CC BY
34
УДК 519.7+519.816
Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И.
О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОТИВОРЕЧИВЫХ ЗНАНИЙ 1
Аннотация. Рассматриваются противоречивые математические модели, противоречия которых являются отражением реальных противоречий моделируемого объекта. Примером таких моделей могут быть несовместные системы ограничений в задачах оптимизации Предлагаются корректные подходы к разрешению противоречий, основанные на методах распознавания образов и дискриминантного анализа.
Ключевые слова: противоречивая математическая модель, несовместная система ограничений, дискримииантиый анализ, метод комитетов.
Mazurov V1.D., Sniirnov A.I.
SOME APPROACHES TO THE MODELING OF CONFLICTING KNOWLEDGE
Annotation. We discuss the contradictory mathematical models, in which contradictions are a reflection of the real contradictions of the simulated object. An example of such models may be inconsistent system of constraints in optimization problems. Offers correct approaches to resolution of contradictions based on methods of pattern recognition and discriminant analysis.
Key words: contradictory mathematical model, inconsistent system of constraints, discriminant analysis, committee method.
1. Противоречивые модели:
источники и методы коррекции
Некоторые задачи, возникающие при математическом моделировании реальных систем и процессов, являются противоречивыми, те не имеют решений. Если процесс моделирования корректен, то эти противоречия возникают по существу, т.е. соответствуют реальным противоречиям. Такие противоречия невозможно устранить, не ослабляя самого понятия решения или ограничений модели. В качестве примеров таких задач можно привести несобственные задачи оптимального или эффективного экономического выбора, задачи согласования индивидуальных предпочтений, задачи согласования критериев выбора решений.
Противоречивые ситуации выбора решений и соответствующие противоречивые математические модели в настоящее время настолько распространены, что возникает вопрос: как воспринимать эти противоречия - как следствие неполноты модели, как ее некорректность или как ее необходимый атрибут? Естественно, рассматриваются корректно построенные модели, адекватно отражающие (конечно, в некотором приближении) моделируемый объект или процесс Современный подход к анализу противоречий заключается, в частности, в том, что противоречия в математических моделях возможны и иногда даже неизбежны как отражение реальных противоречий моделируемой системы. Такой подход является есте-
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-07-00266).
ственным и продуктивным, позволяя работать с противоречиями корректно и обоснованно [1; 2]
Необходимость логически и эмпирически обоснованных подходов к разрешению противоречивых ситуаций выбора вариантов решений приводит к разработке соответствующих математических моделей и методов. Так, существует инконсистентная логика, развита теория несобственных задач выбора, диагностики и прогнозирования [3], используются модели теории игр.
Ясно, что мы не воспринимаем реальность непосредственно. Мы видим ее в соответствии с тем, как ее «рисуем», какую сетку формальных конструкций на нее накладываем. И потому встает вопрос об интерпретации нашего изображения реальности. Мы рассматриваем вопросы репрезентации и интерпретации некоторых явлений и объектов, связанных с технико-экономической стороной человеческой деятельности. Эти вопросы связаны с толерантностью и классификацией. Хотелось бы отметить, что в этой сфере неизбежны противоречивые ситуации, и потому необходимы соответствующие модели.
Определенная терпимость к противоречиям неизбежна, с ними просто приходится работать Но работать обоснованно, корректно, объективно. Противоречия возникают как при индивидуальном, так и при коллективном выборе вариантов решений. Если математическая модель противоречива (если это не результат логических ошибок, а отражение реальных противоречий), то возникает вопрос о корректном способе разрешения противоречий; при коллективных решениях это различные виды компромиссов.
Репрезентация использует модели того или иного класса. Важен класс, использующий математические модели. Важен особенно потому, что позволяет объективно определять ценности объектов И в этом случае вопрос об интерпретации может решаться (с привлечением дополнительных соображений) достаточно конструктивно Факты культуры могут быть осмыслены в рамках более общего их описания.
Здесь интересно то, что художественный объект как нельзя более отдален от формальных систем И, тем не менее, существует потребность анализа художественных произведений, анализа в большей или меньшей степени формального
Объективизированное отношение к разнообразным способам отражения реальности, к различным системам построения «второй реальности» связаны как с выделением структур, так и с учетом внеструк-турного компонента Математические модели являются эффективным средством выделения и анализа формальных структур в содержательном материале наблюдений, обнаружения закономерностей в массивах данных и знаний.
