Проверка математических моделей электроэнергетических систем предназначенных для выполнения расчетов установившихся режимов в вероятностно-определенных условиях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311 Болоев Евгений Викторович,

доцент кафедры автоматизации и электроснабжения промышленных предприятий,

Ангарской государственной технической академии, тел.: (3955)56-17-21, e-mail: boloev@mail.ru

ПРОВЕРКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ В ВЕРОЯТНОСТНО-ОПРЕДЕЛЕННЫХ УСЛОВИЯХ

E.V. Boloev

MATHEMATICAL MODELS FOR THE DESCRIPTION OF PROBABILISTIC LOAD FLOW CHECK

Аннотация. В статье разработана методика проверки математических моделей электроэнергетических систем, предназначенных для выполнения расчетов установившихся режимов в вероятностно-определенных условиях.

Ключевые слова: моделирование электроэнергетических систем, вероятностное потоко-распределение, функция распределения, плотность распределения, сравнение вероятностей.

Abstract. This paper reviews check of mathematical models for the description of probabilistic load flow.

Keywords: power system modeling, probabilistic load flow, probability distribution function, probability density function, œmparison ofprobabilities.

Принятые обозначения и сокращенная запись выражений

В этой статье случайные величины будут обозначаться заглавными буквами, детерминированные или возможные реализации случайных величин - строчными буквами, векторные величины будут выделяться жирным шрифтом без курсива. Для сокращения записи выражений в статье многомерные формулы ряда операции будут заменяться соответствующими одномерными формулами, например:

• 1 х 2

д n x ^(х^х.

2'

x)_dY(x)

dxj дх2 ...дхп

д x

{ { . { fX (х1 ,х2 )dx1dx2 .--d^ ={ fX (x)dx.

Введение

Для проверки качества стохастических моделей, пригодности численных методов и вычислительных алгоритмов [1], [2] для решения задач расчета, анализа и управления установившимися режимами электроэнергетических систем (ЭЭС) в вероятностно-определенных условиях в настоящее время используют вычислительный эксперимент, программа которого построена на статистических испытаниях. Существенным недостатком программы статистических испытаний является высокая трудоемкость, обусловленная многократными расчетами установившихся режимов ЭЭС, необходимыми для накопления требуемой статистической информации, которая позволит достоверно описать законы распределения случайных величин [1], [2]. Формирования объективного заключения о степени достоверности модели и границах ее применимости, пригодности численных методов и вычислительных алгоритмов потребует многократного проведения вычислительного эксперимента для различных схемно-режимных ситуаций. Таким образом, автоматизированная проверка стохастической модели, вероятностного метода или алгоритма, несмотря на высокое развитие вычислительной техники, потребует значительных затрат времени, до нескольких месяцев.

х

n

x

X

х ! х

х

2

n

X

х

n

x

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

Трудоемкость апробации моделей, методов и алгоритмов можно значительно уменьшить, используя в программе вычислительного эксперимента прямой и точный вероятностный метод расчета установившихся режимов ЭЭС приведенный в этой статье.

Постановка задачи

Расчет установившихся режимов в вероятностно-определенных условиях (в дальнейшем -просто вероятностный расчет) установившегося режима ЭЭС заключается в нахождении закона распределения Ьх (х) зависимых переменных режима X по известному закону распределения ¿у (у) независимых переменных режима У , где X и У - векторы соответственно зависимых и независимых переменных, на которые разбивается вектор переменных режима Z; х и у - возможные значения случайных векторов соответственно X и У ; Ьх (х) и ЬУ (у) - соответственно пх -мерная и пУ -мерная функции законов распределения зависимых и независимых переменных режима.

Под функциями законов распределения случайных величин понимаются такие функции, которые полностью описывают распределение вероятностей случайных величин. В качестве функций законов распределения зависимых X и независимых У переменных выбираются: функции распределения вероятностей Fх (х) и ЯУ (у); плотности распределения вероятностей /х (х) и /У (у); характеристические функции распределений Xx (ях) и Ху (чу), где цх, чу - векторы действительных переменных, имеющие размерность соответственно nх и пУ. Отметим, что функции

ях (х), /х (хХ X x (Чх) (яУ (у), /у (у), ХУ (ЧУ)) связаны взаимно однозначными преобразованиями [3]. Поэтому, зная одну из функций распределения случайных величин, при необходимости можно определить другие функции.

