CC BY
41
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
УДК 539.384:629.12
С. О. Барышников,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
М. В. Сухотерин,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
К. О. Ломтева.
аспирант,
ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
РАСЧЕТ НА ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПАНЕЛИ ОБШИВКИ С ЦЕНТРАЛЬНЫМ РЕБРОМ ЖЕСТКОСТИ
CALCULATION OF THE BENDING OF A RECTANGULAR PANEL SHEETING
WITH A CENTRAL RIB
В статье приведено решение задачи изгиба защемленной прямоугольной плиты с центральным ребром жесткости. Использован итерационный метод суперпозиции исправляющих функций в виде гиперболо-тригонометрических рядов, дающий в пределе точное решение.
The article gives the solution of the problem of bending of a clamped rectangular plate with a Central rib. An iterative method of superposition of correcting functions in the form of hyperbolic-trigonometric series giving the exact solution in the limit is used.
Ключевые слова: защемленная пластина, обшивка, изгиб, ребро жесткости, итерационный метод, ряды Фурье, точное решение.
Key words: clamped plate, sheathing, bending, rib, iteration method, Fourier series, exact solution.
П
РОБЛЕМА определения напряженно-деформированного состояния обшивки судовых и гидротехнических конструкций (гидрозатворов, ворот шлюзовых камер и т. п.) под действием поперечной нагрузки весьма актуальна для инженерных расчетов. Особый интерес представляют элементы обшивки, подкрепленные ребрами жесткости.
Физическая модель задачи. Физической моделью элемента обшивки, заключенного между основным силовым набором, является защемленная по всем граням прямоугольная пластина постоянной толщины И. Пусть ее размеры а*2Ь в плане, а ребро жесткости делит ее на два равных прямоугольника а*Ь. Будем считать, что на пластину действует равномерное давление интенсивности д0. Ребро и пластина могут быть изготовлены из разных материалов. Обозначим Е1 — жесткость ребра. Здесь Ер — модуль Юнга материала ребра; 1^ — момент инерции сечения ребра. Если перейти к безразмерным координатам х = X / Ь, у = У / Ь, то пластина будет иметь размеры у*2, где у = а / Ь.
у
Согласно П. Ф. Папковичу [1], можно рассматри-Рис. 1. Половина пластины вать половину пластины с разрезом по оси ребра
с разрезом по оси ребра (рис. 1).
/ ч У
XV X. 'кК / / 1 1 t ^
< > У х 2
Выпуск 3
Выпуск 3
Требуется определить прогибы (деформацию) пластины для любой точки срединной поверхности, а также соответствующие напряжения.
Математическая модель задачи. Требуется найти функцию w(x, у), удовлетворяющую [1] дифференциальному уравнению изгиба:
(1)
и граничным условиям:
„ = °; -у=0 ду
= 0;
у=0
(2)
\х=±
-о- —
1 &
= 0;
(3)
= 0; Ки=-
у=1
( Я3 О
~8/
+(2-у)
дх2ду
-в
дх4
= 0.
у=1
(4)
Здесь V — двумерный оператор Лапласа; — относительный прогиб; Ж — абсо-
“ а ™ ^
лютныи прогиб;
— цилиндрическая жесткость материала пластины; Е — модуль
12(1 У ^ 1 ЕР1
Юнга материала пластины; V — коэффициент Пуассона, — относительная жесткость
половины ребра.
Построение решения. Задачу будем решать итерационным методом суперпозиции исправляющих функций [2-4].
Частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям отсутствия прогибов на защемленных кромках, возьмем в виде многочлена четвертой степени:
1
■и>„
(/ -2у)-
(5)
Функция (5) удовлетворяет также условиям (4) в продольном сечении ребра, однако порождает невязки по углам поворота в заделках:
е„
_ дм'о _ 1 ( 2 Л
1у=° ду у=о 4 тГ
А I -д*»
(6)
Сначала займемся второй невязкой (6), которую разложим в ряд Фурье по синусам:
¿4
дх
2
.. 00 = -- 2у) = X ьы аіпА,^,
. кк , у
где
2 и 2ХІ
(7)
Будем компенсировать эту невязку функциональным рядом:
00
м>п = ^ (Ак^с\ї\х + Вкхх$Ы*кх) віпХ,^.
