CC BY
20
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 2 Физико-математические пауки 2009
УДК 519.95
О СИНТЕЗЕ ЛЕГКОТЕСТИРУЕМЫХ СХЕМ И ОБ ОЦЕНКАХ ДЛИНЫ ТЕСТОВ
Н.П. Редъкии
Аннотация
В статье рассматриваются едшшчпые проверяющие тесты для схем из функциональных элементов при ипверспых неисправностях па выходах элементов, проверяющие тесты для схем в случае однотипных константных неисправностей па выходах элементов, единичные диагностические тесты для схем в бесконечном базисе, минимальные тесты для схем. реализующих дизъюнкцию. Приводятся новые оценки длины этих тестов. Эти оценки в ряде случаев являются пеулучшаемыми.
Ключевые слова: булевы функции, схемы из функциональных элементов, неисправности элементов, проверяющий тест, диагностический тест.
Приводом основныо определения, касающиося тостов для схом из функциональных элементов (см., например, [1,2]). Пусть Б — схема из функциональных элементов в базисе Б, которая в исправном состоянии реализует некоторую булеву функцию / (х), где х = (ж1,..., хп). Предположим, что на схему Б воздействует некоторый источник неисправностей, под влиянием которого какие-то элементы схемы (в общем случае совершенно произвольные) могут перейти в неисправные состояния. Источник неисправностей обычно описывается перечнем тех функций, которые могут реализовывать элементы базиса при переходе в неисправные состояния. Всякая функция д(х), реализуемая схемой Б при наличии в ней неисправных элементов, называется функцией неисправности. Функция неисправности д(х) считается тривиально и, если д(Х) = / (х), и нетривиальной, если д(х) = / (х). Пусть О = {д1(х),..., дг(х)} - множество всех нетривиальных функций неисправ-
Б
Всякое множество Т наборов значений переменных х1,..., хп называется полБ
функции неисправности д*(х) из О в Т найдется хотя бы один набор а такой, что /(а) = дг(&); множество наборов Т называется полным диагностическим тестом Б Т Б
пары (дг,д^) функций неисправноетей из О в Т найдется хотя бы один набор а такой, что дг(а) = д^(а) {г = з).
Если в схеме допускается только одна неисправность (одного элемента), то соответствующий тест считается единичным проверяющим (ЕПТ) или диагностическим (ЕДТ). При исследовании единичных тестов обычно рассматриваются неизбы,точные схемы, которые при появлении любой (допустимой) одной неисправности реализуют нетривиальные функции неисправности [2].
Т
его обозначим через Ь(Т).
Пусть рассматривается какой-либо определенный вид тестов (ППТ, или ПДТ, или ЕПТ, или ЕДТ). Тогда Ь(Б) = шшЬ(Т), где минимум берется по всем тестам
рассматриваемого вида для S; L(f) = min L(S), где минимум берется по всем схемам, реализующим булеву функцию f(ж); L(n) = maxL(f), где максимум берется по всем булевым функциям от п переменных.
Главные задачи теории тестов для схем из функциональных элементов это
L(n)
функций f — поведения функции L(f). Это классические задачи. Могут быть и другие постановки, когда, например, вводятся дополнительные «контрольные точки», то есть разрешается при тестировании наблюдать и учитывать реализуемые схемой функции не только на выходе схемы, но еще и в некотором количестве внутренних вершин: или когда, скажем, используются функциональные элементы, имеющие по по одному, а по несколько выходов.
Ниже приводятся результаты, полученные за последние примерно пять-шесть лет на кафедре дискретной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
1. Единичные проверяющие тесты для схем при инверсных неисправностях элементов
Пусть задан произвольный функционально полный конечный базис Б. Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе Б и будем допускать одиночные инверсные неисправности на выходах элементов. Это означает, что если некоторый элемент в исправном состоянии реализует булеву функцию р от подаваемых на его входы переменных, то в неисправном состоянии этот элемент реализует р. Неисправным в схеме может быть только один (любой) элемент. Имеет место
Теорема 1 [3]. Любую булеву функцию можно реализовать неизбыточной схемой, допускающей единичный проверяющий тест не более чем, из трех набо-
2. Проверяющие тесты для схем в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов
Здесь предполагается, что источник неисправностей вызывает однотипные константные неисправности типа S, S е {0,1}, на выходах элементов, заключающиеся в том, что всякий перешедший в неисправное состояние элемент вместо приписанной ему функции (например, конъюнкции подаваемых на его входы пе-
S
розультатов (большей частью являющихся уже окончательными).
Теорема 2 [4—6]. Для любого натурального n > 2 выполняется равенство
L ^}(n) = 2.
f
венство
L {иитГ }(f ) = 1-
1n
выполняется равенство
L {&пГ’°}(п) = 1.
