CC BY
55
ОБРАЗОВАНИЕ
ПРОТИВОРЕЧИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И.
В данной статье рассматриваются некоторые математические модели и методы неформальных и сложных проблем в условиях экономики, социологии и проблемах информатики. Приведены некоторые примеры.
CONTRADICTIONS AND CLASSIFICATION V.D. Mazurov, A.I. Smirnov
Some mathematical models and methods for non - formalized and contradictory problems in situations of economic, sociologic and computer science problems are considered in the article. Some examples are given to illustrate the above-said.
Противоречивые ситуации выбора решений и соответствующие противоречивые математические модели сейчас уже приходится принимать как данность. Во многом это связано с проблемами формализации содержательных текстов. Противоречия, с одной стороны, неизбежны, а с другой - они и продуктивны, если их не отбрасывать как негодный материал, а работать с ними аккуратно и обоснованно.
Формализация описания объекта предполагает в какой-то степени толерантное отношение к его содержанию. Это своего рода хладнокровное, объективное рассмотрение объекта. У нас есть опыт «хладнокровного» сравнения текстов, более или менее художественных, с помощью математических методов распознавания [1], при этом содержательная сторона текстов отражалась только в фиксации некоторых их параметров или признаков, а работа с сочетаниями признаков была чисто аналитической, формальной.
Мы в свое время в качестве тестовой задачи для оценки эффективности методов распознавания сравнивали газетные тексты с той точки зрения, насколько они формально отличаются по стилю. Для осторожности мы назвали это «некоторыми вопросами
информационно-поисковых систем». Однако этот опыт, хоть он и случаен, все-таки требует некоторого осмысления. Тем более важно понять, в какой степени можно отвлекаться от содержательной стороны объектов, если мы хотим получать практически интерпретируемые результаты. И совсем уже не случайным, а в достаточной степени обширным и систематизированным является наш опыт построения обобщений решений для противоречивых задач оптимизации и классификации. И здесь еще встает проблема противоречий, которые неизбежно возникают, если мы при математическом моделировании объектов пытаемся как можно более полно отразить все существенные факторы.
Необходимость логически и эмпирически обоснованных подходов к разрешению противоречивых ситуаций выбора вариантов решений приводит к разработке соответствующих математических моделей и методов. Так, существует инконсистентная логика, развита теория несобственных задач выбора, диагностики и прогнозирования [2], используются модели теории игр.
Ясно, что мы не видим реальность непосредственно. Мы видим ее в соответствии с тем, как ее «рисуем», какую сетку
формальных конструкций на нее накладываем. И потому встает вопрос об интерпретации нашего изображения реальности. Мы рассматриваем вопросы репрезентации и интерпретации некоторых явлений и объектов, связанных с технико-экономической стороной человеческой деятельности. Эти вопросы связаны с толерантностью и с классификацией. Хотелось бы отметить, что в этой сфере неизбежны противоречивые ситуации, и потому необходимы соответствующие модели.
Определенная терпимость к противоречиям неизбежна, с ними просто приходится работать. Но работать обоснованно, корректно, объективно. Противоречия возникают как при индивидуальном, так и тем более при коллективном выборе вариантов решений. Если математическая модель противоречива (если это не результат логических ошибок, а отражение реальных противоречий), то возникает вопрос о корректном способе разрешения противоречий; при коллективных решениях это различные виды компромиссов.
В информационных системах и моделях важную роль играет визуализация. В связи с этим заметим, что знаменитый математик академик РАН Б.В. Раушенбах в [3] математически строго доказал, что в изобразительном искусстве противоречия неизбежны; одним из источников противоречий является то обстоятельство, что трехмерные сцены должны быть отображены на плоскости. Невозможно одновременно правильно представлять себе все пропорции изображаемого, поэтому и существуют различные системы перспективы. Есть совместные, непротиворечивые части изображаемого. Поэтому в моделировании возникает вопрос о выделении непротиворечивых подмоделей. Это рассматривается в так называемой инконсистентной логике. В наших работах рассматривается та сфера инконси-стентных логик, которая связана с коллективными решениями и с комитетными конструкциями [1,4]. Здесь слово «коллектив-
ные» применяется в более техническом смысле, речь идет об одном классе обобщений понятия решения - когда решение в собственном смысле отсутствует.
