Проверка обобщенной гипотезы Мищенко Фоменко для алгебр Лималой размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 5.

УДК 514.745.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-126-135

Проверка обобщенной гипотезы Мищенко^Фоменко для алгебр

Ли малой размерности

Ф. И. Лобзин

Лобзин Федор Игоревич — Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Центр фундаментальной и прикладной математики (г. Москва). e-mail: fiadat@mail.ru

Аннотация

В случае алгебр Ли g малой размерности < 7 доказан усиленный вариант обобщенной гипотезы Мищенко—Фоменко, а именно показано, что для любого элемента a G g* на двойственном пространстве g* существует полный набор полиномов в биинволюции относительно стандартной скобки Пуассона-Ли и скобки с замороженным аргументом, ассоциированной с ковектором а.

Ключевые слова: Скобка Пуассона-Ли, согласованные скобки Пуассона, биинволютив-ные наборы многочленов.

Библиография: 9 названий. Для цитирования:

Ф. И. Лобзин. Проверка обобщенной гипотезы Мищенко — Фоменко для алгебр Ли малой размерности // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 126-135.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.

UDC 514.745.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-126-135

Verification of the generalized hypothesis of Mishchenko^Fomenko for Lie algebras of small dimension

F. I. Lobzin

Lobzin Fedor Igorevich — Lomonosov Moscow State University; The Center of Fundamental and Applied Mathematics (Moscow). e-mail: fiadat@mail.ru

Abstract

In the case of Lie algebras g of small dimension < 7, an enhanced version of the Generalised argument shift conjecture is proved, namely, it is shown that for any element a e g* on the dual space g* there is a complete set of polynomials in the bi-involution with respect to the standard Poisson-Lie bracket and the frozen argument bracket associated with the covector a.

Keywords: Lie-Poison bracket, compatible Poisson bracket , sets of polynomials in biinvolution.

Bibliography: 9 titles. For citation:

F. I. Lobzin, 2023, "Verification of the generalized hypothesis of Mishchenko-Fomenko for Lie algebras of small dimension" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 126-135.

1. Введение

Пусть g — алгебра Ли, соответственно g* — сопряженное пространство. Рассмотрим на g* тензорное поле:

(Ax(x))ij = (4хк), х G g*,

где ск — структурные константы ал гебры Ли g в некотором базисе е\,... ,еп, Хк — координаты элемента х G g* в двойственном к е\,... ,еп базисе. Данное тензорное поле определяет скобку Пуассона-Ли на Сœ(g*): [f,g}(x) = Ax(df (х), dg(x)). Функции f G Cœ(g*), лежащие в ядре скобки Пуассона-Ли, называются функциями Казимира. Также можно рассмотреть похожую структуру, называемую скобкой Пуассона с замороженным аргументом:

(Аа(x))ij = (скак), а,х G g*, [f,g}a(x)= Аа(df (x),dg(x)).

Эти скобки являются согласованными в том смысле, что любая линейная комбинация Ax(x) и Аа(х) задает алгебру Ли на пространстве Сœ(g*). Набор из s коммутирующих функций над g * считается полным, если они функционально независимы и s = 2 (dim g + ind g). Наибольший практический интерес представляют наборы, состоящие из многочленов. В 70-х годах прошлого века была сформирована следующая гипотеза, касающаяся существования полных наборов в инволюции.

g*

g

Ли.

А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко доказали эту гипотезу для полупростых и редуктивных алгебр Ли в [1] при помощи метода, описанного в следующем утверждении.

g

fi..., fm — полиномиальные функции Казимира скобки Пуассона-Ли. Разложим fi(x + X ■ а), по степеням X:

fi(x + X ■ а) = До + Л ■ fa + ... Xj ■ fij ..., х,а G g*, Л G R. Тогда, набор многочленов (fi,j) находится в инволюции относительно скобки Пуассона-Ли.

Отметим, что наборы многочленов, построенные методом сдвига аргумента, будут также в инволюции и относительно скобки с замороженным аргументом, так что интересно рассмотреть естественное обобщение гипотезы 1 (сформулированное в [2], [3, conjecture 5.5]).

g

регулярных элементов a G g* существует полный набор многочленов в биинволюции, то есть набор, одновременно находящийся, в инволюции относительно скобки {■, ■} и скобки {■, ■}а.

Полученные при применении метода сдвига аргумента наборы являются полными не для всех алгебр Ли, даже если элемент a G g* регулярный. Также наборы, построенные сдвигом аргумента, для которых элемент a G g* является параметром, могут становится функционально зависимыми для некоторых сингулярных элементов a G g* (см. определение 1).