Ниже для решения поставленной задачи предлагается использовать метод, позволяющий найти плотность распределения /х (х) по заданной плотности /У (у), который в отечественной литературе называют сравнением вероятностей [4], а в зарубежной - заменой переменных [5].

Математическое моделирование ЭЭС и вероятностный расчет установившегося режима

Для выполнения вероятностных расчетов установившихся режимов строится математическая модель ЭЭС: 1) определяется состав векторов

зависимых X и независимых У переменных; 2) задается плотность распределения независимых переменных /У (у); 3) устанавливаются функциональные соотношения между переменными режи-

ма:

W(X,У) = 0,

(1)

где W(X,У) - nх -мерная вектор-функция, описывающая установившийся режим ЭЭС в детерминированных условиях; 4) с помощью уравнения (1) определяется плотность распределения /х (х).

Плотность распределения /х (х) находится согласно общему принципу определения вероятностного распределения методом сравнения элементов вероятностей с использованием замены переменных [4]. Предполагается, что функция W(х,у) имеет непрерывные первые частные производные по всем координатам векторов х и у . Возможны три случая:

1) векторы X и У имеют одну размерность п;

2) размерность пх вектора X меньше размерности пУ вектора У ;

3) размерность пх вектора X больше размерности пУ вектора У .

Если векторы X и У имеют одну размерность п и уравнение (1) однозначно разрешено относительно У:

У = Т(х), (2)

то плотность распределения /х (х) [4] определяется как

/X(х)=|У(х)|/уИх)) , (3)

где J (х) - якобиан вектора у = ^(х) по координатам вектора х; ^(х)| - абсолютное значение якобиана.

В случае, когда размерность nх вектора X меньше размерности пУ вектора У и уравнение (1) однозначно разрешено относительно У1 :

У, = Т(х,У2), (4)

плотность распределения /х (х) определяется выражением [4]

У2

/х (х)=Л J (х,у 2 )| /у (^(х,у 2 ),у 2 Уу 2 , (5)

12.

где У1 , У2 - векторы размерностью соответственно пх и (пУ — пх), на которые разбивается вектор У ; J(х) - якобиан вектора у1 = ^(х, у2) по коор-

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

динатам вектора x; у2 и у 2 - наименьшее и наибольшее возможные значения Y2.

В случае пх > п-у для записи /х (к) систему уравнений (1) необходимо разделить на две системы:

- = ^1) (6)

и

- = Т (X ) ,

где Х1, X2 - векторы размерностью соответственно пу и (пх — иу), на которые разбивается вектор X. Если уравнение (6) имеет единственное решение X = Т—1 (-), то плотность fх (х) составного вектора Х{Хх ,Х2} определяется формулой [4]

/х (х)=| 3 (х1)| /- (тЛх ))б(х2 — Т (т—1(х1))), где 5(х2 — Т2 (у)) - 5 -функция, которая определяет условную плотность распределения вероятностей величины X относительно У; 3(х) - якобиан вектора у = Тх(хх) вектора х1 .

Ргкйгк тт, тт„

по координатам

0

К К

а)

I X

к.

ик ик п'и пы

1 ^

"'и "и и1 и1

* I

Рц&1

§0 и

б)

1

§0 и Ри Ои

ъпп

Рис. 1. Схемы замещения: а - узла к сети; б - ветви к1 сети

ЭЭС состоит из электроустановок по производству, преобразованию, передаче, распределению и потреблению электроэнергии. При моделировании режимов ЭЭС любая электроустановка может быть представлена схемой замещения узла или ветви, либо совокупностью этих схем. В достаточно общем виде однолинейные схемы замещения узла и ветви, предназначенные для моделирования электроустановок трехфазного переменного тока в установившихся симметричных режимах, представлены на рис. 1.

Схемы замещения электроустановок объединяются в соответствии с электрическими соеди-

нениями в реальной системе, образуя расчетную схему ЭЭС, состоящую из т узлов.