Основными направлениями исследований в этой области являются диагностика, классификация, типология, нахождение эмпирических зависимостей. Эти задачи можно решать на основе моделей и методов распознавания образов (методов дискриминан-тного анализа, таксономии, выбора и оценки информативных признаков), математической статистики (для обнаружения свойств больших выборок описаний объектов или явлений культуры), методов оптимального выбора объектов, методов теории отношений (для сравнения объектов по совокупности критериев) [4-7]. Весьма полезным при этом оказался т.н. метод комитетов [8-10].
В связи с этим можно упомянуть о теории двойственности в оптимизации и распознавании [1, с 11-13], в рамках шторой определяются ценности объектов и факторов выбора вариантов решений и прогнозов И здесь нам приходится терпимо относиться к противоречивым постановкам задач. Для противоречивых задач также построена теория двойственности, обобщающая методы оценки факторов в непротиворечивых задачах В этом смысле толерантность сама является ценностью, и один из вариантов разрешения противоречий - это использование ценностей при выборе решений.
Это хорошо видно на примере экономики. Экономическая и социальная стороны человеческой деятельности становятся все более сложными. И этот процесс усложнения, роста неопределенности последствий принятых решений ускоряется с ростом объема знаний. Уравновешивающую, сглаживающую роль при этом играют ценности выбора вариантов действий и ценности факторов выбора. Ценности с технической точки зрения - это такие показатели, на основе которых генерируются принципиально важные теоретические и практические модели экономики и социологии. Это важные составляющие именно человеческого выбора.
В математике изучается отношение толерантности между объектами и ситуациями. Это отношение является производным от отношения слабого предпочтения, которое, в свою очередь, лежит в основе процедур выбора объектов из некоторой совокупности. Это отношение используется в решении задач диагностики объектов и прогнозирования их свойств.
В данной статье мы рассматриваем математические модели распознавания и диагностики объектов, связанные с отношением толерантности. Это отношение является классообразующим. Кроме того, указывается на связь толерантности с инконсис-тентными логическими системами [14]. Совершенно очевидно, что есть определенная связь между классификацией и толерантным отношением к логическим противоречиям. Имеется в виду, что с инконсистен-тными моделями можно работать, предлагая в соответствии с содержательным смыслом задачи те или иные способы развязки противоречивых блоков моделей выбора и диагностики объектов.
Итак, несобственные задачи выбора и соответствующие противоречивые модели приходится систематически исследовать. Несобственные конструкции (обобщения понятия решения в том случае, когда обычные решения невозможны) оказались весьма полезными, в том числе и при исследо-
вании явлений культуры. В этом направлении нами предложен аппарат дискретных и непрерывных аппроксимаций противоречивых моделей для приближенного (по необходимости размытого) оценивания и выбора объектов. Дело в том, что возможны различные подходы к разрешению противоречий: это их размывание, ослабление ограничений и целей, дискретные и непрерывные аппроксимации для приближенного удовлетворения условиям выбора и т.д.
Если рассматривать формальные модели, то они либо сводятся к ряду тождественных преобразований и тогда содержат тавтологию, либо содержат противоречия, пусть и в латентной форме. Упрощенно выражаясь, мы имеем либо тождество А=А, либо выражение А=В, хотя на самом деле полного совпадения А и В нет. И это уже противоречие, причем на содержательном уровне оно всегда присутствует.
Чтобы иметь содержательную информацию, надо фиксировать различия, и это уже является пусковым механизмом для производства противоречивых моделей. «Равенство» А =В следует более точно понимать как совпадение в некоторых контекстах или ситуациях 5: А(^)=В(^) для некоторых я из множества Я. Если мы рассмотрим систему всех таких равенств - для всех ситуаций я из то, вообще говоря, получим несовместную систему соотношений, и тогда для нее приходится ставить вопрос об отыскании совместных подсистем. Соответствующий математический аппарат разработан и продолжает развиваться [5-7].
