CC BY
18
УДК 519.2
ПРОСТЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВА РОЗЕНТАЛЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ ОТ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ НА КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
а.н. тихомиров
Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар sasha-tikh@yandex.ru
Представлены простые доказательства неравенства Розенталя для линейных форм от независимых случайных величин и его обобщение на квадратичные формы. Приведены точные константы. Для доказательства используется рекуррентное оценивание моментов, основанное на применении метода Стейна.
Ключевые слова: неравенство Розенталя, квадратичные формы
a.n. tikhomirov. SIMPLE PROOFS OF ROSENTHAL INEQUALITIES FOR LINEAR FORMS OF INDEPENDENT RANDOM VARIABLES AND ITS GENERALIZATION TO QUADRATIC FORMS
The Rosenthal inequality (without specifying the dependence on p) was obtained by Rosenthal in 1970, [3]. An extensive literature is devoted to the refinements and various generalizations of the Rosenthal inequality. In this note, Theorem 1 refines the Rosenthal-type inequality that was obtained in the paper [2] of Pinelis (1994) and gives its elementary proof. Exact inequality constants are given. Theorem 2 represents the generalization of the inequality to quadratic forms. This result without specifying the constants follows from the paper [1] of Gine, Latala, Zinn (2000), but we give exact inequality constants. The method of proof of both theorems uses the recurrent estimation of moments and goes back to the ideas of Stein to some extent. More precisely, to his work in 1972. Both inequalities are widely used, for example, in the proof of local limit theorems for the spectrum of random matrices. The variant of the inequality of Theorem 2 was proved in a similar way in the joint work [6] of the author and F. Goetze (2016). Proposed approach can be extended to the estimations of moments of U-statistics and more general statistics.
Keywords: Rosenthal inequality, quadratic forms
Рассмотрим независимые случайные величины ХЬХ2,... с еX,- = 0, еХ2 = а2 и е \Х-\р < ц,р. Пусть а1, а2,... - последовательность постоянных (вещественных или комплексных). Определим линейные формы Бп = ^-¡=1 а- Х-. В работе будет доказано неравенство Розенталя в следующем виде. Теорема 1. Для любого натурального п > 1 и для любого р > 2 справедливо неравенство
e i
П p
КГ < ep(p - 1)pК|2) ? +
j=i p
+ 2(p - i)p"4£ a ip
(1)
j=1
Неравенство Розенталя (без указания зависимости от р), было получено Х.П. Розенталем в 1970 г [3]. В форме (1) (без указания констант) неравенство получено И. Пинелисом в 1994 г [2]. Уточнениям и различным обобщениям неравенства Розента-ля посвящена обширная литература. Более подробную информацию можно получить, например, в работах [1,2] или в [4].
Далее, рассмотрим обобщение неравенства Розенталя на случай квадратичных форм. Пусть а-к, 3 > к > 1 - постоянные коэффициенты (вещественные или комплексные). Рассмотрим квадратичную форму = 2^52а-кХ-Х^. Полагая
а-к = ак- для 3 < к, можем переписать нашу квадратичную форму в виде дп = Е 1^-=к^п а-кХ-Хк. Для квадратичных форм дп докажем следующее неравенство.
Теорема 2. Для всех натуральных п > 1 и всех р > 2 справедливо неравенство
п
е\дп\р < 2Рр2?-2^^ Ы\р+ г,к=1
п п р
+ 2рерр * \2) * +
3=1 к=1
Р
+ 2реррра2р( £ Ы2)2. Результат теоремы 2 (без указания констант)
следует, например, из работы [1]. В данной заметке уточняется неравенствоЖине, Латала и Зина (см. [1]) и дается элементарное доказательство этого неравенства. Метод доказательства обеих теорем в некоторой степени восходит к идеям Ч. Стейна. Точнее, к его работе 1972 года [5]. Оба неравенства широко применяются, например, при доказательстве локальных предельных теорем для спектра случайных матриц, см. работы [6], [7], [8]. Вариант неравенства из теоремы 2 был доказан похожим способом в совместной работе автора и Ф. Гётце [6]. Метод доказательства, предложенный в данной заметке, может быть распространен на различные статистики от независимых наблюдений, например, и-статистики, или статистики общего вида как в работе [7]. Начнем с доказательства теоремы 1.
