Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки

д.т.н. проф. Н. И. Гданский, доц. к.т.н. А.В. Карпов, асп. А.А. Бугаенко

1. Введение

В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки М = М (¿, ф (0), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов Мк, имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени I и углу поворота вала ф, мгновенную величину М (¿, ф (ф в общем случае можно представить в виде скалярного произведения М ф(* )) = (мк>фк (* в котором вектор фк () называемый вектором кинематических

характеристик, соответствующим модели Мк, зависит только от t и производных ф по t, имеющих порядок от первого до к - порядка модели Мк.

При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа А, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления Т. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [¿¿, ^+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле:

*/+1

Д(0 = | (Мк ,фк (1))ф'№. (1)

Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них входят только производные ф по t, порядков от 1 до к. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка М2 максимальный порядок производных ф по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость ф (/) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам.

Допустим, задан упорядоченный массив узлов Рг = (^-, фг) (/ = 0, ..., п), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [1, 2], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках t1, ..., ^ (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия ф"(^) = ф”(^) = 0, то он будет минимизировать функционал

*п

■> (ф(* )) = ||ф"(* )|2 <*,

*0

который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном.

Рассмотрим глобальную переменную t. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно t, накладываемых на кубические параболы {& (0, /’=1,2,...,п}, имеет вид:

а) ф (/) = (/) при ^ < t < Ц / =1, 2, ., п. - условие кусочности ф (^;

б) (и^) = Рг-1; (^) = Рг, / =1, 2, ..., п - условия прохождения сплайна (С) через

заданные узлы ломаной Рг-1 и Рг;

в) £т '(* ) = £т+1 '(^ ), / = 1, ., п-1 - гладкость порядка 1 во внутренних узлах;

г) £т'' (^ ) = £т+1" (* ), /=1, ., п-1 - гладкость порядка 2 во внутренних узлах;

д) ¿1 ' (t0) = ¿п'' (tn) = 0 - краевые условия в начальном и конечном узлах. (2)

Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам t/, в которых помимо значений (^) заданы также величины первых производных '(^). Поскольку в исходной задаче значения первых производных '(^) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальную упрощенной модификации метода Гаусса -метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются:

1) расчет коэффициентов матрицы,

2) прямая прогонка,

3) обратная прогонка.

Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении п сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1-3 таблицы 1): сложений 9п-3, умножений 8п-3, делений 4п-2.

Табл.1. Расчет минимального числа расчетных операций при построении п сплайнов

Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления

1.Расчет коэффициентов матрицы 5п-2 4п-2 (п-1)

2. Прямая прогонка 3п-1 3п-1 3п-2

З.Обратная прогонка п п 1

4а.Переход к каноническому виду по тг 5п 5п 0

4б.Переход к каноническому виду по t 19п 28п 2п

ИТОГО при переходе к каноническому виду по и, 14п-3 13п-3 4п-2

ИТОГО при переходе к каноническому виду по х 28п-3 36п-3 6п-2

Существенной особенностью данного метода является то, что:

1) независимой переменной каждого сплайна является нормированная на отрезке ^ ] локальная переменная Т/ = ^ - ^У^/, где И/ =( ^ - ^-1),

2) результирующие сплайны имеют вид полиномов Эрмита,

При каждом расчете значений сплайна переход 1) от глобальной переменной t к локальной Т/ при однократном расчете длин отрезков {} требует выполнения одного вычитания и одного деления.

Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки и при большом числе расчетов значений сплайна необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной Т/. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении п сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п.4а таблицы 1): сложений 5п, умножений 5п.

Таким образом, для построения п сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных тг, необходимо затратить (сумма пп.1-4а таблицы 1): сложений 14п-3, умножений 13п-3, делений 4п-2.

Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты (С1, С2, С3} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент С0 не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных Т/, к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п.4б таблицы 1). В сумме для построения п сплайнов в форме канонических полиномов,

зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп. 1-3 и 4б таблицы 1): сложений 28п-3, умножений 36п-3, делений 6п-2.

2. Постановка задачи

Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов С0. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным.

Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную Т = t - ^.

