CC BY
33
¡Выпуск 4
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
УДК 539.384: 629.12 К. О. Ломтева,
аспирант,
СПГУВК
РАСЧЕТ ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПАНЕЛИ ПАЛУБНОГО ПЕРЕКРЫТИЯ СУДНА
BENDING RECTANGULAR PLATE CALCULATION FOR SHIP DECK
В статье приведено решение задачи изгиба прямоугольной плиты, защемленной по двум смежным кромкам и свободной по двум другим, под действием равномерной нагрузки. Использован итерационный метод суперпозиции исправляющих функций в виде гиперболо-тригонометрических рядов. Приведен пример расчета квадратной пластины.
The paper produces a solution for the problem of bending rectangular plate with two adjacent clamped edges and two others free under uniform load. Iteration method of correction function superposition in the form of hyperbolic-trigonometric series is employed. Numerical results for a square plate are presented.
Ключевые слова: прямоугольная пластина, две смежные стороны защемлены или свободны, изгиб, итерационный метод, ряды Фурье, точное решение, численные результаты.
Key words: rectangular plate, two adjacent clamped edgesor free, bending, iteration method, Fourier series, exactsolution, numerical results.
В ВИДЕ плит, защемленных по двум смежным граням и свободным по двум другим, выполняются элементы палубных перекрытий судов, раздвижные заслонки гидросооружений, козырьки зданий и т. д.
Рассмотрим пластину (панель) с размерами a^b в плане постоянной толщины h, нагруженную равномерной поперечной нагрузкой интенсивностью q Края X = 0, Y = 0 защемлены, X = a,
X 7
Y = Ь — свободны. Введем безразмерные координаты X — —, у — — , тогда размеры пластины
О о
а
будут 0 < х < у, 0 < у < 1, где 7 = Т" (рис. 1).
о
Рис. 1. Пластина, две смежные кромки которой защемлены, а две другие свободны
%
Искомая функция прогибов должна удовлетворять [1] дифференциальному уравнению изгиба:
у2У2-и> = -1 (1)
и граничным условиям:
dw
w = 0; 0^ = — = 0 при х = 0, дх
М =
í Л
О W О W
- + v-
чЭх2 ау2,
= 0,
к=-
С d3w
дх3
+ (2-v)
d3w Л дхду2
при х = у,
dw
w = 0; 0 =— = 0 при y = 0,
У ду
МУ=~
Ґ а2 я2 Л
О W О W
- + V-
= 0,
Уу='
( дЗ
д w ¥
- +
(2-v)
дз Л
д w дх2ду
при y = 1,
(2)
(3)
(4)
(5)
Н = dw
19 дхду
= 0 в точке (у; 1).
ч0ь\
Здесь w — безразмерный прогиб, отнесенный к величине
П./-3 П
кость И
(6)
D — цилиндрическая жест-
—^^; E — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона; V2 = — оператор
12(1-у2) дх2 ду2
Лапласа; Мх, Му — изгибающие моменты по осям координат; V, V — перерезывающие силы; Нх, — сосредоточенная сила (крутящий момент).
Задача (1)-(6) не имеет точного решения в замкнутой форме. Будем решать ее итерационным методом суперпозиции исправляющих функций [2].
Частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям отсутствия прогибов на защемленных кромках и перерезывающих сил на свободных кромках, а также условию (6), возьмем в виде многочлена:
wo (*.У):= “(У -2У*)(У -2У).
(7)
Эта функция нарушает граничные условия по угловым деформациям в заделках, а также по изгибающим моментам на свободных гранях, то есть порождает невязки.
[0*oL=Ку2~2у); [MxoLr = 4(y2 -2y-vy2);
(8)
Ы,=\{х2-2^х); =\{х2-2^х-Л (9)
Сначала займемся невязками (8).
Для выполнения граничных условий (2), (3), то есть для устранения невязок (8), возьмем С!
первую исправляющую функцию в виде:
СО
wii(*>jO= Z \-AkishK(x~y)+ BkichK(x~y)+
4=1,3...
+cki (x - y)chK (x - y)+Ai (* - y)shh (x - у)]sin Ку-
Выпуск 4
¡Выпуск 4
Этот ряд является бигармонической функцией (то есть удовлетворяет условию V2V2 W = 0) и удовлетворяет первому условию (4) и второму условию (5). £
Здесь AkV BkV CkV Dk1 — неопределенные коэффициенты; Хк = —.
Для нахождения этих коэффициентов разложим невязки (8) в ряд Фурье по sin Xky, что дает
[&Л=0=1(у2 ~2у)= И V*0SÍ^У:
*=1,3...
-у 4
(11)
(12)
*=1,3...
