О неравенствах для вероятностей осуществления не менее r из n событий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3

МЯО 60Е15, 60И5

О НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ НЕ МЕНЕЕ г ИЗ п СОБЫТИЙ

А. Н. Фролов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Получены оценки сверху и снизу для вероятностей осуществления не менее г из п событий. Доказанные неравенства могут обращаться в равенства. Получены также аналогичные неравенства для условных вероятностей указанных событий относительно некоторой ст-алгебры. После усреднения обеих частей последних неравенств могут получаться более точные оценки соответствующих безусловных вероятностей. Библиогр. 20 назв.

Ключевые слова: неравенства Бонферрони, вероятности объединений событий, вероятности осуществления нескольких событий.

1. Введение. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное пространство и А — а-алгебра событий такая, что А С Т. Пусть А\, А2,..., Ап — события. Положим

п

£п = 53 ^,

г=1

где ¡а —индикатор события Аг, г = 1,2, ...,п. Тогда событие Вг = |£п = г} при г = 0,1,...,п происходит только тогда, когда происходит ровно г событий из

п

А1, А2,..., Ап. Если 1 ^ г ^ п, то ип = и Вг — событие, состоящее в одновременном

г=т

осуществлении не менее г событий из А1, А2,..., Ап. Положим

рг = Р(В<) и рА = Р(Вг |А), г = 0, 1,...,п. В настоящей статье мы получим новые оценки сверху и снизу для вероятностей

пп

Рт = Р(игп)=^Рг и РА = Р(и«|А) = ^рА, где 1 < г < п.

г=т г=т

Подобные неравенства широко применяются в теории вероятностей и ее приложениях. Особенно важны оценки для вероятностей объединений событий Р1, которые, в частности, используются для получения обобщений и уточнений леммы Бореля— Кантелли. Получению неравенств для Рт с помощью различных методов посвящено значительное число работ (см., например, [1-20]). Для Р1 один из таких методов предложен в статьях автора [15-18]. В настоящей работе мы распространим этот метод на случай Рт с г ^ 2. При этом мы будем использовать новые представления вероятностей событий ип Оценки для РА получены автором в [19]. Далее мы получим также неравенства для РА при г ^ 2, основанные на представлениях вероятностей и™, отличающихся от использованных в [19].

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

Оценки для условных вероятностей можно применять следующим образом. Предположим, что РА ^ а п. н. (почти наверное), где а — некоторая положительная случайная величина. Тогда

Рг

ЕРА > Еа.

В [19] читатель найдет численный пример, показывающий, что оценка Р\ таким способом может быть точнее, чем аналогичная прямая оценка Р\.

п

Обсудим наш метод на примере Р2 с использованием представления Р2 = ^ рг.

г=2

Дальнейшие оценки основаны на различном числе моментов случайной величины £п, но сейчас мы ограничимся двумя. При этом мы должны использовать только моменты, не включающие р\. Поэтому простейшие претенденты — 2-й и 3-й факториальные моменты:

•4 = Е(£п)2 = 53(02 рг, 4 = Е(£п )з

г=1

г= 1

(г)3Рг,

где (х)к = х(х — 1) •... • (х — к +1) и (х)о = 1 для любых х € К и к € N. Здесь и далее К и N обозначают множества вещественных и натуральных чисел соответственно. Несложно проверить равенства

= 2 Е

Р (АгА), 4 =6 ]Т Р(АгА; Лк).

Возьмем и зафиксируем натуральное число т такое, что 3 ^ т ^ п. Положим

1

т1

1

1 +

2%

Тогда будем иметь

Следовательно,

0 ^ Е сгРг = 5^ Рг

/ ^

2

(т)2

т2

-4 +

% = 2, 3,..., п.

(т)з

(1)

3

Р2 = У^Рг > Г^Г"2

(т)2 2

во —

(т)

о/ -

/

о/

в3 = а1в2 + а2в3.

