CC BY
48Из 1 2006
В. Г. Вабиков
Процесс формирования кредитно-депозитных портфелей банков
Изучение и моделирование различных явлений, протекающих в банковской системе, и, в особенности, процесса формирования кредитно-депозитных портфелей банков и спроса на деньги с их стороны является очень важной задачей как для государства, так и для частных инвесторов.
В этой статье рассказывается о методах прогнозирования и оценки параметров в применении прежде всего к задачам в области экономики и управления. Автором сформулирована и представлена задача прогнозирования параметров модели банка [1]. С помощью методов статистического анализа многомерных временных рядов предлагается решить задачу формирования кредитно-денежного портфеля банка. Далее рассматривается задача управления временно свободными активами банка [3]. Применительно к этой задаче предлагается алгоритм экспертного прогнозирования.
Основным предметом изучения в данной статье является кредитно-депозитная политика банка, под которой понимается стратегия и тактика проведения операций по привлечению заемных средств. С этой целью рассказывается о соответствующих зависимостях, функциях, методах оценки и прогнозирования. В статье также рассматриваются вопросы формирования кредитным учреждением (банком) политики по привлечению и размещению денежных ресурсов.
Для описания процесса формирования кредитно-депозитного портфеля примем динамическую модель в непрерывном времени [1], для которой поставлена оптимизационная задача с фазовыми ограничениями. Решение этой задачи представлено в работах [1, 2] при условии, что все переменные, описывающие внешние воздействия, считаются заданными. На практике же необходимо проводить предварительную оценку этих параметров. Определение методов оценки и прогноз переменных модели являются основной практической задачей, некоторые из них описаны в книге автора [4].
Управление финансовыми активами банка — сложная задача. Для ее решения необходимо не только построить модель банка, но и оценить (или спрогнозировать) параметры модели. Такими параметрами модели являются: текущий рыночный курс ценных бумаг, приобретенных банком, рыночная стоимость портфеля ценных бумаг, индекс потребительских цен, коэффициент отношения к риску по Эрроу-Пратту и др.
Для модели принимается следующее
Определение 1. Банк считается типичным, [1] если: при проведении кредитно-депозитной деятельности он не зависит от кого-либо, кроме своих владельцев; юридический статус и множество доступных для проведения операций банка не меняются на рассматриваемом периоде; своими действиями банк не оказывает существенного влияния на финансовый рынок.
Показатели количества денег (Г), стоимости портфеля ценных бумаг (х2 (Г) и объема ценных бумаг, размещенных банком ц3 (Г), описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1]:
ф,/ЙГ=^(5,/т + 52/Д,) + ц2(/,(Г)/ф(Г) +1/7,(0 + (1 -82)/Д,)-
-Нз(/2 - 1 /у2Ш - 53/А2) + /с8/0/Л2 - ртг) + Ф(0, ф2М=ц1(52/А,) + ц2((с/ф(Г)М)/ф(Г) - 1/у,(Г) - (1-62)/Д,), ф3/Уг=щ(1/у2(Г) - 53/Д,) + /с5/0/Д2, Г е [О, Л,
(1)
4/
На 1 2006
Ф(г) — доход, не зависящий от объема активов (брокерское обслуживание, проведение гарантий- g ных операций, комиссионные за расчетно-кассовое обслуживание и т. п.); |
Т — горизонт планирования;
К — капитал банка (объем собственных средств); Ц
к — коэффициент надежности банка; ®
v(f) — скорость расходования банком средств на содержание аппарата управления, оплату аренды помещения и т.д.; р (f) — индекс потребительских цен;
х — характерное время проведения платежей (поступления денежных средств); Д, — постоянная времени, характеризующая степень развития фондового рынка; /', (f) — номинальный индекс роста портфеля ценных бумаг, приобретенных банком; ф(Г) — текущий рыночный курс ценных бумаг, приобретенных банком; у (Г) — среднее время погашения ценных бумаг, приобретенных банком; /2 (Г) — индекс роста совокупной задолженности по размещенным ценным бумагам; у2 (t) — среднее время погашения ценных бумаг, эмитированных банком;
Д2 — постоянная времени, характеризующая степень развития рынка ценных бумаг, эмитированных банком.
На величины управляющих функций -8, (Г), б2 (0,83 (Г) наложены ограничения:
О < 8.(0 < 1, /= 1, 2,3,
здесь 5, (Г) — скорость проведения дивидендных выплат; 82 (£) — скорость скупки ценных бумаг сторонних эмитентов; 63 (г) — скорость привлечения банком заемных средств. Для сохранения банком ликвидности необходимо, чтобы
ц, (г)/т-/2 (Г)Мз Ю-Мэ М/У2 [0' Ъ. (2)
Фазовые ограничения. Мы будем считать, что банк не получает сверхдоходов. Следовательно, максимальное количество денег, которое он может привлечь и получить в виде прибыли ограничено некоторой константой М:
Щ (0<М,Ге [О, Л.
Оценку М можно получить исходя из максимального объема заимствований кК0, соотношения процентных ставок по привлечению и размещению средств, объема доходов, не зависящих от суммы активов Ф(Г).
Смешанное ограничение. После уплаты налогов банк использует средства для вложения в собственную инфраструктуру (внутренние инвестиции) — р (г) и для дивидендных выплат. Так как дивидендные выплаты не могут быть отрицательными, делаем следующее ограничение:
^щр/т-у^ОДе [О, Л,
где V, (Г) — скорость проведения реинвестиций в инфраструктуру банка в ценах на начальный момент времени.
Критерий качества. Интересы банка (его владельцев) описываются желанием максимизировать дисконтированную полезность будущих дивидендных выплат. Будем считать, что полезность, получаемая от немедленной выплаты, представляется в ехр Ш) раз больше, чем полезность выплаты
тт
§
На 1 2006
того же объема средств с учетом инфляции, но через время Г. Величина со называется коэффициентом дисконтирования полезности дивидендных выплат. В этом случае функционал записывается в виде:
7=0Гехр(шГ)и[У2(Г)]Л, (3)
где и [у2(г)] — функция полезности дивидендных выплат, у2 (Г) — скорость проведения дивидендных выплат в ценах на начальный момент времени.