Репрезентация использует модели того или иного класса. Важен класс, использующий математические модели. Важен особенно потому, что позволяет объективно определять ценности объектов. И в этом случае вопрос об интерпретации может решаться достаточно конструктивно. Факты культуры могут быть осмыслены только в рамках более общего их описания.
Здесь интересно то, что художественный объект как нельзя более отдален от формальных систем. И, тем не менее, существует потребность анализа художественных произведений, анализа в большей или меньшей степени формального.
Объективизированное отношение к разнообразным способам отражения реальности, к различным системам построения «второй реальности», связано как с выделением структур, так и с учетом внеструк-турного компонента. Математические модели - некоторые из средств выделения и анализа формальных структур в содержательном материале наблюдений, обнаружения закономерностей в массивах данных и знаний.
Основные направления исследований в этой области: диагностика, классификация, типология, нахождение эмпирических зависимостей. Эти задачи можно решать на основе моделей и методов распознавания образов (методов дискриминантного анализа, таксономии, выбора и оценки информативных признаков), математической статистики (для обнаружения свойств больших выборок описаний объектов или явлений культуры), методов оптимального выбора объектов, методов теории отношений (для сравнения объектов по совокупности критериев).
В связи с этим можно упомянуть о теории двойственности в оптимизации и распознавании, в рамках которой определяют-
Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И.
ся ценности объектов и факторов выбора вариантов решений и прогнозов. И здесь нам приходится терпимо относиться к противоречивым постановкам задач. Для противоречивых задач также построена теория двойственности, обобщающая методы оценки факторов в непротиворечивых задачах [5]. В этом смысле толерантность сама является ценностью! И один из путей разрешения противоречий - это обращение к ценностям при выборе решений.
Это хорошо видно на примере экономики. Экономическая и социальная стороны человеческой деятельности становятся все более сложными. И этот процесс усложнения, роста неопределенности последствий принятых решений происходит одновременно с ростом объема знаний. Уравновешивающую, сглаживающую роль при этом играют ценности выбора вариантов действий и ценности факторов выбора. Ценности, с технической точки зрения, - это такие показатели, на основе которых генерируются принципиально важные теоретические и практические модели экономики и социологии. Это важные составляющие именно человеческого выбора.
В математике изучается отношение толерантности между объектами и ситуациями. Это отношение является производным от отношения слабого предпочтения, которое, в свою очередь, лежит в основе процедур выбора объектов из некоторой совокупности. Это отношение используется в решении задач диагностики объектов и прогнозирования их свойств. Регулярное исследование таких задач ведется в рамках дисциплины «Распознавание образов».
Применение математических методов распознавания, оценки и выбора объектов описано в [4]. Задачи распознавания стилей произведений живописи рассматривал В.В. Налимов [6]. Использование характеристики стиля текстов в поиске в Интернете предложил П.И. Браславский [7].
В данной статье мы рассматриваем математические модели распознавания и ди-
агностики объектов, связанные с отношением толерантности. Это отношение является классообразующим. Кроме того, указывается на связь толерантности с инконсис-тентными логическими системами [8]. Грубо говоря, есть определенная связь между классификацией и терпимым отношением к логическим противоречиям (используется та или иная форма их размывания). Имеется в виду, что с инконсистентными моделями можно работать, предлагая - в соответствии с содержательным смыслом задачи - те или иные способы развязки противоречивых блоков моделей выбора и диагностики объектов.