где vt0 = -ту, Що=~
Л'к
1.+ vy
Так как эти разложения содержат только нечетные значения к, то и в ряде (10) к = 1, 3, 5 ... . При этом будет удовлетворяться условие (6). Удовлетворяя функцией (10) граничным условиям (2), (3), получим выражения для ее коэффициентов
4i=-
в*=-
l + v
м*
\_2cthXky ~(Y-v)Xky]
Ч о
shXk у
cthk.y + ^ к sh\у
[l + v + (l-v)XkycthXky]
2v
т
к 0
к 0
shXky
2..2 Л
1 + V +
(1-уКт
sA Xty
т
ко
(13)
Г' — \____^ \ А Г) — тк0 _ \__________________^ 7 О
*1 — ! , Л*^*1’ -*Л1 _ п, Кк°к\
1 + v 2л,. 2
Здесь коэффициенты Ск1 и ^к1 выражены через базовые коэффициенты Ак1 и Бк1. Исправляющая функция w на гранях у = 0 и порождает невязки:
[®у! 1-0 = Е Хк\-Ак1^К (*-у)+ ВасНкк (х -у)+
к=1,3...
+ск1 (х - У )скК (х - у)+ Вк1 (х - у)яНкк (х - у)],
оо -
VмУ' ]V-! = Ё Хк ф " у) (х - у)лк1 + О - ^)КсИкк (х - у)вк! +
*=1,3...
+[(1 -v)Xk (х-у)скХк (х-у)-2тайА,* (х- у)] Си +
+[(1 - у)Хк (х -у)гИкк (.х - у)- 2\сЪХк (х - у)] Бк1}.
(14)
(15)
Здесь к = ^^~
TLS
Разложим входящие в эти выражения функции от x в ряды Фурье по sin ц х, где ц = —, и
* 2у
подставим эти разложения и коэффициенты (13) в выражения (14), (15). Изменяя порядок суммирования, после преобразований получим
ои ои
[0,iLo= Z v,iSÍnMsx; \_МуЛ= £ тлпщ,х..
(16)
где
5=1,3...
5=1,3...
тл=-
K»fiaA~'íl
~ 5 + 1
В свою очередь здесь обозначено s =
Gk0 —
(1 - v) V*0 + [2cthXj - (1 - v)A,y]
m
ArO
shXk y
Uko = \_2cthkky - (l - v)A,¿y ]
Vh. shXk y
c,hXj+^L Art ^ki ,
m,
kO
Невязки (16) от функции w следует сложить с аналогичными невязками (9) от функции w0 которые также должны быть разложены в ряды Фурье по sin ц х:
1
где
Тогда
[0Jj,=o = 4(*2-2yx)= Е v,osin^
í=1,3...
2 00 [Му° \=i = 4 i** ~ 2уХ ~ V)= S SÍn^íX’
5=1.3..
vs0=-
Г л \
1 V
“ + о— И, 2^5
[®*Ь=[е-Ь+[в*Ь: [МАУЛМ^ЛМ^
Г®уЧ = X Víisin^x; \МуЛ = Y ms\ sinjj^x,
L Jy=° Jri L Jy=l Jri
(18)
(19)
(20)
где Vil - Vs0 + V5i; тл = ms0 + msl •
Для устранения невязок (20) возьмем вторую исправляющую бигармоническую функцию:
со _ ^
W21 (*»^) = Z (у -1)+ ВлсИц, (у -1)+
5=1,3...
+C51 (у ~\)ch[is (у-1)+ Dsi (у- 1)лЛц, (j-l)]sinц,х,
(21)
коэффициенты которой найдутся из граничных условий (4), (5) и будут иметь вид, аналогичный (13):
Ал — ■
В si = —-
1 + V
ИЛ
[l + v + (l-v)^c%s]
V51
5АЦ5
2уД1
sb\i,
cthV-s +~7Í
sh
(1-vK
ms\
И5
2 Л
l + v +
v shV 5 y
ms 1
M* 5
~ 1-V ~ ~ OT5I 1 — v ~
Cii =----------]¿,As\, Ds\ =----------------------u Sii
1 + v 2ц, 2 s
где ^ =(3 + v)(l-v)+
(1-v)2^+4
sh2\xs
(22)
rfT
Выпуск 4
¡Выпуск 4
Невязки от w на гранях х = 0, х = у:
00
[0*21=0 = Z V*О**(у-0 + ВлсНр, (у-1)+
5=1,3...
+Сл (у -1 )ch\is (у -1)+ Dsi (у - 1)яАц, (у-1)],
Vмх2l=y = Z (-1У+1 р*<0 -v)M^,(у~l)Asi+0-v)^cA^(у-О^*1 +
5=1,3...
+ [(1 - у)ц, (у -\)ch\is (у -1)- 2vsh\i, (у -1)] С л +
+[(1_vK 0;-1)_2vc/^ (у-1)]ад.
Разложим внутренние функции по sin V- Тогда невязки (23) примут вид
ДО со
[0*2 L = Е v«sinV; [Ki L = É si^y,
*=1,3...
*=1,3...
где
•к 1
£ Л2 к^,е,.-(-ОЧ^+^К
5+1
l*l
= ^« £ A7-^te+vXí)G,,-(-l)‘(l-v)2 W,,
5=1,3... + Ц* JS5 L J
Здесь, в свою очередь, обозначено
GA =
(3 + v)cth\xs + (l - v)
sh ц,
(1 - у)ц, V51 + [2cth\xs - (1 - у)ц, ]
ms 1
sh\ís
UA = [2с*йц,-(1-у)ц,]
^5V^
sh\is
cth\ís +
5/г ц
ms\.
