Развязка противоречий в моделях исторических явлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБЩЕСТВО

РАЗВЯЗКА ПРОТИВОРЕЧИЙ В МОДЕЛЯХ ИСТОРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю.

Математические модели реальных, в частности, исторических явлений, как правило, чрезвычайно сложны, а соответствующие им системы ограничений - противоречивы, что приводит к необходимости использования дополнительных корректирующих процедур. В работе содержится краткий обзор подхода к коррекции таких систем, развиваемого авторами и опирающегося на теорию дискретных обобщенных решений несовместных систем ограничений и коллективных методов обучения распознаванию образов. Исследование выполнено в рамках междисциплинарной программы УрО РАН «Историческая динамика России: факторы, модели, прогнозы».

OUTCOME OF CONTRADICTIONS IN THE MODELS OF HISTORICAL PHENOMENA

Vl.D. Masurov, M.Yu. Khachay

Mathematic models of real, particularly historical phenomena, are as a rule extremely complicated, and systems of limitation corresponding to them are contradictory that entails the necessity of correcting procedures. A brief review of approaches to correction of such systems developed by the authors and basing on the theory of discrete generalized solution of inconsistent limitation systems and collective methods of teaching to image detecting is offered in the article. The research is implemented under the interdisciplinary program of the Urals Department of RAS 'Historical dynamics of Russia: factors, models, forecast'.

При построении математических моделей пытаются удовлетворить естественному требованию их непротиворечивости. Однако на самом деле это требование не всегда отвечает существу ситуаций моделирования. Например, при описании некоторых задач экономического планирования (особенно в случае предреволюционных ситуаций) часто выясняется, что эти задачи приводят к несовместным системам ограничений, отражающих действительно противоречивые требования экономической системы. Противоречивые задачи естественным образом возникают и при проектировании технических объектов. Критерии выживания биологических систем также могут быть несогласованными друг с другом.

Инконсистентные логики - одно из направлений современной логики. Таким образом, во многих случаях появляются противоречивые математические модели, которые необходимо конструктивно использовать в соответствии с содержательным смыслом рассматриваемой задачи. Наш аппарат - анализ предложений инконсистен-тной логики на основе тупиковых подсистем противоречивой системы соотношений.

Поскольку, однако, не имеет смысла рассматривать любые противоречивые математические модели, необходимо выделить те из них, которые отвечают некоторым условиям обобщенной непротиворечивости. В связи с этим могут быть введены различные обобщения понятий непротиворечиво-

сти и существования. Например, систему неравенств можно назвать s-непротиворечивой, если любые ее s неравенств составляют совместную подсистему. Обобщение понятий существования и непротиворечивости теоретических моделей могут быть получены и на основе применения комитет-ных конструкций [1].

Мысль о том, что противоречивые знаковые модели можно использовать конструктивно, не нова (достаточно упомянуть о методе наименьших квадратов, о чебышев-ских приближениях), но в последнее время с этой идеей связан более широкий подход, в рамках которого рассматриваются не только несобственные задачи оптимизации и классификации [2], но и противоречивые системы в логике (рассматривается, например, локальная непротиворечивость аксиоматических систем [3, 4]). Можно рассматривать максимальные непротиворечивые подсистемы заданной системы аксиом или системы аксиом, не приводящие к противоречиям при длине вывода, не превышающей заданную.

В данной статье приводятся некоторые примеры конструктивного использования противоречивых математических моделей.

Неоднозначность разбиения

Разбиение системы на подсистемы, выделение объектов, предметов - операция неоднозначная, и при ее формализации можно получить противоречивую математическую модель, с которой необходимо работать как с несобственной задачей классификации (таксономии). Действительно, пусть задано множество А с г?я

для которого надо получить разбиение на таксоны. Предположим, что задана совокупность V допустимых множеств, задающая возможные таксоны:

Л1

т.е. если А -и4 - разбиение множества А на таксоны, то для любого г должен

найтись номер ] такой, что А с V,.

