ПРУЖИННО-МАССОВАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ КОНСТРУКТИВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 699.8:69.04

ПРУЖИННО-МАССОВАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ КОНСТРУКТИВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Чемодуров В.Т. ', Литвинова Э.В. 3,Ажермачев С.Г. 2, Кореньков П.А. 4

Институт «Агротехнологическая академия» ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского» 295492, г. Симферополь, п. Аграрное;

ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет».

Адрес: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; e-mail: 1Chens_mul@mail.ru, 2Sga.simf@gmail.com, 3Ellalit@mail.ru, 4 KorenkovPA@mgsu.ru

Аннотация. Предельные нагрузки при нагружении здания импульсной нагрузкой лимитируются стойкостью сооружения, которая обеспечивается в том случае, если усилия во внутренних связях, перегрузки в ряде критических точек при сотрясении не превышают заранее заданных (предельных) значений. Оценку стойкости сооружения легко получить с помощью механико-математической модели колебания конструкции. Такая модель позволяет с достаточной степенью адекватности воспроизвести реакцию конструкции на внешнее воздействие. В статье рассмотрен вопрос расчета рамно-стержневой конструкции, работающей в условиях приложения запредельной нагрузки. Теория решения такой задачи построена на основе применения пружинно-массовой модели реальной конструкции. Живучесть рамно-стержневой конструкции оценивается ее состоянием при внезапном хрупком отключении одной из вертикальных связей. Предмет исследования: Расчет рамно-стержневой конструкции, работающей в условиях приложения авариного динамического воздействия.

Материалы и методы: Пружинно-массовая схема сложного объекта моделирования, каким является строительное сооружение, обычно содержит несколько десятков дискретных масс, соединенных в общую схему. Колебания элементов строительного сооружения описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, определяющими состояние каждого узла пружинно-массовой схемы в последующий момент времени в зависимости от состояния данного и соседних узлов в два предыдущих момента времени.

Результаты: Живучесть рамы оценивается ее состоянием при внезапном хрупком отключении одной из вертикальных связей. С этой целью представим раму в виде ее пружинно-массовой схемы. Здесь общая масса системы разделена на девять сосредоточенных масс. Предварительно определим распределенные массы стержневых элементов (горизонтальных и вертикальных). Декременты затухания связей обычно определяются экспериментально. Из практического опыта связь между жесткостью и декрементом затухания механических систем имеет вид hу « 0,01 Су. Жесткость зависит от площади поперечного сечения стержня и обобщенного модуля упругости. Рассмотрим аварийную ситуацию рамы при внезапном отключении первой связи. В этом случае исчезает опора под соответствующей массой.Время действия импульса силы обычно выбирается как одна четверть периода собственных колебаний. Изучая колебательные процессы системы можно всегда определить смещение по вертикали двух сосредоточенных масс. Зная смещения двух масс, расположенных по горизонтали, но в вертикальной плоскости можно, используя таблицы строительной механики, определить изгибающий момент и нормальные напряжения, которые и будут определять процесс трещинообразования бетона и снижения модуля упругости горизонтальных элементов рамы.

Выводы: Применение пружинно-массовых схем для оценки живучести строительных сооружений позволяет дать достаточно точную оценку напряженного состояния элементов проектируемой конструкции и определить меры для предотвращения цепной разрушительной реакции при выходе из строя какого-либо элемента. Такие модели дают возможность во времени определять перемещения узлов конструкции, их скоростей и ускорений, как источники для расчета деформаций в конструкции. Наиболее сложным и неопределенным вопросом является учет жесткости и ее изменение в колебательном процессе, если учитывать предварительное сжатие, свойства текучести и ползучести бетона. Ключевые слова: динамическая нагрузка, живучесть зданий и сооружения, рамно-стержневая конструкция, пружинно-массовая схема.

ВВЕДЕНИЕ

При нагружении здания импульсной нагрузкой оно получает сотрясение. Предельные нагрузки при этом лимитируются стойкостью сооружения, которая обеспечивается в том случае, если усилия во внутренних связях, перегрузки в ряде критических точек при сотрясении не превышают заранее заданных (предельных) значений. Оценку стойкости сооружения легко получить с помощью механико-математической модели колебания конструкции. Такая модель позволяет с достаточной степенью адекватности воспроизвести реакцию конструкции на внешнее воздействие.