Итак, несобственные задачи выбора и соответствующие противоречивые модели приходится систематически исследовать. Несобственные конструкции (обобщения понятия решения в том случае, когда обычные решения невозможны) оказались весьма полезными, в том числе и при исследовании явлений культуры. В этом направлении нами предложен аппарат дискретных и непрерывных аппроксимаций противоречивых моделей для приближенного (по необходимости размытого) оценивания и выбора объектов. Дело в том, что возможны различные подходы к разрешению противоречий: это их размывание, ослабление ограничений и целей, дискретные и непрерывные аппроксимации для приближенного удовлетворения условиям выбора и др.
Если рассматривать формальные модели, то они либо сводятся к ряду тождественных преобразований, и тогда содержат тавтологию, даже если и весьма разветвленную, либо они содержат противоречия, пусть и в латентной форме. Упрощенно выражаясь, мы имеем либо тождество А = А, либо выражение А = В, где на самом деле нет полного совпадения А с В. И это уже противоречие, причем на содержательном уровне оно всегда присутствует.
Чтобы иметь содержательную информацию, надо фиксировать различия, и это уже является пусковым механизмом для произ-
водства противоречивых моделей. «Равенство» А = В следует более точно понимать как совпадение в некоторых контекстах или ситуациях s: Л^) = В^) для некоторых s из множества S. Если мы рассмотрим систему всех таких равенств - для всех s из S, то, вообще говоря, мы получим несовместную систему соотношений, и тогда для нее приходится ставить вопрос об отыскании совместных подсистем. Соответствующий математический аппарат разработан и продолжает развиваться.
Изображение как информация о предметах окружающего мира допускает практически весь спектр описанных причин ее противоречивости, и потому разработка методов интерпретации противоречивых изображений важна не только с практической, но и с методологической точки зрения.
Предлагаемые здесь методы не ограничиваются случаем трехмерных сцен, поэтому приведем общую постановку задачи.
Пусть L, Ц, L2, — вещественные линейные пространства, L = L1 х L2 — декартово произведение пространств, X С L .
Известна проекция £ сцены Y С X на подпространство L1: к к х с и м=и х
2=1
2=1
Здесь ^ — оператор проектирования на подпространство Ц; М1 — множество граней размерности і—1; М — множество вершин сцены; М — множество ребер и т.д. Множество М в дальнейшем считаем упорядоченным.
Требуется найти сцену У в виде У = = [х, ух] Є L : х Є М},
где х Є 4; Ух Є L2;
здесь у = [Ух Є L2 : х Є М] — искомый вектор.
Предлагаемый метод заключается в следующем. Пусть qi = [х1, у^ ] и каким-либо образом задан предикат видимости:
Тогда интерпретации сцены Y являются максимальными совместными подсистемами системы
(У) = 1(УТ = С X). (1)
Способ задания предикатов видимости ограничен условием, согласно которому все грани меньшей размерности, принадлежащие видимой грани, также должны быть видимы. Наиболее удобно поэтому индуктивное задание этих предикатов, начиная с предиката видимости вершины.
Пусть пространства L, L1, L2 имеют конечную размерность и имеются разложения вершин по граням.
Покажем, что в этом случае возможна аппроксимация системы (1) системой линейных неравенств.
Пусть q — некоторая вершина, х — ее проекция и Т(х) — множество проекций
граней т = х\..х6', ее содержащих, т.е. удовлетворяющих условию
*(х)
х = ^ а j (Т) х;
І=1
(У) =
1, если грань q1,...,qs видима в сцене У;
0 - в противном случае.
а^0 (Vе 1, s(T)), £ ^ (Т) = 1.
j=l
Тогда вершину q можно считать видимой,
если з(Т)
Ух <Е а,■ (Т)Ух-7' (VT е Т(х)).
j=l
Эта система неравенств линейна по системе переменных у = [ух е L2 : х е М]. Способы задания предикатов видимости граней более высокого порядка определяются классом допустимых интерпретаций.
Рассмотрим подробнее задачу восстановления трехмерного многогранника по его плоской проекции.