Теорема 5 [6]. В случае неисправностей типа «О» для любого натурального п в ы п ол няеп1ся н ера в енст во
Ь{&пГ’0}(п) < 2.
Здесь и ниже верхние индексы в обозначениях функций Шеннона указывают базис, а нижние - вид теста. Символ «©» означает сложение по модулю два; определение монотонной булевой функции можно найти, например, в [8]. Верхние оценки в теоремах 1 5 (и всех последующих) получаются конструктивно построением подходящих схем. Нижияя оценка теоремы 2 следует нз установленной соответствующей нижней оценки для эквивалентности
Ьппт }(х ~ У) ^ 2;
в теоремах 3, 4 нижние оценки очевидны.
Пусть ЕП}Ш - булев оператор из т отличных от констант булевых функций fl(x),...,fm(x),гдe Х = (ж1,..., жп), а Б - схема из функциональных элементов, реализующая ¥п,т. Набор О = (д1(Х),..., дт(Х)) функций неисправностей схемы Б считается нетривиальным, если хотя бы одна функция д*(Х) из О отлична от соответствующей ей функции ^(Х), то есть д*(Х) ф ^(Х). Множество Т входных наборов значений переменных схемы Б называется полным проверяющим тестом для Б, если для любого нетривиального набора функций неисправностей (д1(Х),..., дт(Х)) в Т найдется хотя бы один набор <г такой, что (К(ё),...^т(ё)) = (д1(<г),...,дт(<г)).
Теорема 6 [6]. Любую систему ¥пт из т отличных от констант булевых функций можно реализовать схемой в базисе {&, V, - }, допускающей полный проверяющий тест не более чем из к + 1 наборов, где к - число функций из ^П,т, сохраняющих единицу.
В последней теореме верхняя оценка длины теста в общем случае неулучитаема.
т
булевых функций можно реализовать схемой, допускающей полный проверяющий тест из двух наборов.
Главная идея, используемая при получении верхних оценок теорем 1 7, заключается в добавлении в схему специальных «контрольных» элементов или даже цепей из элементов, которые сами по себе, в общем-то, н не участвуют в вычислении реализуемой схемой функции, но зато определенным образом «реагируют» на поломки элементов схемы и тем самым позволяют достаточно просто (то есть с использованием небольшого числа тестовых наборов) обнаружить переход схемы в неисправное состояние, когда схема реализует уже нетривиальную функцию неисправности, отличную от исходной функции, реализуемой схемой в исправном состоянии.
3. Диагностические тесты для схем в одном бесконечном базисе
В математической теории сложности схем из функциональных элементов установлено (прежде всего в работах О.Б. Лупанова), что при усложнении элементов базиса (при увеличении числа входов у элементов) для «почти всех» булевых функций можно добиться существенного уменьшения сложности схем, оцениваемой, скажем, числом функциональных элементов в схемах. Крайним случаем усложнения
базисов естественно считать переход к бесконечным базисам. Исследования сложности схем в бесконечных базисах проводились рядом авторов, и было установлено, что переход к бесконечному базису, как правило, позволяет весьма существенно понизить рост функции Шеннона, задающей наименьшее возможное число функциональных элементов, достаточное для реализации схемой любой булевой функции от п переменных.
Результаты подобных исследований по сложности схем закономерно наводят на мысль о постановке соответствующих тестовых задач по диагностике и контролю исправности схем. Представляется актуальным, например, такой вопрос: можно ли добиться существенного (и насколько существенного) сокращения длины тестов для схем при переходе к бесконечным базисам? Здесь мы приводим пример бесконечного базиса, позволяющий дать утвердительный ответ на поставленный вопрос.
Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в бесконечном базисе Б = {.г’1&.г’2, Ж1&Ж2&Ж3,...; ж і Vхо, х\Ухо \/жз,...; ж} (в Б входят конъюнкции и дизъюнкции от любого числа переменных н отрицание). Для функциональных элементов схем будем предполагать возможными однотипные константные неисправности на выходах элементов. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 8 [9]. Любую булеву функцию /(ж1;... ,ж„), п > 1, можно реализовать схемой в базисе Б, допускающей единичный диагностический тест, длина которого не превосходит 2|"^2(п + 1)] + 2.
Замечание. Для аналогичной задачи синтеза легкотестируемых схем в конечном базисе {.г’1&.г’2, х\Ухо, ж} наилучшая известная к настоящему времени верхняя
п п
функциональных элементов в базисе {жі&ж2, ж і V хо, ж}, допускающей единичный диагностический тест, длина которого не превосходит 2п + 1.
