Нижние оценки длин полных диагностических тестов для схем и входов схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016 Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем №4(34)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718.7

НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛИН ПОЛНЫХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ТЕСТОВ ДЛЯ СХЕМ И ВХОДОВ СХЕМ1

К. А. Попков

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва, Россия

Получены экспоненциальные нижние оценки длин следующих тестов: 1) полных диагностических тестов при однотипных и произвольных константных неисправностях на входах схем и 2) полных диагностических тестов для схем из функциональных элементов в некоторых базисах при однотипных и произвольных константных неисправностях на выходах элементов.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, неисправность, полный диагностический тест, тест для входов схем.

БСТ 10.17223/20710410/34/5

LOWER BOUNDS FOR LENGTHS OF COMPLETE DIAGNOSTIC TESTS FOR CIRCUITS AND INPUTS OF CIRCUITS

K. A. Popkov

Keldysh Institute of Applied Mathematics (Russian Academy of Sciences), Moscow, Russia

E-mail: kirill-formulist@mail.ru

Let Dp (n) (Dp (n), DP 1(n)) be the least length of a complete diagnostic test for the primary inputs of logical circuits implementing Boolean functions in n variables and having constant faults of type 1 (respectively 0, both 0 and 1) on these inputs, (n) (D°(n), DO ;Q1(n)) be the least length of a complete diagnostic test for logical circuits consisting of logical gates in a basis B, implementing Boolean functions in n variables, and having constant faults of type 1 (respectively 0, both 0 and 1) on outputs of the logical gates, and B2 = {x|y}, B| = {x t y}, B3 = {x&y,x}, B3 = {x v y,x}- It is shown that the functions Df(n) Dp(n), d°2;1

(n), DO ;o(n),

2™/2 ■ v/n

Do;0 1(n), D°»;0 1(n) are not less than — = and Dp'1(n) is not less

3; ' 3; ' 2/n + (log2 n)/2 + 2 '

2/2

than 2n/2 if n is even, and is not less than

. 2n/2

if n is odd.

Keywords: logic circuit, fault, complete diagnostic test, test for inputs of circuits.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих

систем»).

3

Введение

В работе рассматриваются вопросы, связанные с тестированием логических устройств, реализующих заданные булевы функции. Тестовый подход к контролю работы схем предложен С. В. Яблонским и И. А. Чегис в [1]. Пусть имеется логическое устройство, например двухполюсная контактная схема или схема из функциональных элементов S, реализующее булеву функцию f (Xn), где Xn = (xi,..., xn). Под воздействием некоторого источника неисправностей один или несколько элементов или входов схемы S могут перейти в неисправное состояние. В результате схема S вместо исходной функции f (Xn) будет реализовывать некоторую булеву функцию g(Xn), вообще говоря, отличную от f. Все такие функции g(Xn), получающиеся при всевозможных допустимых для рассматриваемой задачи неисправностях элементов либо входов схемы S, называются функциями неисправности данной схемы.

Введём следующие определения [2-4]. Проверяющим тестом для схемы S называется такое множество T наборов значений переменных xi,...,xn, что для любой отличной от f (Xn) функции неисправности схемы S в T найдётся набор а, на котором f (а) = g((ä). Диагностическим тестом для схемы S называется такое множество T наборов значений переменных x1,... , xn, что T является проверяющим тестом и, кроме того, для любых двух различных функций неисправности g1(Xn) и g2(Xn) схемы S в T найдётся набор а, на котором gi(cr) = g2(a). Число наборов в T называется длиной теста. В качестве тривиального диагностического (и проверяющего) теста длины 2n для схемы S всегда можно взять множество T, состоящее из всех двоичных наборов длины n. Тест называется полным, если могут быть неисправны сколько угодно элементов либо входов схемы, и единичным, если может быть неисправен только один элемент либо вход схемы. Единичные тесты при неисправностях элементов схем обычно рассматривают для неизбыточных схем [4], т.е. для таких схем, в которых любая допустимая неисправность любого одного элемента приводит к функции неисправности, отличной от исходной функции, реализуемой данной схемой.

Пусть зафиксирован вид неисправностей элементов либо входов схем и T — полный диагностический тест для некоторой схемы S. Введём следующие обозначения: D(T) —длина теста T; D(S) = min D(T), где минимум берётся по всем полным диагностическим тестам T для схемы S; D(f) = min D(S), где минимум берётся по всем схемам S (для случая схем из функциональных элементов — в некотором фиксированном функционально полном базисе B), реализующим функцию f; D(n) = max D(f), где максимум берётся по всем булевым функциям f от n переменных. Функция D(n) называется функцией Шеннона длины полного диагностического теста.