Пусть имеется некий трехмерный многогранник Q, определяемый множеством его
вершин Мв, ребер М, и граней М,.
Известна проекция Р этого многогранника на некоторую плоскость, задаваемую вектором нормали I. Требуется по известной проекции восстановить исходный много-
q1,...,q
Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И.
гранник с точностью до некоторого отношения эквивалентности, которое будет определено ниже.
Восстановленный многогранник будем называть интерпретацией его проекции.
Та же терминология будет употребляться и для его составных частей: вершин, ребер, граней. Проекции вершин (составляющие
множество Мр), ребер (множество Мр) и
граней (множество Мр) исходного многогранника 0 будем также называть вершинами, ребрами и гранями соответственно.
Введем на плоскости проекции систему
координат х1, х2. Третью координату у направим вдоль вектора I. Таким образом, каждой вершине многогранника Q соответствует вершинар = (х1, х2) фигуры Р.
Определим на множестве прообразов фигуры Р отношение эквивалентности и будем считать задачу реконструкции решенной, если будут найдены представители всех классов эквивалентности.
Введем на множестве граней М, многогранника Q частичный порядок. Будем считать, что грань Г1 предшествует грани Г если существует точка х = (х1, х2), принадлежащая пересечению 71 П 72 проекций 71 и 72 этих граней, имеющая прообразы
*1 = (х^ х2, У1) и *2 = (X1, х2, У2) на гранях Г1 и Г2 соответственно, причем
У1 < У 2.
Для того, чтобы введенное отношение было частичным порядком, достаточно предположить, что
(В1) многогранник Q - выпуклый.
В дальнейшем будем считать это требование выполненным. Нетрудно проверить, что в этом случае определение частичного порядка корректно и не зависит от выбора точки х из пересечения проекций граней.
В соответствии с естественной интерпре-
тацией будем называть минимальные элементы множества М, «видимыми гранями». Многогранники, у которых грани, имеющие одну и ту же грань-проекцию, одновременно видимы или невидимы, будем считать эквивалентными.
Таким образом, задачу можно уточнить следующим образом: восстановить исходный многогранник с точностью до набора видимых граней.
Будем предполагать также выполненным условие
(В2) вершины многогранника Q находятся в общем положении.
Условия (В1), (В2) гарантируют «невырожденность» многогранника Q, положительность его объема.
Из условий (В1) и (В2) получаем также следствие
(В3) если видима часть грани, то и вся грань целиком видима.
Заметим, что в этих условиях существует
покрытие многогранника со Мр гранями.
Поэтому исходная задача эквивалентна задаче нахождения минимальных (по включению) покрытий многогранника со М р .
Это обстоятельство дает один из возможных подходов к решению исходной задачи.
Но перспективнее по ряду причин представляется предложенный подход, основанный на аппроксимации понятия видимости граней системами линейных неравенств.
Заметим, что в принципе этот подход не ограничивается выпуклыми многогранниками; этот случай взят для простоты рассмотрения.
Заметим также, что во всех интерпретациях ребра, принадлежащие границе многогранника со М р , будут видимы.
Далее, из видимости граней большей размерности (ребер, граней в трехмерном случае) следует видимость граней меньшей размерности, ее составляющих (вершин, ребер соответственно). Обратное утверждение в общем случае неверно, но и оно спра-
ведливо, если не все составляющие грани меньшей размерности принадлежат границе д(со М ) многогранника со М и выполнено условие
(В4) объединение любого числа граней не является гранью.
Перед решением задачи полезно проверить выполнение некоторых простых условий, вытекающих из наших требований, типа соотношения Эйлера:
Ме |_ \м2р | + МЄ | = 2, и того факта, что
из каждой вершины должны исходить как минимум три ребра.
Перейдем к интерпретации вершин.