■У /
Невязки (23) компенсируем функцией, аналогичной (10):
00
W12 (X>y)= Z И*2^* (* - y)+ Bk2chK (X ~ y) +
*=1,3...
+ck2 (x - y)chXk (x - y)+ Dk2 (* - y )shkk (x - y)] sin Xky. Коэффициенты ряда примут вид (аналогично (13)):
1 + V
Гй»
Ак2 ~
М*
[2cthXky - (l - v)X,t y]
41
shXk y
cthX.y + —^— к sh% y
*1
^*2 =
1
Vi*
[l + v + (l-v)XtYcíAXtY]
2v
*1
shXky
l + v+
(\-v)X2ky2 ^]m sh\y
ctl = y^KA2, о1г = ^-1-^хква
1 + v 2Xk 2
Далее все повторяется.
Приведем сводку формул для организации вычислительного процесса:
(24)
(25)
(26)
(27)
кп
7И
"кк= —; —; к, s = 1, 3, 5 к =
2 2у
г к +1
5 = ■
5 + 1
у*о='
т; тко=~
; у.о=-
1 1
; т.п = —
уц;
3 ’ *о
Л*
-Т.1.
У ¿=1,з... (х2к + ц2 ) г|4
(-1)*+1
У А=1,3.
Оч+кН
где
£(л-1)
О - *)К%-1) + [2сйА,у - (1 - у)А*у]
т
*(«-!) .
^(»-О = [2сй^у “ Р “ у)^у]
У*(„-1) '
5Ккку
аКккч+
Чу
л*у
/и
кп
ты = ~*К
=-*1,г кй.о.-(-1/(^+ч.;)с/.
£ й1т^[(^+л*К-(-1)Ч1-’')2^д
=1,3...^+^ ^ ь
(7 =
(3 + у)с?/г(л.а + (1 - у)
(! - у)ц,V» + [2с^Ц, - 0 - *)ц, ]
/и
■5%
С/„=[2сЛц,-(1-у)ц5]
5/гц
сй(15 +
Р,
* V
5Й ц
т„
* у
Если и = 1
у.1 + у5о=^; тл+тл=тл;
У4сум У*0
и=0,1,2... л=0,1,2... л=0,1,2... и=0,1,2...
Суммарные значения коэффициентов рядов (по всем итерациям):
С1
+ ^и+...= Е УЬ; тЬум= Е тЬ»; ^ = Е У»; ^сум= Е 1Я».
Выпуск 4
¡Выпуск 4
А = ■
ксум
1 + V
\_2ctKKky-(\-v)'Kky~]-
Асум
Хкг\к [L JshXkу
в-=_¿:{[,+v+(,“vKl'c",x‘rfe'
cthXk у +
sh2Xky
m
¿сум
l + v +
(1-vKy
2„2>\
sA A^y
m
’fcум
¿сум
2At
Асум
Л.чсум —
1 + v
[2сґйц,-(і-у)ц,]
5 сум
■»Ай,
cí/?|as +
И,
5,оум =---------1 [і + V + (1 - v)ji, cth\xs ]
M-iSs
т
Л* Ц, (l-v)n.
ц,
2 Л
1 + v+ и2
V ^1*. у
/и
5сум
Г -1-V 1
С- 5сум — Л-й&рЛ. J
1 + V
П _^сум 1-V
LJscw —
5сум
Прогиб
w(x,y)= Wq (x,y)+^wln {x,y)+w2n (x,y); w0 (x,y)= --(x2-2yx)(y2-2y),
n=1 O
00 00
Z Wl» (*’ >0 = Z Иісум^і (* ■- y)+ BkcwChK (*-r)+
n=1 k=1,3...
+Ckoум (* - y)c% (x - y)+ (x - y)jM,t (x - y)] sin Xky,
oo oo _
Z w2n (x>y)= Z {y -1)+ Bscy*chiis (y-1)+
И=1
5=1,3..
+Cseум (y - 1)с/гц^ (y -1)+ Асум (y -{y -1)]sin p^x.
По приведенному алгоритму в системе аналитических вычислений Maple была составлена программа вычисления относительных прогибов пластины. В качестве примера рассматривалась квадратная пластина. В рядах удерживались 199 членов; число итераций 17. Дальнейшее увеличение
числа членов и числа итераций изменяло лишь пятую значащую цифру. Максимальный прогиб составил -0,043605 в углу (у, 1), где сходятся свободные кромки. На рис. 2 приведена изогнутая поверхность пластины. График показывает, что граничные условия задачи выполнены точно.
Зная функцию прогибов, нетрудно получить выражения для изгибающих моментов и перерезывающих сил, а по ним вычислить напряжения в любой точке пластины.
Рис. 2. Форма изогнутой поверхности квадратной пластины
Список литературы
1. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.
2. Сухотерин М. В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин / М. В. Сухотерин. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. — 265 с.