Запишем систему относительно неизвестного номера ] є З

Смысл этой системы такой: мы пытаемся все множество -А представить как один таксон, подобрав соответствующее вмещающее его множество V, ё V Понятно, что в общем случае эта попытка невыполнима и, следовательно, система (1), несовместна. Поэтому в данной ситуации естественно применить понятие максимальной совместной подсистемы системы (1), которой соответствует максимальное по включению В с А удовлетворяющее условию: система

а є є В),] є І

совместна. Множестве В называется индексом этой подсистемы.

Пусть ц - число всех максимальных совместных подсистем системы (1.1) и множества ^1, .Д, индексы этих подсистем. С целью нахождения разбиения на таксоны запишем соотношения:

Л = иЛ^П4- = !3(г^). (1.2).

Система (1.2) тоже может быть несовместной, так как в общем случае индексы максимальных совместных подсистем могут пересекаться.

Поэтому можно отыскивать наборы

в <=А<уо,л=ив,впв. = 0 ШШі щ.

-1

Решение последней задачи неоднозначно, которую можно преодолеть, введя критерий, например, такой:

пш!г?:(1ЛП5!>р|Л| Лй5э \А {|;С.

Противоречивые системы геометрических предикатов

Пусть X <= /Г я Д; (а ) предикат, значение которого равно 1 или 0 в зависимости от того, обладает или нет множество X соответствующим СВОЙСТВОМ І = 1,.. ., }'П

Запишем систему

Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю.

(15).

Система (1.5) может быть противоречивой, и тогда она будет определять совокупность множеств в Ян каждое из которых соответствует некоторой максимальной совместной подсистеме системы (1.5). Таким образом, системе (1.5) соответствует некоторая модель реального объекта с его неоднозначной интерпретацией.

На основе метода выделения максимальных совместных подсистем можно объяснять явления неоднозначности интерпретаций некоторых изображений (куба Неккера [5] и других).

Комитеты в математическом программировании

В практике часто возникают ситуации, моделируемые противоречивыми задачами математического программирования. Содержание некоторых из них согласуется со следующей конструкцией.

Пусть система ограничений

несовместна, К - множество всех ее р-комитетов, члены которых принадлежат заранее фиксированному ограниченному множеству Б. Тогда в задачу

ткШюШ1Ьр1

вкладывается смысл:

Пі ах

{Зі?

йШв

Здесь р-комитет понимается как смешанная стратегия использования его членов с одинаковыми вероятностями, и максимизируется математическое ожидание значения функции цели при использовании таких смешанных стратегий.

Одна игровая задача, связанная с принятием решений большинством голосов

Пусть X - произвольное непустое множество и В1,В2,...,Ошс X.

Рассмотрим не обязательно совместную систему включений

. М) (2.1)

Бутт^™ гг>сг)рИХЬ5 чх0 х" _ решение (2.1), если -4' «П - ■ Как обычно (см., например, [61) конечную последовательность

назовем комитетом большинства из q элементов (или просто комитетом) системы (2.1), если для каждого j е Nт выполнено условие

А- >у2 (2.2)

Ниже дается ответ на вопрос: "Пусть система (2.1) обладает комитетом из q элементов; насколько мала по отношению к мощности всей системы может быть мощность ее наибольшей подсистемы, разрешимой комитетом из к элементов?". В целом изложение данного раздела следует работам [7,8].

Обозначения

Пусть ■ - комитет системы

(2.1). Сопоставим ему {1,-1} -матрицу А размера ш х д по правилу:

X Є.9

1

в против4 ом случае.

Через а. обозначим 1-ю строку матрицы. По условию, 2,1й -1 при каждом

Каждому подмножеству / сМ(, \11 =

сопоставим:

- вектор $ = г(1") = гДе - 1'й орт пространства Ея

- множество 3(1)= (у: ■ ^ £(/)■>;] и

- число е (;Щ? -1^1 равное относительной величине мощности подсистемы 1(1) системы (2.1), разрешимой комитетом из к элементов с номерами из множества I

Матрице А сопоставим число

Й._,.А(Л) =т ахф, (I, А): I сК..,Ш=*}

Обозначим через М(д) множество всех -матриц с ч столбцами, обладающих свойством ^ _ а М для каждого ]. Рассмотрим антагонистическую игруг = {Л,7, К) с природой, в которой множество стратегий 1-го игрока X = | / е : 111= Щ , множество