Пусть р Є М . Если р Є д (соМ ), то эта
вершина видима в любой интерпретации. Пусть р є ЇШ(соМр ). Тогда существует
грань рк,...,р , ее содержащая. Находим разложение
р = И ар, аі > 0(уі'Є 1, к), X! аі =1
і=1 і=1
Если рг. =(х1, хг X q^J = (х1, хг, Уі),
р =(xl, x2), q =(xl, х2, у),
то вершину q считаем видимой, если
к
у <Е а іУі.
і=1
Перейдем к вопросу об интерпретации ребер. Итак, пусть имеется ребро р1 р2 Є Мр
Как замечено ранее, видимости вершин (если хоть одна из них не лежит на границе
со М ) достаточно для видимости ребра.
Но метод интерпретации проекций, основанный на интерпретации вершин, не гарантирует для полученного многогранника выполнение перечисленных условий; класс интерпретаций в этом случае слишком широк и содержит различные «вычурные» фигуры. Поэтому мы будем пользоваться следующим усилением метода интерпретации
вершин. Р1 = (х1, х2 ) , Р2 = (х^ х22) ,
Пусть ql = (х1, х1, у1), q1 = (х2, x22, у2).
Найдем все грани Гг = р1...р\ (і Є1,г), которые ребро р1 р2 пересекает. Находим
разложения
Р1 = ХХр5, Р2 = ХКр5,
5=1 5=1
кг
= 1 (/ = 1, 2) .
(2)
Далее, считаем, что ребро q1q2 видимо тогда и только тогда, когда выполнены следующие неравенства:
У <Е аІУ,
5=1
кг
У2 <Ё (і Є 1, Г).
(3)
Получим подобные системы для всех ре-
бер из Мр и объединим в одну:
Л у < 0;
Ау < °.
(4)
Здесь п = \Мр\ ; у — вектор, составленный из всех полученных переменных У1, У2, Уг„ (его размерность равна |Мр|).
Необходимо учесть также отсутствие «изгибов» граней с числом вершин более трех. Это дает систему равенств (возможно, пустую) вида
Ву = 0, (5)
позволяющую снизить размерность системы (9). В итоге получаем систему неравенств
Л У < 0;
(6)
5=1
5=1
где вектор у содержит лишь часть переменных вектора у.
Теперь осталось найти все МСП системы (6) и выбрать из них те, которые достаточны для интерпретации ребер, т.е. целиком составлены из некоторых матриц Аг.
Для интерпретации граней будем пользоваться сделанным замечанием, т.е. проведем ее, исходя из интерпретации ребер.
Рассмотрим известный пример [9] противоречивого изображения, т.н. «куб Нек-кера» (рис.1).
Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И.
Составим систему уравнений относи тельно вектора у = [ У1, У2,..., у8 ]
Рис. 1
Здесь Ме = {Р1, Р^..^ Р8 } , где Р1 =(0,0); Р2 =(0,1); Рз =
1 1 1 з
ч 4 ,2 ; р 4 = ч 4 ,2,
5 1' '5 з'
4’ 2, ; Рв = ,4 2,
Рз =(1,0); Рб =(1,1); Р7 =
Множество ребер имеет вид
М ={РР РlРз, РР РгР4,РгРб, РрР^РзР7, Р4Р8, РъРб, РзР7, РбР^ Р7Рг} где \м2р\ =12.
Каждой точке р1 = (х1, х2) соответствует вершина qi = (х1г , х2', ) многогранни-
ка в трехмерном пространстве.
Заметим, что ребра
Р1Р2, Р2 Ра , Ра Рг, Р7 Р8, Рз Р7, Р1Р5
всегда видимы (при любой интерпретации).
вытекающую из факта отсутствия «изгибов» граней:
1) «1 Є «2 «5 «6 ^ У1 - У2 - У5 + Уб = 0 ;
2) «5 Є «6 «7«8 ^ У5 - Уб - У7 + У8 = 0;
3) «з Є «4«7«8 ^ Уз - У4 - У7 + У8 = 0;
4) «1 Є «2«3«4 ^ У1 - У2 - Уз + У4 = 0;
5) «1 Є «3«5«7 ^ У1 - Уз - У5 + У7 =0;
6) «2 Є «4«7«8 ^ Уз - У4 - У7 + У8 = 0. .