Первая гипотеза была доказана Садэтовым в 2004 году (см.[4]), но полученные его алгоритмом наборы редко оказываются в инволюции относительно скобки с замороженным аргументом. Обобщенная гипотеза Мищенко—Фоменко доказана, например, для полупростых алгебр Ли (для полупростых элементов a G g* = g в [1], для остальных регулярных элементов [2]). Также подобная задача была рассмотрена в [6], где полные наборы в биинволюции

были построены для всех комплексных (в этой работе этот результат будет обобщен и на вещественные случаи) семимерных нильпотентных алгебр Ли. Несмотря на то, что обобщенная гипотеза была сформулирована только для регулярных элементов а, в данной работе эта задача рассмотрена и для сингулярных элементов тоже.

Определение 1. Элемент а € g* называется сингулярным, если

dim(Ann а) > ind g, где Ann а = {{ € g| ad* а = 0}, ind g = min^dim Ann(fe)).

Предложение 1. Пусть в алгебре Ли g существует коммутативная подалгебра,, размерности s = 2 (dim g + ind g). Тогда, существует полный набор многочленов в инволюции относительно скобки Пуассона-JIu, который будет в инволюции и относительно скобки с замороженным аргументом для любого элемента, а € g*. А именно Пусть е\,...,еk — базис этой подалагебры. Тогда соответствующие линейные функции fi : g* ^ R fi(x) = x(ei)> х € g*, образуют полный набор в биинволюции относительно скобки {■, ■} и {■, -}а для любого а € д*.

Доказательство этого предложения тривиально. В следующем разделе мы разберем все случаи вещественных алгебр Ли размерности меньше 6 и вещественных нильпотентных алгебр Ли, размерностей 6 и 7, для которых не выполняются условия этого предложения.

2. Построение наборов в биинволюции

Рассмотрим пример (обозначения из статьи [9]):

Алгебра Функции Казимира Многочлены, полученные методом сдвига аргумента

23457G [ei ,e2¡ = ез, [ei ,е3\ = [ei ,e¿t] = е5, [ei ,е5] = е6, [е2 ,ез] = е5, [е2, е4] = е6, [е2 ,е5] = -ej, [ез ,е4] = ej Х6, Х7, 2х^ — 3Х2Х7 — 6х4х5 х6+ +6х3х2 + 6х3х5х7 — —6х2 х6х7 — 6х1х'7 ¡1 = Хб, ¡2 = Х7, ¡з = 2x55 — 3х\х7 — 6ХаХ5Х6 +6хзх^ + 6хзх5х7 — 6х2х6х7 —6х\х7, /а = сдвиг, /5 = сдвиг

Найдем такие а, что многочлены ¡1, ¡2, ¡з-, ¡а-, /5 будут функционально зависимыми, то

есть найдем такие а, что гк ^< 5. Так как = х^, ¡2 = %7, из условия гк ^< 5 следует

-х"7 —Х6Х7 Х% + Х5Х7

rk | —а2 —а6а7 а2 + а5а7 | < 3,

—2а7х7 —а6х7 — а7х6 2а6х6 + а5х7 + а6х5

В предыдущей матрице первый столбец — производные по Х\, второй столбец — производные по Х2, третий столбец — производные по х3, тогда:

—х7 —х6х7 х% + х5х7 \

det | —а2 —а6а7 а^ + а5а7 | = 0,

—2а7х7 —а6х7 — а7х6 2а6х6 + а5х7 + а6х5 /

следовательно коэффициенты при всех мономах равны нулю. Коэффициент при х6 равен а3 = 0 следовательно а7 = 0. Коэффициент при х^ равен а6 = 0 следовательно а6 = 0.

Аналогично можно рассмотреть другую подматрицу матрицы Якоби, а именно: первый столбец — производные по Ж4, второй столбец — производные по Ж5, третий столбец — производные по Жб- Проведя такие же рассуждения получим: й5 = 0.

При а5 = аб = а7 = 0 подойдет набор : х4,х5,хб,х7,х3х\ + х3х5х7 — х2хбх7 — х\х"7- Этот полный инволютивный набор взят из [8], то что все эти многочлены попарно коммутируют относительно скобок с такими замороженными аргументами можно проверить явно.

Теорема 1. Пусть вещественная алгебра, Ли д удовлетворяет одном,у из следующих условий: либо ёт д ^ Ъ, либо д нильпотентна и ёт д равна 6 или 7. Тогда, для, алгебры Ли д верна обобщенная гипотеза Мищенко Фоменко. Более того для каждого сингулярного элемента а € д*; существует полный набор многочленов в биинволюции относительно скобок {•, •}«{•, •}а-

Доказательство.