В схеме замещения узла к (см. рис. 1, а) параметры §ок и Ьок - активная и реактивная проводимости шунта. Параметры ветви И электрической сети (см. рис. 1, б): гк1, хы - активное и реактивное продольные сопротивления ветви; §ои, Кы (§о ¡к, Кш ) - активная и реактивная поперечные проводимости у конца ветви И (1). В общую схему замещения ветви сети помимо сопротивлений (проводимостей) входят идеальные трансформаторы с коэффициентами трансформации п'ы, п" и п'1И, "И соответственно на концах И и I ветви (см. рис. 1, б), где п'к1, п'!И - действительная часть коэффициентов трансформации; п"к1, п'И - мнимая часть коэффициентов трансформации.

Потребление электрической энергии в узле к сети (см. рис. 1, а) определяется активной Р и

реактивной О мощностью нагрузки, производство - активной Р и реактивной О генерируемой мощностью.

Режим ЭЭС в узле к характеризуется продольной и'к и поперечной Ю" составляющими напряжения (см. рис. 1, а). В ветви И режим ха-

~ ТГ ~ тГГ

рактеризуется активной 1к1 и реактивной 1к1 составляющими тока в начале линии и соответствующими параметрами 1'ш, I"" в конце линии к1. Передача энергии характеризуется перетоком активной Ры и реактивной Ом мощности от узла к по ветви И, потерями активной ЛРк1 и реактивной ЛОк1 мощностей в ветви сети.

Вывод функциональных соотношений между параметрами режима будет производиться в комплексной форме записи. Комплексные формы записи параметров имеют вид:

г = г + гх, у = § — гЬ,п = п' + т", и = и' + Ю ", i = I' + И", Б = Р + О,ЛБ = Лр + 1ЛО,

где г - мнимая единица.

Баланс токов в каждом узле электрической сети (см. рис. 2, а) определяется первым законом Кирхгофа:

1 н к 1 г к +10 к +

Е 1м = 0 =

(7)

1=1

1 Фк

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

где I» k, L k, Lо k

- соответственно комплексы

токов нагрузки, генерации и ток, протекающий по шунту в узле к сети; - ток в начале ветви к1.

Uk

mHß

L в И Zid

И h

U

I

У 0 kl

б)

I

L 0 lk

y0 lk

I

Рис. 2. Схемы замещения к определению соотношений между параметрами режима: а - узла к сети; б - ветви к1 сети

Комплексы токов генерации /г4. и нагрузки /нА. определяются через сопряженные комплексы соответствующих мощностей , и напряже-

ние Uk :

I г k =

"Г*

'г k

Su

*' k

L» k —

S.

» k

V3u

*

Uk

(8)

(9)

Lkl — (L-в kl + L0 kl )'

(11)

По закону Ома токи /вИ и /ои в ветви kl

(см. рис. 2, б) с учетом преобразования напряжений равны

I в « Uk"kl- Ul"lk =4 (ил, - Unk )ykl ;(12) л/3 % V3

1

L0 Ы — ^3 Uknk'y0 kl :

(13)

где ун - комплексная продольная проводимость ветви.

В результате подстановки ;(12) и (13) в (11) ток в начале ветви равен

1м = -Щ (икпк1 — и1пл )Ук1 + ^ икпыУо ы

knkl nkl \

iykl + y0 kl Ulnlknuyki ]• (14)

где * - знак, обозначающий, что комплекс переменной является сопряженным.

Ток /0 к , протекающий по шунту в узле к ,

связан с напряжением ^ законом Ома (см. рис. 2, а):

1ок икУок . (10)

Ток , протекающий вначале ветви к1 согласно первому закону Кирхгофа с учетом преобразования токов (см. рис. 2, б) равен

Вытекающие из узла к в узел l потоки мощности равны

*

Su = UkI_kl. (15)

Потери мощности в ветви сети определяются формулой

ASki = Sk! + Slk. (16)

Совокупность уравнений (7)-(15), составленные для всех узлов и ветвей сети ЭЭС, при разделении параметров на действительные и мнимые составляющие образует полную систему уравнений установившегося режима.

Вероятностный расчет установившегося режима заключается в определении плотностей распределения напряжений в узлах fv (u',u"), токов f (i', i'), перетоков мощности fS (p,q) и потерь мощности fAS (Ap,Aq) в ветвях сети по исходным данным: плотности распределения нагрузок fSH (рн^н) и генерирующих мощностей fSr (pr,qr) в узлах сети; схеме соединений и параметрам электрической сети.