Эта система эквивалентна следующей, выражающей переменные у4, у6, у7, у8 через У^ У2, Уз, У5:
у 4 = У1 + у 2 + Уз;
Уб = - У1 + У 2 + У5;
У7 = - У1 + Уз + У5;
У8 = - 2У1 + У2 + Уз + У5.
Перейдем к составлению системы неравенств, отражающей факт видимости соответствующих ребер многогранника.
Внутри многогранника со М лежат ребра PlPз, Р2 P6, Рз Р 4, Рз Р7, Р5 P6, Рб Рг. Следовательно, только те ребра, которые им соответствуют, могут «заслоняться» другими гранями и быть невидимыми в некоторых интерпретациях.
1) Ребро ч1чз может «заслоняться» только гранью ч1ч2ч6ч5 . Отсюда единственное неравенство, вытекающее из соотношения
1 1 1
Рз = 4 Р1 + ^ р 2+4 Рз;
111
(1) Уз < 4 У1 + ^ у 2 + 4 У5.
2) Ребро ч2 ч6 может «заслоняться» гранями ч1ч2ч4«з и чзч4ч8ч7 . Поскольку вершина ч2 всегда видима, в первом случае достаточно написать неравенство, вытекающее из невозможности пересечения ребер и граней, а именно, точка «6 должна быть
«впереди» плоскости - продолжения грани q^q-L q4 qз.
Из соотношения Рб = —2Р1 — Р2 + 4Р3 получаем
(2) уб < —2у1 — У2 + 4У3.
Во втором случае, когда рассматривается грань q3q4 q8 q7, из соотношений
5 13 111
Р 2 = 4 Р4 + 2 Р7 — 4 Рг, Рб = 4 Ра + 2 Р7 + 4 Рг
аналогично получаем еще два неравенства: 5 13
(3) у 2 < 4 у 4 + 2 у 7—4 у»;
. . . 1 11
(4) уб < 4 уа + 2 у 7е 4 у».
Далее более кратко будем записывать лишь рассматриваемые ребра, грани, соотношения и соответствующие неравенства.
3) Ребро qзq4. Грани qlq2 qб q5 и q2 q4 q8qб. Соотношения:
1 1 1
Р3 = 4 Р1 + 2 р 2+ 4 Р5;
3 3 1 3 1
р 4 = — 4 Р1 + 2 Р2 + 4 Р5; Р3 = 2 Р2 — Р4е 2 Рб.
Неравенства:
(5) =(1) у3 <1 у1 + 2 у2 + 4 у5;
3 3 1
(6) уа <— 4 у1 + 2 у2 е 4 у5;
3 1
(7) у3 < 2 у2 — уа + 2 уб.
4) Ребро qзq7. Грани qlq2qбq5 и q2q4q8qб. Соотношения:
1 1 1
Р3 = 4 Р1 + 2 Р 2 + 4 Р5;
3 1 5
Р3 = 2 Р 5 + 2 Рб — 3 Р7; Р7= — — Р1 + 4уР?2е-^у7Р5.
Неравенства:
(8) =(1) Уз < 1 У1 + 1 у 2 + 4 У5;
(9) Уз < 2 У5 + 2 Уб- зУ?;
з 1 5
(10) У7 <-4 У1 + ^ у2 + 4 У5.
5) Ребро «5 «б. Грани «1«з «7 «5 и ЧзЧ4 «8 «7.
Соотношения:
1 з з
р 5 = 4 р 4 + 2 р 7 + 4 р«; .
111 з . 1
Рб = 4 р 4 + 2 Р7+ 4 р»; Рб = - 2 Р1 + 2Рз+ 2 Р5.