Теорема следует из таблицы, представленной далее. Таблица состоит из алгебр Ли для которых не выполняются условия предложения 1 (для остальных утверждение теоремы следует из этого предложения).

Комментарии к таблице: В первых двух столбцах таблицы выписаны, алгебры Ли (в обозначениях из статей [7] (размерности меньше 6), [9] (размерности 7)), их коммутационные соотношения и функции Казимира (функции Казимира для всех алгебр из таблицы кром,е последних 7 взяты, из [8], для остальных случаев функции Казимира вычислены, автором). В третьем столбце предъявлены полные биинволютивные наборы многочленов для, всех регулярных ковекторов. В четвертом столбце отдельно выписаны, полные биинволютивные наборы (построены различными методами) для тех сингулярных ковекторов (их множество описано аналогично примеру), для которых набор многочленов из третьего столбца является не полным. Также в четвертом столбце указаны размерности аннуляторов соответствующих ковекторов (у семимерных алгебр Ли размерность аннуляторов в четвертом столбце таблицы не указана,, так как всегда, равна, 5). Первая строчка в каждой ячейке 3-го и 4.-го столбца обозначает условия на координаты ковектора. Запись (а\, а2, а3) = 0 означает, что хотя бы одна из этих координат, не равна, нулю.

Замечание 6. В следующей таблице опущены алгебры (обозначения из [7]):

Аз,8, АЗ,9, А48, А410, А42З, А53.

Так как для этих алгебр Ли полные биинволютивные наборы многочленов получаются методом сдвига, аргумента для, всех а, кроме а, т,а,ких что Аа{х) = 0.

Аб,37 [е2, ез] = ех, [ех, в4] = 2ех, [б2, в4] = в2, [ез, в4] = ез, [е2, еБ] = -ез, [ез, еБ] = е2 хх (ах, Я2, аз) = 0 /х = Жх, /2 = ®2 + ®з + 2жх®б, /з = а2®2 + азжз + ахЖб ах = а2 = аз = 0 dim(Ann(а)) = 5 дх = Хх, ^2 = Жб, 5з = ®2 + ®з + 2жх®б

Аб,40 [ех, в2] = 2ех, [ех, ез] = —в2, [б2, ез] = 2ез, [ех, в4] = вб, [в2, в4] = в4, [е2, еб] = — еб, [ез, еб] = е4 Ж2Ж4Жб — Жх®4 + +жзжб (а4, аб) = 0 /х = Ж2Ж4Жб — ЖхЖ2 + ЖзЖб, /2 = Ж2а4 аб + Ж4а2аб + +жба2а4 — жха4 — 2ж4аха4+ +жза2 + 2жбазаб, /з = Ж2®4аб + Ж2 Жб04 + +ж4жба2 — 2жхж4 а4 — ж4ах + +2жзЖбаб + азжб а4 = аб = 0 dim(Ann(a)) = 3 дх = Ж4, ^2 = Жб, 22 дз = Ж2®4Жб — ЖхЖ4 + ЖзЖб

Аб,21 [el, 62] = ез, [в1,вБ] = в6, [е-2,ез] = е4, [е2,е4] = вБ, [ез, €4] = в6 Х6, х4+2X2X6— —2хЗхБ (а,4, оБ, а,6) = 0 fl = хБ, Í2 = Х6, f:i = х4 + 2X2X6 — 2хЗхБ, f4 = 0,4X4 + 06Х2 — ОБХз а4 = аБ = а6 =0 dim(Ann(a)) = 4 gl = Х4, 92 = хБ, дз = Х6, д4 = Х2Х6 — ХзХБ

Аб ,22 [в1,в2] = ез, [el, ез] = вБ, [е1,еБ] = в6, [е2,ез] = е4, [е2,е4] = еБ, [ез, 64] = е6 Х6, 2хз + 3х\х6 — —6Х2Х2— —6ХзХБХ6 (04, оБ, а,6) = 0 fl = хБ, Í2 = Х6, f:i = х\ — 2x2X6 — 2хЗхБ, f4 = 04X4 — 06Х2 — ОБХз а4 = аБ = а6 = 0 dim(Ann(a)) = 4 gl = Х4, д2 = хБ, дз = Х6, д4 = Х2Х6 — ХзХБ

247E1 [el,e2] = в4, [е1,ез] = вБ, [el,e4] = в6, [в2, е4] = ет, [ез, сБ] = ет Х6, Хт, 2 , 2 Х4 + Хц — — 2х2х6 + 2х1хт (04, 06, а7) = 0 fl = ХБ, Í2 = Х6, f-з = Х7, Í4 = х4 — 2X2X6 + 2X1X7, f5 = 04X4 — 06Х2 + 07X1 а4 = а6 = а7 = 0 gl = Х4, д2 = хБ, дз = Х6, д4 = Х7 дБ = Х2Х6 — Х1Х7