*=1,3...
Коэффициенты ряда находим при удовлетворении граничным условиям (3):
*и=-
Л*«*
°__• Ак1=-^'^-Віи
п. } *1 Л Л К19
Ку 2 2
(8)
(9)
где
к 2 2/ 2 Функция w в свою очередь порождает невязки на гранях у = 0, y = 1:
e,i L = Z (AichV + 5*,*shX,tx);
,d4w
*=1,3...
у 1
j-=i
- +
(2-v)
дЗ Л О W
дх2ду
+ G-
У=1
йх
y=i
+ Яи (4с%х + X*xs^x)] •
(10)
*=1,3...
Разложим эти невязки, а также первую невязку (6) от частного решения в ряды Фурье по косинусам:
еЯ=0=~ V)=,§ в,°со8^*’
7К 2
где , .
У УН,
Первое выражение в формуле (10) примет вид
СО 00 -
е„1 о = X \{А^кх+в^х^ккх)= X НУ а*
где
У *=1,з.
5=1,3...
Вк 1 =
л*
Суммарная невязка по углу поворота от ^0 и ^ будет
00 -
е^1 _0 = X НУ а*С08и,*; 4 = + а,1 ;
У *=1,3...
Разложение второго выражения в формуле (10):
^1 =—С X (—0 [А1 ^*с^*х + Вк1 (АсЬХкх + Хкх^аккхД =
*=1,3...
s=l,3.
где
'si=c\ ¿и
У *5£.
Z H)4icos^*> ,хЦ^+2^) (^+^2)2
5*1.
Чтобы компенсировать эти невязки, возьмем вторую исправляющую функцию:
^21 (*.у) = Е НУ (у-!) + АЛ (у-1)-*-
5=1,3...
+Esi (У - !) СЫ (у -1) + Fsi {у - 0 S%s {у -!)] cosИ,*-
Потребуем, чтобы удовлетворялись условия на гранях у = 0, у = 1, что дает
1
-G-^ + -tг sh^ V-,
cth^,+^
sh
(11) тГ
Выпуск 3
Выпуск 3
А1=-
2а.
1
1 —
и:
2 Л
вЬ ц.
где
сИіц, 1 Є
£ - —— н----------------1—
^ і 2 л
V-. вЬ ц, 2
1 —
Здесь коэффициенты Е и Е выражены через базовые коэффициенты С О Найдем невязки от ^2 на гранях х = ± у / 2 и разложим их в ряд Фурье по синусам:
0,1 |І=+і = X ц,{(яЬц,(у-1)+(у- 0-1)-
2 1=1£...
-ц Л Су - !)сЬц, (у -!) + сЛи, (у -!) ^ (у -!)]) С11 +
00
+[сЬц5 (у -1)- сйіц, (у - ЦвЬц, (у - 1)]Д,} = £ Ьк1 яп^,
где обозначено
Ъы= 2Е
-К
Ґ2Ґ
1 + -
1
НУ
+ Є
Г у-2, * ,1_
и 1 2
Ні
яЬ ц.
вії ц.
1
а-
у у
Для устранения этой невязки вновь возьмем исправляющую функцию первого вида:
00
щ(х,у)= X (Ак2сЬКх + Вк2хзЪХкх)зт Хку,
где подобно (9):
д
42 и ’
%сЬ
ЪАк2=-^Х\Мвк2.
Далее итерационный процесс повторяется.
Приведем сводку формул для организации вычислительного процесса:
00
Мх, у) = м>0 (х, у) + £ М>ъ (х, у) + У^іп (х, у);
п=1
„2 У
(у2-2у);
" к=1,3...
Щп {х,у) = £ (“О' (У ~ 0 + Д-сЬМж (У ~ 0 +
5=1,3...
