Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.384

М.В. Сухотерин

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ КОНСОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Задача изгиба тонкой изотропной прямоугольной консольной пластины Кирхгофа под действием равномерной поперечной нагрузки не имеет точного решения в замкнутой форме, а известные приближенные решения оставляют открытым вопрос о близости полученных результатов к точному решению. Цель данной работы — получение более достоверных данных о напряженно-деформированном состоянии указанной пластины.

Рассмотрим прямоугольную консольную пластину —у/2 < х < у/2, 0 < у <1 (край у - 0 защемлен, остальные — свободные) постоянной толшины А, нагруженную по поверхности г =Л/2 равномерно распределенной поперечной нагрузкой интенсивности <7.

Задача изгиба такой пластины описывается 111 дифференциальным уравнением

У2У2и> = -1 (1)

и граничными условиями

н< = 0, <ру = 0 на грани у = 0; (2)

Л/ = 0, 0У=0 награниу=1;

(3)

Мх = 0, 0Х =0 на гранях х = ±у/2; (4)

0

в точках (±у/2, 1).

(5)

Здесь координаты точек пластины отнесены к размеру Ь пластины; прогиб Цх.у) отнесен к величине ^¿>4/Д цилиндрическая жесткость; у = а/Ь\ а — размер пластины по оси х\ V2 —двумерный оператор Лапласа; углы поворота элементовмоменты Мх, Му, НХ),и перерезывающие силы (2Х, определяются формулами

Фу =*>'у, Мх=-('н"хх+ ),

<2>=-|и'~,+(2-у)и£,]) Иху=-( 1-уКг, (6) где V — коэффициент Пуассона.

Прогиб пластины и* разыскиваем в следующем виде:

ас

Мх, .у) = и<0(х, >-) + }Г [и>,„ (х, у) +и,2Л(х, у) ], (7)

Л=|

где начальное приближение представляется "балочной функцией"

^0(у) = ~(у4-4у3+6у2), (8)

которая является частным решением уравнения (1) и удовлетворяет всем граничным условиям, кроме первого условия (4); н>,я, •н2„ — исправляющие бигармонические функции; п — номер итерации.

Невязка от начального приближения после разложения в ряд Фурье по синусам

Мхо\ у

*=±2

где Ьк0 =

.21, кп

1 —- I, Хк = —, компенсируется

исправляющей функцией 1-го вида

ОС

и',,(дс)>')= ]Г (/4А1сЬДщХ.чЬ А^х^т Хку, (10)

коэффициенты которой находятся при удовлетворении граничным условиям (4). Эти коэффициенты имеют вид

Ли -

1

1-у

Т~Вк1>

Ку

(11)

вкх= 2

ик(\

(3 + у)511ХАу-(1-у)Я.Ау Хк

Функция (10) в свою очередь порождает невязки в граничных условиях на смежных кромках по углу поворота заделанного сечения ф>г и по изгибающему моменту Л/,., которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам

00 1 Фу11у-о= £ (Ак}ХксЬЬкх + Вк[Хкх $1\ккх)= д =-2а5|е—к38Ьц,+

<*> 1 1

= (12) +-!--^(1 + У + 2£к4)Г,„

5=1 (3 + У)(1-У)ц^

Му\ 1у=1=- I (-1)%{(1-у)Ак]\ксЬХкх- £ Г.,

Лг=1,3,... 51 1 + у

-5Л1[2усЬ^Х-(1-У)ХаХ5ЬМ]}= (|8)

2ц, ' 2

= X (""')* > Здесь введены обозначения:

к, =2С1Ь|д5-(1-У)Ц.;

где (7, — свободный член разложения; а,,, —

коэффициенты разложения, ^ = 2пз/у;к=(к+ к2 = |~(1-у)2|д2 -(3 +у)(1-у)ц;;

+ 1)/2; ,

к3=1 + у + (1-у)ц5аЬц,;к4=(1-у)2ц2-2(1 + у);