Когда и (Г) играет роль полезности потребителя, обычно требуется, чтобы она была непрерывной, монотонной, вогнутой и ограниченной сверху с дополнительным условием и (0) = -°°. Последнее условие гарантирует положительность текущего потребления в каждый момент времени. Мы не будем требовать выполнения этого условия, полагая, что и (Г) обладает низким отвращением к нулевому потреблению (дивиденды могут выплачиваться в течение некоторых промежутков времени). В качестве функции полезности примем зависимость вида:
и[У2(Г)]Л=-|Л, (Г)8, (Г)/((1 -0)р(Г)М) + (1/1 -вХту, (О/М+1), (4)
здесь 0 — относительное отвращение к риску по Эрроу-Пратту. Для системы (1) заданы начальные условия:
ц, (0) = М0 > 0, ц2 (0) = Б0 > 0, (0) = Р0 > 0. (5)
Граничные условия имеют вид:
ц2(Т) = 0,ц3(Т) = 0. (6)
В работах [1,2] предлагаются методы (1)-(6) построения допустимого управления (в рамках модели банковской системы, неизвестные функции считаются заданными неотрицательными функциями времени).
Для оценки параметров и прогнозирования функций Ф(Г), /', (Г), /2 (Г), ср(Г), у, (Г), у2 (Г), V, (г), у2 (Г) пред-| лагается использовать методы математико-статистического анализа временных рядов и экспертного \2 анализа.
'I §
■I
с анализа. Вначале представим те методы, которые получили широкое применение в исследовании | многомерных временных рядов, а также определения некоторых терминов, используемых автором.
8
Достаточно общей математической (статистической или вероятностной) моделью временного ряда является сумма систематической и случайной составляющих. Исследования по временным рядам можно найти в работах [5-9]. Существует много методов прогнозирования и статистического
Статистические методы многомерного анализа (проблемы, возникающие при анализе многомерных
8 временных рядов) удобно разделить на следующие группы:
1. Корреляция. Очень важно определить степень зависимости между двумя случайными величина-
о ми. Понятие коэффициента корреляции распространяется на измерение зависимости между одной
£ случайной величиной и другими случайными величинами посредством множественного коэффици-
^ ента корреляции. Частный коэффициент корреляции измеряет зависимость между некоторыми слу-
^ чайными величинами, когда действие других случайных величин исключено. Различные выборочные
| коэффициенты корреляции используются для оценки параметров распределения и для проверки та-
§ ких гипотез, как гипотеза независимости [5,7-11].
? 2. Аналоги одномерных статистических методов. Многие проблемы, возникающие при изучении
§. многомерных совокупностей, аналогичны проблемам, возникающим при изучении одномерных сово-
■§• купностей. Методы решения этих проблем схожы (статистический анализ, сглаживание и фильтра-
§ ция, модели авторегрессии и скользящего среднего). Например, если в одномерном случае мы хотим
Ё> проверить гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной величины, то в много-
с мерном — также проверяется гипотеза о том, что математические ожидания нескольких случайных
Ив 1 2006
величин равны нулю. Аналогом г-критерия Стьюдента для одномерного случая является обобщенный $ Т2-критерий для многомерного случая [б, 7]. Обобщаются также методы наименьших квадратов и дис- £ персионный анализ. ¡2
3. Проблемы системы координат. Эти проблемы являются задачами выбора системы координат Ц таким образом, чтобы случайные величины имели желаемые статистические свойства (свойства, ха- а рактеризующие нормальные распределения), Указанные задачи тесно связаны с алгебраическими методами представления матриц в канонической форме. Примером является отыскание такой нормализованной линейной комбинации случайных величин, дисперсия которой максимальна или минимальна (нахождение главных компонент); это равноценно отысканию поворота осей, который приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Другой пример — характеристика зависимости между двумя множествами случайных величин (нахождение канонических корреляций). Для решения этих проблем необходимо находить характеристические корни и характеристические векторы различных матриц [5,7].
4. Более детализированные проблемы. При решении многих этих проблем множества случайных величин разбиваются на подмножества. Одной из важных задач в данном случае является проверка гипотез о независимости этих подмножеств. Другие задачи относятся к гипотезам о симметричности между подмножествами или внутри подмножеств. В категорию «более детализированных проблем» мы включаем также факторный анализ [17-23].
5. Зависимые наблюдения При анализе временных рядов наблюдения производятся над случайными величинами, последовательными во времени. Наблюдения, сделанные в некоторый момент времени, могут зависеть от ранее произведенных наблюдений. Такие проблемы ведут к изучению внутри-рядной корреляции и стохастическим разностным уравнениям [5,15].
Рассмотрим характерные этапы анализа временных рядов. Заметим, что некоторые трейдеры (операторы фондового рынка) при анализе ограничиваются графическим представлением данных и рассчитывают в основном на собственную интуицию при построении прогноза. Опыт стоит многого. Но это не есть научный, обоснованный подход. Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:
• графическое представление и описание поведения временнбго ряда;
• (детерминированная компонента) выделение и удаление закономерных составляющих временнбго ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных, циклических составляющих и интервенции;
• выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);
• исследование случайной составляющей временнбго ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;
• построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;
• прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;
• исследование взаимодействий между различными временными рядами,
Способы описания детерминированных компонент временнбго ряда сильно зависят от области приложений, При выборе модели детерминированной компоненты должны, прежде всего, учитываться содержательные соображения, т.е. те объективные факторы и закономерности, которые приводят к ее формированию,
В экономических приложениях в детерминированной компоненте временнбго ряда с1, обычно выделяют четыре составляющих части: тренд сезонную компоненту ^ циклическую компоненту с, и интервенцию В качестве примера приведем аддитивную модель временнбго ряда, Мы можем записать;
d=trtJrst+ct+ltl при Г-1,..„п.
