Проверяющие и диагностические тесты для конъюнкторов, дизъюнкторов и инверторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёль-дера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.

2. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.

3. Potapov М.К., Simonov B.V., Tikhonov S.Yu. Constructive characteristics of mixed moduli of smoothness of positive orders // Progress in analysis: Proc. 8th Congr. ISAAC, Moscow, Peoples' Friendship University of Russia. 2012. 2. 314-327.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

5. Потапов М.К. Приближение углом и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.

6. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.

7. Симонов Б.В, Тихонов С.Ю. Теоремы вложения в конструктивной теории приближений // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 107-146.

Поступила в редакцию 24.10.2012

УДК 519.718.7

ПРОВЕРЯЮЩИЕ И ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ КОНЪЮНКТОРОВ, ДИЗЪЮНКТОРОВ И ИНВЕРТОРОВ

К. А. Попков1

Рассматриваются задачи проверки исправности и диагностики состояний N функциональных элементов, которые реализуют в исправном состоянии заданную булеву функцию / € {ж!&... &ж„, х\ V ... V хп,хТ} и среди которых не более чем к неисправных, путем составления из них схем с одним выходом и наблюдения выдаваемых этими схемами значений на любых входных наборах значений переменных. Допускаются произвольные константные неисправности на выходах элементов. Требуется минимизировать число схем, необходимых для проверки исправности и определения состояний всех элементов. В работе получены нижние оценки вида ck(log2 N — log2 к) для числа указанных схем.

Ключевые слова: функциональный элемент, неисправность, схема, проверяющий тест, диагностический тест.

N

realizing given Boolean function / G .. .&i„,ii V ... V хп,Щ} in their perfect states

and including not more than к faulty elements by means of composition of one-output circuits from them and observation of values produced by these circuits on any value set of input variables. Arbitrary constant faults on outputs of functional elements are permitted. One has to minimize the number of circuits required for operability checking and determination of states of all elements. Lower bounds of the form ck(log2 N — log2 к) are obtained for the number of indicated circuits.

Key words: functional element, fault, circuit, check test, diagnostic test.

1. Введение. Рассмотрим задачу проверки исправности и распознавания состояний функциональных элементов с использованием экспериментов, заключающихся в составлении произвольных схем из заданных функциональных элементов с последующим "прозваниванием" этих схем, т.е. с нахождением булевых функций, реализуемых составляемыми схемами. Суть общепринятых математических моделей схем из функциональных элементов и тех элементов, из которых строятся эти схемы, с исчерпывающей полнотой и ясностью представлена в [1]; именно такие математические модели являются объектом исследования в настоящей работе.

1 Попков Кирилл Андреевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirill-formulistQmail.ru.

Пусть дано N функциональных элементов Е\,... ,ЕN N ^ 1). Каждый элемент, рассматриваемый как простейшая схема из функциональных элементов, имеет п ^ 1 входов и один выход и в исправном состоянии реализует на выходе заданную булеву функцию / (х\,..., хп), где х\,...,хп — значения, подаваемые на его входы (считаем, что функция / (х1,... ,хп) существенно зависит от всех своих переменных и как следствие отлична от константы). В неисправном состоянии каждый элемент реализует одну из констант 0 или 1. Неисправность элемента Епри которой он реализует константу 0 (или 1), будем называть неисправностью Е^ типа 0 (соответственно 1). Предполагается, что среди данных N функциональных элементов не более к элементов могут быть неисправны, где к — заданное натуральное число, к ^ N. Можно составлять любые схемы с одним выходом из данных функциональных элементов и наблюдать выдаваемые схемами значения на любых наборах значений переменных.

Задача заключается в том, чтобы продиагностировать функциональные элементы, т.е. определить состояние каждого из них (исправен или неисправен; если неисправен, то каков тип неисправности), используя при тестировании по возможности меньшее число схем.

2. Основные определения и вспомогательные утверждения. Будем называть неисправностью системы элементов любое множество неисправностей функциональных элементов при условии, что число

к

из видов неисправности системы элементов.)