2. Комитетные конструкции
Рассмотрим применение так называемых комитетных конструкций (см. работы [8-10]) для коррекции противоречивых задач. Выше говорилось о том, что их идея состоит в том, чтобы вместо одного решающего правила искать коллектив решающих правил, этот коллектив вырабатывает коллективное решение в силу процедуры, обрабатывающей индивидуальные решения членов коллектива.
Так, например, комитет системы неравенств - это такой набор элементов, что каждому неравенству удовлетворяет большинство элементов этого набора.
Комитетные конструкции - некоторый класс обобщений понятия решения для задач, которые могут быть как совместными, так и несовместными. Это класс дискретных аппроксимаций для противоречивых задач, их можно также соотнести с т.н. размытыми решениями. Метод комитетов в настоящее время определяет одно из направлений анализа и решения задач эффективного выбора вариантов, оптимизации, диагностики и классификации.
В процессе эксплуатации метода комитетов выявились такие его важные для прикладных задач свойства, как эвристичность, интерпретируемость, гибкость - возможность дообучения и перенастройки, возможность использования наиболее естественного класса функций - кусочно-аффинных.
Другая сторона вопроса о комитетных конструкциях связана с понятием коалиций при выработке коллективных решений, при этом ситуации резко различаются в случае коллективных предпочтений (здесь много подводных камней) и в случае правил коллективной классификации. В этом случае процедуры можно строго обосновать и они имеют более широкие возможности.
При решении задач диагностики и прогнозирования предприятий часто используются веса факторов, которые даются экспертами, а далее проводится голосование мнений экспертов. Однако такие процедуры могут быть некорректными, и существует аппарат построения корректных процедур.
Нами показано, что при сведении задачи к классификационной можно строить коллективы экспертов (комитеты), корректно решающих задачу диагностики. Метод комитетов здесь позволил получить точные результаты и обоснованные процедуры обучения, которые позволяют решать широкий класс задач, сводимых к разделению конечных множеств с единственным требованием непустоты их пересечения
В наших работах мы выдвинули прецедентно - классификационный принцип, применение которого позволяет избежать противоречий выбора А именно, предлагается следующая схема: задача принятия решений сводится к задаче классификации или к обучению распознаванию на основе прецедентов.
Далее задача классификации сводится к системе линейных неравенств которая может быть и несовместной. Для этой системы находится комитетное решение, которому соответствует корректное решающее правило диагностики.
При попытке подбора модели фиксированного класса для описания материала наблюдений может возникнуть противоречие, если упомянутый класс моделей слишком узок. Это противоречие выразится в том, что задача идентификации модели, имеющая вид системы соотношений, связывающих параметры модели, не будет иметь решения.
В этом случае можно либо расширять класс используемых моделей, включая в него более сложные, либо использовать «коллективы» моделей. В данной работе реализуется второй путь, причём используются конструкции максимальных (по включению) совместных и минимальных (по включению) несовместных подсистем, а также понятие /^-комитета.
Напомним определения этих понятий для системы соотношений вида
(1)
где - некоторые заданные множества (например, Dj может представлять собой множество всех решений какого-либо неравенства).
Определение 1. Максимальной совместной подсистемой системы (1) называется такая совместная подсистема х € £>Д V/ € 5), где 8 е У, что для любого iGJ\S система хе £>ду/ е Л'и !/'! ) несовместна.
Определение 2. Минимальной несовместной подсистемой системы (1) называется такая несовместная подсистема
д-е/Х(У/ еГ), где Т cl J, что для любого г'еГ система х е £>ДУ/ eT\[i\) совместна.
Определение 3. Пусть 0 < р < 1. Конечное множество к называется /^-комитетом системы (1),если > p\K\(Vj е J),где \А\ означает число элементов множества А.
Приведём примеры использования этих понятий в противоречивых ситуациях моделирования.
Дискриминация. Пусть А, В a R", F -выбранный класс разделяющих функций f (у), х е R" Поставим задачу нахождения /:
/ € FJ(a) > 0(Va е A),/(b) < О(УЬ € В).{2) Если класс F слишком узок, то система (2) может быть несовместной В этом случае можно воспользоваться понятием разделяющего /^-комитета, т. е. такого множества К - {fx,..., fq) с F, что каждому неравенству системы (2) удовлетворяет более чем р-я часть этого множества.