Отметим, что если рассматриваются только неисправности на входах схем, то функции неисправности произвольной схемы не зависят от её строения и даже от принадлежности её определённому классу схем, а зависят лишь от исходной функции, реализуемой этой схемой [1]. Поэтому в данном случае можно говорить о функциях неисправности без указания схемы. Класс допустимых неисправностей на входах схем ограничим константными неисправностями, при которых значение на любом неисправном входе схемы становится равно некоторой булевой константе. Фактически, любая константная неисправность на входе схемы означает подстановку в булеву функцию, реализуемую этой схемой, вместо переменной, отвечающей неисправному входу, булевой константы.

В качестве допустимых неисправностей контактов (в контактных схемах) будем рассматривать их обрывы и замыкания. При обрыве контакта проводимость между его полюсами становится тождественно нулевой, а при замыкании — тождественно еди-

ничной. Класс неисправностей функциональных элементов ограничим константными и инверсными неисправностями на выходах элементов. Константная неисправность на выходе функционального элемента означает, что значение на этом выходе становится равно некоторой булевой константе. Константные неисправности на входах схем и выходах функциональных элементов называются однотипными константными типа если значения на неисправных входах схем (выходах элементов) равны одной и той же булевой константе и произвольными константными, если эти значения могут быть равны как 0, так и 1 для каждого неисправного входа схемы (выхода элемента) независимо от неисправностей других входов схемы (выходов элементов). Инверсная неисправность на выходе функционального элемента означает, что значение на этом выходе становится противоположным значению на нём в случае, когда этот выход исправен.

Для удобства над буквой D будем ставить символ P в случаях, когда рассматриваются неисправности на входах схем (Primary inputs), и символ O, когда рассматриваются неисправности контактов или неисправности на выходах функциональных элементов (Outputs). Под буквой D будем ставить символ, обозначающий базис (для случая схем из функциональных элементов), а после него — символы «0,1», «0», «1» или «Inv» в случаях, когда в схемах допускаются соответственно произвольные константные неисправности (на входах схем или выходах элементов как обрывы, так и замыкания контактов), однотипные константные неисправности типа 0 (на входах схем или выходах элементов либо только обрывы контактов), типа 1 (на входах схем или выходах элементов либо только замыкания контактов) или инверсные неисправности на выходах элементов.

2n/2

В работе [5] получены оценки —— ^ Dp'1(n) ^ 4(n + 1)3 ■ 20'773n; в [6] для класса

2yjn '

произвольных двухполюсных контактных схем установлено, что D°1(n) ^ 2n (ас учётом наличия тривиального теста здесь можно поставить знак равенства), и, фактически, получено, что D°(n) ^ 2n-1 и D°(n) ^ 2n-1, причём каждая из этих трёх оценок достигается на линейной булевой функции от n переменных. В [7] для базиса B1 = {&, ф, 1} и инверсных неисправностей на выходах функциональных элементов установлена оценка D°.Inv(n) ^ 2n-2. К настоящему времени ни для какого функционально полного конечного базиса B не известны верхние оценки величин D°.0 1(n), D°.0(n), D°. 1(n) и D°.inv(n), по порядку меньшие 2n. Ранее также не были известны нелинейные нижние оценки ни одной из этих величин.

1. Нижние оценки длин тестов для входов схем

В теоремах 1-3 устанавливаются экспоненциальные по n нижние оценки величин Dp5 (n), Df (n) и Dp,1 (n).

2n/2 ■ A^

Теорема 1. При n ^ 1 справедливо неравенство Df (n) >-. =.

2^n +(log2 n)/2 + 2

Доказательство. При n = 1, 2 указанное неравенство следует, например, из соотношения Df (f) ^ 1 при f (x) = x. Далее будем считать, что n ^ 3. Пусть k = = |_n/4 + (log2 n)/8 + 1/2J, тогда k ^ 1 ив силу неравенства [8, с. 509, (А.3)] при Л =

^ =1/2 имеем

1 1 / 1 \ -( )/2 / 1

-(2*0/2^ ч -(2к)/2 02к

22(п/4+(^ п)/8-1/2) 2™/2 • ^

>

\/4 (п/4 + ^ п)/8 + 1/2) Vп + (1о§2 п)/ + 2

Кроме того,

2п/2 , п —1/4 2™/2 . 4/П 2«/2 . 4/П

2«-2к > 2«-2(п/4+(^2 п)/8+1/2) = 2 п = 2 V п > 2 V п

2 2^ Vй + (^2 п)/2 + 2;

поэтому

2п/2 • лУп

т >

Vп + (^2 п)/2 + 2'

где т = шт(С2к, 2п-2к), и достаточно доказать неравенство (п) ^ т.