Универсальные возможности механико-математических моделей предопределили их широкое распространение при расчетах динамического нагружения сложных конструкций. В них использованы различные подходы к представлению рассматриваемого объекта моделирования, например, с помощью методов конечных элементов, граничных элементов, пружинно-массовых схем [1-3]. В последнем случае непрерывно распределенная масса объекта воздействия заменяется дискретными массами, приведенным к его отдельным узлам. Упругие связи заменяются невесомыми пружинами, внутреннее трение учитывается при помощи декрементов затухания, определяемых экспериментально.

АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ

В научных публикациях полследних лет рассмотрены и решены отдельные задачи, связанные проблемой конструктивной

безопасности, изучен ряд новых особенностей напряженно деформированного состояния конструкций зданий и сооружений при таких воздействиях, вызывающих в конструкциях особое предельное состояние [4-6].

Задачи оценки стойкости к прогресирующему обрушению конструкций пордверженных динамическим воздействиям решаются как квазистатическими, так и прямыми динамическими методами [7-9]. В нем разрабатываются теоретические положения и методы расчета на живучестть, решаются прикладные задачи определения критических нагрузок и форм потери устойчивости [10], а также влияния различных конструктивных особенностей [11,12].

Для установления равновесия конструктивной системы использованы два подхода [13,14]:

1) принцип возможных перемещений, по которому: если система находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на любых бесконечно малых перемещениях равна нулю;

2) свойство потенциальной энергии системы, по которому: если система находится в равновесии, ее потенциальная энергия (т.е. энергия внешних и внутренних сил) имеет экстремальное значение.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Пружинно-массовая схема сложного объекта моделирования, каким является строительное сооружение, обычно содержит несколько десятков дискретных масс, соединенных в общую схему [15, 16]. Колебания элементов строительного сооружения описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, определяющими состояние каждого узла пружинно-массовой схемы в последующий момент времени (Ь + АЬ) в зависимости от состояния данного и соседних узлов в два предыдущих момента времени (ь) и (Ь — АЬ)

тЬхЬ = с1-1,1(х1-1 — х1) + ^1-1,1(х1-1 — хй — — сЦ + 1(х1 — х1+1) — ^Ц+1(х1 — Х1+1).

(1)

Здесь: т^ - масса I — го элемента; -

жесткость и коэффициент демпфирования, связывающие массы с индексами 1 — 1 и 1;х0 х¿, хг - перемещение, скорость и ускорение I — ой точечной массы.

В матричной форме система имеет вид

Ах + Вх + Сх = Р.

(2)

Здесь: А, В, С - соответственно квадратные матрицы инерции, затухания и восстановления; F -вектор-столбец возмущающих функций. При

импульсном нагружении системы только дин элемент столбца Р отличен от нуля - элемент, соответствующий приложению внешней нагрузки.

Существенным моментом при разработке расчетной схемы сооружения является определение жесткостей как вертикальных, так и горизонтальных ее элементов. Жесткость соединительных узлов вертикальных элементов конструкции зависит от площади сечений и модуля упругости материалов. Жесткость горизонтальных элементов сооружения зависит от материала, площади поперечного сечения, а также от внешних нагрузок по длине пролета. Важным фактором, влияющим на жесткость горизонтальных элементов, является частота собственных колебаний данных элементов. Рассмотрим колебания горизонтальных стержней и определим частоты их собственных колебаний [12, 13].

При переменной по длине балки ее жесткости основное уравнение поперечных колебаний имеет вид

д2(р . д2у\ д2у_

(3)

Здесь: х - координата вдоль оси баки; у -поперечный прогиб; Егеа]геа - приведенная изгибная жесткость сечения балки; т - ее масса.

Решение уравнения (3) ищется путем разложения функции по собственным формам колебаний с представлением в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной

у(х,1) = ^Хк(х)Тк(1).

к=1

(4)

Подставив (4) в (3), получим

д2 Хк(х) Тк(С)дх 2\Егеа}геа дх 2

+тХк (х)

д2Тк(1) дь2

= 0.

Разделяем переменные

, д2Хк(х)\ д2тк(1)

дх2 \Сге<Цге<1 дх2 ^

тХк(х) = Тк(ь)

Получим два уравнения:

(5)

д12 _ 2 —шк.

д2Тк(Ь)

дъ

+ ш1Тк(1) = 0,

(6)

[Еге^ге^Ш' — ш1тХк(х) = 0.

(7)

Решение уравнения (4) имеет вид уравнения колебаний с одной степенью свободы Тк(р) = АкБт(шкС + ^к).

(8)

Или

Тк(1) = АкСоБшкЬ + Вк5тшкЬ.

(9)

Постоянные в уравнениях (8) и (9) зависят от начальных условий.