7
Не 1 2006
Пояснение 1. Трендом временного ряда при t= 1,...,п называют плавно изменяющуюся компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.
Пояснение 2. Сезонная компонента временного ряда 5е при г =/,..., л описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т. п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов.
Пояснение 3. Циклическая компонента временного ряда с( при t =1,..., п описывает длительные периоды (один период — один подъем, одно падение).
Для анализа циклической компоненты обычно приходится привлекать дополнительную информацию в виде других временных рядов, которые оказывают влияние на изучаемый ряд, например, учитывать информацию типа налоговых льгот, перенасыщенности рынка и т. п.
Пояснение 4. Под интервенцией ¡^ при t=1,..., п понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.
Примером интервенции могут служить события «черного вторника», когда курс доллара за день вырос почти на 27%.
Пояснение 5. Модель считается моделью с гетероскедастичностью, если ошибки в этой модели некоррелированы и имеют непостоянные дисперсии.
Как одну из важнейших работ отметим статью С. Гранджера и П. Ньюболда, опубликованную в 1974 г. [26], в которой указывается на то, что экономисты уделяют недостаточно внимания требованию стационарности исследуемых рядов и, как следствие, «обнаруживают» несуществующие в действительности корреляции. И, следовательно, допускают неверную интерпретацию результатов регрессионного анализа. С. Гранджер и П. Ньюболд ввели понятие «порядок интегрированное™», который показывает сколько раз должна быть взята первая разность, чтобы ряд стал стационарным [27]. В частности, С. Гранджер и П. Ньюболд указали на то, что даже незначительная степень интегрированное™ рядов, особенно в случае, когда включенные в модель переменные обладают различной степенью интегрированное™, ведет к тому, что полученная методом наименьших квадратов регрессия характе-ш ризуется высочайшими коэффициентом детерминации /?2 и статистической значимостью (Г-статистик), | но одновременно сильной корреляцией остатков, которые сами по себе образуют нестационарный \§ ряд (Дарбина-Уотсона [7] — статистика обращается в ноль).
'I Отдельно отметим работы в области портфельных инвестиций. Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те ^ портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марко-с вица представляет собой изогнутую линию [28], что предполагает наличие бесконечного числа то-^ чек на этой кривой. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. £ Марковиц видел эти потенциальные трудности и внес основной вклад в преодоление этих проблем, о представив метод решения. Он включает в себя алгоритм квадратичного программирования, извест-ного как метод критических линий [29]. Идея обобщения модели Марковица на случай безрискового | кредитования и заимствования принадлежит Джеймсу Тобину [30-32].
$ При построении эконометрических моделей можно ожидать, что некоторые макроэкономичес-® кие переменные очень значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в част-^ ности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки, цены на нефть и т.д. После | выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации. За-§ тем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам и собственной доходности ценных бумаг, а также стандартных отклонений и корреляций. При этом решающим является точное измерение значений факторов. На практике это может оказаться до-вольно трудным. Для профессиональных инвесторов, заинтересованных в количественной стороне « дела, многофакторные модели являются интуитивно привлекательным методом анализа. Они доста-о точно точно учитывают сущность фундаментальных экономических и финансовых сил, влияющих С на доходность ценных бумаг. Однако переход от абстрактных рассуждений к разработке факторных
Не 1 2006
моделей, которые были бы достаточно всесторонними и мощными для обслуживания различных § потребностей институциональных инвесторов, является сложной задачей. Беглый обзор многофак- J торной модели BARRA для ценных бумаг США дает представление о сложностях строительства фак-торных моделей. С
Модель BARRA основана на работе Барра Розенберга, специалиста по эконометрике в области 01 финансов. В начале 1970-х гг., работая в Университете штата Калифорния в Беркли, он и Виней Марат сформулировали сложную факторную модель. Эта модель связывала доходности акций с множеством факторов, полученных из данных по деловым операциям соответствующих компаний.
Первоначальная многофакторная модель Розенберга для ценных бумаг США была существенно пересмотрена в 1982 году, и теперь ее называют моделью Е2. В настоящее время тысячи институциональных инвесторов (из них более 50% за пределами США) являются подписчиками службы модели Е2.
В практике российского рынка ценных бумаг нашли применение различные методы прогнозирования. Распространение получили следующие методы: факторный анализ (общее обсуждение факторных моделей и кластерный анализ можно найти в работах [17-23]), метод АРПСС (авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего [12, 13, 15, 24]), нейронные сети (программный пакет Brain Maker и др.), приемы технического анализа — практически все они реализованы в многочисленных программных пакетах. Обобщение рыночной модели, включающее сектор-факторы (сектора выбраны таким образом, чтобы представить отрасли промышленности), представлено в работе [22]. При этом акции любого типа имеют две чувствительности, характеризующие их отклик на доходность по индексу рынка и доходность по индексу отрасли, к которой данные акции относятся.
Статистические методы анализа и прогнозирования временных рядов (сглаживание, частотная фильтрация, спектральный анализ, выделение сезонных колебаний, модели тренда, авторегрессионные модели, скользящее среднее, множественная регрессия, модель ARIMA [5, 7-10]) реализованы в специализированных пакетах анализа временных рядов, а также в универсальных статистических пакетах.
Современные нейронно-сетевые методы анализа нелинейных структур и зависимостей в данных (многослойный персептрон, радиальная базисная функция, Бейесова сеть, сеть Кохонена) [33-38] представлены, например, в нейросетевом пакете Neural Connection — совместной разработке фирм SPSS и Recognition Systems. Уже в 1990 г. фирма California Scientific Software выпустила коммерческий пакет Brain Maker (задача прогнозирования формализуется через задачу распознавания образов). Первые искусственные нейронные сети были созданы в результате попыток создать компьютерную модель, воспроизводящую деятельность мозга в упрощенной форме. Главное свойство таких сетей — способность к обучению. С помощью такой сети можно найти решение, не зная правил (формул), основываясь на нескольких примерах. Однако долгое время обучения нейронных сетей является одним из существенных недостатков этого метода.