Отметим, что из определения числа к и неравенства п ^ 3 легко вытекает соотношение 2к < п. Идеи дальнейших рассуждений доказательства теоремы 1 сходны с идеями, использованными В. Н. Носковым [5] при получении нижней оценки для величины (п). Пусть К1,... , Кг —всевозможные попарно различные элементарные конъюнкции переменных х1,... , х2&, в каждую из которых ровно к переменных входит с отрицанием. Тогда г = С^,. Далее, пусть К1 , ...,К — всевозможные попарно различные элементарные конъюнкции переменных ж2^+1,... , хп. Тогда в = 2п-2к и, следовательно, т = шт(г, в).

Рассмотрим булеву функцию /(хп) = К1К1VК2К2 V.... Предположим, что в конъюнкцию Кг, г = 1,... ,т, переменные х^),..., х^) входят с отрицанием, а переменные х^к+1(г),... ,х^2к(г) —без отрицания, где ^(г),...,(г) —попарно различные индексы от 1 до 2к. Так как Кг — единственная конъюнкция среди К1,... , Кт, в которую каждая из переменных х^-1(г),... , х^(г) входит с отрицанием, при замене всех этих к переменных константой 0 конъюнкция Кг станет равна х^-к+1(г)&... &х^2к (г), а любая другая конъюнкция из К1,... , Кт — тождественному нулю. Поэтому функция неисправности при указанной замене будет равна = х^к+1(г)& ... &х^2к(г)&Кг'. В то же время, если дополнительно заменить переменную х^к+1 (г) константой 0, то получающаяся функция неисправности будет равна д0 = 0.

Заметим, что функцию дг, г = 1,...,т, можно отличить от функции д0 только на тех наборах, которые обращают в единицу конъюнкцию Кг'. Множества наборов, обращающих в единицу конъюнкции К1,... , К^, попарно не пересекаются, поэтому в любой полный диагностический тест для функции / (хп) должны входить по крайней мере т наборов, а тогда (п) ^ (/) ^ т. ■

По аналогии с доказательством теоремы 1, используя ту же булеву функцию / (хп) и те же обозначения и рассматривая замену переменных х^-к+1(г),..., х^2к(г), г = 1,..., т, константой 1, нетрудно получить следующий результат.

р/^. 2п/2 • лУп

Теорема 2. При п ^ 1 справедливо неравенство (п) >

Vп + ^2 п)/2 + 2' Рассмотрим теперь в качестве неисправностей входов схем произвольные константные неисправности.

Теорема 3. При п ^ 1 справедливо неравенство

2^/2

ДО» 2/2

3

. 2™/2

если п четно,

если п нечетно.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть п четно. Положим й = п/2, т = 2й. Пусть К1,... , Кт — всевозможные элементарные конъюнкции переменных ж^ ..., ж^, а К1,... , К^ — всевозможные элементарные конъюнкции переменных ж^+1,...,жп. Рассмотрим булеву

функцию /(жп) = К1К1 V К2К2 V ... V КтКт. Пусть К

— ж 1

&... &ж'

1,

, т,

где а^д,... , а^ — булевы константы. Тогда при замене переменных ж1,... , константами соответственно а^д,... , а^ конъюнкция К станет равна тождественной единице, а любая другая конъюнкция из К1,... , Кт — тождественному нулю. Поэтому функция неисправности при указанной замене равна д^ = Кг'. В то же время, если дополнительно заменить переменную такой константой, чтобы конъюнкция К' обратилась в нуль, то получающаяся функция неисправности будет равна д0 = 0.

Заметим, что функцию д^, г = 1,...,т, можно отличить от функции д0 только на тех наборах, которые обращают в единицу конъюнкцию Кг'. Поскольку множества наборов, обращающих в единицу конъюнкции К1,... , К^, попарно не пересекаются, в любой полный диагностический тест для функции /(жп) должны входить по крайней мере т наборов, а тогда Д^п) ^ Д0^/) ^ т = 2п/2, что и требовалось доказать.