Уравнение (7) невозможно решить аналитическими методами. Решение его ищется приближенными методами, например, методом Бубнова-Галеркина. Представим решение функции у(х) в виде бесконечного ряда

ж

у(х) = ^ а1ф1 = а1ср1 + а2ф2 + ■■■.

1=1

(10)

Подставим ряд (10) в выражение (7). Будем иметь

(ж \ '' ж

Еге^геа ^ аф ) - ш2кт ^а^ = 0.

1=1 ' 1=1

(11)

Умножим равенство (11) на любую функцию Ф] (х),при этом равенство (11) не будет нарушено

E

edJred ^ ) - Ш2кт ^ al(l

redJred / aLPL I шкт , aL^i pj —

L=1 J L=1

Интегрируем это выражение по длине балки

I / т т

J (EredJred^aLd'j - M2^m^O.L(L

(fljdx — 0 (12)

ai J[(EredJredPl')" Pj - ulm(pi(j]dx +

0

J[(EredJredP'^)" Pj - Mkm(Pk(j]dx + -

0

J[(EredJredP'^)" Pj - (kmPnPj]dx —

Развернем (12)

+ак

+a.

В данном случае бесконечный ряд усечен до п значений. В канонической форме это выражение имеет вид

Cijai + Ckj ак + ••• + Cnjan — 0.

Здесь

(13)

СЧ = 1[(Еге<игес1ф"У"Р] - Ш2^тф1ф]]йх.

0

(14)

Здесь Сц = Сц Функции ф подбирается таким образом, чтобы они полностью или частично удовлетворяли граничным условиям задачи, а также соответствовали формам главных колебаний.

Неопределенные коэффициенты аI также должны удовлетворять уравнениям (14) при любых значениях к. Для этого следует определитель системы приравнять к нулю

С11 С1к ••• С1п

D —

C

Cn1 Cnk

... C

— 0.

В простейшем случае, при п — 1, будем иметь C11a1 — 0, или

C

— J[(Ered/red(1r)" Pi - Mkm(1]dx —

Откуда

к0 ( — —

I^[(EredJred('l'y P1]dx

к ilmrfkdx

0.

(16)

Если на балке имеются сосредоточенные массы М, то

!0[(EredJred('ll)" Pi]dx

к fOmtfdx + Xi=1ML(^

(17)

Для схемы балки с жесткими креплениями на концах функцию прогибов целесообразно выбрать в следующем виде

I 2лх\ t 3лх\

ук(х) = аг (1 - Cos—) + а2 (1 - Cos—) + ■■■.

(18)

Каждый член ряда должен удовлетворять условиям: у(0) = у'(0) = 0. В ряде (18) четные аргументы соответствуют граничным условиям, а нечетные аргументы удовлетворяют условию у' (0) = 0, но не удовлетворяют условию у(0) = 0.

Рассмотрим простейший случай, используется только один член ряда, то есть С11а1 = 0. На рисунке 1 представлена схема горизонтального пролета рамы. В этом случае

C

— J(EredJred(i'(1 - ma>2(1)dx

M(2

(ф2)Ь + (фк)2Ь

— 0.

(19)

Рис. 1. Горизонтальный пролёт рамы Fig. l.Horizontal frame span

Определим функцию р1 и ее производные из выражения (18):

2nx 16л4 2nx

р1 — 1 - Cos-

L '

ф1

тл -Cos- „ , L4 L

((Pi)L/3 — 1,5 ((Pi)2L/3 — 1,5 Выражение (19) примет вид:

J

Ered.] red "

16л4

¿лx( ¿лx\

L4-C0S — {1-C0S—)

dx

С ( 2лx\2

- J m(2 (1 - Cos—) dx - Mlm2(1,52 + 1,52) — 0.

(20)

0

''

0

0

3

0

Cii —

0

C

n n

Определим последовательно каждый член данного выражения:

16л4 Г 2лх —Егеа/геа—] со5—ах = 0;

L4

16л4 2 EredJred ~ I Cos

L4

EredJred '

dx

16л4 L ~2'

L L

, Г 9 9 Г 2лх

—ш2т I dx = —(o2mL; 2ш2т I Cos—^—dx = 0'

L

о

о

—ш2т

2 л x

I Cos2 ()dx = —

L

dx = —ш2т — ' 2

-4,5М1ш2.

Таким образом, имеем

16л4 Ь Ь

Егеа]геа—Г^^ = ш2тЬ + ш2т- + 4,5ш2М1

L4 2 2

= ш2 mL + 4,5Ml).

