1.

Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (т+ т') /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты Сз'-1 и Сз':

(А1'-1 - т'-12)Сз'-1 + В1'-1 + (А2'-1 + 2т'-1) Сз'-1(т '-1 + т') /2 + В2'-1(х-1 + т) / 2 + Сз'(т '-12 + тыт' + т 2) /з = Дф ' / Дт ' - Сз' т '-12 + 2Сз 'х '-1 (т '-1 + т ') / 2.

Преобразуя его, выразим Сз'-1 через Сз': Сз'-1 [А1'-1 + А2 '-1(т '-1 + т ') /2 + т '-1Х ] = Сз'[-(т '-12 + т мт ' + т 2) /з + т мт '] + Дф ' / Дт '-1 - В1'-1 - ^2 '-1(т '-1 + т ')/2;

Сз'-1 = Аз'-1 Сз' +Вз'-1; где Т(')кв =т'2; Аз'-1 = - Дт0кв / (зЯ); Вз'-1 = (Дф ' / Дт ' - В1Л - Я2М т/К;

т 'ср = (т '-1 + т ') /2 ; Р = А1'-1 + А2'-1т 'ср + т ^т, (1з)

После подстановки (1з) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости С1'(Сз') и С2'(Сз'):

С1' = (А1'-1 - т '-12)Сз'-1 + В1"1 +Сз' х'-12 = (А1'-1 - т'-12)(Аз'-1 Сз'-1 + Вз'-1) + В1-1 +Сз' х 1Л2 = А1 Сз + В1 ,

где Р = А1'-1 - Т('-1)КВ; А1' = Аз'-1 Р + т^; В/ = Вз'-1 Р + Я^-1;

С2' = (А2'-1 +2т '-1) Сз'-1+ В2"1 - 2Сз' т '-1 = (А2'-1 +2т '-1) (Аз'-1 Сз'-1 + Вз'-1)+ В2-1 - 2Сз' т '-1 =А2' Сз' + В2; где

Т('-1)У2 =2т'-1; О' = А2'-1 + Т('-1)У2; А2 ' = Аз'-1 О' - Т('-1)У2; В2 = Вз'- О' + ^ . (14)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С\ и С2' и старшего коэффициента Сз'-1 параболы В'-1 через старший коэффициент Сз' параболы / следующие: Х('-1)кв=Х('-1) 2; Т(')КВ =т¿2; т¿ер = (т¿-1 + т¿) /2 ; Дф ' = Дф ' - ф¿-1, Дт ' = т ' - т¿-1;

-К = А1'-1 + А2'-1т '0р + т '-1Т '■; Р = А1'-1 - Т('-1)КВ; Х( '-1)У2 =2т '-1; О1 = А2'-1 + Т( м^;

Аз'-1 = - Дт( 1)кв / (зЛ); Вз'-1 = (Дф ' / Дт ' - В1'-1 - ^2 '-1 т ^р) /К; (15)

А1 = Аз''1 Р + Тс-1)КВ; В1 = Вз'-1 Р' + В1"1;

А2 = Аз'-1 О' - тс-1)У2; В2 = Вз'-1 О' + ^2 '-1.

з. Конечная парабола Вп(т).

К началу ее анализа для предыдущей параболы Вп-1(т) известны зависимости:

СГ-1 = АГ-1Сзп-1 + В1п-1; (16)

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология

/ ■ п-1 _ ( п-1 ^ п-1 ! Г) п-1

С 2 = А 2 С3 + ^2 .

Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле т = т п-1 для сплайнов Бп-1(т) и Б„(т) (Б и-1'(ти -1) = Б„'(т„ -1); Б и-1"(ти -1) = Б„"(х„ -1)) получим:

П п-1 _1_ П п-1 _ _1_ П п-1 _ 2 _ ^ п,,-,п , ^ п 2.

С1 + С2 Т п-1 + С3 Т п -1 = С1 + С2 Т п -1 + С3 Т п-1;

С2п-1 + 2С3 п-1 п-1 = С2п + 2С3п п -1.

Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-тп-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида:

п-1 п-1 2 _ п п 2

С1 - С3 Т п -1 = С1 - С3 Т п-1 ;

С2п-1 + 2С3п-1

п -1 = С2п + 2С3п п -1.

Подставим в уравнения системы зависимости (16):

(А1п-1 - тп -12)С3п-1 + V-1 = С1п - С" тп-12;

(А2п-1 + 2тп -1)С3п-1 + В2п-1 = С2п + 2С3п Т п -1.

(17)

Аналогично из условий ^(Тп-О Ф п -1; Бп(Тп ) фп получим уравнение: С1п + С2п(Тп -1 + т п )/ 2 + С3п(Тп -12 + т п -1 т п + т п 2)/ 3 = Аф п / Дт п, (18)

где Дф п = Дфп - ф п -1, Дт п = 1 п - 1 п -1.

Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение:

С2п + 2С3п Тп = 0. (19)

Четыре уравнения системы (17) - (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: С

3

С1п; С2п; С3п. Найдем их величины. Выразим из (17) С2п (С3п):

С2п = А3п С3п + В3п,

где

А3п = 2тп; В3п = 0. (20)

Полученное выражение подставим во второе выражение (17) и найдем зависимость С3п

-1 (С3п):

(А2 п -1 + 2тп -1)С3п -1 + В2 п -1 = - 2С3 п Хп + 2С3 п хп -1;

п -1 п -1 п п -1

С3 = А 3 С3 + В3 ,

где

А3п -1 = - 2Дтп / (А2 п-1 + 2тп -1); В3 п -1 = - ^2 п -1 / (А2 п-1 + 2т п -1). (21)

Подставляя данную зависимость в первое уравнение (17), найдем из него выражение для С1п (С3п):

(А1п -1 - т п -12)[-(2ДТ п С3 п + В2 п -1)/(А2 п -1 + 2тп -1)] + В1п -1 = С1п - С3 п х п -12; С1п = А1п С3п + В1 п, где

А1 п = [-2Дтп (А1 п -1 - Тп-12)/(А2 п -1 + 2т п -1) + т п -12];

(22)

В1п =В2 п -1 (А1п -1 - Тп -12)/(А2 п -1 + 2тп -1)+В1п -1.

Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (18), найдем из него выражение для коэффициента С3п:

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология +2х„ -1) + Вхп -1 - 2Сз п х„(х„ -1 + Хп)1 2 + Сз "(т„ -12 + т„ -1 т„ + х„ 2)/ 3 = Аф„ / Ат„;

(23)

Сз п =[АФп/Атп-52 п -1(АГ -1 - Тп -12)/(А2 п -1 + 2тп-1)-5Г -1]/[-2Дт „(Ах -1-т п лШг п -1+ +2тп -1)-2Атп (2тп -1+тп)/3].

Таким образом, для конечной параболы Оп(х) величина старшего коэффициента С3п определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23).

Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {С1п; С2п; С3 п}и значения старшего коэффициента С3п-1 параболы Бп -1(т):

С3 п =[Афп/Атп-52 п -1 Е п -В"-1]/[Р п( Е п+(0 п+Тп)/3]; где Т(п-1)КВ=Тп -12; О п=2хп-1; Нп=1/(А2 п-1+О п); Е п=(А1п -1-т (п-1)КВ)Н п; Р п =-2Дт п;

С1п = [р пЕ п + т (п -1)КВ] С3 п + В2 п -1Е п +В1п -1; (24)

С2 = (- 2тп) А3п С3п;

С п -1_р п н п С п В п -1НН п

Обратный ход.

Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Э'(х), ' = п-1,.,.,1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу.

Для каждой параболы О'(х) (¿=п-1,...,1) по уже рассчитанному значению старшего коэффициента С3г+1 параболы Э1+1(х) по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент С3' , а по нему - младшие С1' и С2'.

Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости

Начальные данные: координаты точек р = (ф;, xi), ('' = 0, ..., п), Хо = 0.

Необходимо определить: массивы коэффициенты {С/, С2', С3'} набора сплайнов {Б (т)} ('' = 1, ..., п), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: Бо'(0) = 0; Б -Г(0 = 0.

Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{А3'}, {53'}, {А^}, {В11}, {А2''}, {52/}, в которых номера элементов изменяются от 1 до п -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени х, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их:

Т(')кв =т2; 1, ...,п . (25)

Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов А11, В11, А21, В2 для начальной

параболы ^(т). Из (9) следует: А11 = -Т(1)КВ / 3; В1 = (ф1 - Ф0)/ц; А21 = ^ = 0. (26)

Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам (' = 1, ..., п -1). Расчет вспомогательных коэффициентов А1', В1', А2', В2' для внутренней параболы О'(х), а также коэффициентов А3'-1, В3''1 для параболы 0''1(х) выполняем по формулам (15): Т'Ср = (Т'-1 + X') /2 ; Дф' = Дф' - ф'_1, АХ' = X' - т^; К = А1'-1 + А2лХ'Ср + т^Х'-;

Р = А1'1 - Т('_1)КВ; Х('_1)у2 =2Т'_1; О' = А2'1 + Т('_1)У2; А3'-1 = - ДТ(')КВ / (3Я); В3"1 = (Дф' / Ах, - В1"1 - В2"1 Т'Ср) /К; (27)

А1' = А3'-1 Р + Т('_1)КВ; В1' = В3'-1 Р + В\Л; А2' = А3'-1 О' - Т('_1)У2; В2 = В3'-1 О' + В2'-1.

Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов С3п, С1п, С2п, С3 п-1 выполняем по формулам