Случай 2. Пусть п нечетно. При п =1 требуемое неравенство следует, например, из соотношения Да (/) ^ 1 при /(ж) = ж. Далее будем считать, что п ^ 3. Положим

й = (п — 1)/2, т = 2й, т1 =

2(П+1)/2 2(п+1)/2 + 1

3 , т2 = 3

Пусть а1,... , ат — все-

возможные двоичные наборы длины й, идущие, для определенности, в лексикографическом порядке; а^ = (а^д,..., а^) для г = 1,... ,т; ^(г) = [(г + т1)/2], ]'(г) = [г/2], ] ''(г) = г — т1 + [т1/2];

ж"4,1 &... &ж"м

для г = 1 ,

т1 ,

Кг

ж"5^1 & ... &ж^+1 для нечетных г € [т1 + 1; т1 + т2],

ж^4"" & ... &ж; &ж^+1 для четных г € [т1 + 1; т1 + т2];

ж^&ж^0,1 & . . . &ж;

К'

г

для нечетных г € [1; т1], для четных г € [1; т1], для г = т1 + 1,..., т1 + т2.

ж^&ж^ & ... &жп

^ &... &ж?"

Отметим, что й + 2 = п — й +1.

При определении элементарных конъюнкций К и Кг' используются неравенства ](г) ^ т при г € [т1 + 1; т1 + т2], ]'(г) ^ т при г € [1; т1] и ]''(г) ^ т при г € € [т1 + 1; т1 + т2]. Докажем их и равенство

т1 + т2

2/2

. 2™/2

Рассмотрим два подслучая.

2.1. Число 2(п+1)/2 имеет вид 3к + 1, где к Е Ъ+. Имеем

2(п+1)/2 _ 1

т1 = т2 =

3

з(г)

г + т1 2т1 + т2 3т1 "2(™+1)/2 — Г

2 2 2 2

2(п-1)/2 = т,

3 '(г)

г < _т1" < 3т1

—

2 2 2

3"(г) = г — т1 +

т1 + т2

гт1 ] ^ т2 + гт1 ] 2т2 + т1 3т1

2 2 = 2 = 2 = т;

2 . 2(п+1)/2 — 2 2 . 2(п+1)/2 2^2

3 3 3

. 2™/2

2.2. Число 2(п+1)/2 имеет вид 3к + 2, где к Е . Имеем

2(п+1)/2 — 2 2(П+1)/2 + 1

т1

т2

3 (г) =

г + т1 2т1 + т2 "3 ■ 2(п+1)/2 — 3" "2(™+1)/2 — Г

2 2 3 ■ 2 2

3 ''(г) = г — т1 +

т1 + т2

3'(г) = т1

= 2(п-1)/2 = т,

г _т1" 3т1

—

2 2 2

< т;

2

^ т2 +

т1

2

2т2 + т1 2

3 . 2(п+1)/2-^2

2 . 2(п+1)/2 — 1

3

2 . 2(п+1)/2 2п/2

1 3 ] 3

Рассмотрим булеву функцию /(жга) = К1К1VК2К2 V... VКт1+т2. Непосредственно из определения конъюнкций К1, К2,..., Кт1+т2 следует, что в конъюнкции К^, г = 1,..., т1 + т2, содержатся переменные х1,..., и, быть может, переменная и при замене всех этих переменных некоторыми булевыми константами конъюнкция К станет равна тождественной единице, а любая другая конъюнкция из К1,... , Кт1+т2 — тождественному нулю. Поэтому функция неисправности при указанной замене будет равна = К (здесь используется также тот факт, что множества переменных, содержащихся в конъюнкциях К и К', не пересекаются). В то же время, если дополнительно заменить переменную ж^+2 такой константой, чтобы конъюнкция К' обратилась в нуль, то получающаяся функция неисправности будет равна д0 = 0.

Заметим, что функцию д^, г = 1,...,т1 + т2, можно отличить от функции д0 только на тех наборах, которые обращают в единицу конъюнкцию Кг'. Ввиду того, что множества наборов, обращающих в единицу конъюнкции К1,... , +т2, попарно не пересекаются (это непосредственно следует из определения указанных конъюнкций), в любой полный диагностический тест для функции /(жга) должны входить по крайней

2^2

мере т1 + т2 наборов, а тогда Дд(п) ^ Дод(/) ^ т1 + т2 = Теорема доказана. ■

3

. 2™/2

в силу (1)

Результат теоремы 3 улучшает оценку ^п) ^

2^/2

полученную в [5].