Пакет САНИ специально разработан для решения задач, в которых значительная часть исходных данных имеет нечисловую природу. Кроме того, методы этого типа реализованы также в универсальных статистических пакетах.
Многочисленные методы необходимы при анализе больших массивов данных и активно используются в системах биржевой торговли, сложных вычислительных задачах и многих других областях. Каждая из представленных выше систем анализа данных содержит богатые собственные средства их визуализации. Для разработчиков оригинального программного обеспечения предназначены графические библиотеки IMSL Exponent Graphics и инструментальная среда PV-WAVE. К системам анализа, использующих графические средства визуализации, можно отнести известную в кругу финансистов программу WalLStreet. В этой программе реализованы методы технического анализа [39]. В книге [40] подробно в неразрывной связи друг с другом раскрыты основные методы и формы фундаментального и технического анализа ценных бумаг, которые предшествуют принятию инвестиционных решений. Отметим,
Не 1 2006
что в силу своей простоты и эффективности эти методы находят большое число поклонников из числа операторов рынка.
Методы анализа, реализованные в программных пакетах, обрабатывают массивы данных в электронном виде. Биржевую информацию в электронном виде можно найти на многочисленных сайтах Интернета. Одни из самых дешевых сервисов, содержащих информацию о продажных и покупных ценах и дающих цены акций на американских биржах без временной задержки, поставляют фирмы Data Broadcasting Corporation и Quote. Com [41]. Их адреса в Интернете: http://www.esignal.com и http://www.quote.com. Здесь можно узнавать основные экономические новости, информацию о профиле различных компаний, их финансовом положении и многое другое. Многие брокерские фирмы, предоставляющие возможность покупать акции через компьютерные сети, дают бесплатный доступ к текущим ценам акций. В качестве примера можно привести известную брокерскую фирму Datek Securities (http://www.datek.com), которая осуществляет львиную долю электронных сделок на рынке NASDAQ. Многие компьютерные сервисы позволяют бесплатно (требуется только регистрация) загружать графики цен акций. Так, компания Lombard Brokerage, Inc. (http://www.lombard.com) дает возможность просматривать графики изменения цен акций как за последний день, так и за много лет. Некоторые компьютерные сервисы в качестве рекламы дают возможность просмотреть показатели финансовой деятельности компаний бесплатно или за очень небольшую цену: http://pawws.com, http://www.hoovers.com, http://www.techstocks.com, http://www.marketguide.com. Достаточно полную информацию по акциям российских предприятий можно получить на сайте http://www.rtsnet.ru, котировки обновляются с некоторой задержкой.
При построении и изучении модели работа эконометриста имеет несколько аспектов: данные, эко-нометрическая теория, эконометрический метод оценивания и др. Далее исследователь получает некоторые результаты и, как правило, не вполне удовлетворен ими. При построении модели рынка государственных облигаций возникает идея детализировать силы, под влиянием которых происходит эволюция рынка. Более сложным представляется вопрос влияния политики и макроэкономики. В первом прибли-оз жении вводится «политический» фактор как совокупный индекс ожидания информации отдельными ли-| цами. На практике не всегда легко провести опрос и составить экспертные оценки этого фактора. \§ Возмущения возникают внезапно под влиянием тех или иных государственных решений или по-'5 литических выступлений отдельных лидеров, поэтому имеет смысл при составлении модели анализи-^ ровать эти события, другую информацию, а также не рассматривать те факторы, которые уже учтены в ^ текущих котировках.
§ С другой стороны, политический фактор можно рассматривать как фиктивную переменную типа § «0-1». Как правило, независимые переменные в регрессионных моделях имеют «непрерывные» области | изменения (доходность, остаток средств на бирже и т. п.). Однако теория не накладывает никаких огра-8 ничений на характер регрессоров, в частности, некоторые переменные могут принимать всего два зна-¡ь чения или, в более общей ситуации, дискретное множество значений. Необходимость рассматривать § такие переменные возникает довольно часто в тех случаях, когда требуется принимать во внимание s какой-либо качественный признак. Политический фактор легче оценивать как качественный признак. « Фиктивные переменные, несмотря на свою внешнюю простоту, являются весьма гибким инстру-Л ментом при исследовании влияния качественных признаков [7].
| При оценке коэффициентов регрессионной модели необходимо предполагать и гетероскедастичность. § При использовании в общем случае метода наименьших квадратов оценки коэффициентов модели являют-§" ся состоятельными и несмещенными, однако стандартная оценка ее матрицы ковариаций а2 (ХТХ)~1 смеще-§. на. Для поправки на гетероскедастичность и «улучшения» оценки матрицы ковариаций можно применить метод Уайта [7], для более сложного случая, когда в матрице ковариаций ошибок ненулевые элементы g стоят не только на главной диагонали, но и на соседних диагоналях, применяют метод Невье-Веста [7]. ? Дополнительно к модели кредитно-депозитной политики банка необходимо рассматривать и за-С дачу управления временно свободными активами. Главным подходом к управлению валютными акти-
Не 1 2006
вами является страхование от валютного риска, основанное на проведении операций, дающих вла- § дельцам средств гарантию от валютных потерь при изменении валютных курсов. ^
Следует отметить, что этот подход не свободен от недостатков: он не позволяет извлекать прибыль ,2 из благоприятных колебаний конъюнктуры валютных рынков, а в ряде случаев требует дополнитель- С ных затрат на страхование от валютного риска. Вместе с тем при наличии достоверных прогнозов ® движения валютных курсов и соответствующем размещении валютных активов можно существенно увеличить временно свободные валютные ресурсы.
Подходы к управлению активами коммерческих банков сочетают два противоположных критерия: максимизация прибыли и обеспечение минимального уровня рисков (рисков ликвидности, неплатежеспособности заемщиков и др.).