Постановка задачи. На плоскости тОф задан набор из (п +1) точки вида р = (фг, тг), / = 0 ,., п. Рассмотрим на отрезках [р :;р ] кубические сплайны:

¿г (т) = С0 + а т + С2 т2/2 + С3 т3/3, г = 1, ., п. (3)

Необходимо найти коэффициенты {С/, С2г, С3г} всех сплайнов {¿г (т)} (/ = 1, ..., п) из

условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях:

¿1' ' (0) = 0; ' (Тп) = 0. (4)

Поскольку свободные коэффициенты С0г сплайнов {¿г (т)} не требуется определять, рассматриваем вместо (т) их первые производные, которые являются квадратными

параболами вида:

Б(т) = (£■ (т))т ' = С1г + С2г т + Сэг т2. (5)

Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов (т), зависящих от глобальной переменной т, сведено к полному расчету коэффициентов {С1г, С2, С3г, г = 1, ..., п} соответствующих им квадратных парабол {Бг(т)} (5).

3. Прямой метод частичного решения задачи интерполирования

Для решения задачи полного расчета коэффициентов {С1, С2, С3 , г = 1, ..., п} квадратных парабол {Б (т)}, зависящих от глобальной переменной т, предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым.

Для определённости параболу Б*(т) будем называть начальной, параболы Б2(т) - Бп~ 1(т) - внутренними, Бп(т) - конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход.

Прямой ход.

Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы Б(т) (/ = 1, ..., п-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент С3г+1 следующей за ней параболы Бг+1(т), а свободный С1 и линейный С2 коэффициенты параболы Б (т) выражаются С3г:

С3 = А3 С3+1 + В3;

С1 = А1 С3 + В1 ;

С2 = А2 С3 + В2г. (6)

Отдельно рассмотрим начальную параболу Б1(т), внутренние параболы Б2(т) - Б”'1(т) и конечную Бп(т).

1. Б!(т). Из условия ¿1' (0) = 0 следует: (Б1(0)) ' = С21+Сз1-0 = 0. Отсюда получаем: С21 = 0. При этом для коэффициента Сг1: Аг1 = В21 = 0. (7)

Из условий прохождения сплайна ¿^(т) через точки р = (ф0,т0 = 0) и р =(ф,т) следует:

¿1 (т0= 0) = С01 = ф0; ¿1 (т1) = С01+ С11 т1 + С21 т12/2 + С31 т13/3 = ф1 .

Вычтем из второго соотношения первое с учетом С21 = 0:

С11т1 + С31 т13/3 = Аф1, где Лф1 = ф1 - ф0.

Из этого равенства выразим линейную зависимость С11 (С31):

С11 = Лф1 /т1 - С31 т12/3 = А11 С31 + В11; А11 = -т12 /3; В11 = Аф1 /т1. (8)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С11 и С21 начальной параболы через старший С31 следующие: р А/ = -XI /3; В1 = Аф\/т'

А21 = 0; В21 = 0. (9)

Выражение (6) для старшего коэффициента С31 у начальной параболы определяется при анализе параболы Б2(т).

2. Рассмотрим внутренние параболы Б(т), / = 2, ., п -1.

К началу их анализа для предыдущей параболы Бг-1(т) известны линейные

зависимости:

С/'1 = А/'1 С3г-1 + В!'"1;

С2"1 = А2г-1 Сз"1 + В2"1. (10)

Подставим формулы парабол Бл (т) и Б (т) в условия гладкости второй степени в узле т = тг_1 для сплайнов ¿м (т) и (т) (¿м ' (тм) = (тг_1); ¿м' ' (тг_1) = ''(тм)):

С!-1 + С2"1 тг_1 + С31-1 тг_12 = С1г + С2г т/.1 + С3 тг_12;

С2"1 + 2С3"1 тг_1 = С2г + 2С3 т-1.

Умножая обе части второго соотношения на (-т/_1), складываем его с первым. При

этом получим систему уравнений более простого вида:

/-1 /-1 2 _________ / 2

С1 - С3 т/-1 = С1 - С3 т/-1 ;

С2"1 + 2С3"1 т /-1 = С2 + 2С3 т/-1.

Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10):

(А1М - т/-12)СзМ + В/1 = С! - С3 т-12;

А-1 +2т/-1) Сз"1 + В2"1 = С2 + 2С3 т-1. (11)

Из условий ¿/ (тм) = ф/ -1; ¿/ (т/) = ф/ получим уравнение:

С! + С2(тм + т,) /2 + С3(т-12 + т/-1т/ + т,2) /3 = Аф, / Ат;-, (12)

где Лф/ = Аф/ - фм, Ат = т, - т-1.

Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (т/-1 + т,) /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты С3 -1 и С3 :

(А!-1 - тм^Сз"1 + В!-1 + (А2"1 + 2тг-1) Сз"1^,-! + т,) /2 + В2"1(тг-1 + т,) / 2 + Сз^тм2 + т^т,

+ т,2) /3 = Аф, / Ат - С3‘ т/-12 + 2С3т/-1 (т/-1 + т) / 2.

Преобразуя его, выразим С3 -1 через С3 :

С3 1 [А! 1 + А2* \(т/-1 + т/) /2 + т/ -\т/] = С3[-(т/ -12 + тмт, + т,2) /3 + тмт,] + Аф/ / Ат/-1 - В! 1 -В^^тм + тг)/2;

Сз1-1 = Азм Сз + В3"1; где т(/)кв =т,2; А3"1 = - Ат( кв / (3К); В3"1 = (Аф/ / Ат/ - В/-1 - В2г"1 т/ср) /К;

т/ср = (т/-1 + т) /2 ; К = А/-1 + А2"1т,ср + т1-\т1. (13)

После подстановки (13) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости С1 (С3 ) и С2 (С3 ):

С! = (А/-1 - т-^Сз"1 + В/1 +Сз/ т/-\2 = (А/-1 - тм2)^"1 Сз"1 + В3"1) + В/1 +Сзг т/-\2 = А/' С3 + В1 ,

где Р = а!-1 - т(/-1)кв; А! = Аз"1 Р + т(/-1)кв; В/ = В3"1 Р + В!-1;

С21' = А-1 +2т/-\) Сз1Л+ В2"1 - 2Сзг т/-1 = А-1 +2т/-\) (Аз"1 Сз"1 + ВзМ)+ В2"1 - 2Сзг т,-1

=А2г Сзг + В2г;

где т(,-1)у2 =2т/ -1; О1 = А2г 1 + т(,-1)у2; А2г = Аз 1 О - т(,-1)у2; В2 = Вз 1 ^ + В2 !. (14)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С! и С2г и старшего коэффициента С3г-1 параболы Б'-1 через старший коэффициент С3' параболы Б следующие:

т(/-1)кв т(/-1) ; т(/)кв т/ ; т/ср (т/-1 + т/) /2 ; Аф/ Аф/ - ф/-Ь Ат/ т/ - т/-1;

К А1' + А2' т/ср + т/-1т/; Р А1' - т(/-1)кв; т(/-1)у2 2т/-1; О А2' + т(/-1)у2;

Аз'1 = - Ат^в / (3К); В3'1 = (Аф, / Ат, - В!1 - В2'-1 т/ср) /К;

/-1 тт/ I _ . ,-1 тт/ I /-1.

А2' = Аз'1 О' - т(/-1)у2; В2 = Вз'1 О' + В2'1. (15)

А1' = Аз'-1 Р + т(,-1)кв; В! = Вз'-1 Р + В-'

А2' = А3'1 О' - т(/-1)у2; В2 = Вз"

3. Конечная парабола Бп(т).

К началу ее анализа для предыдущей параболы Бп-1(т) известны зависимости:

С!"1 = АГ-Сзп-1 + В!"1;

С2п-1 = А2п-1 Сз'"1 + В^'-. (16)

Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле т = т п-1 для сплайнов £п--(т) и ¿п(т) (£ пА (тп-1) = ¿п(тп-1); £ пА ' (тп-1) = ¿п' (тп-1)) получим:

С-п-1 + C2„"1 т пЛ + Cз„"1 т п -12 = С-п + С2п т п -1 + Сзп т п -12;

C2„"1 + 2Сз „"1 т пЛ = С2п + 2Сзп т п -1.

Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-тп-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида:

/-ч п-1 /-ч п-1 2 _ /-» п п 2

С1 - С3 т п -1 = С1 - С3 т п -1 ;

C2„"1 + 2Cз„"1 т п -1 = С2 + 2Сзп т п -1.