т;

т;

2. Нижние оценки длин тестов для схем из функциональных элементов

В теоремах 4-7 устанавливаются экспоненциальные по п нижние оценки величин Д°;1(п), Д°;0(п) и Дв;0;1(п) для некоторых базисов В.

Рассмотрим базис В2 = {ж|у}, где ж|у = ж&у — штрих Шеффера. В качестве неисправностей будем рассматривать неисправности типа 1 на выходах функциональных элементов. В доказательстве следующей теоремы используются идеи, сходные с идеями Ю.В. Бородиной [9].

2™/2 .

п

Теорема 4. При п ^ 1 справедливо неравенство ; 1(п) > — ___

; 2у/п + (log2 п)/2 + 2

Доказательство. При п = 1, 2 указанное неравенство следует, например, из соотношения Д°2;1(/) ^ 1 при /(ж) = ж. Действительно, в любой схеме в базисе В2, реализующей эту функцию, должен содержаться выходной элемент. При его неисправности на выходе этой схемы будет реализована тождественная единица, которую надо отличить от функции / хотя бы на одном наборе. Далее будем считать, что п ^ 3.

Пусть /(жп) — булева функция, определённая в ходе доказательства теоремы 1; Б — произвольная схема из функциональных элементов в базисе В2, её реализующая. Предположим, что на некоторых входах этой схемы возникли неисправности типа 0. Тогда на все входы элементов схемы Б, соединенные с неисправными входами схемы, будет подаваться константа 0 и на выходах этих элементов по свойству функции ж|у будет реализована тождественная единица. Таким образом, неисправности типа 0 любых входов схемы Б можно «промоделировать» неисправностями типа 1 на выходах некоторых элементов этой схемы. Поэтому множество функций, получаемых при всевозможных неисправностях типа 0 на входах схемы Б, содержится в множестве функций, получаемых при всевозможных неисправностях типа 1 на выходах элементов этой схемы, откуда следует неравенство (/) ^ Д°2;1(/), а с учётом теоремы 1 — соотношение

* * 2™/2 . 4/п

> в°;1(/) > ДР(/) > 2 +2п ^ .

2у/п + (^2 п)/2 + 2

Теорема доказана. ■

Замечание 1. Результат теоремы 4 остаётся справедлив при рассмотрении в качестве базиса В2 базиса {ж1&... &жп}, где п ^ 3, и даже бесконечного базиса {ж1& ... &жп : п ^ 1}. Доказательство проводится аналогично.

Пусть В2 = {ж ^ у}, где ж ^ У = ж V у — стрелка Пирса. Используя теорему 4 и принцип двойственности (см., например, [10, с. 19, утверждение 3]), нетрудно получить следующий результат.

2™/2. ^уп

Теорема 5. При п ^ 1 справедливо неравенство Д°»;0(п) > — =.

2; 2у/п + п)/2 + 2

Рассмотрим теперь базис В3 = {&, —}, а в качестве неисправностей — произвольные константные неисправности на выходах функциональных элементов.

2™/2 . Л^п

Теорема 6. При п ^ 1 справедливо неравенство ;0 1(п) > — =.

; ' 2у/п + п)/2 + 2

Доказательство. Проводится по аналогии с доказательством теоремы 4. При п =1, 2 указанное неравенство следует, например, из соотношения ;0 1(/) ^ 1 при /(ж) = ж. Действительно, в любой схеме в базисе В3, реализующей эту функцию, должен содержаться выходной элемент. При его неисправности типа 1 на выходе этой

схемы будет реализована тождественная единица, которую надо отличить от функции / хотя бы на одном наборе. Далее будем считать, что п £ 3.

Пусть /(жп) — булева функция, определенная в ходе доказательства теоремы 1; Б — произвольная схема из функциональных элементов в базисе В3, ее реализующая. Предположим, что на некоторых входах этой схемы возникли неисправности типа 0. Тогда на все входы элементов схемы Б, соединенные с указанными входами схемы, будет подаваться константа 0 и на выходе каждого такого элемента по свойству функций ж&у, ж будет реализована одна из булевых констант. Таким образом, неисправности типа 0 любых входов схемы Б можно «промоделировать» неисправностями типа 0 и 1 на выходах некоторых элементов этой схемы. Поэтому множество функций, получаемых при всевозможных неисправностях типа 0 на входах схемы Б, содержится в множестве функций, получаемых при всевозможных произвольных константных неисправностях на выходах элементов этой схемы, откуда следует неравенство (/) ^ .0;1(/), а с учетом теоремы 1 — соотношение

2^/2 . 4/п

ДОз;0;1(п) £ ДОз;0;1 (/) £ ДО(/) > 2 , + ( Л/ ) /2 + =.

