CC BY
47
УДК 537.876.22 В.В. Фисанов
Проявления невзаимности в биизотропной среде Теллегена
Рассматриваются собственные поля и плоские волны круговой поляризации в биизотропной среде Теллегена. Невзаимность такой однородной и безграничной среды обнаруживается в результате сопоставления свободно распространяющихся электромагнитных полей Бельтрами в исходной и сопряжённой средах Теллегена. Она также проявляется как мера неортогонально-сти электрического и магнитного полей плоской волны в такой среде.
Ключевые слова: биизотропная среда Теллегена, диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, параметр невзаимности, электромагнитные поля Бельтрами, волновые импе-дансы, волновое число, однородные плоские волны, вектор Пойнтинга.
Начиная с середины 80-х годов прошлого века резко повысился интерес к исследованию сложных электромагнитных сред и метаматериалов. К ним обычно относят искусственные композитные материалы с малыми включениями различного вида применительно к микроволнам и нанотехнологиям. На макроскопическом уровне описания они характеризуются как биизотропные или даже как бианизотропные среды. Киральная среда является наиболее известным представителем таких сред. Менее известна и изучена биизотропная среда Теллегена, которая первоначально была предложена для реализации гиратора - пятого элемента электрических цепей [1]. Возможность создания среды Теллегена была недавно подтверждена экспериментально с использованием наноразмерных Янус-частиц, которые являются носителями тесно связанных между собой диполей постоянных электрических и магнитных зарядов [2, 3]. Такие материалы представляют интерес в качестве элементов волноводных трактов и других устройств на микроволнах [4]. Среда Теллегена, будучи биизотроп-ной, является, однако, невзаимной. Считается, что свойство невзаимности неочевидно в безграничной среде [5], но вполне проявляется при наличии отражающего препятствия [6]. В данной работе показывается, что невзаимность обнаруживается также и через посредство свободно распространяющихся через однородную среду Теллегена полей, в том числе плоских волн.
Материальные уравнения, параметры и собственные волны среды Теллегена. При описании электромагнитных волновых полей в материальных средах к уравнениям Максвелла добавляют материальные уравнения - соотношения, которые определяют взаимосвязи между индукциями Б, В и напряженностями Е, Н электрического и магнитного полей. Общая биизотропная среда характеризуется помимо диэлектрической и магнитной проницаемостей двумя дополнительными параметрами, которые обеспечивают перекрёстную (магнитоэлектрическую) связь векторов поля и являются ответственными за свойства киральности и невзаимности среды. В макроскопической электродинамике сред со слабой пространственной дисперсией традиционно применяют несколько систем симметричных материальных уравнений [7]. Уравнения Друде-Борна-Фёдорова для биизотропной среды
Б = е(Е + аУхЕ), В = ц(Н + рУхН) (1)
непосредственно указывают на пространственную дисперсию среды. Они применяются совместно с однородными уравнениями Максвелла, а при наличии сторонних источников должны быть модифицированы [8]. Эти уравнения справедливы при произвольной зависимости от времени ґ, далее рассматриваются синусоидально изменяющиеся монохроматические поля с фактором ехр(-/юґ), где ш - круговая частота. В формулах (1) символами е и ц обозначены соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, а символы а ив обозначают параметры магнитоэлектрической связи. Киральной среде соответствует равенство параметров связи (а = в), тогда как при значении Р = -а получается среда Теллегена.
Как и в общей биизотропной среде, здесь справедлива декомпозиция электромагнитного поля на два поля круговой поляризации, называемых также «полями Бельтрами» Оі и О2 . Уравнения Максвелла вместе с уравнениями связи (1) приводятся к виду
УхРі =уОі, V-Оі = 0; (2)
^02 = -у02, V-02 = 0 (3)
2 2
и удовлетворяют уравнению Гельмгольца V О12 +У 012 = 0- Оба поля распространяются с еди-
ным волновым числом
„ w ] —V2
Y = k
l + (ka)2 , k = ю(ец)12, (4)
но имеют разные волновые импедансы
'i-l
П1,2 = П
l + (ka)2 ± ka\ , п = (ц/є)12. (5)
1/2
0/2
Связь между волновым числом и волновыми импедансами определяется формулами
Y = k(1,2/n±ka) V. (6)
Вводя вспомогательный безразмерный параметр невзаимности по формуле 0 = arsh (ka) , получим
Y = ksech0, ni,2 =nexp(+0).