Сформулируем два основных подхода к управлению активами в условиях валютного риска:
• гарантирование определенного уровня дохода методами страхования от валютного риска;
• максимизация возможного дохода на основе прогнозов движения валютных курсов.
В условиях значительного риска, первый подход является основным. Можно назвать следующие методы, применяемые при страховании от валютных рисков. Это валютные и мультивалютные оговорки. Валютные оговорки могут использоваться при представлении кредитов в некоторой валюте и состоять в том, что при изменении курса этой валюты к обусловленной валюте — валюте оговорки — происходит пересмотр суммы платежа. Размер пересмотра суммы платежа может составлять, например, половину от разницы за счет изменения курса.
При прогнозировании валютных курсов и процентных ставок часто используют вероятностный (стохастический) подход. Аргументом в пользу этого подхода является громадный статистический материал, на основе которого можно строить разнообразные математико-статистические модели происходящих на рынках процессов и прогнозировать дальнейшее развитие этих процессов.
Рассмотрим некоторые методы принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний среды с точки зрения возможности их использования при проведении валютных операций.
Классический метод принятия решений в валютных операциях при вероятностном подходе, когда оцениваются математическое ожидание и дисперсия возможного дохода при каждом виде операций, описан в работе Дж. Тобина [32]. Теоретически данный подход выглядит довольно привлекательно, однако необходимо отметить, что при низкой достоверности оценок математического ожидания и дисперсии доходов отдельных вариантов вложения средств в еще большей степени недостоверны оценки суммарного математического ожидания и дисперсии для общего случая распределения средств.
Этот подход получил развитие в работах М. Лейбовича и Р. Хенриксона в [49]. Авторы вместо математического ожидания дохода и его дисперсии как меры риска используют в качестве полностью описывающих нормальное распределение параметров некоторый желаемый уровень дохода и вероятность, с которой этот уровень доходов может быть превышен. Например, р {£=£-1,28а}=0,9. Это выражение представляется как уравнение «доверительной» прямой на плоскости (£, а), отделяющей точки с доходом £, достигаемым с вероятностью не ниже чем 0,9, от остальных, не удовлетворяющих этому критерию. Такое же уравнение будет справедливо и для совокупности ценных бумаг в предположении нормальности функций распределений их доходов. Допустим, существует некоторый набор бумаг, который характеризуется множеством параметров (£, а,), граница которого есть кривая I.. Тогда пересечение доверительной прямой с упомянутым множеством определяет множество допустимых вариантов размещения средств. Наилучший вариант (дающий максимальный ожидаемый доход с данной вероятностью) определяет прямая, параллельная доверительной прямой и касательная к границе кривой I. Авторы также предлагают метод формирования портфеля ценных бумаг с использованием данного подхода.
Описание ряда критериев принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний дано в монографии Р. И. Трухаева [50].
Не 1 2006
Рассмотрим также критерий Байеса. Он состоит в максимизации матожидания оценочного функционала Пусть Х= [х„. ,,хп} — множество возможных решений. Будем считать, что х. имеет смысл доли вложений в /'-ю операцию, тогда х.= 1. Пусть ^ — доходность /'-й операции — случайная величина. Доходность совокупности операций при размещении {х.,...,хп} будет равна И." Хх.= 1. Тогда:
Недостатком этого критерия является однозначный характер решения (т.е. набор только одного варианта размещения средств), что повышает общий риск решения.
Наконец, рассмотрим критерий минимума дисперсии оценочного функционала. Пусть для каждой операции определено матожидание М (К) и дисперсия а2 (А,) доходности А,.. Тогда данный критерий будет записываться как
Если дисперсию рассматривать как меру риска, то этот критерий минимизирует риск операций.
Недостаток этого критерия: полученное решение может быть далеко не оптимальным в смысле критерия максимума математического ожидания дохода. Поэтому в ряде случаев более предпочтительным оказывается несколько видоизмененный критерий, в котором минимизируется математическое ожидание отклонения доходности комплекса операций от максимального математического ожидания доходности вариантов операций.
Таким образом, при наличии удовлетворительных вероятностных прогнозов будущих состояний рынка использование критерия Байеса и модифицированного критерия минимума дисперсии оценочного функционала можно признать допустимым.
Качество прогнозов движения валютных курсов в первую очередь определяет пригодность рассмотренных выше критериев для задач принятия решений. Точность вероятностных среднесрочных прогнозов для относительно медленно меняющихся показателей, таких как, например, процентных <а ставок, при правильно подобранном множестве объясняющих факторов может быть вполне удовлет-| ворительной для целей принятия решений. Однако для прогнозирования быстро и резко меняющих-\§ ся показателей, таких как валютные курсы, данные методы в основном оказываются малопригодными.
Причину этого следует искать в возрастающем влиянии на состояние валютных рынков чисто психоло-^ гических и политических факторов, которые трудно, а может быть и невозможно учесть в полной мере. ^ Поэтому надежность вероятностных прогнозов движения валютных курсов является весьма низкой, с Для средне- и долгосрочных прогнозов обычно используют эконометрические модели и факторный ^ анализ [51-53]. Такие модели позволяют строить прогнозы для относительно медленно меняющихся | макроэкономических показателей. В области же валютных курсов удовлетворительных вероятностных о прогнозов, позволяющих принимать решения на основе описанных выше методов, как правило, полу-^ чить не удается. Причина этого, видимо, состоит в том, что существующие математические модели не о могут отразить всей сложности реальных процессов, влияющих на установление валютных курсов, х Все это делает малопривлекательным использование статистических методов прогнозирования в « таких ситуациях. Оказывается практически невозможным более или менее обоснованно утверждать, ^ что то или иное состояние рынка является более вероятным.
| Альтернативой вероятностному подходу к прогнозированию валютных курсов может служить ис-§ пользование интервального способа прогнозирования, заключающегося в оценивании экспертами лишь области возможных значений параметров без выделения более или менее вероятных состояний. §. Иными словами, здесь оценивают лишь верхние и нижние границы возможных значений параметров, •в- В валютной сфере к таким методам прогнозирования относятся экспертные оценки [54, 55]. о Интервальный подход к прогнозированию позволяет использовать ряд специальных критериев о принятия решений в условиях неопределенности, используемых обычно в теории игр и смежных областях [56-60]. В качестве критериев принятия решений в работе Молибога С.Н. [3] предлагают-
/=тах М(£п1.х.).