Доказательство. Для простоты будем считать а3 вещественными. Введем в рассмотрение функцию
ф) = х\х\р-1. Мы можем записать
е\Бп\р = е ф(Бп).
Используя определение Бп, продолжим наше равенство в виде
е\Бп\р = £ а^ е x ф(Бп).
3 = 1
Введем в рассмотрение случайную величину Б3 =
Объединяя два последние соотношения, придем к неравенству
п
Е\Бп\р < (р - 1)е£ а|ЕХ2\БПз)\р-2 +
3=1
+ (р - 1)р-2Е а\р^ =
3 = 1
(р - 1)е£а2ЕX)Е\Б(3)\р-2+
3 = 1
+ (Р - 1)Р-2Т.\аз\р^
3 = 1
Заметим, что в силу выпуклости функции \Х\р для р > 2 справедливо неравенство
е\Б3)\Р-2 < е ^\Б13)\Р < е —\бп\р. Применяя это неравенство, окончательно получим
е \Бп\р < (е(р - 1)ст2 ^ К\2)е — \Бп\р+
3=1
+ (р - 1)р-2Т. а\р^р-
3=1
Далее, используя неравенство Юнга, придем к
2 / ^ \ I
^ I ' . X ^ X ^ I 2
ОВС,ЦС|У| В рсяиими I рспис вс.мичипу Б п --2 / 2 \ л 2\ 2
Бп - а3Х3 и ст-алгебру Ш(3), порожденную случай- Е \Бп\р ^ р\е(р - 1)ст \а3\ ) +
ными величинами Х( с I = ^. Заметим, что Б3 измерима относительно ст-алгебры Ш(3) и соответственно не зависит от Х3. Поскольку е Х3 = 0, можем записать
п
е\Бп\р = £ а3е Х3 (ф(Бп) - фБ^)).
3=1
Применяя формулу Ньютона - Лейбница, продолжим наше равенство в виде
р
р - 2 р
3=1
+ ^Е\Бп\р + (р - 1)р-2^ а\р.
3=1
Е\Бп\р = £ а3ЕХ3(Б - Б(3)):
3=1
х ф(Б(3) + 9(Бп - Б(г3))) =
Последнее неравенство, очевидно, влечет требуемое. □
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2.
Доказательство. Пусть Ш(3), как и прежде, означает ст-алгебру порожденную всеми случайными величинами Хг, за исключением I = Символом Е3 будем обозначать условное математическое ожидание относительно Ш (3). Положим (3 = ^ 1=■ а13Хг. В этих обозначениях можем записать
= £ а2ЕХ|(ф(Б(з) + в(Бп - Б?))),
3=1
где в означает случайную величину равномерно распределенную на единичном отрезке и независимую от всех остальных случайных величин. Заметим далее, что
\Ф'(Б3 + в(Бп - Б(3)))\ <
< (р - 1)\Б(3) + в(Бп - Б(3))\р-2 <
< (р - 1)(1 + Ат)р-2\Б(3)\р-2+
р - 2
+ (р - 1)р-1щр-2\бг, - б(3)\р-2.
^п ^ ; Х3 С3 ■
3=1
Заметим, что (3 измерима относительно ст-алгебры Ш (3), а Х3 не зависит от ст-алгебры Ш (3). С помощью функции ф(х) можно написать представление
п
е ^п\р = £ еХ33ф(Яп).
3=1
Введем в рассмотрение квадратичную форму Q3), определенную равенством
Qiз) = Qn - 2X3(3.