Оптимизация. Задача математического программирования:
sup {/(*);./' (*) * <KJ = 1,...,т)}, л- € R", может быть неразрешимой по причине несовместности системы ограничений
f}(x)<0(j = l,...,m). (3)
При некоторых содержательных интерпретациях в эту задачу можно вложить следующий смысл.
Пусть К - множество всех комитетов системы (3). Каждый р-комитет К = {x\...,xq} определяет следующую смешанную стратегию: любой член комитета
1
используется с вероятностью ^ . Тогда можно отыскать /»-комитет, которому отвечает наибольшее математическое ожидание значения функции f, т. е. решить задачу
Рассмотрим в общем виде вопрос о применении комитетов в противоречивых си-
туациях моделирования Пусть некоторая ситуация или объект отражается моделью вида(1), где, например, г - вектор состояния объекта, 0} - множество всех векторов, допустимых поу-му ограничению.
Система (1) может быть несовместной (т. е. соответствующая модель - противоречивой), в частности, по следующим причинам.
1) ограничение х е О. является чрезмерной абсолютизацией, ужесточением или просто неточным отражением некоторого действительного требования, как, например, в случае, если к моделированию некоторого нового явления мы пытаемся приспособить данный априори класс средств моделирования;
2) требование одновременного выполнения всех соотношений системы (2) - абсолютизация некоторого более слабого условия на выполнимость ограничений;
3) вектор состояния имеет слишком малую размерность, так что в модели не учтены измерения важных факторов состояния;
4) система (1) состоит из нескольких подсистем. Каждая подсистема отражает соотношения некоторой модели, и их «стыковка» приводит к противоречивой модели. Противоречия данного типа возникают и в случае, когда в единой модели пытаются учесть требования и сведения, поступающие из различных источников
Можно предложить различные способы анализа противоречивых моделей, пытаясь вносить минимальные изменения в систему (1), делающие её совместной: можно расширять множества (так можно получить, например, чебышевские приближения), сужать множество у (получая, например, максимальные совместные подсистемы); вводить коллективные решения типа комитетных конструкций. Такого рода приёмы позволяют конструктивно использовать противоречивые модели, которые часто возникают в практике и имеют реальные интерпретации.
3. Противоречивые задачи визуализации
В информационных системах и моделях важную роль играет визуализация. В связи
с этим заметим, что знаменитый математик академик РАН Б.В. Раушенбах в работе [15] математически строго доказал, что в изобразительном искусстве противоречия неизбежны; одним из источников противоречий является то обстоятельство, что трехмерные сцены должны быть отображены на плоскости. Невозможно одновременно правильно представлять себе все пропорции изображаемого, поэтому и существуют различные системы перспективы. Есть совместные, непротиворечивые части изображаемого. Поэтому в моделировании возникает вопрос о выделении непротиворечивых подмоделей. Это рассматривается в так называемой инконсистентной логике - логике, изучающей противоречия. Примером инконсистентной логики является т.н. па-ранепротиворечивая логика [ 14] - этот термин введен перуанским философом Ф. Ми-роквисада. Паранепротиворечивая логика принадлежит к классу логических исчислений, в которых логический принцип «из противоречия следует все, что угодно» не имеет места.
В наших работах рассматривается та сфера инконсистентных логик, которая связана с коллективными решениями и с юмитет-ными конструкциями. Здесь слово «коллективные» применяется в более техническом смысле - речь идет об одном классе обобщений понятия решения, когда решение в традиционном понимании отсутствует
Изображение как информация о предметах окружающего мира допускает практически весь спектр описанных причин ее противоречивости, и потому разработка методов интерпретации противоречивых изображений важна не только с практической, но и с методологической точки зрения. Задача интерпретации противоречивых изображений важна не только в прикладном аспекте, но и с точки зрения понимания механизмов восприятия и интерпретации изображений человеческим мозгом. Особенно интересен аспект восприятия человеком так называемых двойственных и противоречивых отображений - эта задача ин-
тенсивно исследуется в последние годы философами, психологами и математиками.