Подставим в уравнения системы зависимости (1 6):

/ л п-1 _ 2\/-1 п-1 . о п-1 _ п п _ 2.

(а- - тп -1 )Сз + в- = с- - Сз тп-1 ;

(A2„-1 + 2тп -l)Cз„-1 + В2„-1 = С2 + 2Сзп т п --. (17)

Аналогично из условий S„(т„-1) = ф п-1; £п(тп ) = фп получим уравнение:

С-п + C2„(т„ -1 + т п )/ 2 + Сз^тп -12 + т п-1 т п + т п 2)/ 3 = Аф п / Ат п, (18)

где Аф п Афп - ф п -Ь Ат п т п - т п -1.

Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение:

С2п + 2Сзп тп = 0. (19)

Четыре уравнения системы (17) - (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: С3п-1; С\п ; С2п; С3п. Найдем их величины.

Выразим из (17) С2п (С3п):

С2 = Азп С3 + Взп,

где Азп = - 2тп; Взп = 0. (20)

Полученное выражение подставим во второе выражение (1 7) и найдем зависимость С3-1 (Сзп):

(А 2 п -1 + 2тп --)Сз п -1 + В2 п -1 = - 2Сз п тп + 2Сз п тп --;

Сз п-1 = Аз п-1 Сз п + Вз п-1, где Азп -1 = - 2Атп / (А 2 п-1 + 2тп --); Вз п -1 = - В2 п -1 / (А 2 „-1 + 2т п --). (21)

Подставляя данную зависимость в первое уравнение (1 7), найдем из него выражение для С-п (Сзп):

(А- п -1 - т п -12)[-(2Ат п Сзп + В2 п -1)/(А2 п -1 + 2тп --)] + В- п -1 = С-п - Сз п т п --2;

С- п = А- п Сзп + В- п, где А - п = [-2Атп (А - п -1 - тп--2)/(А2 п -1 + 2т п --) + т п --2];

В- п =В2 п -1 (А - п -1 - тп -12)/(А2 п -1 + 2тп --)+В- п -1. (22)

Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (1 8), найдем из него выражение для коэффициента С3п:

[-2Атп (А-п -1 - т п --2) / (А 2п -1 + 2т п --) + тп --2]Сз п + В2 п -1(А- п -1 - тп --2)/(А2 п -1 + 2тп --) +

В- п -1 - 2Сз п тп(тп -1 + тп)/ 2 + Сз п(тп -12 + тп -1 тп + тп 2)/ 3 = Афп / Атп;

Сз п =[АФ„/Ат„-В2 п ■1(Аіп -1 - Хп -і2)/(А2 п -1 + 2т„.і)-Ві” ■1]/[-2Ат п{Лхп -1-х п -і2) / (А ” -1+2хп -і)-2Ат„ (2хп -1+Хп)/3]. (23)

Таким образом, для конечной параболы ^п(х) величина старшего коэффициента Сзп определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23).

Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {С1п; С2п; Сз п}и значения старшего коэффициента Сз 1

п -1/

-1 параболы в”-1(т):

Сз п =[Афп/Атп-В2 п-1 Е п -В-п-1]/[Р п( Е п+(О n+Тn)//]; где т(п-1)кв=тп --2; О п=2тп --; Н п=1/(А2 п-1+О п); Е п=(А-п -1-т („-^Н п; Р п =-2Ат п;

С-п = [Р пЕ п + т (п -1)кв] Сз п + В2 п -1Е п +В- п -1;

С2п = (- 2тп) Азп Сзп;

Сз п-1 = Р п Нп Сзп - В2 п-1Н п. (24)

Обратный ход.

Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Б(т), г = п-1,.,1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу.

Для каждой параболы Б(т) (/=п-1,...,1), по уже рассчитанному значению старшего коэффициента С3'+1 параболы Б'+-(т) по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент Сз , а по нему - младшие С! и С2'.

4. Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости

Начальные данные: координаты точек р = (фг,тг), (/ = 0, ., п), т0 = 0.

Необходимо определить: массивы коэффициенты {С\', С2', С3'} набора сплайнов {£,- (т)} (/ = 1, ..., п), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: ¿0 ' (0) = 0; ¿п--' ' (тп) = 0.

Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{А3'}, {В3'}, {А^'}, {В1/}, {А2/}, {В2/}, в которых номера элементов изменяются от 1 до п -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени т/, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их:

т(/)кв т/ ; 1, •••, п . (25)

Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов А\-, В\-, А2-, В2- для начальной параболы Б-(т). Из (9) следует:

А-1 = -т(-)кв / 3; В-1 = (ф- - ф0)/т-; А21 = В21 = 0. (26)

Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам (/ = 1, ., п -1). Расчет

вспомогательных коэффициентов А1', В1/, А2', В2' для внутренней параболы Б(т), а также

коэффициентов А3'-1, В3'-1 для параболы Б'-1(т) выполняем по формулам (15): т,ср = (т,-1 + т,) /2 ; Аф/ = Аф/ - ф,--, Ат, = т, - т,--; К = А-'-1 + А2'-1т'ср + т/--т/;

Р А1 - т(/-1)кв; т(/-1)у2 2т/-1; О А2 + т(/-1)у2;

Аз'-1 = - Ат^в / (3К); Вз'-1 = (Аф, / Ат, - В-'-1 - В2'-1 т,ср) /К;

А-' = Аз'-1 Р + т0-1)кв; В! = Вз'-1 Р + В-'-1;

А2' = Аз'-1 О' - т(,-1)у2; В2 = Вз'-1 О' + В2'-1. ^ (27)

Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов С3п, С\п, С2п, С3 п- выполняем по формулам (24):

О п=2тп --; Н п=1/(А2 п-1+О п); Е п=(А-п -1-т (п--)кв)Н п; Р п =-2Ат п;

Сз п =[Афп/Атп-В2 п-1 Е п -В-п-1]/[Р п( Е п+(О n+Тn)//];

С-п = [Р пЕ п + т (п -1)кв] Сз п + В2 п -1Е п +В- п-1;

С2п = (- 2т„) Азп Сзп;

Сз п-1 = Рп Нп Сзп - В2 п -1Н п. (28)

Шаг 4. Обратный ход. Цикл по параболам с номерами г = п -1, ..., 1. Расчет их коэффициентов С!, С2', Сз.

Сз' = Аз' Сз'+- + Вз';

С/ = А1 Сз + В\ ;

С2 = А2' Сзг + В2. (29)

Замечание. Если необходимо найти свободные коэффициенты сплайнов С0', например - для визуализации формы получаемых сплайнов с целью проверки качества получаемых решений, то их проще всего найти по формуле:

СО = фг - С/ т, - С2 г,2 /2 - Сз' т,3 / 3, 1 = 1, ..., п. (30)

Суммарные затраты на выполнение прямого сокращенного метода расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов представлены в таблице 2.

Табл. 2. Количество расчетных операций при построении п сплайнов

Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления

1. Начальные действия 0 п 0

2. Прямой ход. Расчет переходных коэффициентов А11, В\, А21, В21 для начальной параболы ^(т) (26) 1 0 2

з. Прямой ход. Расчет в цикле по внутренним параболам (1 = 1, ..., п -1) переходных коэффициентов А1 , В1 , А2 , В2, Аз1'1, Вз'-1 (27) 1з(п-2) 8(п-2) 4(п-2)

4. Прямой ход. Расчет коэффициентов конечной параболы Сзп, С1п, С2п и коэффициента Сз п-1 (28) 10 14 4

5. Обратный ход (29) з(п-1) з(п-1) 0

ИТОГО 16п-18 12п-5 4п-2

5. Заключение

Выполненные расчеты трудоемкости алгоритма с применением сплайнов Эрмита и алгоритма прямого частичного расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов (таблицы 1 и 2) показывают, что предложенный метод является значительно менее затратным при решении задач управления с прогнозированием.

В сравнении с затратами метода прогонки на построение сплайнов, зависящих от глобальной переменной (что требуется в задаче управления с предсказанием), предложенный метод сокращает число каждой из основных операций примерно в 2 раза.

Список литературы:

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г. - 632 с.

2. Гданский Н.И. Геометрическое моделирование и машинная графика. - М.: МГУИЭ, 2003 г. - 236 с.