Существенной особенностью схем, используемых при доказательстве теоремы 8, является то, что эти схемы содержат мало (не более чем |"^2(п + 1)]) инверто-
п
содержащей такое число инверторов, установлена А.А. Марковым в [11].
4. О минимальных тестах для схем, реализующих дизъюнкцию
Тесты для схем, реализующих дизъюнкцию, рассматривались в [12]. В качестве неисправностей предполагались инверсные неисправности: а) на входах схем: б) на входах элементов схем: в) на выходах элементов схем.
Если на некоторый исправный вход схемы подается переменная ж, то при переходе этого входа в неисправное состояние на него подается ж. Для инверсных неисправностей на входах схем тесты определяются только реализуемой функцией, а потому часто называются тестами функций.
Теорема 9 [12]. Минимальный единичный проверяющий тест функции ж1 V ... V жп содержит, один набор, а минимальный единичный диагностический
п
Теорема 10 [12]. Минимальный полный проверяющий тест функции
ж1 V... V жп содержит, один набор, а минимальный полный диагностический тест этой же функции содержит, 2” — 1 наборов.
Если исправный элемент E при подаче па его 1-й, ..., г-й, ..., k-й входы переменных Ж1,..., x*,..., xk реализует p(xi,..., x*,..., xk), то в случае инверсной неисправности г-го входа этот элемент реализует p(x1, ...,Х*,..., xk),
E
p(xi,..., ж*,..., xk) ■
Для инверсных неисправностей на входах элементов доказана
Теорема 11 [12]. Для любого натурального n > 2 имеет место соотношение
LEDT(x1 ^ ... ^ xn) = ^ЕДТ(x1 ^ ... ^ xn) = 1
Для инверсных неисправностей на выходах элементов справедлива Теорема 12 [12]. Для любого натурального n > 2 имеет место соотношение
^ЕПТ(x1 ^ ... ^ xn) = ^ЕДТ(x1 ^ ... ^ xn) = 2.
Утверждения теорем 11 н 12 справедливы и для схем в полном базисе {ж —*■ у, ж} [12].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект X- 08-01-00863) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (проект X- НШ-4470.2008Л)
Summary
N.P. Redkin. Он t.lie Synthesis of Schemes Permitting Short Tests and on the Estimates of the Test Lengths.
The paper regards single checking tests for schemes of functional elements by inverse errors on the element outputs, along with checking test for schemes in case of one-type constant errors on the element outputs, single diagnostic tests for schemes in the infinite basis, minimal tests for schemes realizing disjunction. The new estimates are produced for the length of these tests. In certain cases these estimates are best possible.
Key words: Boolean functions, schemes of functional elements, element errors, checking test, diagnostic test.
Литература
1. Лупаиоо О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-
во Моск. ун-та, 1984. 138 с.
2. Редъкии Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.
192 с.
3. Редькин Н.П, Единичные проверяющие тесты для схем при инверсных неисправностях элементов // Матем. вопр. кибернетики. М.: Физматлит, 2003. Вып. 12.
С. 217 230.
4. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных
неисправностей па выходах элементов // Материалы IX междупар. семинара «Дискретная математика и ее приложения», поев. 75-летию со для рожд. акад. О.В. Лу-папова (Москва, 2007). М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2007. С. 64 65.
5. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных
неисправностей па выходах элементов // Вести. Моск. уп-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберп.. 2008. Л'! 1. С. 40 44.
6. Бородина Ю.В. Синтез легкотестируемых схем при константных неисправностях па
выходах элементов: Автореф. дне. .. .канд. физ.-мат. паук. М.. 2008. 12 с.
7. Бородина Ю.В. Синтез легкотестируемых схем в базисе {&, V,-} при однотипных константных неисправностях па выходах элементов // Дискр. матем. 2005. Т. 17, Вып. 1. С. 129 140.
8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. 384 с.
9. Редькин Н.П. О синтезе легкотестируемых схем в одном бесконечном базисе // Вести.
Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. Л'! 3. С. 29 33.
10. Редькин Н.П. О единичных диагностических тестах для однотипных константных
неисправностей па выходах функциональных элементов // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. Л'! 5. С. 43 46.
11. Маркое А.А. Об инверсионной сложности систем функций // Докл. АН СССР. 1957. Т. 116, Л» 6. С. 917 919.
12. Бедж.анооа С.Р. О минимальных тестах для схем, реализующих дизъюнкцию // Дискр. анализ и исслед. операций. 2008. Т. 15, .V 2. С. 3 11.
Поступила в редакцию 01.04.09
Редькин Николай Петрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры дискретной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Е-таі1: пргеЯкіп вуапйех. ги