Из последнего равенства определим частоту собственных колебаний балки

8л4

2 Егей!гей ь3

Ш = 3тЬ/2 + 4,5М1' (211)

Таким образом, жесткость горизонтальных элементов рамы при вертикальных колебаниях системы будет равна

_ 8л4

Еге(1]гей . (22)

При внезапном разрушении одной из опорных связей в общей конструкции возбуждаются колебания, что приводит к разрушению при напряжениях меньших, чем при статическом нагружении. В бетоне происходит накопление неупругих деформаций, наблюдается снижение

условного модуля деформации бетона, а также момента инерции сечения вследствие образования трещин. То есть существенно уменьшается значение Егей]гей.

Рассмотрим простой пример расчета на живучесть рамно-стержневой системы тем анализа ее пружинно-массовой схемы.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ

Исходная схема рамно-стержневой конструкции показана на рисунке 2. Сечение стержней рамы является прямоугольным. Для простоты первоначальных исследований армирования бетонных стержней осуществлено в центре сечения (рисунок 3) [13].

Основные исходные данные. Длина горизонтальных пролетов Ь = 1,0 м; вертикальных Н = 0,5 м. К горизонтальным стержням приложены внешние силы: Е1 = 2660 Н, Р2 = 2160 Н, ¥3 = 1550 Н.

При исследовании колебательного движения элементов рамы внешние силы заменим сосредоточенными массами М1 = 271кг, М2 = 220 кг, М3 = 158 кг. Плотности материалов бетона и арматуры рб = 2500 кг/м3, ра = 7870 кг/м3. Модули упругости этих материалов Еб = 3 • 1010 Па, Еа = 2 • 1011 Па.

Приведенную изгибную жесткость определим из выражения:

0.0125

EredJred = Ebbh

<Pl(0.3 + öe

+ 0.175ца

h

h

Условные обозначения приняты действующих норм проекирования [8].

(23) согласно

Рис. 2. Схема рамы Fig. 2. Frame diagram

о

о

о

Рис. 3. Сечение стержней рамы Fig. 3. Cross section off rame bars

Размеры сечения стержневых элементов: а = 0,1 м, Ь = 0,05 м. Диаметр металлического стержня й = 0,006 м.

Живучесть рамы (рисунок 2) оценивается ее состоянием при внезапном хрупком отключении одной из вертикальных связей. С этой целью представим раму в виде ее пружинно-массовой схемы (рисунок 4).

Здесь общая масса системы разделена на девять сосредоточенных масс. Предварительно определим распределенные массы стержневых элементов

(горизонтальных и вертикальных) : ть = {AqPq + Aapa)L, I = {A6p6 + Aapa)H.)

mh

(24)

Обозначим: т^ - /-ая сосредоточенная масса; с^ - жесткость связи соответствующих сосредоточенных масс; йу - соответствующие им декременты затухания связей. Декременты затухания связей обычно определяются экспериментально. Из практического опыта связь между жесткостью и декрементом затухания

механических систем имеет вид hг , « 0,01ci

Рис. 4. Пружинно-массоваясхемарамы Fig. 4. Spring-massframescheme

Выражения для сосредоточенных масс составлены с учетом того, что в них включены половины масс стержневых элементов, находящихся между назначенными узлами: т1 = 0,5т1 + тн + М1, \ т2 = 0,5ть +тн + М2, } (25)

т3 = 0,5ть + 0,5тн + М3;) т4 = ть + тн + 2М1, л т5 =ть+тн + 2М2, } (26)

т6 = ть + 0,5тн + 2М3;) т7 = 0,5т1 + тн + М1, \ т8 = 0,5ть +тн+ М2, } (27)

т9 = 0,5ть + 0,5тн + М3.)

Перейдем к определению жесткостей связей между сосредоточенными массами. Для вертикальных связей жесткость находится обычным путем из анализа деформации стержня с = АЕгеа.

То есть жесткость зависит от площади поперечного сечения стержня и обобщенного модуля упругости.

Первоначальная жесткость горизонтального

элемента рамы определяется по уравнению (22).

Ряд авторов предлагают для учета переменной жесткости использовать двухфазовые расчетные модели, связывающие между собой изгибающие моменты в сечениях с кривизной. Такой расчет, по нашему мнению, возможен для статически нагруженных конструкций. Кроме того, необходимо заранее иметь их графические зависимости, получаемые экспериментальным путем.

Другую концепцию представляет модель, в которой изменение жесткости элемента зависит от величины изгибающего момента и описывается зависимостью

МI

EredJred = {EredJred)0 ( 1 к

М,

кр

(29)

Здесь М1 - текущий изгибающий момент, Мкр -критическое значение изгибающего момента.