2у п + (^2 п)/2 + 2

Теорема доказана. ■

Замечание 2. Результат теоремы 6 остается справедлив при рассмотрении в качестве базиса В3 любого базиса {ж1& ... &жт, ж1& ... &жп}, где т £ 2, п £ 1, и даже бесконечного базиса {ж1 & ... &жп,ж1& ... &жп : п £ 1}. Доказательство проводится аналогично.

Пусть Вд = {V, —}. Используя теорему 6 и принцип двойственности, нетрудно получить следующий результат.

2™/2 .

— ть

Теорема 7. При п £ 1 справедливо неравенство Д°.0 1(п) > — у =

3. ' 2у/п + (log2 п)/2 + 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Чегис И. А, Яблонский С. В. Логические способы контроля работы электрических схем // Труды МИАН. 1958. Т. 51. С. 270-360.

2. Яблонский С. В. Надежность и контроль управляющих систем // Материалы Всесоюзного семинара по дискретной математике и её приложениям. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 7-12.

3. Яблонский С. В. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, 1988. С. 5-25.

4. Редькин Н. П. Надёжность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992. 192 с.

5. Носков В. Н. Диагностические тесты для входов логических устройств // Дискретный анализ. Вып. 26. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1974. С. 72-83.

6. Мадатян Х. А. Полный тест для бесповторных контактных схем // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. С. 103-118.

7. Коваценко С. В. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина для инверсных неисправностей // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. №2. С. 45-47.

8. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 593 с.

9. Бородина Ю. В. Нижняя оценка длины полного проверяющего теста в базисе {х|у} // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. №4. С. 49-51.

10. Угольников А. Б. Классы Поста: учебное пособие. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008. 64 с.

REFERENCES

1. Chegis I. A and Yablonskii S. V. Logicheskie sposoby kontrolya raboty elektricheskikh skhem [Logical methods of control of work of electric schemes]. Trudy Mat. Inst. Steklov, 1958, vol.51, pp. 270-360. (in Russuan)

2. Yablonskii S. V. Nadezhnost' i kontrol' upravlyayushchikh sistem [Reliability and verification of control systems]. Materialy Vsesoyuznogo seminara po diskretnoy matematike i ee prilozheniyam. Moscow, MSU Publ., 1986, pp. 7-12. (in Russuan)

3. Yablonskiy S. V. Nekotorye voprosy nadezhnosti i kontrolya upravlyayushchikh sistem [Some questions of reliability and verification of control systems]. Matematicheskie Voprosy Kibernetiki, iss. 1, Moscow, Nauka Publ., 1988, pp. 5-25. (in Russuan)

4. Red'kin N. P. Nadezhnost' i diagnostika skhem [Schemes Reliability and Diagnostics]. Moscow, MSU Publ., 1992. (in Russuan)

5. Noskov V. N. Diagnosticheskie testy dlya vkhodov logicheskikh ustroystv [Diagnostic tests for logical device inputs]. Diskretnyy Analiz, iss. 26, Novosibirsk, IM Publ., 1974, pp. 72-83. (in Russuan)

6. Madatyan Kh. A. Polnyy test dlya bespovtornykh kontaktnykh skhem [Full test for repetitionfree contact schemes]. Problemy Kibernetiki, iss. 23, Moscow, Nauka Publ., 1970, pp. 103-118. (in Russuan)

7. Kovatsenko S. V. Sintez legkotestiruemykh skhem v bazise Zhegalkina dlya inversnykh neispravnostey [Synthesis of easily testable circuits in the Zhegalkin basis for inverse faults]. Vestnik MSU, ser. 15, 2000, no. 2, pp. 45-47. (in Russuan)

8. Peterson W. W. and Weldon E. J. Error-Correcting Codes. MIT Publ., 1972.

9. Borodina Yu. V. Nizhnyaya otsenka dliny polnogo proveryayushchego testa v bazise {x|y} [The lower bound for the full test length in the basis {x|y}]. Vestnik MSU, ser. 1, 2015, no. 4, pp. 49-51. (in Russuan)

10. Ugol'nikov A. B. Klassy Posta: uchebnoe posobie [Post Classes: Tutorial]. Moscow, MSU, TsPI Publ., 2008. (in Russuan)