В отсутствие потерь в среде Теллегена все материальные параметры являются вещественными величинами. Параметр невзаимности a принимается положительным, если моменты постоянных диполей в частице Теллегена параллельны и одинаково направлены, и отрицательным, если они противоположно направлены. Две среды, различающиеся только знаком параметра невзаимности, называются сопряжёнными. Как следует из (5), ni,2(-a) = n2,l(+a), т.е. в сопряжённой среде Телле-
гена поля Бельтрами обмениваются импедансами, но сохраняют первоначальный тип левой или правой круговой поляризации.
Векторы Ql,2 характеризуют волновые поля, которые в однородной и безграничной среде свободно распространяются без взаимодействия или отражения и могут возбуждаться по отдельности. По этой причине невзаимность оказывается у них завуалированным свойством. Невзаимность должна проявляться при сопоставлении одноимённых волновых величин в исходной и сопряжённой средах. В исходной среде поля Бельтрами связаны с напряжённостями электромагнитного поля по формулам
E = Qi - in2Q2, H = Q2 - iqiQi; (7)
Q1 =(E + Щ2H)(^ + ?in2) ) Q2 =(H + i?lE)(^ + ?in2) 1, (8)
где cj =n^j1 (j = 1,2) - волновые адмитансы. Образуем разность между электрическими полями в исходной и сопряжённой с ней средах Теллегена
AE = E - ETO^ = i (ni —П2 )Q2 = -2inkaQ2 (9)
и между магнитными полями
AH = H - HTO^ = i(C2 -C l)Ql =-2iCkaQi. (10)
Обе разности изменяются пропорционально параметру невзаимности a и в простой изотропной среде (при a = 0) обращаются в нуль.
Комплексный вектор Пойнтинга P = lE х H* (знак «* » обозначает комплексное сопряжение)
также можно использовать для выявления невзаимности среды. В общем случае разность AP = P
- P^^ приводится к выражению
2AP =i(ci -C2)Q1 xQl +i(ni-П2)Q1 xQl +(С1П2-C2ni)Q2xQl . (ll)
Пусть поля Бельтрами являются плоскими волнами, которые распространяются в плоскости у = О под углом ф к оси z . В этом случае
Qi (x z) = {—icosф,1,isinф}Qlexp[y(xsinф + zcosф)] , (12)
Q2 (x, z) = {i cosф,1,-isin ф^2 exp [y( xsin ф + zcosф)], (13)
где Qi и Q2 - амплитуды плоских волн Бельтрами. Третье слагаемое в (11) обращается в нуль, после чего получаем
А? = 2kajcQl|2 +n|Q2|2)(sinфХ + cosфї) . (14)
Таким образом, средние за период значения плотности потока энергии различаются, причём тоже на величину, кратную параметру невзаимности a .
Невзаимность можно обнаружить также и не прибегая к сопряжённой среде. Как видно из (7), электрическое и магнитное поля зависят от параметра невзаимности через импеданс П2 и адмитанс C1. Изучая структуру поля распространяющейся плоской волны в среде и используя тот факт, что
векторы E и H не являются взаимно ортогональными, находим проявление невзаимности среды Теллегена, вычисляя скалярное произведение E • H.
Плоские волны Бельтрами Qj (r) = Qj exp(iy-r), у = уё (j =1,2), где e - единичный вектор в
направлении распространения, r - радиус-вектор, обладают структурой
ieхQ1,2 = ±Q2,1, e•Qj = 0, (15)
см. формулы (2) и (3). Введём тройку базисных векторов Єї , ёц, e, так что eх Єї = Єц , eх ёц = -Єї .