Здесь и далее будем предполагать, что для любого г от 1 до N элемент Е^ имеет номер г. Тогда неисправность любого элемента можно представить в виде упорядоченной пары (г, 5), где г — номер этого элемента; 5 — булева константа, которую он реализует. Соответственно любую неисправность системы элементов можно представить в виде множества {(¿1, 51),..., (г3, 58)}, где в — число неисправных элементов; ¿1 ,...,13 — номера неисправных элементов; 5^ — булева константа, которую реализует элемент

Диагностическим тестом назовем такой набор схем Б1,...,Б[, составляемых из заданных функциональных элементов, что для любых двух различных неисправностей системы элементов наборы функций, реализуемых схемами, не совпадают (т.е. существует схема Б^, такая, что реализуемая этой схемой функция при первой неисправности не совпадает с реализуемой этой же схемой функцией при второй неисправности). Число I назовем длиной этого теста. (Здесь используется терминология, общепринятая для диагностики управляющих систем; см., например, [2].)

Проверяющим тестом назовем такой набор схем Б1,...,Б[, составляемых из заданных функциональных элементов, что для любых двух неисправностей системы элементов, при которых множества неисправных элементов различны, наборы функций, реализуемых схемами, не совпадают. Число I назовем длиной этого теста.

Содержательный смысл этих определений состоит в следующем: диагностический (проверяющий) тест — это такой набор схем Б1 , ...,Б[, составленных из заданных N функциональных элементов, что по набору функций, реализуемых этими схемами, можно однозначно определить состояние (соответственно исправность или неисправность) каждого из N элементов. При этом проверяющий тест не обязан определять тип неисправности (0 или 1) каждого неисправного элемента.

Введем функции Ьс(/^,к) и Ьл(/^,к), равные длинам самых коротких соответственно проверяющего и диагностического тестов для N функциональных элементов, которые реализуют в исправном состоянии булеву функцию / и среди которых не более чем к неисправных.

Отметим, что для любых /, N и к выполняется соотношение

Ьй(/, N, к) > Ьс(/, N к), (1)

поскольку любой диагностический тест, очевидно, является проверяющим.

В качестве тривиального диагностического (и проверяющего) теста длины N, очевидно, всегда можно взять множество из N схем, каждая из которых представляет собой один из заданных функциональных элементов. Отсюда Ьс(/, N,k) ^ N и Ь(/, N,k) ^ N для любых /, N и к.

Заметим, что если некоторый функциональный элемент в некоторой схеме не является выходным и его выход ни с чем не соединен, то такой элемент можно удалить и функции на выходах всех оставшихся элементов (в том числе выходного) в этой схеме останутся неизменными. Поэтому далее без ограничения общности будем считать, что в каждой схеме выход каждого элемента, не являющегося выходным, соединен со входом по крайней мере одного элемента.

3. Формулировки и доказательства основных результатов. В данной работе устанавливаются некоторые нижние оценки для функций Ьс(/, N, к) ж Ь^(/, N, к) в случаях, когда / — это либо конъюнкция, либо дизъюнкция, либо инверсия (т.е. одна из наиболее часто встречающихся конкретных булевых функций).

Теорема 1. Пусть / € {х1&... &хп, х1 V ... V хп}, п ^ 1. Тогда для любых N и к выполняются

к к неравенства Ьс(/^,к) ^ Огм) Ьа(/^,к) ^ ^(Е см)•

i=0 i=0

Замечание 1. В случае п — 1 получаем, что f (х\) — Х1, т.е. элементы Е\,..., ЕN реализуют в исправном состоянии тождественную функцию. Хотя такие элементы, как правило, не рассматриваются, теоретически такой случай возможен.

Доказательство теоремы 1. Проведем доказательство для f — х1&... &хп (случай f — х1 V ... V хп рассматривается двойственным образом). В силу соотношения (1) достаточно доказать только

к

неравенство К,к) ^ (^ СЬ)• Пусть для некоторых N и к выполняется соотношение

г=о * к

Ьси,^к)= 1< ). (2)

г=о

Тогда существует набор схем Б1,...,Б], являющийся проверяющим тестом.

Пусть Ко — множество таких неисправностей системы элементов, при которых каждый неисправный элемент реализует константу 0. Найдем мощность множества Ко- Для люб ого г от 0 до к из заданных N функциональных элементов можно выбрать г неисправных СN способами. Каждому такому выбору

К0

неисправного элемента фиксирован, а именно 0). Таким образом,

к

|Ко| — Е СЬ. (3)

г=о

Зафиксируем произвольную неисправность системы элементов из Ко и обозначим ее через И. Для каждой схемы б-, ] — 1,.. .,1, возможны 2 случая.