23457C [el,e2] = ез, [е1,ез] = в4, [el,e4] = вБ, [е1,еБ] = в6, [е2,еБ] = —ет, [ез, е4] = ет Х6, Хт, х\ — 2хзХБ + +2X2X6+ +2х1хт (оБ, 06, 07) = 0 fl = Х6, Í2 = Х7, X2 f-з = Х1Х7 — Х2Х6 + ХзХБ — f'4 = 07X1 — 06Х2 + ОзХБ + +ОБХз — 04X4, f'5 = 05X5X7 + 2 Х2,а7 + +а6Х4Х7 — Х4Х607 аБ = а6 = а7 = 0 gl = Х4, д2 = хБ, 9з = Х6, д4 = Х7, д4 = —ХзХБ + Х2Х6 + Х1Х7

12457H [el,e2] = ез, [е1,ез] = е4, [е1,еБ] = в6, [в1,в6] = ет, [е2,ез] = еБ, [е2,е4] = в6, [ез, 64] = ет Хт, х6 — 2хБхТ, Х4ХБ — ХзХ6 + +Х2Хт (оБ, 06, 07) = 0 fl = Х7, Í2 = Х6, /з = ХБ, f4 = Х4ХБ — ХзХ6 + Х2Х7, f'5 = 05X4 — Хз06 + 07X2 аБ = а6 = а7 = 0 gl = Х4, д2 = хБ, дз = Х6, д4 = Х7 д4 = Х2Х6 — Х1Х7

12457C [el, 62} = е4, [el, 64] = еБ, [е1,еБ] = в6, [е2,ез] = в6, [е2,е6] = ет, [в4,вБ] = —ет Хт, X2 — 2хзхт, хБ— 2х4х6— —2х1хт (04, 06, 07 ) = 0 fl = хз, Í2 = Х6, /з = Х7, f4 = X2 — 2х4х6 — 2х1х7, f'5 = оБхБ — 06Х4 — 07X1 а4 = а6 = а7 = 0 gl = хз, д2 = хБ, дз = Х6, д4 = х7, дБ = Х1Х7 — Х4Х6

12457L [el, 62] = ез, [el, ез] = в4, [el, 64] = в6, [el,e6] = ет, [е2,ез] = вБ, [е2,еБ] = в6, [е2,е6] = ет, [ез,е4] = —ет, [ез,вБ] = ет Хт, х4 — 2хзХ6 +х'2 — — 2х1хт + 2х2хт, х6 — 2х4хт— —2хбхт (о6, 07 ) = 0 fl = Х7, Í2 = xi — 2хзХ6 + X2 — — 2х1х7 + 2х2х7, f:i = 04X4 — азХ6 — а6Хз + +ОБХБ — 07X1 + а7Х2, f4 = Х'2 — 2х4х7 — 2ХБХ7, Í5 = Я6Х6 — 117X4 — а7ХБ а6 = а7 = 0 gl = Х4, д2 = хб, дз = Х6, 94 = х7, дБ = хзх6 + Х1Х7 — Х2Х7

247Q [el, 62] = 64, [el, ез] = вБ, [el, 64] = в6, [е2,ез] = в6, [е2,еБ] = ет, [ез, е4] = ет Х6, Хт, ХБХ6 — ХзХ6Хт + +х4хБхт + х1х1 (а.Б, а,6, а7 ) = 0 fl = хБ, Í2 = Х6, /з = Х7, Í4 = —ХзХ6 + Х4ХБ + Х1Х7, Í5 = —0>6Хз + 0,5X4 + 07X1 аБ = а6 = а7 = 0 gl = Х4, д2 = хБ, дз = Х6, д4 = хт, дБ = хзх6 — xixt

23457В [е1, в2] = ез, [еье3 ] = в4, [в1, е4] = ее, [е2, ез] = еБ, [е2,ее] = еу, [е3, в4] = -еу жв, Жу, 22 жв®2 + ж4жу- -2ж3жежу--2ж1жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = ж4 - 2жзже - 2ж1жу, /Б = &4Ж4 - аежз - ауЖ1 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, № = ЖзЖе + Ж1Жу

247Л [в1, в2] = в4, [в1, ез] = ев, [ех, вб] = ее, [е2, вб] = еу, [е3, в4] = еу, [ез, ев] = ее же, Жу, ж4же--2ж4жвжу+ +2ж2жежу--2ж1жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = Ж4, /2 = же, /з = жу, /4 = -Ж4ЖБ + Ж2Же - Ж1Жу, /Б = -а4Ж5 + аеЖ2 - ауЖ1 а4 = ау = ае = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = жу, 0Б = Ж2Же - Ж1Жу