Нетрудно видеть, что д- измерима относительно а- Далее, воспользуемся неравенством Юнга. Получ алгебры
им
следующее:
д- е - дп.
Мы можем записать
п
е шр = е е х- с- шп) - Ф(дЩу))-
-=1
Далее, используя формулу Ньютона - Лейбница, получим
п
е \дп\р = е 2ех-хд- + 2вх0с-).
-=1
Заметим,что
\ф ' (д- + вх- с- )\ <
< (р - 1)((1 + (р - 2)-1у-2\д-)г2+
2
Йс2)
е\дп\р < р 2 * е * (р - 1)2 арЕ[^ СП +
+ (1 - 2 )е\дп\р+ р
П
+ 2р(р - 1)р-2Е е \Х-\ре \С-\р.
-=1
Отсюда немедленно следует, что
e | Qn Ip < 22 e2 (p - 1)2 apE V C2 +
Й«)
+ 2p-1p(p - 1)p-2e e ixj|pe izjГ.
+ (р - 1)р 2\2в\р 2\Х-\р 2\С-\р 2]. Моменты случайных величин С- оценим с помощью
неравенства Розенталя:
j=i
Используя это неравенство, получим
(р - 1)р-1 Л
e iqnip <2
ee X|e ф^ГЧ
(p - 2)*-a jE I
e IZjIp < e2 (p - 1)2^
(e Iaj I2) \i: l=j )
+
+ 2р-1(р - 1)р-2Е е \Х-\ре \С-\р.
-=1
Далее, применяя неравенство
\дЦ)\ = \е-дп\ < е-\д п
придем при р - 2 > 1 к соотношению
\ д-\р-2 < Е-\дп\р-2.
Если р - 2 < 1, то
+ р (р - 1)р-2^Е \ а- \р-
1: 1=-
Объединяя последние неравенства, получим
e I Qn Ip < 22e2 (p - 1)2 apE V (2) +
+ 2p-2p2(p - 1)2p-VpE IajiIp+
IQn]Ip-2 < IQnIp-2 + 2p-2IXjIp-2
Поскольку
m)
p-2
+ 2p-2e2 (p - 1)^-2papjj.p
Остается оценить величину
j,i=i
e( E M2)
< e,
получим
e IQnIp <2e(p - 1)a2e ir (2) IQnIp-2+
Dn = e Ie j
+ 2p(p - 1)p-2E e ixjIpe izj i j=i
-=1
Пусть матрица а = (а-;)Ц ;=1. Введем в рассмотрение матрицу
а2 = а2 = (а-2)). В этих обозначениях можно записать
Применяя неравенство Гёльдера, придем к соотношению
ЕС! =Е a^XkXi
j=1 k , l = 1
(п \ Р Обозначим символом т = {1,...,п} множество ин-
У"с21 е\дп\р+ дексовот 1 до n, асимволом т- = т \Ш -теже
° I индексы, за исключением 3-ого. Введем в рассмот-
3 рение величины
+ 2p(p - 1)p-2e e IXj Ipe kjip.
j=i
вП1} = E X?a<?\ B{2) =E ak)XlXk.
ieT
k=ief
p 2
p 2
P 2
P 2
P 2
Заметим, что
( 2) _ а1к = а31а3к. 3=1
Нетрудно видеть, что
Бп < 21е \ В(2) \1 +21е \ В(1) \1.
Объединяя полученные неравенства, придем к следующему
е \ Qn\р < 2р-1 е1 (р - 1)1 стре \ В(2) \2 +
П
+ 2р-2р2(р - 1)2р-4^р ^ \ ак\р+ 1,к=1
к
+ 2р-1е2р(р - 1)31 -2ст>р^ ЬТ \ а,к\2
г=1 \к=1 / + 2р-1е2 (р - 1)р-1стре \ В(1) \ 2.