I ^Н^ (14) ,

(3 + у)(1 - v)sh 2ц, + (1 - v)2 ц2 + 4'

а _ 8 у + v^ ^ ф^Х (|5j После исправляющей функции w2(, так же

' (l-v)Yjt=i3 * ^ как и после w0, остается невязка по изгибающему моменту на кромках х = const:

'„=-8^ ± (-1)(16) M<±f'J3 ^{[^,-d-vKC^x

У ¿=1,3,... (K+Vs) 2

Эти невязки компенсирует исправляющая х8НцдО»-1)+[2у/^ — (1 — v)^/),,]х

функция 2-го вида: ■ , |Ч ,, ч ,

"2. =-G1>' + i(-l)i[CilshKi(>'-l)+ [^ch^iy-D+^sh^iy-l)]}. (19)

j=i

... 1WP , , Таким образом, вновь граничные условия

311 * Jl s задачи выполняются с точностьюдо функции

+ Fsi sh ц5(у-1))]со5ц;х. (17) Мх (у) на поперечных кромках х = const.

Для построения следующей пары исправля-Заметим. чтофункция н>,, "автоматически" юшихфункций w12 и w22 невязка(19)представ-удовлетворяет первому граничному условию (2) ляется в виде разложения, аналогичного (9): и второму условию (3); функция w2| — последнему условию (4). Обе функции удовлетворяют ус- д/ (| _ ^ ¿^sinA^y (20) ловию(5). * х=±1 k=li

Коэффициенты ряда (17) находятся при удовлетворении граничным условиям (2), (3) и имеют вид jx

где теперь уже

Csi = -(1 + v)aS| s — к, sh +

Vs

1 + V 1

(cth hv-ek2)/„,

(3 + v)(l-v)^ х^сЬц,-(1-у)£^ц,х

chu (-1)*" ¿-Х2к

+(1 -v)FslXkixs

shu?-2

1 "я2+ц?

J

I

2cthnf —(1 — у)ц5 (3 + У)(1-у)5НЦ5

([2cth(ij -(1 -у)цг](1-52t )x

(24)

shu, j

где введены обозначения:

(3 + v)(l-v)sh2 |i5 +(1 — v)2fj.j +4

S2s =

(1-V)2H2+4

(3 + v)(l-v)sh*n5 +(1 -у)2ц2 +4

(l-v)2H2+4-(3 + v)(l-yKth^

53i =

(3 + v)(l-v)shV.?+(l-v)2^i2 +4

(25)

Коэффициенты ал., и /5, (15), (16), входящие в (24), после подстановки в них Вк] (11) примут вид

as 1 =

8

(3 +v)(l-v) у

(21)

И далее описанный выше процесс повторяется.

В виду л и не й н ости задач и условие сходи мости итерационного процесса можно записать так:

Iim bkn = О (Л = 1,3,...; л = 1,2,...)- (22)

Я-ХЮ

Коэффициенты Ькп линейно зависят от совокупности коэффициентов Ьк(п_Х) предыдущей итерации, т. е. имеет место однородная бесконечная система линейных алгебраических уравнений вида

I (* = 1.3,...), (23)

MX-

где cki — коэффициенты системы.

Действительно, подстанляя в выражение (21) значения коэффициентов (18), после некоторых преобразований получаем

f ^ +

1+-

(l-v)X#y

(3 + v)sh X, у -(1 - у)Х<у

Кг.

xbi0th

0 (1 — v) 1 2 .=87;—г-н,2*

(З + у) у

^ I

/=1,3,...

(-1)4

1+-

(1-УЯ/У

(3 + v)shX,y-(l-v)X<Y_

xA(0th

(26)

Здесь, чтобы не путать индексы в (24), индекс к суммы заменен на /.

Исследования показали, что система (24) вполне регулярна для значений коэффициентов Пуассона в интервале 0 < у < 0,35. Например, для

□О

у=0,3 получена оценка £ |с*( |<0,823 (А: =

/=1.3,...