Пусть Q j = Q|jj)e|| + Qi^i; вследствие (15) имеется связь Q|j1,2) = ±iQl,2) , поэтому имеем
Qi = Q|j1) ( - іЄ i) = q1 (i + іЄц ), (16)
Q 2 = Q|j2)(en + іЄ i) = Ql2)(^i-іЄц ). (17)
Векторы электрического и магнитного полей вычисляются, согласно (7), по формулам (сомножитель exp(iy-r) подразумевается)
e=(qj1) - in2Q,j2))]eH - i(qj1) + in2Qj2)je i=^q1 - in2Ql2)^)ei+і (q1 + in2Ql2)^eH, (18)
H = (q{2) -iqQjl))e,| + i(Q2) + iqqPjei = ^q12) -iqQ^ei -iQ2) + iqQl^e,,. (19)
В отличие от простой изотропной среды, здесь скалярное произведение E • H Ф 0 и служит мерой невзаимности
E• H = ElH|| + EiHi = 2(1-сіП2)q1)q12) =-4ka(-Y+ka) . (20)
При обращении параметра a в нуль ортогональность векторов напряжённости электрического и магнитного полей однородной плоской волны восстанавливается.
Заключение. Невзаимность биизотропной среды Теллегена может быть обнаружена не только при отражении от границы или от поверхности раздела с взаимной изотропной средой, но и в свободно проходящих среду волнах. С этой целью следует сопоставить одноимённые характеристики волновых полей в исходной и сопряжённой с ней средах Теллегена. Индикатором невзаимности служит также скалярное произведение напряжённостей электрического и магнитного полей в поле плоской однородной волны. Полученные результаты показывают, что аспект неоднородности среды, который присутствует в дискуссии о невзаимной биизотропной среде [9, 10], является несущественным.
Литература
1. Tellegen D.B.F. The gyrator: a new electric network element // Philips Res. Rept. - 1948. - Vol. 3, № 2. - P. 81-101.
2. Ghosh A. Voltage-controllable magnetic composite based on multifunctional polyethylene microparticles / A. Ghosh, N.K. Sheridon, P. Fischer // Small. - 2008. -Vol. 4, № 11. - P. 1956-1958.
3. Fischer P. Tellegen particles / P. Fischer, A. Ghosh // PIERS Abstracts, Cambridge (USA): Cambridge, MA: The Electromagnetics Academy, 2008. - P. 28.
4. Canto J.R. Modal analysis of bi-isotropic H-guides / J.R. Canto, C.R. Paiva, A.M. Barbosa // Progress In Electromagnetics Research. - 2011. - Vol. ill. - P. 1-24.
5. Lindell I.V. On the reciprocity of bi-isotropic media // Microwave Opt. Technol. Lett. - 1992. -Vol. 5, № 7. - P. 343-346.
6. Sihvola A. Handedness in plasmonics: electrical engineers perspective / A. Sihvola, S. Zouhdi // Metamaterials and plasmonics: fundamentals, modeling, applications (S. Zouhdi, A. Sihvola, A.P. Vinogradov, eds.).- Dordrecht: Springer, 2009. - P. 3-20.
7. Propagation in bi-isotropic media: effect of different formalisms on the propagation analysis /
S. Ougier, I. Chenerie, A. Sihvola, A. Priou // Progress In Electromagnetics Research. - 1994. - Vol. 9. -P. 19-30.
8. Фисанов В.В. О применении систем материальных уравнений к задачам излучения электромагнитных волн в изотропной киральной среде // Радиотехника и электроника. - 2004. - Т. 49, № 4. - С. 454-457.
9. Lakhtakia A. Comment on “Are nonreciprocal bi-isotropic media forbidden indeed?” / A. Lakhtakia, W.S. Weiglhofer // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1995. - Vol. 43, № 12. -P. 2722-2723.
10. Sihvola A.H. Author’s reply // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1995. - Vol. 43, № 12. -P. 2723-2724.
Фисанов Василий Васильевич
Д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник СФТИ при НИТГУ, профессор каф. радиофизики Национального исследовательскогоТомского государственного университета Тел.: (382-2) 41-20-78 Эл. почта: fisanov@public.tsu.ru
Fisanov V.V.
Nonreciprocity displays in a bi- isotropic Tellegen medium
Circularly polarized eigenfields and plane waves are considered in a bi-isotropic Tellegen medium. The nonreciprocity of such homogeneous and unbounded medium is shown as a result of comparison between freely propagating electromagnetic Beltrami fields in initial and conjugate Tellegen media. It is appeared as a nonorthogonality measure of the electric and magnetic plane-wave fields in such a medium.
Keywords: bi-isotropic Tellegen medium, dielectric permittivity, magnetic permeability, nonreciprocity parameter, electromagnetic Beltrami fields, wave impedances, wave number, homogeneous plane waves, Poynting vector.