+
(2)
Моменты случайной величины В(1) можно оценить с помощью неравенства Розенталя. Получим
п
е \ В (1) \2 < 21 -1 стр(^ а2к)2 + 1,к = 1
п п
+ 21 -1 е4(2 - 1)1 £ \ак\2)2)* +
+ 21 -1 р(2 - 1)2-ЧЕ£ \ ак\2)^
1=1 к = 1 п п
4 2
г=1 к=1 р
Подставляя оценку для е \В(1) \ 2 в (2), получим
е \ Qn\р < 2р-1е1-1 р2стрЕ \В(2) \1 +
Зр_ 2 II 2Р
+ 2 2 2е2 р2 ст
п
( I] \ аы \
к,1 = 1
+
+ 2р-2р2(р - 1)2р->Р £ \ а1к\р+ 1,к=1
I
к / п \ 2
+ 2ре 2 р-1стр^Е Е \ ак \ 2 +
г=1 \к=1 )
п п
+ 251 -2е31 -1рстр^ (£ (Е \ ак\2)2)
Заметим, что
г=1 к=1
i ог р ^ (р-4)р
^ < ^Р -2) ст2—- .
<
Кроме того,
п п I
(Е(ЕК\2)2) ^
' 1 к=1
п п I п
(Е(Е\\ 2) 2)2(Р-2) ( Е\ ак \ 2) ^
1=1 к=1
п п
г=1 к=1
1,к = 1
Применяя неравенство Юнга, получим
п п I
2¥е*-2р*(Е \ ак\2)^1 <
г=1 к=1
<
р
2(р - 2)
5£ 3!_2 3£
2 4 е 4 2р 4
П / П \
Е(Е\а1к \ 2
г=1 \к=1 /
+
р - 4 б£ 3£_2 Р 3£
е *-2 стрр »(^К Р) 3.
Используя полученные оценки, можем записать
е \ Qn\ р < 2р-1е— р2стре \ В(2) \I +
ак1 '2
' к,г=1
+ 2*е*р* ст2—(]Г \ ак1 \2) ' +
+ 2рр2р-2^ ^ \ ак \р+
1,к = 1
к
+ 2 * е* р*-1стР^(^ \ ак \2
г=1 \к=1 /
(3)
Дальнейшее доказательство проведем, ре-куррентно оценивая моменты квадратичных форм. Введем в рассмотрение коэффициенты для V =
ч- , = (^-1) (^-1)
а^и — / аь
(V) =
13к =2-^ а31 ак1
1=1
а для V = 0 положим а30к = а3к. Далее, определим квадратичные формы
Qnv) = Е а(&-1) XX.
1 = к
Заметим, что Q(1) = Qn. Неравенство (3) можно переписать в виде
е \ Q(nv) \9 < 29-1е^ д2 ст4е \ Q((гV+1) \2 +
+ 2&4 е34 д34 ст2<1^ \ а 3,1=1
(Е! 3-1) \2)2+
=1
+ 2Чд2*-2^ \ а(:-1) \9+
1,3=1
к / п \ 2
+ 234 е * д *£ \ а(;-1) \ 2 . (4)
г=1 \3=1 '
Нас будет интересовать показатель д = д^) = ^—т для V > 1. Положим
I _ т
I__-I (v-1)Р I
2^-1 1р 2 е 2 ст 2^-1
«V = 2 2—1 1р2 к
вк = П «V, во = 1.
V=1
V 2
Р 2
Е 2
V
и
Применяя рекуррентно неравенство (4), придем к что для р > 4 справедливо неравенство 2 > ,
р р- 2
неравенству получим
е \ дп \ р < вье \ дь \ р+
Ь-1
X—> 3Р Зр Зр
+ } У вк2 2к+2 е2К+2 р2к+2 х
р кр , г) ] р г)
вк22-^+2кр2К-1 -2 ^
к=0
Зкр 2р
х 2-а
(Е\а-к) \ 2) 2К+1 + 1,1=1
+ Е вк2 2 2-2-1+2кр Р-1-2 х
П
х 4Е \ а-к) \ р +
1-=1
* Зр рк ¡г, Зр
+ )> ^ вк22К+2 2-+ке^ х
ь-1
к=0
ь- 1
к=0
х р 2к а 2к ц р ' 2к
к / п \
Е(Е\ а-к>\ 2 ;=1 \j=l /
р
2к+1
Прямые вычисления показывают, что
вк < р-1(2реа2)р( 1-2к)2-т. Оценим теперь величины
(6)
п р
Вк = ( Е \ акк) \ 2) 2К+1.