= 1,3,...). Следовательно, для широкого диапазона значений коэффициента Пуассона выполняется условие сходимости данного итерационного процесса к точному решению задачи. Решение задачи можно получить с любой степенью точности, увеличивая количество членов в рядах и число итераций.

Численные результаты получены для пластин с отношением сторон у = 1/4, 1/2, 1 и 2 при коэффициенте Пуассона 0,3. В рядах удерживалось до 80 членов в зависимости от сходимости конкретного ряда. Счет прекращался после 15 итераций, когда все невязки практически обращались в ноль. Процесс оказался быстросходящимся: ко-зффициенты Ькп убывали по абсолютной величине примерно как члены геометрической прогрессии^^)''. В табл. 1 приведены значения прогибов грани у = 1, а на рис. 1 — соответствующие кривые, из чего видно, чтоу коротких пластин (у< 1/4) эта грань почти не искажается, т. е. пластина ведет

103

Таблица 1

Значение прогибов грани у = 1

У

0,25 0,5 1 2

0 -0,13330 -0,13093 -0,12907 -0,12775

0,1у -0,13330 -0,13092 -0,12899 -0,12766

0,2у -0,13330 -0,13087 -0,12875 -0,12736

0,3у -0,13329 -0,13080 -0,12835 -0,12675

0,4у -0,13329 -0,13071 -0,12783 -0,12674

0,5у -0.13328 -0,13061 -0,12724 -0,12437

Рис. 1. Линии прогибов грани у = 1

себя как консольная балка—полоска. При у 0 прогиб грани у = 1 стремится к величине 0,125/ (1—V2) ввиду различия жесткостей пластины и балки. При у ->оо этот прогиб стремится к величине 0,125 (цилиндрический изгиб), однако грань становится вогнутой вблизи концов, которые приподняты из-за краевого эффекта.

На рис. 1 приведены для сравнения кривые прогибов квадратной пластины, полученные

методом коллокации |6] и в результате эксперимента 17]. Имеет место хорошее совпадение с экспериментом численных результатов, полученных в настоящей работе.

Значения изгибающих моментов Му в заделанном сечении консольных пластин приведены в табл. 2, а соответствующие эпюры — на рис. 2. Следует отметить, что соответствующий функциональный ряд, полученный двукратным

Таблица 2

Значения изгибающих моментов Му в корневом сеченнн

У

0,25 0,5 1 2

0 0,57536 0,55419 0,53020 0,51290

0,1у 0,57235 0,55280 0,53020 0,51319

0,2у 0,56153 0,54730 0,52959 0,51410

0,3у 0,53504 0,53162 0.52512 0,51529

0,4у 0,46112 0,49760 0,49938 0,51030

0,5у —00 —ОО —ОО —ОО

дифференцированием ряда (17), плохо сходится. Порядок его общего члена определяется выражением (-1)11п 5/5 I из чего следует его равномерная сходимость во всех точках интервала -у/2<х<у/2, исключая концы. Это означает, что в угловых точках заделки изгибающие моменты бесконечны (следовательно, бесконечны и напряжения), причем, как показал анализ, знак "бесконечности" — минус. Наличие особых точек объясняется резкой сменой граничных условий в них, т. е. здесь имеет место концентрация напряжений. Однако естественно было бы получить в этих точках положительную "бесконечность", что соответствует реальному поведе-нию напряжений. Этот парадокс следует отнести к недостаткам теории Кирхгофа для данной задачи.

Несмотря на медленную сходимость ряда для М у во внутренних точках заделки, применение ЭВМ позволяет получить достоверные значения изгибающих моментов и оценить их. Так, например, в середине защемленной грани (х = 0) получаем знакочередующийся числовой ряд, что по-зволяетоценить величину изгибающего момента в этой точке. Для квадратной пластины получено 0,530< Му |л=0<0,532. Заметим, что "балочное" решение в заделке дает М у =0,5.