Одним из самых простых и самых исследованных изображений такого рода является так называемый куб Неккера [16] - контурное изображение, соответствующее параллельной проекции вершин и ребер куба на плоскость. Это изображение и две его возможные пространственные интерпретации приведены на рис. 1:
Рис. 1. Куб Неккера и его возможные пространственные интерпретации
При достаточно длительном наблюдении эта фигура как бы спонтанно (самопроизвольно) «переворачивается»: одна объемная проекция сменяется другой. По-видимому, в данном случае обе интерпретации равноправны, и мозг «пробует» каждую из этих гипотез поочередно, не имея оснований выбрать окончательно одну из них - полностью отсутствует контекстная информация (отсутствует перспектива - нет разницы в размерах граней), помогающая принять решение в распознавании обычных зрительных образов. Другие известные примеры аналогичного характера - каркас полуоткрытой книги («фигура Маха») и «лестница Шредера» [16].
Закономерности динамики восприятия таких неоднозначных фигур подробно анализировались, в частности Дж. Кальоти в книге «От восприятия к мысли» [17], показавшим, что во многих отношениях они сходны с явлениями самоорганизации в диссипативных структурах за порогом неустойчивого, критического состояния. Особенностью этих процессов является динамическое чередование (инверсия) двух стационарных состояний, в которых находится система.
Куб Неккераявляется представителем т.н класса «каркасных моделей», содержащими только вершины и ребра объекта.
В работе [18] показано, как идея использования максимальных непротиворечивых подсистем приводит к новому подходу к решению задачи трехмерной интерпретации плоских изображений на основе поиска максимальных (по включению) совмест-
ных подсистем некоторой несовместной системы линейных неравенств. В качестве класса трехмерных объектов при этом используется класс выпуклых многогранников, а неравенства упомянутой несовместной системы ограничений отражают требования видимости граней этого многогранника. Предлагаемые здесь методы не ограничиваются случаем трехмерных сцен.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Еремин И.И Системы линейных неравенств и линейная оптимизация. Екатеринбург: УрО РАН, 2007.
2. Мазуров Вл.Д., Смирнов А И. Противоречия и классификация // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2011. №1(14). С. 86-94.
3. Мазуров Вл.Д. Консилиумы решающих правил и «слабое» существование // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2013. №2 (23). С. 93-97.
4. Мазуров Вл.Д. Математические методы распознавания образов. Свердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1982.
5 Mazurov VID., Khachay, M.Yu. Committees of System of Linear Inequalities //Automation and Remote Control. 2004. no.2.P. 193-203.
6. Khachay M. Committee polyhedral separability: complexity and polynomial approximation // Machine Learning. 2015 . Vol. 101, Issue 1. P. 231-251.
7 Мазуров Вл.Д, Смирнов All. Методы распознавания образов в интеллектуальных информационных системах // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2008. №2(3). С. 122-131.
8. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. М.: Наука, 1990.
9. Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю. Комитетные конструкции как обобщение решений противоречивых задач исследования операций // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2003. Т. 10. №2. С. 56-66.
10. Мазуров Вл.Д, Хачай М Ю Комитеты систем линейных неравенств // Автоматика и телемеханика. 2004. №2. С. 43-54.
11. Еремин И.Н., Мазуров Вл.Д., Астафьев Н Н Несобственные задачи выпуклого программирования. М : Наука, 1983.
12. Mazurov VID Duality in Pattern Recognition and Operation Research // J. Pattern Recognition and Image Analysis. 1991. Vol .1, No 4. P. 376-384.
13. Мазуров В.Д., Смирнов А.И. Двойственность в распознавании образов и в экспертных системах // Ежегодник «Распознавание, классификация, прогноз». М : Наука, 1991, №4. С. 42-61.
14. Да Коста Н. Философское значение паранепротиворечивой логики // Философские науки. 1982, №4. С. 114-125.
15 Раушенбах В. Пристрастие. М : Аграф, 1997.
16. Грегори П Разумный глаз. М : Мир, 1972
17. Кальоти Дж. От восприятия к мысли. М : Мир, 1998.
18 Мазуров Вл.Д , Смирнов А.И Интерпретация противоречивых изображений на основе систем линейных неравенств // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 2012 Т. 18. №3. С. 144-154.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
МАЗУРОВ Владимир Данилович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической экономики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б Н. Ельцина, ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, г Екатеринбург
E-mail: [email protected]
СМИРНОВ Александр Иванович, кандат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург.
E-mail: [email protected] пд