к = ак " к,;=1
Введем обозначения
4к)2 = Е\ -]\2, »а(к)у2 = Е-
-=1
1=1
2
Заметим, что
а(к), . г(к-1)г(к-1) \ аИ \ ^ ^г .
п р п ;
(Е \акк) \ 2) 2к+1 <( Е \ак;\
к,г=1
к,г=1
Далее,
Ь-1
Евк2 2
Зр Зр Зр Зкр 2р ( X—> I (к)|2\ 2к+1
>2к+2 е2к+2р2к+2 2 2к+2 а2к ( \ ак/\ ) к=0 к,г=1
п р
< (2е)ррра2р(]Т \ ау \ 2) *.
(7)
г-=1
< (2е)р2-^^рр(1+2к-—)а2р(1-2к).
Далее,
п п р 2 1
-\2к А(0)||а(0)»р(1-^).
1,1=1 Кроме того,
г=1
2— -4 -2
(е^(0)<(е¿(0)р) р-2 ||а(0)|4
■ ■ г=1
г=1
(8)
Объединяя эти неравенства, придем к следующему:
—-4 2
(0)||р(1-
ак\2 ¿(0)р) р-2 ||а(0) ||
:,1=1 г=1
г-=1
(5) Кроме того, используя неравенство Гёльдера, нетрудно получить неравенство
_р__4
2р(1-2к)ц2р < (арцр) (а2р)1-.
а 2к'цр ^ (а 2к
Положим
а :=
-р__4
2К-1 4
, в = 1 - а.
Отсюда следует, что
||а(к)||2 < ||а(к-1)|22. Рекуррентное применение этого неравенства влечет
||а(к)|2 < ||а(0)|2к+1. Отсюда следует, что
р - 2
Применяя неравенство Юнга и учитывая, что
рр(1+ 2к - р-2 ) = рр(1+§),
получим
ь-1 п
£вк22к2-^+2кр-2ц2к £ \а-)\2к <
к=0 г,-=1
п
< (2е)р(ар^ Црар(С;)р+
;=1
п р
+ врра2^ \а1о\2) *). (9)
1,1=1
Теперь оценим последнюю сумму в (5). Применяя неравенство (8), придем к неравенству
г=1
¿>к)* (£}0))^ ||а(0)|р(1-2к
г=1
2к ) <
г=1
< е (а(0)) ^ 1|а(0)|р(1-2).
Далее,
Теперь оценим вторую сумму в правой части неравенства (5). Используя неравенство (6) и учитывая,
Зр _ кр +2 к Зр Зр 2р
вк 2 2к + 2 2 2к +2к е 2к + 2 р 2к + 2 а 2к+1 ^
< (2е)р(1-2к+2)2-^рр(1-^)а2р(1-5К+Г).
^-8
р- 2
р
4
2к-1
р- 2
3р р
Отсюда следует, что
L-1 n
» 3p pk 3p 3p 2p » j
2_^ßk2 2-^ e ^ p ^ ст ^ ß kZ-; (L)
^ p <
fc=Q
1=1
< — 2pep p^ (L(Q))p+
1=1
+ (1 - —^pTWA^Wl (10) Комбинируя неравенства (5), (7), (9) и (10), получим
n
e I Qn| p < ßLe | QL Ip + 2pp2p-2ß2p ^ I aik I p+
l,k=1
nn
+ 2pepp* ßp<jp ^^(£ Iajk I2)2 +
3=1 к=1
I
+ 2рерррст2р( \ а3к \ 2) 2.