257Ь [в1,в2] = ев, [в1, ев] = ее, [е2, ез] = ее, [е2, ев] = еу, [е3, е4] = еу же, Жу, 2ж4же - ЖвЖу+ +2ж2жежу- -2ж1жу (аБ, ае, ау) = 0 /1 = Ж4, /2 = же, /з = Жу, /4 = -Ж2 + 2Ж2Ж6 - 2Ж1Жу, /Б = -ЯБЖБ + аеЖ2 - ауЖ1 ав = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, № = Ж2Ж6 - Ж1Жу

247С [е1, е2] = е4, [е1, ез] = ев, [е1, е4] = еу, [е2, в4] = ее, [е3, ев] = еу же, Жу, ЖвЖе + ж4жу+ +2ж1жежу- -2ж2жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = ж2 + 2ж1же - 2ж2жу, /Б = а4Ж4 + аеЖ1 - ауЖ2 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, № = Ж1Ж6 - Ж2Жу

23457Е [б1, в2] = е3, [в1, е3] = е4, [в1, в4] = ее, [е2, ез] = ев, [е2, ев] = -еу, [в2, ее] = -еу, [е3, е4] = еу жв - же, Жу, жв - 3жвже + +3ж2жу--6жзжежу+ +6ж1жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = ж4 - 2жзжб + 2ж1жу, /Б = авЖ4 - аежз + ауЖ1 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = же, 04 = Жу, 0Б = ЖзЖе - Ж1Жу

2357С [е1, е2] = е4, [в1, в4] = ев, [в1, ев] = еу, [е2, ез] = ев, [е2, в4] = ее, [е3, в4] = -еу же, Жу, Жв - 3ж4жвжу+ +3ж3жежу+ +3Ж2Жу (аБ, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = -Ж4ЖБ + жзже + Ж2Жу, /Б = -^Ж4 + аежз + ау Ж2 аъ = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, ^ = ЖзЖе + Ж2Жу

2357Б [е1, е2] = е4, [е1, ез] = ее, [е1, е4] = ев, [е1, ев] = еу, [е2, ез] = ев, [е2, е4] = ее, [е3, е4] = -еу же, Жу, жв - 3жвж2--3ж4жвжу+ +3ж3жежу+ +3Ж2Жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = -Ж4ЖБ + жзже + Ж2Жу, /Б = -^Ж4 + аежз + ау Ж2 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, 0Б = ЖзЖе + Ж2Жу

247Их [е1, е2] = е4, [еье3 ] = ев, [е1, е4] = ее, [е2, ез] = ее, [в2,в4] = еу, [е3, ев] = еу же, Жу, 2жвж2 - ж2жу — Ж2Жу + +2ж2жежу- -2ж1жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = ад, /2 = же, /з = жу, /4 = —Ж2 + 2Ж2Ж6 - 2Ж1Жу, /Б = -а4Ж4 + аеЖ2 - ауЖ1 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = ад, 0з = Же, 04 = Жу, ^ = Ж2Ж6 - Ж1Жу

23457Б [е1, е2] = ез, [б1, ез] = в4, [в1, е4] = еБ, [в1, еБ] = ее, [е2, ез] = ее, [е2, вб] = -еу, [ез, в4] = еу же, Жу, 2ж4ж6 - жбже + +ж4жу--2жзжбжу+ +2ж2жежу+ +2ж1®у (ае, ау) = 0 /1 = же, /2 = Жу, /з = 2Ж4Ж6 - жбже + ж4жу--2жзжбжу + 2ж2жежу+ +2ж1жу, /4 = СДВИГ, /б = сдвиг ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = Же, 04 = Жу, 0б = -ЖзЖб + Ж2Же + Ж1Жу

247К [б1, в2] = в4, [в1,ез] = вб, [в1, еб] = ее, [е2, в4] = ее, [е2,еб] = еу, [ез, в4] = еу же, Жу, 2жзж6 - жбже +2ж4жбжу -2жгжежу +2ж1®у (ае, ау) = 0 /1 = же, ^ = /з = 2жзж6 - жбже + +2ж4жбжу - 2жгжежу+ +2ж1жу, /4 = СДВИГ, /б = сдвиг ау = ае = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = же, 04 = жу, 2 , 2 0б = ЖзЖе - ж2жежу + Ж1Жу