Расчет производится в следующей последовательности: 1) с использованием полной системы уравнений, составляются уравнения (Ру ,Qy )=

= 1P(U',U'') и по (3) находится функция

fu(u',u''); 2) по найденной плотности fU(u',u'') в зависимости от числа узлов и ветвей составляется уравнение (2) и/или (4)и находит-

ся функция f (i , i ), fs (p,q), fs (Ap,Aq) соответственно по (3) или , (5). Пример

Определим плотность распределения напряжений в узлах сети. Для получения явной функции (2) подставляем (8)-

(14) в (7) и умножаем на сопряженный комплекс напряжения. В результате получаем уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей

í \

S* k " S*k + UkU*

y0 k +Z [n kl nkl \уш + У0 ki)]

l—1 l *k

4=

n

n

\

У

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

- и'

= 0 .

(17)

1=1

1 Фк

Предварительно для упрощения дальнейших выкладок введем параметры сети:

Уук1 =

у0 к +х И ку «ку Уку + у0 ку )] при к = 1

у=1 уФк

1=1 1 Фк

+Х [№'+ии) +№ - вд'к ]=о,

г=1

I Фк

аук +(ик2 + и2) ¿у,, +

т

+![№'+ци;) ч - - щи;) ] = о,

г=1 г Фк

где Рк, Qk - узловые мощности, равные

Рук = Рн к - р к Qyk = Q н к - Qг к ;

ёу и, Ьук1 - узловые проводимости, рассчитываемые по формулам в соответствии с (18)

ё у к1 =1

Ъук1 =<

ёо к + X [(ёк1 + ё0 к1 Хпи + пка )]при к = 1>

1=1

1 Фк

- ёк1 (п'к1п1к + «««'к ) - Ьк1 (п'к1п'к - %% ) при к Ф 1>

X [(ьк1 + Ь0 к1 + п'ш2 )] при к = /,

Ь0 к + X [(Ьк1 + Ь0 к1

у=1 уФк

ёк1 (п'ип1 - «кг«») - К (п'к,п'1к + «ктИ» ) при к Ф 1

В результате имеем следующие функции:

(и >") = -(ик2 + ик2)ёУкк -

т

- X [(ики;+Щи;)+ (ики;- и; и;К ]

1=1

1 Фк

)=-(и,12 + и12 )ь

к гукк

(18)

VQyk (и1 и';)=-(и

т

X [(ики;+ики%к1 - (ики;1 - ики;)ёуа ]

" п1кпыУк1 пРи к Ф1 где уукк, ёукк, Ьукк - собственные соответственно комплексная, активная и реактивная проводимости узла к ; уук1, ёук1, Ьук1 - взаимные комплексная, активная и реактивная проводимости смежного с узлом к узла 1 .

При подстановке выражений (18) в уравнение (17) имеем

т

к -s:к + ЦкикууИ +Х(и1Уук1 ) = 0. (19)

1=1 1Фк

(21)

Для определения плотности распределения напряжения /и (и ' ,и " ) используется формула (3) при условии существования и непрерывности якобиана 3(и ',и ' ) вектора Т8у(и ',и'' ) по координатам вектора (и ',и '' ). Якобиан преобразования 3 (и ' ,и '' ) равен

Баланс токов (19) при разделении на вещественную и мнимую составляющие с алгебраической формой записи напряжений имеет вид:

Рук + (Ш2 + и'' 2) ЯУк +

3 (и ' ,и' ) =

"дуРук (и ' ,и ')" 1 1 1 "дуРук (и ' ,и ')"

ды1 1 1 1 [

"^ук (и,и'0" т 1 1 _дУQyk (и ',иГ

_ ды1 _ 1 1 _ ды' __

, (22)

ду ^ (и ' ,и ") ду РУ^ (и ' ,и') а^ (и ' ,и')

где

РУк

ди\

ды'

ОУк ды1

[(2°) дуQy¿ (и ',и '')

ды'

частные производные соответст-

вующих функций (21) по составляющим напряжения. Как показывают исследования [6], якобиан (22) существует и непрерывен во всех установившихся режимах ЭЭС вплоть до предельных режимов.