+Ет (У ~ О С^1 (У ~ 0 + Рт (У ~ (У-1)] С0І5
(12)
(13)
а 5 + 1 кк у да 2
, , , ,
к 2 2/ 2
Д
^(»-Ч
*" V, Х*У ’
л. =-1л—д*«-
ы 2 2
~ Ьк(п-1) 8 V1 Д*”
,
Л*
У *=1,з... (л,^ + ц2)
(при и = 1 о^1 = а^о + аА);
8 »,,¿^(^+2^) 1 Ер1р
^ = (5—ц > (-1) — ------------Вы, (? =—Í1-ÍL — вычисляется или задается;
5 ^ V / / о о \2 ‘лг.гл
У *=1,3... (),2+ц2)
2 й£>
Ю =
Екъ
12(1-V2) 1
с
£ - ——^- н--------------1—
^ 1 2 ^
И, ^ И, 2
А
,2 Л
вЬ ц5
с_ =-
Ц,
И,
V
у
л =
2а„ 1
- + ■
И,вЬц, р*
.2 Л
Я У
Я» - -^Ап, Р„= (1 - ц,^,) С„ - Д/Лц,,
¿*„=2 1
(-1Г
ц2 1 (
с±\1,+
й.
'2'
1 + -
яЬ ц.
+ в
\\
с*Ц-, -
вЬ ц.
д„_ -
/У
М^Ьц.5
(14)
далее вновь вычисляются коэффициенты Лк Бк(и+1) и т. д. Коэффициенты рядов ^1п, ^2п сумми-
руются после каждой итерации.
При достижении заданной точности (невязки выполнения граничных условий должны стремиться к нулю) итерационный процесс прекращается и вычисляются прогибы пластины, моменты, перерезывающие силы и напряжения.
Анализ сходимости итерационного процесса. Нетрудно убедиться, что коэффициенты невязок Ькп (14) линейно зависят от аналогичных коэффициентов Ък предыдущей итерации.
Коэффициенты Ьк0 начальной невязки (7) имеют порядок Ьк0 = О (1 /к3), а для последующих итераций — Ькп = О (1п к/к3). Поэтому можно записать Ьп = Ркп / У? где Ркп — некоторая бесконечно малая величина при к ^ да. Тогда формула (14) примет вид
И,
и2 1
~в-*-ая+ — яЬц, ц.
г \
с
вЬ И,
-К
'г'
1+
V-.
»Ь2ц,„
а„_ --
где
=-Г-11 У ( «МХ1+2£)Л .
г-1 , / ч2 ’ Т5Я ^*,2^1/ / , 1^2 Р*(п-1)
У *-1,3...(Х*+Ц,) Т]* У *=1,3... (^+^)т1*
41
Выпуск 3
^МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С О. МАКАРОВА
Поэтому если ПОЛОЖИТЬ все (W_1)= 1, т0 критерием сходимости будет IPJ < 1 при всех значениях к.
Численные результаты. Проверка сходимости производилась с помощью компьютера в среде Maple. Для пластины с отношением сторон 1:2 (ребро делит пластину на два квадрата) было установлено, что процесс сходится для значений относительной жесткости 0 < G < 0,44.
Для вычисления прогибов была составлена программа в Maple. Число итераций менялось в широких пределах. На печать выводились невязки выполнения граничных условий на каждой итерации. Непосредственные вычисления показали, что во второй половине интервала сходимости (от G = 0,2 до G = 0,44) вычислительный процесс является неустойчивым. При небольшом количестве членов в рядах (до 40) невязки действительно убывали; с увеличением числа членов начальные итерации давали сначала сходящийся процесс, а затем наблюдался незначительный рост невязок, то есть процесс начинал расходиться. Подробные вычисления показали, что верхняя граница сходимости должна быть принята на практике равной 0,2. Следует отметить, что попытки увеличить точность вычислений увеличением числа членов в рядах до 2000, числа итераций до 100 и мантиссы до 500 знаков не привели к желаемому результату, резко увеличивая время вычислений. Причиной этого, на наш взгляд, является присутствие в граничных условиях (4) частной производной четвертого порядка (наличие ребра жесткости), что приводит к медленно
дх
сходящемуся числовому ряду для t а затем и других рядов. В ходе итерационного процесса этот ряд многократно используется в цикле; при этом накапливаются погрешности вычислений из-за того, что максимальное значение членов ряда сдвигается вправо (члены ряда сначала возрастают). Возможно, значительное увеличение числа членов в рядах (10 000 и более) позволит получить сходящийся процесс. Но, может быть, следует ограничиться таким количеством членов и таким числом итераций, при которых процесс сопровождается уменьшением невязок (несколько первых итераций).
