CC BY
45
УДК 537.876.23 В.В. Фисанов
Плоскослоистые структуры сопряжённых киральных метаматериалов
Плоскослоистые структуры, образованные изотропными слоями сопряжённых киральных сред, характеризуются матрицей передачи, элементы которой рассчитываются по правилу перемножения матриц последовательности границ и парциальных слоёв с учётом различий в знаках параметра киральности, диэлектрической и магнитной прони-цаемостей и волновых чисел волн Бельтрами. Даётся классификация однослойных киральных структур, различающихся по виду матрицы передачи.
Ключевые слова: киральные метаматериалы, отрицательная рефракция, волны Бельтрами, слоистая структура, идеальная линза, комплементарные среды.
Отрицательный показатель преломления является наиболее важной характеристикой электромагнитных метаматериалов с двумя отрицательными проницаемостями. Он лежит в основе таких эффектов, как фокусировка плоской линзой (линза предсказана В.Г. Ве-селаго [1], она представляет собой слой вещества с показателем преломления, равным -1, который помещён в свободное пространство), и «плащ-невидимка», для пояснения действия которых предложено понятие комплементарных сред [2]. Известны различные обобщения плоской линзы [2-4], в том числе с использованием киральных материалов с отрицательным преломлением [5, 6], к которым в последнее время проявляется повышенный интерес [7].
Изотропные киральные материалы являются биизотропными средами, поэтому характеризуются двумя показателями преломления нормальных волн круговой поляризации (электромагнитных волн Бельтрами), которые могут быть не только прямыми, но и обратными, для чего требуются сильная киральность и/или отрицательные диэлектрическая и магнитная проницаемости [8].
В статье рассматриваются многослойные структуры, образованные различными сочетаниями плоских киральных слоёв со значениями материальных параметров, при которых не происходит взаимная трансформация волн Бельтрами на поверхностях раздела таких (сопряжённых) сред. Различаются среды типа а (е>0, ц>0, Р>0), типа Ь (е<0,
ц < 0 , Р > 0 ), типа с (е < 0, ц < 0, Р < 0) и типа d (е > 0, ц > 0, Р< 0); здесь е и ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости; Р - параметр киральности (приняты материальные уравнения Друде-Борна-Фёдорова). Среды типа а и d обладают положительным средним показателем преломления п = (це) ' , а среды типа Ь и с - отрицательным п . Для описания процесса распространения волн Бельтрами применяется метод 2 х 2-матрицы передачи S = }, где индексы г, в равны 1 или 2, разработанный в оптике
применительно к линейно поляризованным волнам [9]. Эта матрица связывает 2 х 1-вектор-столбцы, образованные амплитудами касательных составляющих электрического поля волн, распространяющихся в противоположных направлениях, на внешних гранях структуры. При этом коэффициент отражения плоской волны Бельтрами от мультислоя определяется по формуле R = S2l/Sll . Применительно к одному слою толщиной Д расчёт выполняется по формуле S = 11 • L • 12, где 11, 12 - матрицы граней слоя, L - матрица слоя, связывающая касательные составляющие поля на внутренних сторонах граней слоя. Матрица передачи многослойной структуры находится путём перемножения последовательности чередующихся матриц типа I и L .
Поля Бельтрами Qj (индекс j равен 1 или 2) удовлетворяют дифференциальным уравнениям УхQj sgn(3-2j)Qj, V-Qj = 0, где волновые числа yj = юп[1 -юРпsgn(3-2j)~^1; ю -
круговая частота (подразумевается временнуй фактор вида е_гю); sgn(•) - знаковая функция. Волновые числа сопряжённых сред связаны соотношениями у1(+й,+Р) = У1,2(^,Р) ,
У1 (—й,±Р) = -У2,1^,Р). Полю Ql соответствует электромагнитное поле Е = Ql, Н = —Щ~'íQl,
В.В. Фисанов. Плоскослоистые структуры сопряжённых киральных метаматериалов
201
где ^ = д/ц/е - волновой импеданс. Пусть ось z определяет направление стратификации структуры, тогда для сшивания полей на поверхностях раздела слоёв достаточно потребовать непрерывности Qix и Qly . Например, распространяющиеся в пределах парциального слоя в среде типа a вперёд (верхний индекс «+») и назад (верхний индекс «-») волны имеют структуру Q±(x,z) = QV(KX±aizsgn1'i), где а^ = (у2-к2)12, а число к связано с углом падения и подчиняется закону Снеллиуса. Волна имеет фазор Q± = А±{+1 pi | je - iy + ку-гг} с амплитудной постоянной А± , где pi = ац /У1 . Если в слое находится среда типа d, то
Q± (x,z) = D± {+Р2 £ - iy + Ky21z}ei(KX±a2Z), где p2 = a2/y2 , а2 = (у|-к2)12 и У2 =yi(-P). В граничном условии используется суперпозиция двух встречных волн, связь между амплитудами которых характеризуется квадратной матрицей вида I = {Irs}. Всего имеется 12 матриц граней, в том числе
1 + P2¡ |Pl| 1 - P2¡ |Pl| _1 - P2¡\P1¡ 1 + P2¡ p1|_ 1 + p^ P2 1 -| P1\/ P2 1 -| P1|/ P2 1 + |p1/ P2 _ Остальные матрицы являются единичными (Iac = I^d = Ica = Idb = 1 нальная матрица с элементами, равными единице). Матрицы парциальных слоёв таковы:
I
ab
lba
I
ad
Icb = I
Ibc = I
dc
cd
Ida
где 1 - диаго-
T - Т*
-iaiA sgn Yi
0
e
0
íaiA sgn yi
Lb - L*
d
eia2A
0
0
-ia2A
где знак « * » является символом комплексного сопряжения, его присутствие указывает на то, что произошла смена прямой волны на обратную или обратной волны на прямую.