Неравенства:
1 , з з
(11) у 5 < 4 У4 + 2 У7- 4 у»;
(12) = (4) Уб <4 у4 Ь 2у7 + 4у8;
з1
(13) Уб <- 2 У1 + 2 Уз + 2 У5.
6) Ребро ч6ч8 . Грань чзч4«8«7. Соотно-
1 1 1
шение рб = 4 р4 + 2 Р7 - 4 Р8
Неравенство
(14) =(4) Уб < 4 У4 + 2 у7 + 4 у8;
Итак, имеем следующую систему неравенств:
(1) - у1 - 2у2 + 4уз - у5 < 0;
(2) 2 У1 + у2 - 4 Уз + Уб <0;
(3) 4у2 - 5у4 - 2у7 + зу8 < 0;
(4) - у4 + 4уб - 2у7 - у8 < 0;
(5) = (1)
(6) з У1 -б у2 + 4 У4- у5 <0;
(7) - зу2 + 2уз + 2у4 - уб < 0;
(8) = (1);
(9) .Уз ~2 У5- 2 Уб +з У7 <0;
(10) з у1 - 2 у2 - 5 у5 + 4 у7 < 0;
(11) - у4 + 4 у5 - бУ7 + з У8 < 0;
(12) = (4);
(13) зУ1 - 4Уз - У5 + 2Уб <0;
(14) = (4).
Мазуров Бл.Д., Смирнов А.И.
Эта система, с учетом полученных выше равенств, выражающих неизвестные
У4, Уб, У7, у8 через остальные, превращается в следующую
(здесь к(у) = -У1 - 2у2 + 4Уз - у5 ):
(1) к < 0, (7) к < 0,'
(2) - к < 0, (9) к < 0,
(3) - к < 0, (10) к < 0, •
(4) - к < 0, (11) - к < 0,
(б) к < 0, (1з) - к < 0.
Последняя система имеет лишь две МСП: МСП 1: (1), (б), (7), (9), (10);
МСП 2: (2), (з), (4), (11), (1з). Перечислим неравенства, справедливость которых необходима для видимости соответствующих ребер:
ад: (1); ад: (1) (9Х(10); ад : (2), (3), (4); ад: (4),(11),(1з); ад: (1),(б),(7); ад: (4).
Таким образом, первой МСП соответствует интерпретация, где видимы ребра
qiq3, q3q4, q3q7(PHc. 2), второй — ребра
q2 q6’ q5 q^ q6 q8 (рис. 3)
Ао 05 1 1.5 АО 0,5 1 1,5
Рис. 2 Рис. 3
Итак, первая интерпретация—видимы
грани ч1«2«4«з,чзч4«8«7,Ч1ЧзЧ7«5. Вторая интерпретация — видимы грани
«1«2«б«5 , «5«б«8«7 , «2«4«8«б .
Таким образом, мы показали на этом классическом примере противоречивого изображения эффективность предложенного нами подхода на основе максимальных непротиворечивых подсистем (МСП) исходной противоречивой системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Метод комитетов в распознавании образов. Сборник трудов. М.: ИММ УНЦ АН СССР, 1974.
2. Еремин И.И., Мазуров Вл.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи выпуклого программирования М.: Наука. 198. 336 с.
3. Раушенбах В. Пристрастие. М.: Аграф, 1997.
4. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. М.: Наука, 1990.
5. Mazurov Vl.D. Duality in Pattern Recognition and Operation Research // J. Pattern Recognition and Image Analysis 1991- Vol.1 No 4, Pp 376 - 384.
6. Налимов В.В. Вероятностная модель языка М.: Наука, 1983.
7. Браславский П.И. Использование особенностей стиля для ускорения поиска в интернете. Канд. дис. УГТУ, 2000.
8. Н.Да Коста. Философское значение паранепротиворечивой логики // Философские науки. 1982. .№4.
9. Смирнов А.И. Неоднозначная интерпретация противоречивых данных / Труды ИММ УрО АН СССР «Системы принятия решений в задачах классификации и планирования», 1992 г. С. 33-45.