247Н [б1, в2] = в4, [е1, ез] = еб, [в1, в4] = еу, [в1, еб] = ее, [е2, в4] = ее, [ез, еб] = еу же, Жу, 2ЖЗЖ6 - жбже--ж4жу--2ж1жежу+ +2аджу (ае, ау) = 0 /1 = же, ^ = /з = 2жзж6 - жбже - ж4жу--2ж1жежу + 2жгжу, /4 = СДВИГ, /б = сдвиг ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = Же, 04 = Жу, 2 , 2 0б = ЖзЖе - Ж1ЖеЖу + ж2жу

23457С [б1, в2] = ез, [в1, ез] = е4, [в1, в4] = еб, [в1, еб] = ее, [б2, ез] = еб, [е2, в4] = ее, [е2, еб] = -еу, [ез, в4] = еу же, Жу, 2жз - 3ж4жу- -6ж4ЖбЖе+ +6ЖЗЖ6+ +6ЖзЖбЖу = -6Ж2ЖеЖу = -6ж1жу (аб, ае, ау) = 0 /1 = же, /г = жу, /з = 2жз - Зж4жу--6ж4жбже + 6жзж6 + +6жзжбжу - 6ж2жежу--6ж1жу, /4 = СДВИГ, /б = СДВИГ аб = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = же, 04 = жу, 2 , 2 0б = ЖзЖе + жзЖбЖу - Ж1Жу- -аджежу

12457^, А = 1 [б1, в2] = ез, [в1,ез] = в4, [в!, в4] = ее + еу [в1, ее] = еу, [в2,ез] = вб, [б2, еб] = ее, [ез, еб] = еу Жу, же - 2ж4жу+ +жежу, 2ж| + Зж6Жу +3ж4жу +3жбжу -6жзжежу -6ж4жежу +6Ж2Жу (аб, ае, ау) = 0 /1 = Ж4, /г = же, /з = жу, /4 = жб - 2жзжб + 2ж2жу, /б = абЖб - аежз + ауж2 аб = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = Же, 04 = Жу, 0б = ЖзЖе - ж2жу

12457К [б1, в2] = ез, [в1, ез] = в4, [в1, вб] = ее, [б2, ез] = вб, [в2, в4] = ее, [е2, еб] = еу, [в2, ее] = еу, [ез, еб] = -еу Жу, ж6 - 2ж4жу, ж6 + 3ж4ЖбЖе -Зжзжежу -Зж4жежу -Зж1жу (а4, ае, ау) = 0 /1 = Ж4, /2 = же, /з = жу, /4 = Ж4Жб - ЖзЖе - Ж1Жу, /б = а4Жб - аежз - ауЖ1 а4 = ае = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = же, 04 = Жу, 0б = ЖзЖе + Ж1Жу

12457Е [б1, в2] = в4, [в1, в4] = вб, [в1, вб] = ее, [б2, ез] = ее, [в2, в4] = ее, [в2, ее] = еу, [в4, вб] = -еу Жу, ж6 - 2жзжу, 2жз + Зжбжу--6ж4жежу--6ж1жу (аб, ау) = 0 /1 = Ж4, /2 = Же, /з = Жу, /4 = жб - 2ж1жу, /б = абЖб - ауЖ1 аб = ау = 0 01 = Ж4, 02 = Жб, 0з = же, 04 = Жу, 0б = Ж4Же + Ж1Жу

1234571, Л = 0 [е1,е'\ = ез, [е1,е3] = [в1,е4 = еъ, [в1,е5] = е6, [е1,е6] = е7, [е',ез] = еъ, [е-2,ч4] = ев, [ез, е4] = е7 хт, хв — 2хъху, 2хв — 10хъхвхг +15хъхвх2 —15х4хъхз +15хзхвхз —15х2х4 (аъ, ав, ат) = 0 ^ = Хъ, /г = Хв, /з = Хт, и = —Х4Хъ + ХзХв — Х2Хт, /ъ = аъХ4 + авхз — атх2 аъ = ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = хъ, дз = хв, 94 = Хт, дъ = хзхв — х2хт

37Б1 [в1,в2] = е5, [в1,ез] = ев, [в1,в4] = ет, [е2,ез] = — е7, [е2,е4] = ев, [ез,е4] = — еъ Хъ, Хв, х7 (аъ, ав, ат) = 0 /1 = хъ, /г = хв, /з = хт, = Х2Хъ + ХзХв + Х4Хт, /ъ = аъх2 + авхз + атХ4 аъ = ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = хъ, дз = хв, д4 = хт, дъ = х2хъ + ХзХв