(2)

Так как это неравенство выполнено для всех т, мы можем провести оптимизацию по т. Неравенство в (1) превращается в равенство для распределений £п, сосредоточенных на 0, 1, т — 1 и т. Выберем такое распределение Р* среди распределений с одинаковыми моментами и в3. Для этого положим р*т_ 1 = Р*({т — 1}), р*т = Р*({т})

и решим систему

(т — 1)2 р^-1 + (т)2 р*т = в2 ,

(т — 1)з р*т_ 1 + (т)3 рт = в3.

Получим

рт-1 =

(т — 2)в2 —

(то — 1)2 ' (т)2

— (т — 3)

с=

т

3

2

/

3

2

3

3

2

Из условий Рт_ 1 ^ 0 и р^, ^ 0 следует неравенство 2 + 4/4 ^ т ^ 3 + 4/4. Заметим, что справедливо 4 ^ (п — 2)4. Подставляя т = шт{3 + [4/4],п} в (2), приходим к следующему неравенству:

Р >_(з(1-^)4 + 4)(4)3_

2" ((3 - в)4 + 4){{2 - в)4 + 4)((1 - в)4 + 4)'

где д — дробная часть 4/4. Заметим, что д может быть положительным. Правая часть полученного неравенства минимальна при д = 0. Следовательно,

(41

(24 + 4x4 + 4)

Неравенства (3) и (4) известны (см., например, работы [5-7, 9, 10]). Отметим, что они являются аналогами неравенств для Pi, полученных в [1] и [3].

2. Представления вероятностей Pr и PrA. Положим Jo — {0}, Jd — {j — (ji,..., jd) : jk G N и 1 ^ ji < j2 < • • • < jd ^ n при всех 1 ^ k ^ d} для всех d G N.

Нам потребуется следующий результат.

Лемма 1. Пусть d — фиксированное целое число такое, что 0 ^ d ^ r. Положим pAj — P(BjAj1 ... Ajd |A) для всех j G Jd при d ^ 1 и pAj — vt — P(B¿|A) для j G J0 при d — 0. Положим также p¿ij — P(BjAj1 ... ) для всех j G Jd при d ^ 1 и píj — p¿ — P(B¿) для j G J0 при d — 0. Тогда

n 1

¿=rjeJd ® n1 ¿=rjeJd ®

Здесь Cd — число сочетаний из i по d.

Доказательство. При d — 0 соотношения (5) и (6) очевидны. Пусть d > 0. Нам достаточно доказать (5), так как из него (6) получается взятием математических ожиданий от правой и левой частей. Для этого воспользуемся равенством

(£n)s+i — (s +1)! ¡Aj-1 ...Ajs+1, 0 < s < n - 1,

1<jl <J2 <---<js + 1<n

которое несложно проверить индукцией по s.

Используя равенство £nI_b¿ — i ¡b¿ при всех 0 ^ i ^ n, имеем

"у» = = 7¡)7 = —¡i—.

i=r i=r i=r jeJd

Переходя в этом равенстве к условным математическим ожиданиям, получим (5). □ Соотношение (6) при r — 1 и d — 1 доказано в [13]. Другие представления при r — 1 получены в работе автора [19].

3. Метод получения неравенств. Далее мы используем следующие обозначения. Все векторы из мы считаем столбцами. Для любого v G обозначим через

гj, ] = 1, 2,..., к, его координаты. Запись V ^ и для V, и € Кк является сокращением записи г^ ^ и^ при всех ] = 1, 2,..., к. Положим = (0, 0,..., 0)Т € Кк и = (1,1,..., 1)Т € Кк, где индекс Т обозначает транспонирование.

Наш метод основан на следующем результате из работы автора [20].