1. В схеме б- не содержится ни одного неисправного элемента. Пусть на выходе Бj в данном случае реализуется булева функция — Очевидно, что fj представляет собой конъюнкцию переменных, подаваемых на входы однако для дальнейшего изложения существенно только то обстоятельство, что функция fj не равна тождественному нулю.

2. В схеме Б- содержится хотя бы один неисправный элемент (обозначим его Е°). Тогда в силу того, что И £ Ко, элемент Е0 реализует на выходе константу 0. Так как по нашему предположению выход каждого элемента, отличного от выходного, соединен со входом по крайней мере одного элемента, то существует цепь, соединяющая Е0 с выходом схемы Б-. Тогда каждый элемент этой цепи будет реализовывать на выходе константу 0 вне зависимости от того, исправен он или нет, поскольку при подаче вместо любой переменной на вход элемента, реализующего функцию Х1& ... &хп, значения 0 на выходе этого элемента будет реализована константа 0 как при исправности этого элемента, так и при его неисправности типа 0. Таким образом, схема Б- реализует тождественный нуль.

Получаем, что при любой неисправности системы элементов из Ко каждая схема Б-, ] — 1,...,1, реализует одну из двух функций — либо fj, либо тождественный нуль. Отсюда общее число наборов

функций, реализуемых схемами Б1 ,...,Б1 при различных неисправностях из Ко, не превосходит 21. Но к

] £ С%) к

2 < 2 4=0 — СЬ — |Ко| в силу (2), (3). Значит, существуют такие две различные неисправности г=о

из Ко, при которых наборы функций, реализуемых схемами Б1,...,Б], совпадают. Осталось заметить, что при любых двух различных неисправностях из Ко множества неисправных элементов различны. Получили противоречие, так как {Б1,..., Б]} — проверяющий тест. Теорема доказана.

Пусть Б — произвольная схема из функциональных элементов; Е и Е1 — элементы, содержащиеся в этой схеме. Будем говорить, что элемент Е находится в схеме Б ниже элемента Е', если в Б существует ориентированный путь от Е' к Е.

Теорема 2. Пусть п = 1 и ¡'(х\) = Щ. Тогда для любых N и к выполняются неравенства

кк ^и, N к) > ), Ьаи^,к) > ).

г=о г=о

Доказательство. В силу соотношения (1) достаточно доказать только первое неравенство. Пусть

для некоторых N ж к выполняется соотношение

к

Ьс^^к)— 1< СЬ). (4)

г=о

Тогда существует набор схем Б1,...,Б], являющийся проверяющим тестом. Так как каждый из заданных N функциональных элементов имеет один |зход и один выход, то каждая из схем Б1,...,Б] представляет собой, очевидно, цепь элементов, связываЮщИх единственный вход схемы с ее выходом.

Лемма. Набор схем, Б1,...,Б[ является диагностическим тестом.

Доказательство. Так как данный набор является проверяющим тестом, то достаточно доказать, что для любых двух различных неисправностей Н1 и Н2 системы элементов, при которых множества неисправных элементов совпадают, наборы функций, реализуемых схемами Б1,...,Бг, различаются.

Обозначим множество неисправных элементов при неисправности Н1 (и соответственно при Н2) через М. Ясно, что \М\ ^ к. Так как неисправности Н1 и Н2 различны, то существует такой элемент Е из М, что при Н1 и Н2 он ревизует различные константы. Рассмотрим следующие две неисправности Н' и Н" системы элементов: Н' — это неисправность типа 0 всех элементов из М, а Н" — неисправность типа 0 всех элементов из множества М \ {Е}. Поскольку набор схем Б1,. ..,Бг является проверяющим

тестом, а множества неисправных элементов при Н' и Н" различны, то существует схема Б-, ] €{1,..., ¡},

Н' Н'' Е

содержится в Б-, так как состояния всех остальных элементов одинаковы при Н 'и Н''. Кроме того, ни один из элементов, находящихся в схеме Б- ниже Е (напомним, что схема Б- представляет собой цепь элементов,

М

случае при неисправности всех элементов из М \{Е} типа 0 изменение состояния элемента Е с исправного

Н' Н''

на функции, реализуемой схемой Б— что невозможно. Но тогда при переходе от неисправности Н1 к Н2 Е Е

М Н1 Н2

т.е. функция, реализуемая схемой Б-, меняется. Это означает, что наборы функций, реализуемых схемами Б1 ,...,Б[ при неисправностях Н1 и Н2, не совпадают, откуда следует справедливость леммы.