(2.6)

(2.7)

стратегий 2-го игрока (природы) У = М (у) а функция выигрыша .= 5 £1, А)

Для ответа на основной вопрос раооты найдем верхнюю цену игры

= Е -0 (2.3) СЛЕДСТВИЕ 1. Для произвольного на-

турального к нт 6^ = Ц + С

СЛЕДСТВИЕ 2. Пределы (2.5) и (2.6) как функции аргумента р удовлетворяют соотношениям: | 1 Г 1 4

Результаты

Положим s

ТЕОРЕМА 1. Для произвольных натуральных ШМ Я справедливы равенства г у *1 (' I У Щр$$

(2.4)

!;й ! 4

■ї-Ч “я"'"

■ , Г'1

LJ-U I*-1

Неожиданным следствием теоремы яв ляется следующее равенство:

3s ~ 2

2s -1

[, справедливо

ТЕОРЕМА 3.

1. Пусть п=2р, где р равенство

1т1 о .

2. Если п=2р-1, то Нт не существует, поскольку

(2.5)

и

Видно, что ^2j-L2j-з монотонно возрастает с ростом s и lim = Ул

ЗАМЕЧАНИЕ. Для произвольных k<q, не удовлетворяющих условию

к = 2р-\, q = 2p

при произвольном натуральном р, игра неразрешима в чистых стратегиях, поскольку шах пип &„i(A*h=-0

ТЕОРЕМА 2. Игра Г разрешима в смешанных стратегиях, при этом цена игры совпадает с б t и определяется по формуле (2.4).

Заметим, что оптимальная стратегия природы не зависит от k и определяется неоднозначно.

Найдем приближенные формулы для вычисления (5^ при больших q и добавочном условии на выбор k:k=q-n, где п -фиксированное натуральное число.

Ж*

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В теореме 1, фактически, доказано новое необходимое условие существования комитета системы (2.1).

Поскольку точные формулы оценок имеют вид сумм вероятностей гипергеометри-ческих законов, то теорема 2 может рассматриваться вне контекста теории комитетных решений в качестве аналога предельной теоремы.

Особый интерес вызывают следствия. Исходя из здравого смысла следовало бы, например, ожидать, что >1

Однако это не так. Этот факт удоОно интерпретировать в терминах "голосования" и "кворума". В самом деле, пусть некоторая комиссия из q депутатов принимает или отклоняет законопроекты методом голосования простым большинством голосов. Допустим, известно, что на очередной рабочий день было запланировано рассмотреть т законопроектов. Известно, что, если на заседание явилась бы вся комиссия целиком, то все законопроекты были бы приняты. Из доказанного выше следует, что если хотя бы двое депутатов будут отсутствовать, то в худшем случае комиссия примет не более законопроектов при условии, что все оставшиеся ее члены не изменят своего решения и будут голосовать так, как они голосовали бы при полном ее составе.

Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. М.: «Наука», 1990.

2. Мазуров Вл.Д. Об одном итерационном методе планирования, использующем РО для учета плохо формализуемых факторов // Изв. АН СССР. Серия тех. киб. 1973. №3.

3. Мазуров Вл.Д. Теория и приложения комитетных конструкций. В сб. трудов ИММ. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР. 1979. №29.

4. Мазуров Вл.Д. Логика исследования плохо формализуемых технико-экономических систем средствами математического моделирования // Труды VIII Международной конференции по логике, методологии и философии науки. М.: «Наука», 1987.

5. Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И. Об алгебраическом подходе к восстановлению объектов // Труды АСОИЗ. Ленинград: «Наука». 1986.

6. Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю. Комитетные конструкции. // Известия УрГУ 1999. Вып. 14. С. 77-108.

7. Хачай М.Ю. Об одном соотношении, связанном с процедурой принятия решений большинством голосов // ДАН. Т. 381. 2001. №6. С. 748-752.

8. Хачай М.Ю. Об одной игре с природой, связанной с принятием решений большинством голосов // ЖВМ и МФ. Т. 42. 2002. №10. С. 1609-1616.