Составим систему уравнений колебаний всех приведенных масс рамы, представленных на рисунке 4:

mixi — coi(xo xi) + hoi(xo Х1) Ci2(Xi x2) hi2(Xi x2)

-c14(x1 — X4) — h14(X1 — X4); m2X2 — C12(x1 — X2) + h01(X1 — X2) — C23(x2 — X3) — h23(X2 — X3) — 'C25(x2 — X5) — h25(X2 — Xs);

— /

m3X3 — c23(x2 X3^ + h23(x2 X3) C36(x3 X6) h36(X3 X6y; m4X4 — C04(x0 — X4) + h04(X0 — X4) — C45(x4 — X5) — h45(X4 — X5) —

- 14 (X4 - - xi) hi4(X4 Xi) С47 (X4 - x7) - h47(X4 - X7); m5X5 — c45(x4 — x5) + h45(X4 — X5) — C56(x5 — X6) — h45(X5 — X6)

-C2s(x5 - X2) - hi4(X5 - X2) - Cs8(Xs - x8) - h47(X5 - X8); m6X6 — c56(x5 - x6) + h56(X5 - X6) - C36(x6 - X3) - h36(X6 - X3)

-C69(x6 - X9) - h69(X6 - X9); m7X7 — C07(x0 - X7) + h07(X0 - X7) - C78(x7 - X8) - h78(X7 - X8) -

-C47(x7 - X4) - h47(X7 - X4y; m8X8 — C78(x7 - X8) + h78(X7 - X8) - C89(x8 - X9) - h89(X8 - X9) -

-c58(X8 - x5) - h58(X8 - X5);

m9X9 — C89(x8 - X9) + h89(X8 - X9) - C69(x9 - X6) - h69(X9 - X6).

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

В этих уравнениях х1, Х1, Х1 - перемещения, скорости и ускорения I — ой сосредоточенной массы; И ^ - декременты затухания соответствующих пружинных связей. В первом приближении можно принять = 0,01с^ В уравнениях (30) - (38) необходимо принять х0 = Х0 = 0 (для неподвижных опор).

Рассмотрим аварийную ситуацию рамы при внезапном отключении связи с 01. В этом случае в уравнение (30) необходимо добавить член Р = 2 д (т1 + т2 +т3)- исчезает опора под массой т1. Коэффициент 2 обозначает внезапность приложения внешней силы. Если рассмотреть разрушение опоры под массой т4, то в уравнение (33) добавляется член Р = 2д(т4 +т5+ т6).

Более эффективной начальной нагрузкой на систему является использование начального импульса, приходящегося на сосредоточенную массу, под которой исчезает опора. Согласно закону изменения количества движения

ту = РЬ. (39)

Время действия импульса силы обычно выбирается как одна четверть периода собственных колебаний, то есть:

Т л

1 = - = —. (40)

4 2ш у '

Для нахождения частоты собственных колебаний используем формулу (21). Тогда 2л2

ш — ■

L2

N

2EredJred

2 , л ГМ; 3m + 4'5~L

(41)

После подстановки (40) и (41) в (39) будем иметь gL2

у — ■

4л \

2 1Л ГМ: 3т + 45М

2EredJred

(42)

Для рассматриваемой схемы начальная скорость аварийной массы принимает значения у = (0,3 ^ 0,5) м/с.

Изучая колебательные процессы системы можно всегда определить смещение по вертикали двух сосредоточенных масс (рисунок 5).

Рис. 5. Вертикальное смещение масс Fig. 5. Vertical mass displacement

Зная смещения двух масс, расположенных по горизонтали, но в вертикальной плоскости d можно, используя таблицы строительной механики, определить изгибающий момент и нормальные напряжения, которые и будут определять процесс трещинообразования бетона и снижения модуля упругости горизонтальных элементов рамы.

ВЫВОДЫ

Применение пружинно-массовых схем для оценки живучести строительных сооружений позволяет дать достаточно точную оценку напряженного состояния элементов проектируемой конструкции и определить меры для предотвращения цепной разрушительной реакции при выходе из строя какого-либо элемента. Такие модели дают возможность во времени определять перемещения узлов конструкции, их скоростей и ускорений, как источники для расчета деформаций в конструкции.

Наиболее сложным и неопределенным вопросом является учет жесткости и ее изменение в колебательном процессе, если учитывать предварительное сжатие, свойства текучести и ползучести бетона. В этом случае без предварительных физических экспериментов не обойтись.