К результатам вычислений данной работы наиболее близки результаты авторов [2—7], которые использовали иные приближенные методы. На рис. 2 для сравнения нанесена кривая из работы [6| для квадратной пластины.

Сравнение с результатами [8] по уточненной теории Рейсснера [9], учитывающей деформацию поперечного сдвига, позволяет заключить, что для тонких пластин результаты практически совпадают, кроме поведения изгибающих момен-

тов вблизи концов заделки. По уточненной теории изгибающие моменты, убывая, достигают минимума, а затем возрастают до + оо на концах, что соответствует реальности.

y = V4

у = 1/2 Y = U6] \

у = 2

\ к

\ \ 1 X \ \ \ 1

Рис. 2. Распределение нагибающих моментов в корневом сечении консольной пластины

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригср С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

2. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины // Расчет пространственных конструкций. 1974. № 16. С. 169— 178.

3. Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины // Прикл. механика. 1978. Т. 14, № 5. С. 122-127.

4. Варвак U.M. 1>берман И.О., Мирошниченко М.М. и др. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. 419 с.

5. Bauer F., Reiss E.L. Stresses in cantilever plates // Comput. and Struct. 1972. Vol. 2, № 4. P. 675-691.

6. Leissa A.W., Niederfuhr F.W. A study of the cantilevered plate subjected to a uniform loading // J. Aero. Sci. 1962. Vol. 29, № 2.

7. Dalley J.W. Experimental values of deflections stresses, and influence coefficients for a thin square plate fixed along one edge // Defense Res. Lab. Rept. № 189. Texas, 1948.

8. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига // Вестник Самарского государственного аэрокосмического ун-та им. акад. С.П. Королева. 2008. № 1 (14). С. 174-180.

9. Reissner Е. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates//J. Appl-Mech. 1945. № 12. P. A69-A77.

УДК 622.24

В.Г. Чередниченко, A.A. Цуприков

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЕ ПРИ ПОСАДКЕ НА ЗАБОЙ

Математическое моделирование посадки бурильной колонны на забой произведено для исследования переходных процессов, возникающих при этом в скважине. Физически бурильная колонна представляет собой инерционный упругий элемент с распределенными по глубине параметрами, т. е. пружину длиной до 5—6 км со многими степенями свободы. Она может одновременно сжиматься-разжиматься, скручи-ваться-раскручиваться, изгибаться в произвольных направлениях и пр. Поэтому осевая нагрузка на долото (?, заданная на поверхности скважины, не мгновенно устанавливается на забое, а через некоторый переходный процесс (ПП) со свободной и вынужденной составляющими.

Для системы управления процессом бурения необходимо определять частоту считывания режимных параметров управления, которая существенно зависит от времени ПП, протекающих в объекте. Интервал времени между двумя контрольными измерениями включает две состаыя-ющие: время ПП и время для сбора и обработки информации, полученной при бурении для расчета новых значений параметров управления.

Основные ПП возникают в бурильной колонне при ее посадке на забой и при регулировании осевой нагрузки в ходе бурения.

Для математического моделирования и анализа выбран самый тяжелый вариант ПП — не изменение осевой нагрузки на небольшую величину в ходе ее регулирования в процессе управления (обычно до 15-20 % от веса колонны на крюке), а полная посадка всей колонны на забой. При таком воздействии продолжительность переходного процесса и размах пиковых колебаний напряжений в сечениях колонны и нагрузки на забой будут максимальными.

В отечественной литературе описаны многочисленные исследования процессов, происходящих на забое и в колонне труб при бурении скважины. В работах P.M. Эйгелеса. Р.В. Стре-каловой, В.В. Симонова, Е.К. Юнина, В.Г. Гри-гулецкого, З.Г. Керимова, H.A. Кильчевского, Г. Герца, Б.Я. Веремейкина, В.Я. Симкина и других процесс бурения моделируется с учетом различных видов колебаний колонны труб (продольных, крутильных и др.), исследована устойчивость форм равновесия бурильной колонны при действии различных факторов, определяет-