Вернемся к доказательству теоремы 2. Найдем общее число возможных неисправностей системы элементов (обозначим это число через в). Для любого г от 0 до к из заданных N функциональных элементов можно выбрать г неисправных С^ способами. Каждому такому выбору соответствует 2i различных неисправностей системы элементов (так как тип неисправности каждого неисправного элемента может быть одним из двух — либо 0, либо 1). Таким образом,

Е2^ • (5)

s = ¿^2 CN i=0

Переменную, подаваемую на вход каждой схемы из Siобозначим через x. Пусть имеет место некоторая неисправность системы элементов. Для каждой схемы Sj, j = !,•••,!, возможны 2 случая.

1. В схеме Sj не содержится ни одного неисправного элемента. Пусть на выходе Sj в данном случае реализуется булева функция fj. Очевидно, что fj = х или fj = х.

2. В схеме Sj содержится хотя бы один неисправный элемент (обозначим его Ej). Тогда в силу того, что элемент Ejj реализует на выходе константу, а единственная цепь в Sj, соединяющая вход данной схемы с ее выходом, проходит через Ejj, функция, реализуемая на выходе Sj, не зависит существенно от x

Получаем, что при любой неисправности системы элементов каждая схема Sj, j = !,•••,!, реализует

одну из трех функций — либо fj, либо тождественный нуль, либо тождественную единицу. Отсюда общее

число наборов функций, реализуемых схемами Si,^^,Si при различных неисправностях системы элемен-

k

l l i°g3(£ 2cn) к ■ ■

tob, не превосходит 3l. Ho 3l < 3 i=0 = ^ 2iCN = s в силу (4), (5). Значит, существуют такие

i=0

две различные неисправности системы элементов, при которых наборы функций, реализуемых схемами Si, •••ySi, совпадают. Получили противоречие, так как {Si, • ••ySi} — диагностический тест в силу леммы. Теорема доказана.

В качестве следствия из теорем 1, 2 можно получить следующие нижние оценки для функций Lc(f, N, к) и Ld(f, N, к) при / е ... кхп, Х\ V ... V хп, Щ}:

{k(log2 N — log2 k) при f <Е {x1 & • • • &xn, x1 V ••• V xn}, log3 2 • k(log2 N — log2 k + 1) при / = Щ,

Lc(f,N,k) >

Ld(f N k) > { ^l0g2 N ~ l0g2 ^ ПР11 / G • • • V ... V жп},

' ' 1 log3 2 • k(log2 N — log2 k + 1) при / = Щ.

Действительно, используя неравенство ^ ^ для 0 ^ т < к, получаем

log2(C^) = log2 ("'^.¡¡'^у".**^ ) > 1о§2 ( ( ^ ) ] = k(log2 N - log2 k).

Из последнего соотношения находим

к

bg2(E CN) > 10§2(Ск) ^ fc(log2 N - log2 к),

i=0

к

loga^ 2CN) > 1og3(2кCkN) = logs 2 • (1og2(CN) + к) ^ logs 2 • k(1og2 N - 1og2 к + 1),

откуда следуют требуемые оценки.

Замечание 2. В данной работе рассмотрены случаи / = & ... &хп, / = х\ V.. .Ухп, / = Щ, для каждого из которых установлены нижние оценки для функций Ьс(Д, N, к) и N, к) гад а ск(^2 N — ^2 к), растущие с ростом N (при фиксированном к). Оказывается, при всех булевых функциях Д отличных от рассмотренных и от констант (напомним, что константные функции мы не рассматриваем), имеет место обратная картина для величины Ьс(Д, N, к) и при дополнительном условии, что Д нелинейна, для А именно справедлива следующая

Теорема 3. Пусть булева функция Д(х1,... ,хп) не совпадает ни с одной из функций х1& ... &хп, Х\ У ... V хп, Щ и выполняется условие 8к + | < \ZjV- Тогда

1) Ьс(и, N, к) < 2к + 1;

2) если функция Д(х1,..., хп) нелинейна, то N,k) ^ 2к + 1.

Доказательство данной теоремы ввиду его громоздкости мы здесь не приводим.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редь-кину за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

Поступила в редакцию 02.12.2013