Исследования выполнены в рамках гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук (договор № 075-15-2021-312-2)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карпенко, Н.И. Проектирование бетонных, железобетонных, каменных и армокаменных элементов и конструкций с применением диаграммных методов расчета / Н.И.Карпенко, Б.С.Соколов, О.В. Радайкин. - М.: Издат. АСВ, 2019. - 192 с.

2. Колоушек, В. Динамика строительных конструкций / В.Колоушек. - М.: Издат. литературы по строительству, 1965. - 620 с.

3. Маилян, Р.Л. Строительные конструкции: учебное пособие / Р.Л.Маилян, Д.Р.Маилян, Ю.А. Веселев. - Ростов-на-Дону: Изд. Феникс, 2005. - 876 с.

4. Колчунов В.И. Живучесть зданий и сооружений при запроектных воздействиях / В. И. Колчунов, Н. В. Клюева, Н. Б. Андросова, А. С. Бухтиярова. - М.: АСВ, 2014. - 208 с.

5. Колчунов, В. И. Динамический отклик конструктивной системы здания с конечным числом степеней свободы при особом воздействии / В. И. Колчунов, В. Н. Туен, Д. И. Нижегородов // Вестник МГСУ. - 2021. - Т. 16. - № 10. - С. 1337-1345. - Б01 10.22227/1997-0935.2021.10.1337-1345. - ББМ

вист

6. Колчунов, В.И. Деформационные модели железобетона при особых воздействиях /

B.И. Колчунов, В.И. Колчунов, Н.В. Федорова // Промышленное и гражданское строительство. -2018. - № 8. - С. 54-60. - ББМ ^ОАБР.

7. Акимов, П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений при микроциклических квазистатических воздействи ях / П. А. Акимов, А. Б. Золотов, В. Н. Савостьянов // Вестник МГСУ. -2007. - № 1. - С. 141-145. - ББМ М^О^.

8. Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: учебник для вузов / А.Ф. Смирнов [и др.]. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

9. Гуж, Т. С. Применение энергетического метода при разработке математической модели расчета статически определимых и неопределимых стальных ферм / Т. С. Гуж, А. М. Козиков, В. А. Ильичев // Инженерные кадры - будущее инновационной экономики России: Материалы Всероссийской студенческой конференции: в 8 частях, Йошкар-Ола, 23-28 ноября 2015 года. -Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2015. - С. 53-57. -ББМ У^ОТ!

10. Савин, С.Ю. Устойчивость внецентренно сжатых железобетонных элементов при особых воздействиях с учетом деформаций сдвига /

C.Ю. Савин // Вестник МГСУ. - 2021. - Т. 16. - № 1. - С. 49-58. - Б01 10.22227/1997-0935.2021.1.49-58. -ББМ ОББХСС.

11. Колчунов, В.И. Особое предельное состояние в железобетонных каркасахс узлами, усиленными косвенным армированиемпри аварийных воздействиях / В.И. Колчунов, П.А. Кореньков,

Д.Г. Фан // Вестник МГСУ. - 2021. - Т. 16. - № 11. -С. 1462-1472. - DOI 10.22227/19970935.2021.11.1462-1472. - EDN ZBNYMY.

12. Ильющенко, Т. А. Трещиностойкость преднапряженных железобетонных рамно-стержневых конструкций при особых воздействиях / Т.А. Ильющенко, В.И. Колчунов, С.С. Федоров // Строительство и реконструкция. - 2021. - № 1(93). -С. 74-84. - DOI 10.33979/2073-7416-2021-93-1-7484. - EDN JVKPHT.

13. Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: учебник для вузов / А.Ф. Смирнов [и др.]. - М.: Стройиздат,

1984. - 416 с.

14. Струпинин, Л.Ю. Строительная механика плоских стержневых систем: учебное пособие / Л.Ю. Струпинин, С.И.Трушин. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 276 с.

15. Чемодуров, В.Т. Основы теории упругости, пластичности и ползучести: учебное пособие / В.Т. Чемодуров, С.Г.Ажермачев, К.С. Пшеничная-Ажермачева. - М.: ИНФРА-М, 2019. - 238 с.

16. СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003. - М.: Минстрой России. - 2018. - 162 с.

17. СП 385.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения. Правила проектирования». ЭС НТИ "Техэксперт", 2017. - 35 с.

18. Голинкевич, Т.А. Прикладная теория надежности / Т.А. Голинкевич. - М.: Высшая школа,

1985. - 16 с.