Таким образом, увеличение жесткости ребра ухудшает сходимость итерационного процесса получения точного решения и делает невозможным проследить асимптотику при G ^ да. Надежные результаты имеют место для значений относительной жесткости ребра 0 < G < 0,2.
Для проверки правильности алгоритма и программы определялись прогибы гладкой пластины (без ребра полагалось G = 0). Форма изогнутой поверхности и максимальное значение прогиба в центре пластины w (0; 1) = -0,0025329 полностью совпали с результатами, полученными в [5] при постановке задачи для гладкой пластины. В работе [6] это значение равно -0,00254.
В качестве примера приведем результаты вычисления прогибов и форму изогнутой поверхности пластины с отношением сторон 1:2. Относительная жесткость ребра принята равной G = 0,1.
Значение прогиба в середине ребра составило w (0; 1) = -0,0020025. В рядах удерживалось 59 членов; число итераций 20. Коэффициенты невязок Ькп уменьшились по абсолютной величине на пять порядков, то есть практически обратились в нуль на 20-й итерации. При удержании в рядах 199 членов прогиб в середине ребра составил w (0; 1) = -0,0020037.
На рис. 2 приведена форма изогнутой поверхности половины пластины, которая показывает, что наличие ребра даже с небольшой жесткостью существенно уменьшает прогибы пластины. Левее ребра появляется максимум.
Прогибы вычислялись также для относительной жесткости G = 0,2 при удержании 59 членов в рядах. На рис. 3, 4 показана соответствующая форма изогнутой поверхности.
2 0 | -0 0005
I -0 001
1641 -0.0015 -0.002
0 02 04 06 08 1
V
Рис. 2. Изогнутая поверхность пластины (вид со стороны оси ОХ) при О = 0,1
о
-0 0004 -0 0008 -0.0012 4)0016
0 02 04 06 08 1
V
Рис. 3. Изогнутая поверхность пластины (вид со стороны оси Ох) при О = 0,2
0-0.0004-0.0008-0.0012-0001604 02 0 02 04
х
Рис. 4. Изогнутая поверхность пластины (вид со стороны оси Оу) при О = 0,2
ВЕСТНИК*)
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА -=4.
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА^
Значение прогиба в середине ребра составило ^ (0; 1) = -0,0016559. Более жесткое ребро заметно уменьшило прогиб пластины.
Рисунки 3, 4 показывают, что граничные условия для прогибов и углов поворота выполнены точно. Углы поворота всех че-тырех кромок в поперечном направлении равны нулю.
Выводы. Для пластины с центральным ребром, относительная жесткость которого находится в пределах от 0 до 0,2, получено аналитическое решение, дающее в пределе точное решение задачи. Исследована сходимость итерационного процесса. Приведены достоверные численные результаты определения прогибов пластины.
Полученные результаты могут быть использованы в практических расчетах НДС плоских элементов обшивки с ребром жесткости в судовых и гидротехнических конструкциях.
Список литературы
1. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля / П. Ф. Папкович. — Л.: Судпромгиз.
1941. — Ч. 2. — 960 с.
2. Сухотерин М. В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем / М. В. Сухотерин // Гидротехническое строительство. — 2009. — № 10.
3. Сухотерин М. В. Оценка действия сосредоточенной силы на обшивку судна / М. В. Сухотерин, К. О. Ломтева // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2011. — № 1.
4. Барышников С. О. Прочность, устойчивость, колебания плоских элементов судовых конструкций / С. О. Барышников, М. В. Сухотерин. — СПб.: Судостроение, 2012. — 167 с.
5. Сухотерин М. В. Математическое моделирование упругих плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций: дис. ... д-ра техн. наук. / М. В. Сухотерин. — СПб.: СПГУВК.
2009. — 300 с.
6. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М.:
Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. — 635 с.
Выпуск 3
