Проверка замкнутых формул вычисления нормального ускорения силы тяжести в трехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 528.34:629.783

Н.В. Ротова СГГ А, Новосибирск

ПРОВЕРКА ЗАМКНУТЫХ ФОРМУЛ ВЫЧИСЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В данной работе осуществляется проверка замкнутых формул для вычисления нормального ускорения силы тяжести, которые получены Ю.В. Сурниным [1] путем адаптации формул М.С. Молоденского [2] для пространственного случая.

При повышении точности расчетов использование незамкнутых формул [3], [4] приводит к необходимости их доработки - увеличения числа членов разложения для градиента нормальной силы тяжести. Замкнутые формулы обеспечивают любую точность в пределах погрешностей компьютерной арифметики.

Суть эксперимента состоит в сравнении результатов расчета нормального ускорения силы тяжести по замкнутым формулам [1] и по замкнутым формулам Сомильяна-Пицетти [3] на поверхности уровенного эллипсоида, а также по незамкнутым формулам [4] вне поверхности эллипсоида на заданной высоте Н.

Исходными данными для эксперимента являются массив геодезических координат трех контрольных точек {Ь^ И!} (табл. 1) и четыре параметра

нормального поля силы тяжести (табл. 2).

Таблица 1. Геодезические координаты контрольных точек

№ п/п В Ь Н, м

1 440 48’ 27.2759" 820 51’ 53" 0,0

2 440 48’ 27.5478" 830 15’ 44" 2500,0

3 440 48’ 27.8194" 830 19’ 37" 5000,0

Таблица 2. Параметры нормального поля силы тяжести

№ п/п Название Обозначение Численное значение Единицы измерения

1 гравитационный параметр уровенного эллипсоида 398600,540у м3/сек2

2 большая полуось эллипсоида ае 6378140 м

3 сжатие эллипсоида а 3352,814639-ШЬ безр

4 угловая скорость вращения эллипсоида ю 0,7292115-Ш"4 рад/сек

* Значение параметров были взяты из монографии М.М. Машимова [4].

На основе приведенных выше данных таблиц 1 и 2 и замкнутых формул из работе [1] на языке программирования ТигЬо Pascal была написана программа

и произведены расчеты нормального потенциала и нормального ускорения силы тяжести в трех контрольных точках. Полученные результаты были выведены в текстовый файл.

Для проверки замкнутых формул вычисления ускорения нормальной силы тяжести был произведен ряд экспериментов.

Во-первых, по созданной программе было произведено тестирование данных, приведенных в монографии М.М. Машимова (для высот 0, 2 500 и 5 000 м) [4].

Таблица 3. Результаты тестирования по данным из монографии

М.М. Машимова

по Машимову Ym (м/с-2) по программе Y (м/с-2) А = ym - Y (м/с-2)

9.806189109 9.806015823 0.000173286

9.798479673 9.798306402 0.000173271

9.790779985 9.790606035 0.000173950

Во-вторых, производилось сравнение с результатами вычисления ускорения нормальной силы тяжести по формуле Сомильяна-Пицетти (для высоты 0 м) [4]

_уЕ-а■ cos2 (В) +уР-Ь ■ sin2 (В)

1а • со8 (В) + Ь -бш (В) где уЕ, yP - соответственно, ускорение нормальной силы тяжести на экваторе и полюсе,

a, Ь - соответственно, большая и малая полуоси уровенного эллипсоида. Причем, ускорения нормальной силы тяжести на экваторе уЕ и полюсе yP были вычислены по замкнутым формулам.

Таблица 4. Результаты тестирования по формуле Сомильяна-Пицетти

по Машимову Ym (м/с-2) по Сомильяна-Пицетти Ysp (м/с-2) А = Ym - Ysp (м/с-2)

9.806189109 9.806015823 0.000173286

И, в-третьих, для определения относительной погрешности вычислений нормального ускорения силы тяжести был использован разностный метод вычисления производной

AU = U{H + АН) - U{H - АН),

У

AU

Ау = у'-у, д(у) =

ст(у)

2-АН................... А у

где АН - приращение аргумента по высоте;

Ди - приращение функции нормального потенциала, соответствующее приращению аргумента по высоте;

у - значение нормального ускорения силы тяжести, полученное по замкнутым формулам;

у’ - значение нормального ускорения силы тяжести, полученное разностным методом;

Ду - абсолютная погрешность вычисления нормального ускорения силы тяжести;

5(у) - относительная погрешность вычисления нормального ускорения силы тяжести;

о(у) - погрешность компьютерной арифметики вычисления нормального ускорения силы тяжести.

Накопление относительных погрешностей, вычисленных разностным методом, для различных приращений аргумента по высоте отражено на рисунке.

Рис. Зависимость степени относительной погрешности вычислений от

приращения аргумента по высоте

Для высот 2 500 и 5 000 м были получены результаты таких же порядков.

На основе проделанной работы можно сделать следующие выводы:

- Результаты расчета нормального ускорения силы тяжести по замкнутым формулам [1] и по замкнутым формулам Сомильяна-Пицетти [3] на поверхности уровенного эллипсоида совпадают до пятнадцати значащих цифр (предельная машинная точность);

- Результаты расчета нормального ускорения силы тяжести по замкнутым формулам [1] и по незамкнутым формулам [4] вне поверхности эллипсоида на заданной высоте Н не совпадают с пятой значащей цифры, что

делает необходимым дальнейший поиск ошибок в формуле или расчетах М.М. Машимова;

- Результаты расчета по замкнутым формулам и численным дифференцированием совпадают до десятой значащей цифры (предельные возможности численного дифференцирования для данной разрядной сетки компьютера).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сурнин Ю.В. Математическая модель внешнего гравитационного поля на ограниченном участке земной поверхности по спутниковым и традиционным геодезическим данным // Материалы конгресса «ГЕ0-СИБИРЬ-2006». - Новосибирск, 2006.

2. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли: Тр. ЦНИИГАиК. Вып. 131. - М.: Геодезиздат, 1960.

- 251 с.

3. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия. - М.: Недра, 1978. - 264 с.

4. Машимов М.М. Теоретическая геодезия / Под ред. Савиных В.П. и Ященко В.Р.

- М.: Недра, 1991. - 268 с.

© Н.В. Ротова, 2006