X 4 I \ г
/=а=М (£пи.-М (ХпХх))2 1тип .
Х I I I / /Г X
12
Не 1 2006
ся: критерий максимина, «спекулятивный» критерий, критерий Гурвица, критерий Сэвиджа. Наиболее § предпочтительным с точки зрения использования при проведении валютных операций автором вы-деляется критерий минимаксного риска. $
Итак, перейдем к общей постановке задачи управления валютными активами на основе критерия Ц минимаксного риска. Задача управления валютными активами на основе прогнозов с использованием ® банковских валютных операций заключается в выборе таких валют, инструментов и сроков вложения средств, чтобы при минимальном риске получить максимальный доход на конец определенного периода. В зависимости от того, допускается или нет возможность переразмещения активов в пределах периода управления ими, постановки задач принятия решений подразделяются на статические и динамические.
Отказ от рассмотрения возможности переразмещения средств может происходить, например, в следующих случаях:
• если срок, в течение которого можно распоряжаться активами, очень мал (например, в арбитражных операциях он ограничивается одним днем);
• если отсутствуют технические, кадровые, методологические и другие возможности осуществления динамической процедуры управления валютными активами;
• если существует соответствующее распоряжение клиента-владельца средств и т.д.
При фиксированном сроке проведения операций по размещению валютных активов постановка задачи, в принципе, должна включать в себя анализ всех возможных вариантов размещения средств. Для этого требуется:
а) определить виды банковских операций, которые могут использоваться для размещения активов (депозиты, облигации и другие ценные бумаги);
б) для каждого вида операций определить множество возможных вариантов размещения средств (например, валют, конкретных наименований облигаций и т.д.);
в) определить множество параметров, от которых зависит доходность каждого варианта операций;
г) определить исходные (текущие) значения параметров на соответствующих валютно-финансовых рынках;
д) экспертным (или каким-либо другим) путем определить интервальные прогнозы значений тех характеристик, изменение которых влияет на доходность операций.
Эти данные позволяют определить множество вариантов размещения активов на установленный срок, а также рассчитать интервалы возможной доходности [А,", А®] по каждому из вариантов операций. После этого можно было бы непосредственно записать задачу выбора вариантов размещения активов на основе критерия минимаксного риска в виде:
где и, xi — суммы вложений в /'-й вариант, с соответствующими ограничениями. Алгоритм решения этой задачи можно найти в [3].
Постановка динамических задач, допускающих возможность переразмещения средств в процессе управления активами, предполагает:
• определение горизонта планирования, т.е. предельного срока, на который выполняются прогнозы и по истечении которого происходит оценка результатов управления валютными активами;
• определение промежуточных моментов времени, в которые возможно в будущем переразмещение средств;
• определение видов банковских операций, которые будут использоваться для динамического управления валютными активами;
• определение множества вариантов проведения операций, включая рассматриваемые валюты и валютные инструменты;
плах (тах I" А(.и-Х" Ах.) —> тах У и х
^и=^х=М, А.е [А/а,8], /=!,...,п,
х
Не 1 2006
• определение исходных параметров задачи: текущих значений валютных курсов, процентных ставок, курсов облигаций и т.д.;
• определение интервальных прогнозов значений валютных, процентных ставок и т.д. на каждый возможный момент переразмещения средств.
Выполнение этих условий позволяет определить все множество возможных комбинаций последовательного размещения средств в пределах рассматриваемого горизонта планирования, а также построить интервальные (экспертные) прогнозы доходности для каждого из вариантов проведения операций в каждый из рассматриваемых моментов времени.
Фактически решить динамическую задачу управления валютными активами означает выбрать одну или несколько комбинаций последовательного размещения активов из всего множества возможных комбинаций. Данный выбор определит и требуемое решение относительно валют, инструментов и сроков вложений в исходный момент времени.
Можно представить себе следующие варианты использования критерия минимаксного риска для формальной постановки соответствующей динамической задачи управления валютными активами:
а) построение процедуры последовательного решения задач размещения средств в каждый из рассматриваемых моментов времени, начиная с конечного, в которой локальный критерий принятия решений формируется на основе критерия минимаксного риска (метод динамического программирования);
б) расчет всего множества возможных комбинаций последовательного размещения средств, определение интервалов доходности для каждой из комбинаций и последующее использование критерия минимаксного риска для распределения ресурсов между комбинациями. Полученное распределение также позволяет произвести выбор валюты, инструмента и срока вложений для исходного момента времени.
Объединение в динамических задачах всех вариантов размещения средств, включая депозиты, облигации и другие ценные бумаги, позволяет, в принципе, достичь максимально возможной эффективности управления временно свободными валютными ресурсами. При этом в зависимости от прогнозов движения курсов валют, процентных ставок, курсов облигаций переразмещение средств в на-0 иболее прибыльные валюты и инструменты независимо от источника средств. 5« Часто наиболее эффективным является использование алгоритма расчета интервалов возможной доходности [Ан, А,в] на основе опроса экспертов. Методы экспертного анализа уже зарекомендовали себя в экономике. С использованием методов экспертного анализа разрабатываются управленческие ^ решения [61-64], решаются проблемы планирования [65], строятся экономические прогнозы в раз-личных отраслях экономики. За последние годы получили широкое распространение математические с методы экспертного анализа [67-70]. Автор в 1996 г. исследовал эти вопросы при проведении опросов ^ нескольких экспертов из коммерческих банков [71]. В первую очередь составлялись таблицы ошибок £ для разных экспертов. Далее рассматривались вопросы о весовых функциях, устанавливался опти-о мальный выбор весовых коэффициентов, исследовалось, каким образом прогноз зависит от выбора {« весовых коэффициентов, от числа экспертов, участвующих в опросе.