Формула (2) дает следующую плотность распределения напряжения:

/и (и ' ,и '') = 3 (и ' ,и '') / (Тр (и ' ,и '(и ' ,и '')). (23)

Так плотность распределения вероятностей /^(ы",ы"') продольной и поперечной составляющих напряжения в нагрузочном конце 2 линии электропередачи, схема замещения которой представлена на рис. 3, при плотности распределения вероятностей нагрузки /8н (рн2 ,дн2 ) и заданных

г гг

параметрах сети и напряжении ы1, ы 1 в генераторном узле 1, балансирующем по активной и реактивной мощности, определяется выражением

/и(м2Х)=|1^«2)|Л,у(^«2)уКО)-(24)

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

w.

!(p„2 ,U 2 ,и 2 )=P2 +(U2'«; - U2u 1) bu +] + [u 2 (U 2 - u)+U 2' (U 2' - <)] g !2 = 0, (qH2, U 2, U 2' )=02 + (u 2u" - U 2'u" )g" 2+

как

е^"2 ^ 2 2 / —

+ [и 2' (и 2' - 0+и 2' (и 2' - «;)] 6,2 = о, (и2' и2')=-(и 2'и1- и 2й 'О 2 -

-и (и 2 - и)+и 2' (и2-и1')] g 12,

Vе (и2, щ)=(и2и 1 - и2'и;^ 1 2+

+ [и 2' (и 2' - <)+и 2' (и 2' - <)] 61,2,

где , ЪХ2 - активная и реактивная проводимости линии электропередачи.

а)

б)

Рис. 4. Плотности распределения напряжения в узле 2 линии электропередачи (см. рис. 3), построенные для расчетных условий: а - при равномерном распределении нагрузки; б - при нормальном распределении нагрузки

Якобиан преобразования J (ua2, u2) равен

J (u2,u 2 ) =

Рис. 3. Однолинейная схема замещения линии электропередачи напряжением 110 кВ

Явные функЦии V Рпг (и2 ,и2 ) и VQ"2 (и2 ,и2) определяются из баланса мощностей составленного для нагрузочного узла линии электропередачи:

ay p(u 2 ,u2') p(u 2 ,u2)

ÖUü2 dur2

q (u2 u") \ q (u2,u2')

5ua2 ! u

= (gu + b122 )[(ui2 + Ul" 2 )-2(u2u" + U2'U")] •

На рис. 4, а и б построены плотности распределения fv (u',u'), рассчитанные по формуле (24) в случае соответственно равномерного распределения нагрузки fH (рн2,Цн2) на участках [53,67] (в МВт), [35,45] (вМвар) и нормального распределения с характеристиками: mP = = 60 МВт, mQ = 40 Мвар, стР = 4МВт, сте = = 3 Мвар, r = 0,5 . Параметры линии электропередачи следующие: r12 = 10 Ом, x12 = 20 Ом. Составляющие напряжения балансирующего узла равны u^ = 115 кВ и u^ = 0 .

Выводы

Вероятностный метод расчета сравнением вероятностей в отличие от предложенных ранее аналитических методов [1], [2] по заданной плотности распределения независимых параметров позволяет точно записать выражение для плотности распределения зависимых параметров. Данный метод можно использовать в качестве эталонного метода. Метод прост в реализации, если векторы зависимых и независимых параметров имеют одинаковую размерность. В противном случае трудоемкость метода из-за необходимости интегрирования функций и нахождения 5 -функций увеличивается. Предложенный метод расчета не является универсальной, но позволяет выполнять вероятностные расчеты режимов традиционной постановке задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bibliography on Power System Probabilistic Analysis (1962-1988) / M. Th. Schilling, A. M. Leite da Silva, R. Billinton, M. A. El-Kady // IEEE Trans. on Power Systems. - 1990. - Vol. 5, no. 1, Feb. - P. 1-11.

2. Chen P., Chen Z., Bak-Jensen B. Probabilistic Load Flow: a Review // Electric Utility Deregulation and Restructuring and Power Technologies : Proc. of Third Int. Conf. - [USA], 2008. - P. 1586-1591.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. - СПб. : Лань, 2003. - 832 с.

4. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие. - М. : Физматлит,