19. Острейковский, В.А. Теория надежности: учебник для вузов / В.А. Острейковский. - М.: Высшая школа, 2003. - 463 с.

20. Райзер, В.Д. Теория надежности сооружений. Научное издание / В.Д. Райзер. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 384 с.

21. Чемодуров, В.Т. Физическое и математическое моделирование строительных систем: учебное пособие / В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова. - М.: ИНФРА-М, 2021. - 196 с.

REFERENCES

1. Karpenko, N.I. Design of concrete, reinforced concrete, stone and reinforced masonry elements and structures using diagrammatic methods of calculation / N.I. Karpenko, B.S. Sokolov, O.V. Radaikin. - M.: Publishing house. DIA, 2019. - 192 p.

2. Koloushek, V. Dynamics of building structures / V. Koloushek. - M.: Publishing house. literature on construction, 1965. - 620 p.

3. Mailyan, R.L. Building structures: textbook / R.L. Mailyan, D.R. Mailyan, Yu.A. Veselev. - Rostov-on-Don: Ed. Phoenix, 2005. - 876 p.

4. Kolchunov V.I. Survivability of buildings and structures under beyond-design impacts / V.I. Kolchunov, N.V. Klyueva, N.B. Androsova, A.S. Bukhtiyarova. - M.: ASV, 2014. - 208 p.

5. Kolchunov, V.I., V.N. Tuen, D.I. Nizhegorodov, Dynamic response of the constructive system of a building with a finite number of degrees of freedom under special impact // Bulletin of MGSU. - 2021. -T. 16. - No. 10. - Pp. 1337-1345. - DOI 10.22227/1997-0935.2021.10.1337-1345. - EDN GIICRD.

6. Kolchunov, V.I. Deformation models of reinforced concrete under special effects / V.I. Kolchunov, V.I. Kolchunov, N.V. Fedorova // Industrial and civil construction. - 2018. - No. 8. -P. 54-60. - EDN UWOAEP.

7. Akimov, P.A., Zolotov, A.B., Savost'yanov, V.N. Discrete-continuum methods for calculating structures under microcyclic quasi-static effects, Vestnik MGSU. - 2007. - No. 1. - Pp. 141-145. - EDN MUSQWB.

8. Smirnov, A.F. Structural mechanics. Dynamics and stability of structures: a textbook for universities / A.F. Smirnov [i dr.]. - M.: Stroyizdat, 1984. - 416 p.

9. Guzh, T. S. Application of the energy method in the development of a mathematical model for calculating statically determinate and indeterminate steel trusses / T. S. Guzh, A. M. Kozikov, V. A. Ilyichev // Engineering personnel - the future of the innovative economy of Russia: Materials of the All-Russian Student Conference: in 8 parts, Yoshkar-Ola, November 23-28, 2015. - Yoshkar-Ola: Volga State Technological University, 2015. - Pp. 53-57. - EDN VNQUFJ.

10. Savin, S.Yu. Stability of eccentrically compressed reinforced concrete elements under special effects, taking into account shear deformations / S.Yu. Savin // Vestnik MGSU. - 2021. - T. 16. -No. 1. - Pp. 49-58. - DOI 10.22227/19970935.2021.1.49-58. - EDN QDEXCC.

11. Kolchunov, V.I., Korenkov, P.A., Fan, D.G. Special limiting state in reinforced concrete frames with nodes reinforced by indirect reinforcement under emergency impacts, Vestnik MGSU. - 2021. - T. 16. -

No. 11. - Рр. 1462-1472. - DOI 10.22227/19970935.2021.11.1462-1472. - EDN ZBNYMY.

12. Ilyushchenko, T.A. Crack resistance of prestressed reinforced concrete frame-rod structures under special impacts / T.A. Ilyushchenko, V.I. Kolchunov, S.S. Fedorov // Construction and Reconstruction. - 2021. - No. 1 (93). - Рр. 74-84. - DOI 10.33979/2073-7416-2021-93-1-74-84. - EDN JVKPHT.

13. Smirnov, A.F. Structural mechanics. Dynamics and stability of structures: a textbook for universities / A.F. Smirnov [i dr.]. - M.: Stroyizdat, 1984. - 416 p.

14. Strupinin L.Yu. Structural mechanics of flat rod systems: textbook / L.Yu. Strupinin, S.I. Trushin. - M.: INFRA-M, 2014. - 276 p.

15. Chemodurov, V.T. Fundamentals of the theory of elasticity, plasticity and creep: textbook / V.T. Chemodurov, S.G. Azhermachev, K.S. Wheat-Azhermacheva. - M.: INFRA-M, 2019. - 238 p.