247Е [е1,е2] = в4, [е1,ез] = еъ, [е1,е4] = ев, [е1,е5] = ев, [е2,еъ] = ет, [ез, е4] = ет Хв, Хт, Х4Хъ — Х2Хв — — ХзХв + Х1Х7 (аъ, ав, ат) = 0 /1 = Х4 — хъ, /г = хв, /з = Хт, = Х4Хъ — Х2Хв — ХзХв + +Х1Хт, /ъ = а4Хъ + аъХ4 + атХ1 — —ав(х2 + хз) аъ = ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = хъ, дз = хв, 94 = Хт, дъ = —Х2Хв — ХзХв + Х1Хт

247Н1 [е1,е2] = в4, [е1,ез] = еъ, [е1,е4] = ев, [е2,е4] = ев, [е2,еъ] = ет, [ез,в4] = ет, [ез,еъ] = -ев Хв, Хт, 2х'^х1 + 2х2х1 — —2Х2Х2— —2хзхвх7+ +х'хв + +2хъхвх7— — ХъХв (ав, ат) = 0 ^ = хв, /г = хт, /з = 2хвх1 + 2х2х1 — —2х2хв — 2хзхвхт+ +х4хв +2хъхвхт— = хъхв, /4 = СДВИГ, и = СДВИГ ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = Хъ, дз = хв, 94 = Хт, дъ = 2хвх1 + 2х2 Х1 — — 2х2хв — 2хзхвхт

247И [е1,е2] = в4, [е1,ез] = еъ, [е1,е4] = ев, [е1,еъ] = ев, [е2,ез] = ев, [е2,еъ] = ет, [ез, е4] = ет Хв, Хт, —хъхв + +Х2ХтХв + +ХзХтХв — — Х1ХТ + +х4хв — х4хъхт (ав, ат) = 0 ^ = хв, /г = хт, Н = —ХъХв + Х2ХтХв + +ХзХтХв — Х1Хт + +х4хв — х4хъхт, /4 = СДВИГ, и = СДВИГ ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = Хъ, дз = хв, 94 = Хт, дъ = х2хтхв + хзхтхв — — х1хт + х4хв

2357Б1 [е1,е2] = в4, [е1,ез] = ев, [е1,е4] = еъ, [в1,еъ] = ет, [е2,ез] = еъ, [е2,е4] = —ев, [ез,е4] = —ет Хв, Хт, Хъ + Зхъхв — —3х4хъхт— —3хзхвхт+ +3Х2Хт (а4, ав, ат) = 0 ^ = Хъ, /г = Хв, /з = Хт, и = —Х4Хъ — ХзХв + Х2Хт, ^ъ = —аъХ4 — авхз + ат х2 а4 = ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = хъ, дз = хв, д4 = хт, дъ = —хзхв + х2хт

124571а [е1,е2] = ез, [е1,ез] = в4, [е1,е4] = —ев, [е1,ев] = ет, [е2,ез] = еъ, [е2,еъ] = —ев, [ез,еъ] = —ет Хт, хв + 2х4хт, х4 + 2хзХв + +х2ъ — 2х2хт (аъ, ав, ат) = 0 /1 = Х4, /г = хв, /з = хт, = 2хзхв + хъ — 2х2хт, ^ъ = авхз + аъхъ — атх2 аъ = ав = ат = 0 д1 = Х4, д2 = хъ, дз = хв, 94 = Хт, дъ = 2хзхв + хъ — 2х2хт

12457N, A=

[ex, e2] = ез,

[ex, ез] = е4,

[ex, e4] = е7,

[ex, еб] = в6,

[ex,ea] = е7,

[e2, ез] = еб,

[e2, e4] = в6,

[e2, еб] = е7,

[e2, e6] = е7,

[ез, в4] = е7,

[ез, еб] = —е7

Жт,

жтж4 + жтж4 —

— 2 ж2 — Ж6Жт,

3жзж6жт—

— 3жзж2 —

— 3ж4жбжт+ +3ЖXЖ2 —

—3Ж2Ж2+

+3ж4ж6жт+

+3жбЖ6Жт—

з2

з

2 Ж6Ж7 Ж6 •

(ад — ад, ад, ад) = О

/x = Ж4 + Жб, /2 = Ж6, /з = ®7,

/4 = 2(Ж6 — ж7 )жз+ + X (ж4 — Жб)2 + 2ж7 (жx — Ж2),

/б = 2(ад — ад )жз+

+ (а4 — Яб)(ж4 — Жб) +

+2ад (жx — Ж2)

а4 = аб, а6 = ад = О

0X = ®4, ff2 = Жб, 03 = ®6, 04 = ад, 0б = 2(Ж6 — ад)жз+ +2ад (жx — Ж2)

1

Наборы многочленов в бнинволюции строятся не однозначно. В таблице приведены примеры

таких многочленов. □

Можно рассмотреть естественное обобщение известной гипотезы Милованова на биинво-лютивные наборы.