Матрица передачи однослойной симметричной структуры aba g1ba) = i^ . Lb • I6a с
элементами
S{fa) - cos(a2A) + -
i (\Pi \
21 P2 \Pl\
P2 1 sin(a2A), Sl2ba) ---(¡Pl1
P2
■ I sin(a2 A)
S2aba) --ГЫIsin(a2A), S22ba) - cos(a2A) --
21 P2 \Pl\j - (\Pl\+JPL| sin(a2A)
21 P2 \PlU
21 "2Lp2 ыг '' 22
обладает свойством унимодулярности. Такую же матрицу имеет структура cbc, а структуры ada и cdc характеризуются комплексно-сопряжённой по отношению к ней матрицей: g(ada) = g(cdc) =^g1aba)j . Матрицы структур bab и dad являются идентичными
( Sl
l
(bab) - s(dad)
Jl
) и имеют элементы
Sllab) - cos(alA) - - sgn(Yl) I ^ + A I sin(alA), Sf2ab) -- - sgn(Yl)
P2
\ Pl \
Ы.
P2
P2 \Pl\
sin(alA).
S2lab) - -sgn(Yl)l ^-P, Isin(alA), S2b2ab) - cos(alA) + -sgn(Yl)
„ .......„22 „^ + Р-)втКД),
^ I Р2 \Pl\J 22 2 * Р2 \pi\J
тогда как структуры ЬсЬ и dcd обладают комплексно-сопряжённой матрицей:
§1ЬсЬ) _ _^д1ЬаЬ)^ . Отдельную группу составляют структуры, для которых матрицы
(ьаь) _ т*
l
- Lb. Очевид-
граней являются диагональными: s1cac) = La , s1aca) = La ; s1dbd) = L6 , S1 но, что киральными аналогами идеальной плоской линзы могут быть только симметричные структуры последней группы, так как элемент S21 матрицы передачи равен нулю и отражение от слоя отсутствует. Среди несимметричных структур с двумя поверхностями раздела выделяются восемь структур, которые описываются матрицами передачи для симметричных структур. А именно, структуры abc и cba характеризуются матрицей
e
g(a&a) , структуры adc и cda - матрицей ^§1aba) j , структуры bad и dab - матрицей S1bab),
структуры bcd и dcb - матрицей ^S1bab) j . Каждой из четырёх вышеописанных матриц
передачи соответствует группа из четырёх однослойных структур. Эти структуры в пределах группы построены таким образом, что слой киральной среды конечной толщины находится в окружении таких полуограниченных киральных сред, у которых имеется только одно различие в знаках показателя преломления n и параметра киральности Р по
сравнению со знаками этих параметров для слоя. Между собой эти внешние среды различаются и по знаку параметра киральности, и по знаку показателя преломления. Таким образом, имеются две пары комплементарных киральных сред, которые различаются по знаку произведения геР : типа a и типа c (геР > 0 ), типа b и типа d (геР< 0).
Принятый матричный метод является универсальным и позволяет анализировать также двухслойные и более сложные слоистые структуры, образуемые сопряжёнными киральными средами.
Литература
1. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц // УФН. - 1967. - Т. 92, № 3. - С. 517-526.
2. Pendry J.B. Focusing light using negative refraction / J.B. Pendry, S.A. Rama-krishna // J. Phys. Condens. Matter. - 2003. - Vol. 15, № 37. - P. 6345-6364.
3. Pokrovsky A.L. Lens based on the use of left-handed materials / A.L. Pokrovsky, A.L. Efros // Applied Optics. - 2003. - Vol. 42, № 28. - P. 5701-5705.
4. Gao L. Near-field imaging by a multi-layer structure consisting of alternate right-handed and left-handed materials / L. Gao, C.J. Tang // Phys. Lett. - 2004. - Vol. 322, № 5-6. - P. 390-395.
5. Jin Y. Focusing by a slab of chiral medium / Y. Jin, S. He // Opt. Express. -2005. - Vol. 13, № 13. - P. 4974-4979.
6. Шевченко В.В. Геометрооптическая теория плоской линзы из кирального метама-териала // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54, № 6. - С. 696-700.
7. Mackay T.G. Negatively refracting chiral metamaterials: a review / T.G. Mackay, A. Lakhtakia // SPIE Reviews. - 2010. - Vol. 1, № 1. - P. 018003-1-018003-29.
8. Фисанов В.В. Инварианты изотропной киральной среды // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52, № 9. - С. 1089-1091.
9. Аззам Р. Эллипсометрия и поляризованный свет / Р. Аззам, Н. Башара. - М.: Мир, 1981. - 583 с.
Фисанов Василий Васильевич
Д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник СФТИ,
проф. Национального исследовательского Томского государственного университета (НИ ТГУ)
Тел.: (382-2) 41-20-78
Эл. почта: [email protected]
Fisanov V.V.
Plane multi-layered structures of conjugate chiral meta-materials
Plane-layered structures of isotropic chiral conjugate slabs are characterized by the transfer matrix, which elements are found via multiplication of the matrices of interfaces and slabs sequence. Signs of chiral parameters, permittivities, permeabilities, and Beltrami wavenumbers differ for partial slabs. Classification of the chiral structures, which differ by the transfer matrix type, is given. Keywords: chiral meta-materials, negative refraction, Beltrami waves, multilayered structure, perfect lens, complementary media.