о При проведении опроса сложность заключалась в том, что данные не были представлены полно-ё стью, практически никогда не удавалось опросить всех экспертов. В результате некоторые эксперты участвовали в опросе, когда прогноз осуществить было сложно, в то время как другие участвовали * в опросе, когда котировки ценных бумаг предсказать было значительно легче. Если оценивать ошиб-| ки каждого из экспертов как средний квадрат отклонения прогнозного значения от фактического по § всем бумагам и датам для каждого из них, то мы получим ошибочное представление о качестве инди-I" видуальных прогнозов.
Сформулируем основные задачи экспертного опроса: "§■ • определение степени влияния различных факторов на ошибку прогноза; « • создание методики проведения опроса экспертов и построение «приведенных» таблиц опросов [4]; 5» • выбор оптимальной весовой функции;
• влияние количества экспертов на ошибку прогноза;
14
Не 1 2006
• создание эффективных алгоритмов, позволяющих минимизировать ошибку совокупного прог- § ноза экспертов. J
Что может гарантировать хороший прогноз? По всей видимости, эксперт способен давать лучшие |g прогнозы по ценным бумагам, обладающим наименьшим риском. Опять же, на качество прогноза влияет Ц и ситуация на фондовом рынке. В какой степени эти два разных аспекта влияют на ошибку прогноза? 110
Изученные модели обладают рядом преимуществ, облегчающих принятие решений для успешного управления финансами, но существует еще одна проблема. Для успешного применения модели часто существует необходимость получения оперативной статистической информации. В последние годы написано много книг по финансовым рынкам, стратегиям инвестирования и игры на финансовых рынках, моделям, методам анализа и прогнозирования. Однако невозможно создать технологию, позволяющую трейдеру применять ее бездумно и выигрывать. Любой метод, как правило, требует от пользователя творческого подхода, тем более когда от него требуется построить необходимую базу данных и определить параметры модели.
Литература
1. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка//Препринт # WP/97/027. М.: ЦЕМИ РАН, 1997.
2. Дикусар В.В. Методы поиска допустимых решений в задачах оптимального управления//Ж.Д.У. 1999. №11.
3. Молибога С.М. Модели управления валютными активами на основе критерия минимаксного риска. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ, к.э.н. М.: ЦЕМИ РАН, 1988.
4. Вабиков В. Г. Ценные бумаги. Прикладные методы прогнозирования. М.: Физтех-полиграф, 1999.
5. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., 1963.
6. Неман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.
7. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. М.: Дело, 1998.
8. Bierens H.J. Topics in Advanced Econometrics Estimation, Testing and Specification of Cross-Section and Time Series Models. Cambridge, 1994.
9. Enders IN. Applied Econometric Time Series: A User's Guide. Wiley, 1995.
10. Gourieroux C., Monfort A. Statistics and Econometric Models. V.I: General Concepts, Estimation, Prediction, and Algorithms. V.2: Testing, Confidence Regions, Model Selection, and Asymptotic Theory, Vols. 1,2. Cambridge, 1994.
11. GourierouxC., Monfort A. (Ed.) Time Series and Dynamic Models. Cambridge, 1996.
12. HarveyA.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge, 1991.
13. Harvey A. C. Time Series Models. 2-nd ed. Prentice Hall, 1993.
14. Masters T. Neural, Novel and Hybrid Algorithms for Time Series Prediction. Wiley, 1995.
15. Mills T.C. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge, 1995.
16. Tanaka /(.Time Series Analysis Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory. Wiley, 1996.
17. Sharpe W.F. Factors in New York Stock Exchange Security Return, 1931-1979//Journal of Portfolio Management. 1982.8. №4.
18. SharpeW.F. Factor Models, CAMPs and the AST//Journal of Portfolio Management.1984.11.№1.
19. King B. F. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior//Journal of Business. 1966. 39. № 1.
20. FarrellJ.L. Analyzing Covariation of Returns to Determine Stock Groupings//Journal of Business. 1974. 47. № 2.
21. ArnottR.D. Gluster Analysis and Stock Price Comovement//Financial Analysts Journal. 1980.36. №6.
22. Gordon J. A., Francis J. Portfolio Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
23. Kahn R.N., Gulrajani D. Risk and Return in the Canadian Bond Market//Journal of Portfolio Management. 1993.19. №3.
24. БоксДж., Дженкинс F. Анализ временных рядов. М.: Мир, 1987.
15
На 1 2006
25. Klitzman М. About Regression//Financial Analysts Journal. 1991.47. №3.
26. Granger C., NewboldP. Spurious Regression in Econometrics//Journal of Econometrics. 1974. № 14.
27. Engle R. F, Granger C. Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing// Econometrica. 1987. №55.
28. Markowitz H.M. The optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints//Naval Research Logistic Quarterly. 1956. №3.
29. ШарпУ.Ф., Гордон Д. А., ЬейлиД. В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.
30. TobinJ. A Dynamic Aggregative Model//journal of Political Economy. 1955.
31. TobinJ. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk//Review of Economic Studies. 1958.
32. Tobin iThe Theory of Portfolio Selection//7?ie Theory of Interest Rates, ed. F.H. Hahn and F.R. P. Brechling. London: Macmillan and Co, 1965.
33. AzoffE.M. Neural Network Time Series Forecasting of Financial Markets. Wiley, 1994.
34. Bauer R.J. Genetic Algorithms and Investment Strategies. Wiley, 1994.
35. Deboeck G. (Ed.) Trading on the Edge. Neural, Genetic and Fuzzy Systems for Chaotic Financial Markets.Wiley, 1994.
36. GatelyE. Neural Networks for Financial Forecasting. Wiley, 1995.
37. GoonatilakeS., Treleaven P. Intelligent Systems for Finance and Business. Wiley, 1995.
38. RefenesA.-P. (ed.) Neural Networks in the Capital Markets. Wiley, 1994.
39. ЭрлихА. Технический анализ товарных и финансовых рынков, прикладное пособие. М.: АНХ, 1996.