Поскольку — < 2, из последнего неравенства следует, что
е \ Qn\р < вь(е \ QLn\2) 2+1 +
п
+ 2рр2р-У— ^ \ аш \р+
1,к = 1
пп
+ 2рерр^/лрстр^Е \ а3к\2)I +
3=1 к=1
I
+ 2рерррст2р( \ а3к \2) 2.
1^3=к<п
Учитывая,что
е \ Q(n)\ 2 = 2||л(п)||2 < 2Ул(0)У27, получим требуемое. □
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 18-1-1-7.
Литература
1. Gine E., Latala R., Zinn J. Exponential and Moment Inequalities for U-Statistics // In: Gine E., Mason D.M., Wellner J.A. (eds) High Dimensional Probability II. Progress in Probability. Boston: Birkhauser, 2000. Vol. 47. P. 1338.
2. Pinelis I. Optimum Bounds for the Distributions of Martingales in Banach Spaces // Annals of Probab. 1994. Vol. 22. No. 4. P. 1679-1706.
3. Rosenthal H.P. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables // Israel J. Math. 1970. Vol. 8. No.3. P. 273-303.
4. Ибрагимов P., Шарахметов Ш. Точная константа в неравенстве Розенталя для случайных величин с нулевым средним // Теор. вероятн. и ее примен. 2001. Т. 46. Вып. 1. С. 134-138.
5. Stein Ch. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables // Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability: Probability theory. Univ. Berkeley: California Press, 1972. Vol. II. P. 583-602.
6. Götze F., Tikhomirov A. Optimal bounds for convergence of expected spectral distributions to the semi-circular law // Probab. Theory Related Fields. 2016. Vol. 165. No. 1-2. P. 163-233.
7. Гётце Ф., Наумов А., Тихомиров АН. Локальный полукруговой закон при моментных ограничениях: преобразование Стилтьеса, жесткость и делокализация // Теория вероятн. и ее примен. 2017. Т. 62. Вып. 1. С. 72-103.
8. Götze F., NaumovA, Timushev D., Tikhomirov A. On teh local semisircle law for Wigner Ensembles // Bernoulli. 2018. Vol.24. No. 3. P. 23582400.
References
1. Gine E., Latala R., Zinn J. Exponential and Moment Inequalities for U-Statistics // In: Gine E., Mason D.M., Wellner J.A. (eds) High Dimensional Probability II. Progress in Probability. Boston: Birkhäuser, 2000. Vol. 47. P. 1338.
2. Pinelis I. Optimum Bounds for the Distributions of Martingales in Banach Spaces // Annals of Probab. 1994. Vol. 22. No. 4. P. 1679-1706.
3. Rosenthal H.P. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables // Israel J. Math. 1970. Vol. 8. No.3. P. 273-303.
4. Ibragimov R., Sharakhmetov Sh. The Exact Constant in the Rosenthal Inequality for Random Variables with Mean Zero // Theory Probab. Appl. 2002. Vol. 46. Issue 1. P. 127-132.
5. Stein Ch. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables // Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability: Probability theory. Univ. Berkeley: California Press, 1972. Vol. II. P. 583-602.
6. Götze F., Tikhomirov A. Optimal bounds for convergence of expected spectral distributions to the semi-circular law // Probab. Theory Related Fields. 2016. Vol. 165. No. 1-2. P. 163-233.
7. Götze F., Naumov A., Tikhomirov A. Local semicircle law under moment conditions: The Stielt-jes transform, rigidity and delocalization // Theory Probab. Appl 2017. Vol. 62. Issue 1. P. 72-103.
8. Götze F., Naumov A., Timushev D., Tikhomirov A. On teh local semisircle law for Wigner Ensembles // Bernoulli. 2018. Vol.24. No. 3. P. 23582400.
Статья поступила в редакцию 01.03.2018.