Гипотеза (Милованов (Обобщенная)). На, любой нилъпотентной алгебре Ли существуют полные биинволютивные наборы состоящие только из линейных и квадратичных многочленов.

Подобная задача была рассмотрена в [6], однако, в [6] были построены полные биинволютивные наборы состоящие только из линейных и квадратичных многочленов для некоторых алгебр Ли из [8]. Этот результат был улучшен а именно, в алгебрах

247G, 257R, 12457N(A = 1), 123457I, 2357Di, 12457Ni(А = 1).

были построены наборы из квадратичных и линейных многочленов, которые не получаются методом сдвига аргумента. Таким образом это обобщение не проверено только для следующий нильпотентных 7-ных алгебр Ли:

23457D, 247K, 247H, 23457G, 247Hi, 247R.

Автор считает, что в перечисленных выше алгебрах сформулированное ранее обобщение гипотезы Милованова не будет выполнено.

Автор благодарен A.A. Ошемкову за постоянное внимание к работе и плодотворные дискуссии, а также А. В. Болсинову за ценные комментарии и замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мищенко А. С. Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. 1978. Сер. матем. Т. 42, № 2. С. 396-415.

2. Bolsinov А. V., Zhang P. Jordan-Kronecker invariants of finite-dimensional Lie algebras // Transformation Groups. 2016. Vol. 21, P. 51-86.

3. Bolsinov A. V., Matveev V. S., Miranda E., Tabachnikov S. Open problems, questions and challenges in finitedimensional integrable systems // Phil. Trans. R. 2018. vol.376.

4. Sadetov S.T. A proof of the Mishchenko-Fomenko conjecture // Dokl. Math. 2004. Vol. 70, № 1. P. 635-638.

5. Bolsinov A.V. Compatible Poisson brackets on Lie algebras and completeness of families of functions in involution // Math. USSR-Izv. 1992. Vol. 38, № 1. P. 69-90.

6. Ворушилов К. С. Полные наборы полиномов в биинволюции на нильпотентных семимерных алгебрах Ли // Матем. сб. 2021. Т. 212, № 9. 3-17.

7. ] Patera J., Sharp R. Т., Winternitz P., Zassenhaus H. Invariants of real low dimension Lie algebras // J. Mathematical Phvs. 1976. vol. 17, № 6. P. 986-994.

8. Ooms A.I. The Poisson center and polynomial, maximal Poisson commutative subalgebras, especially for nilpotent Lie algebras of dimension at most seven // journal of algebra. 2012. Vol. 365, P. 83-113.

9. Ming-Peng Gong Classification of Nilpotent Lie Algebras of Dimension 7 (over algebraically closed fields and R) // PhD thesis, University of Waterloo, Ontario, Canada. http://hdl.handle.net/10012/1148, 1998.

REFERENCES

1. Mishchenko A. S. Fomenko A. T. 1978, "Euler equations on finite-dimensional Lie groups", Math. USSR-Izv., Vol. 12, no. 2, pp. 371-389.

2. Bolsinov A. V., Zhang P. 2016, "Jordan-Kronecker invariants of finite-dimensional Lie algebras", Transformation Groups., Vol. 21, pp. 51-86.

3. Bolsinov A. V., Matveev V. S., Miranda E., Tabachnikov S. 2018, "Open problems, questions and challenges in finitedimensional integrable systems" // Phil. Trans. R., Vol. 376.

4. Sadetov S.T. 2004, "A proof of the Mishchenko—Fomenko conjecture", Dokl. Math., Vol. 70, no. 1, pp. 635-638.

5. Bolsinov A. V. 1992, "Compatible Poisson brackets on Lie algebras and completeness of families of functions in involution", Math. USSR-Izv., Vol. 38, no. 1, pp. 69-90.

6. Vorushilov K.C. 2021, "Complete sets of polynomials in bi-involution on nilpotent seven-dimensional Lie algebras", Sb. Math., Vol. 212, no. 9, pp. 1193-1207.

7. Patera J., Sharp R. Т., Winternitz P., Zassenhaus H. 1976, "Invariants of real low dimension Lie algebras", J. Mathematical Phys. .vol. 17, no. 6, pp. 986-994.

8. Ooms A. I. 2012, "The Poisson center and polynomial, maximal Poisson commutative subalgebras, especially for nilpotent Lie algebras of dimension at most seven", Journal of algebra., Vol. 365, pp. 83-113.

9. Ming-Peng Gong. 1998, "Classification of Nilpotent Lie Algebras of Dimension 7 (over algebraically closed fields and R)", PhD thesis, University of Waterloo, Ontario, Canada, http://hdl.handle.net/10012/1148.

Получено: 26.05.2023 Принято в печать: 21.12.2023