16. SP 63.13330.2018. Concrete and reinforced concrete structures. Updated edition of SNiP 52-012003. - M. Ministry of Construction of Russia. - 2018. -162 p.

17. SP 385.1325800.2018 "Protection of buildings and structures from progressive collapse. Design Rules". ES NTI "Techexpert", 2017. - 35 p.

18. Golinkevich, T.A. Applied reliability theory / Т.А. Golinkevich. - M.: Higher school, 1985. - 16 p.

19. Ostreykovsky, V.A. Reliability theory: a textbook for universities / V.A. Ostreikovskiy. - M.: Higher School, 2003. - 463 p.

20. Raiser, V.D. Theory of reliability of structures. Scientific publication / V.D. Raiser. - M.: DIA Publishing House, 2010. - 384 p.

21. Chemodurov, V.T. Physical and mathematical modeling of building systems: textbook / V.T. Chemodurov, E.V. Litvinov. - M.: INFRA-M, 2021. -196 p.

CrpoHTeflbCTBO HTexH0reHHaa6e30nacH0CTbN°26(78) -2022

SPRING-MASS MODEL OF DEFORMATION OF A REINFORCED CONCRETE STRUCTURAL

SYSTEM UNDER DYNAMIC INFLUENCES

Chemodurov V.T., Litvinova E.V., Azhermachev S.G. Korenkov P. A.

Institute «Agrotechnological Academy» V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Crimea 295492, c. Simferopol', v. Agrarnoe Moscow State University of Civil Enginieerig, (National Research University), 26, Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, e-mail: 1Chens_mu1@mail.ru, 2Sga.simf@gmail.com, 3Ellalit@mail.ru4, KorenkovPA@mgsu.ru

Abstract. Limit loads when loading a building with an impulse load are limited by the stability of the structure, which is ensured if the forces in internal connections, overloads at a number of critical points during shaking do not exceed predetermined (limit) values. It is easy to obtain an assessment of the stability of a structure using a mechanical and mathematical model of structure vibration. Such a model makes it possible to reproduce, with a sufficient degree of adequacy, the reaction of the structure to external influences. The article considers the issue of calculating a frame-rod structure operating under conditions of application of an extreme load. The theory for solving such a problem is based on the use of a spring-mass model of a real structure. The survivability of a frame-rod structure is estimated by its state in the event of a sudden brittle disconnection of one of the vertical links. Subject: Calculation of a frame-rod structure operating under conditions of extreme load application.

Materials and methods: The spring-mass scheme of a complex modeling object, which is a building structure, usually contains several tens of discrete masses connected into a common scheme. Oscillations of elements of a building structure are described by second-order differential equations that determine the state of each node of the spring-mass circuit at the next moment of time, depending on the state of this and neighboring nodes at the two previous points in time.

Results: The survivability of the frame is estimated by its condition in the event of a sudden brittle disconnection of one of the vertical links. For this purpose, we present the frame in the form of its spring-mass scheme. Here the total mass of the system is divided into nine lumped masses. Let us first determine the distributed masses of the bar elements (horizontal and vertical). The damping decrements of bonds are usually determined experimentally. From practical experience, the relationship between stiffness and the damping decrement of mechanical systems has the form h~ 0,01 Cy.The stiffness depends on the cross-sectional area of the rod and the generalized modulus of elasticity. Let's consider the emergency situation of the frame when the first connection is suddenly disconnected. In this case, the support under the corresponding mass disappears. The duration of the force impulse is usually chosen as one quarter of the period of natural oscillations. By studying the oscillatory processes of the system, one can always determine the vertical displacement of two concentrated masses. Knowing the displacement of two masses located horizontally, but in a vertical plane, it is possible, using tables of structural mechanics, to determine the bending moment and normal stresses, which will determine the process of concrete cracking and a decrease in the elastic modulus of the horizontal frame elements.

Conclusions: The use of spring-mass schemes for assessing the survivability of building structures makes it possible to give a fairly accurate assessment of the stress state of the elements of the designed structure and determine measures to prevent a destructive chain reaction in the event of failure of any element. Such models make it possible to determine in time the displacements of structural nodes, their velocities and accelerations, as sources for calculating deformations in the structure. The most complex and uncertain issue is the consideration of stiffness and its change in the oscillatory process, given the pre-compression, flow properties and creep of concrete. In this case, preliminary physical experiments are indispensable. Keywords: impulse load, structural stability, frame-rod structure, spring-mass scheme.