40. Берзон Н. И., Буянова Е.А., Кожевников М.А., Чаленко А. В. Фондовый рынок: Учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля. М.: Вита-Пресс, 1998.
41. Дараган В. Игра на бирже. М.: УРСС, 1997.
42. Moore Е Н. Bull. Amer. Math. Soc. V. 26.1920.
43. Moore E.H. General analysis, Pt. I, Mem. Amer. Philos. Soc. 1,1935.
44. Penrose R. A Generalized Inverse For MatricesUProc. Cambtidge Philos. 1955. Soc. V. 51.
45. БабиковВ.Г. Многомерный статистический анализ в экологии. Материалы III Международного симпозиума «Проблемы экоинформатики». М.: ИРЭ РАН, 1998.
46. Бабиков В. Г. Некоторые методы управления банковскими операциями. Всероссийская научно-практическая конференция «Предпринимательство и занятость населения в условиях перехода к рыночной экономике». Екатеринбург: УрГЭУ, 1997.
47. Бабиков В. Г. Прогнозирование фондового индекса. Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1999.
48. Болдырев А. Страхование валютных рисков в современных условия у.//Внешняя торговля. 1979. №4.
49. LeibowitzM., Henriksson R. Portfolio Optimisation Under Shortfall Constraints. New York: Salomon Br. Inc. 1987.
50. Трухаев P. И. Принятие решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1976.
51. Ковалева Л. И. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М.: Наука, 1980.
52. Дрейпер И., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986.
53. ИберлаК. Факторный анализ. М.: Финансы и статистика, 1980.
54. ЯнчЭ. Прогнозирование научно-технического прогресса. М.: Мир, 1974.
55. РаскинЛ. Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления. М.: Наука, 1976.
56. ГермейерЮ.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
57. Современное состояние теории исследования операций/Под ред. Н. Н. Моисеева. М.: Наука, 1979.
58. ЛьюсР., РайфаХ. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961.
59. Таха X. Введение в исследование операций. В 2-х т. М.: Мир, 1985.
60. Исследование операций. Ч. 1. Методологические основы и математические методы/Под ред. Дж. Моудера, С. Эльмаграби. М:. Мир, 1981.
61. РаяцкасР.Л., Плакунов М. К. Экономические догмы и управленческая реальность. М.: Экономика, 1991.
Нв 1 2006
62. Ларичев О. И., Мечитов А. И., Мошкович Е. М., Фуремс Е. М. Выявление экспертных знаний. М.: На- § ука, 1989. I
63. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979. ig
64. Глущенко В. В., Епущенко И. И. Разработка управленческого решения. Прогнозирование-плани- С рование. Теория проектирования экспериментов. Железнодорожный: ТОО НПЦ «Крылья», 1997. 05
65. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем/Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991.
66. Денискин В. В. Основы экономического прогнозирования в пищевой промышленности. Учебник. М.: Колос, 1993.
67. Бешелев С.Д., Еуревич Ф. Т. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980.
68. Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений. М.: Патент, 1996.
69. Мазманова Б. Т. Основы теории и практики прогнозирования. Екатеринбург, 1998.
70. Китаев Н. Н. Групповые экспертные оценки. М.: Знание, 1975.
71. Бабиков В. Г. Экспертные оценки на рынке ценных бумаг//Электронный журнал МФТИ «Исследовано в России». 1999. http://zhurnal.mipt.rssi.ru/articles/12/012. pdf.
72. McClaveJ. Т., Benson P. G. Statistics for Business and Economics. San Francisco: Dellen, 1991.
73. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.
74. ТихоновА.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач//Д4/-/СССР. Т. 153. 1963. № 1.
75. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки//Изв. АН СССР. 1950. №4.
76. Айвазян С.А., Енюков И.С., МешалкинЛ.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.
77. ВапникВ.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.
78. Anderson T.W. The Statistical Analysis of Time Series. New York: J. Wiley & Sons. (Русский перевод: Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.)
79. Kendall М., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vols. II, III. Nafner Publishing Co. New York. (Русский перевод: Кендалл M„ Стьюарт А. Статистические выводы и связи. Т. 2. М.: Наука, 1973. Многомерный статистический анализ и временные ряды. Т. 3. М.: Наука, 1976.)
80. Bickel P.J., Doksum К. A. Mathematical statistics. Holden-Day, Inc. (Русский перевод: Бикел П., Док-сам К. Математическая статистика. М.: Финансы и статистика, 1983).
81. Cramer Н. Random Variables and Probability Destributions. Cambridge Universirty Press. (Русский перевод: Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: ИЛ, 1947.)
82. Stock J.H., Watson М. A. Simple MLE of cointegrating Vectors in Higher Order Integrated Syrtems. Unpublished Manuscript, 1989.
83. Fountls N.G., Dickey P. Testing for a Unit Root Nonstationarlty in Multivariate Autoregressive Time Series//Analysis of Statistics. 1989. №67.
84. Johansen S. Statistical Analysis of Cointegration Vectors//Journal of Economic Dynamics and Control. 1988. №12.
85. Blake D. Financial Market Analysis. McGrow Hill, 1990.
86. KaldorN. Alternative Theories of Distribution. Review of Economic Studies. 1955-56. V. XXIII.
87. Бабиков В. Г. Среднесрочное прогнозирование процентной ставки//Электронныйжурнал МФТИ «Исследовано в России». 1999. http://zhurnal.mipt.rssi.ru/articles/12/013.pdf.
88. Бабиков В. Г. О решении математических и логических задач с помощью средств математической логики/Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр, посвященная 75-летию КГПИ. Киров: КГПИ, 1990.
89. Жуковский Е.Л., Липтор Р.Ш.О рекуррентном способе вычисления систем линейных алгебраических уравнений//Журнал вычислительная математика и математическая физика. 1972.
Т. 12. №4.
17