Теорема 1. Пусть z € К", z ^ 0п и Е = (/^ )к=1¿= — вещественная матрица,

п

где 2 ^ I ^ п. Положим 2 = ^ г¿ и

¿=1

ё = Еz. (7)

Пусть для некоторого 1 € N такого, что 1 ^ г1 < г2 <...<«£ ^ п, вектор а € К1 является 'решением следующей системы линейных уравнений:

ЕТ а = 11, (8)

где Е! = (/k¿j )1=1 ¿=1. Пусть z* € К" — вектор такой, что z* = (гг* , гг*2,..., )Т удовлетворяет системе линейных уравнений

Еiz¡ = ё (9)

и г* =0 для всех г = гк, 1 ^ г ^ п. Положим с = 1п — ЕТа.

I

Если с ^ 0п, то 2 ^ 2* = гг* + гг*2 + • • • + г* = 5^ ак 3к. Если с ^ 0п, то 2 ^ 2*.

к=1

Матрицы систем (9) и (8) отличаются транспонированием. Поэтому если матрица Е! обратима, нужно решать только одну из этих систем. Мы будем решать систему (9). Это даст представления г*, в виде линейных комбинаций я к. В силу того, что обратная к транспонированной матрице совпадает с транспонированной обратной, ак будет равно сумме коэффициентов при Як из этих представлений.

Получаемые с помощью теоремы 1 оценки обладают следующими свойствами. Во-первых, они точны в том смысле, что можно привести примеры, в которых неравенства обращаются в равенства. Действительно, если положить z = z*, мы придем к равенству. Во-вторых, при добавлении еще одного момента оценки становятся точнее. Пусть по z мы построили z*(l) и z*(l — 1), используя 31,..., з^ и 31,..., соответственно. Если теперь по z*(l) мы построим соответствующий вектор с использованием 31,..., Я1-1, то снова получим z*(l — 1). Поэтому с увеличением числа моментов мы получим более точную оценку.

Схема нашего метода такова. Выберем сначала число I моментов, входящих в оценку. Затем выберем тип используемых моментов, т. е. Е. Ниже мы будем использовать степенные моменты, но это не обязательно. После этого определим 1 и найдем z* и а. Затем найдем с и последуем образцу нашего примера из первого параграфа. Там I = 2, /н = (г)2, /^ = (г)з, г1 = т — 1, г2 = т, где т — параметр, позволяющий варьировать набор индексов и выбирать наилучший. Отметим, что в примере сначала был выписан с с нужными свойствами, а потом найден а (см. (2)). В общей ситуации удобнее сначала находить а, а затем вычислять с и проверять его свойства.

3. Неравенства для Рг. Запишем представление (6) в виде

" 1

Рг = Е где Рг^ = X

jeJd ¿=г ¿

Для каждого . мы получим с помощью теоремы 1 оценки для Рг (.). Подставляя их в последнее представление, получим неравенства для Рг.

Зафиксируем . € Положим ^ = /С^ при г ^ г ^ п, ^ = 0 при 1 ^ г ^ г — 1 и /ь = (г)г+й-1 при всех 1 ^ к ^ I и 1 ^ г ^ п. Тогда (7) превращается в равенство

п п

«й (. )=Е(г)г+к-1 ^ = ^ Е (г — !)г+й-1-й •

г=1 г=г+к—1

Отметим, что = 0 при г ^ ! — 1 и (г — = 0 при ! ^ г ^ г + к — 2. Поэтому

получаем

s fc

(j) = - d)r+fc-i-d. (10)

i=i

Заметим, что (j) могут быть выражены в виде сумм пересечений событий A. Например, при d = r мы имеем

n / n \

Si(j) = r^ = r!E E "Bi j ...AjJ = r!EDur j ...j = r!P(Aj1 ...A,-,. ), i=i \¿=i )

S2(j) = r! ¿ (i - r)pi,j = r! (e i"Bi "j ..j - rP(Aji ...Ajr = = r! (E (en"Aj-i ...Ajr) - rP(Aji ...Ajr)) =

■( E P(AiAji ...AjV) - гр(Ал ...AjV И =

=r

=i

r! E P(AiAjí ...AjV).

Кроме того, при ! = 0 и г = 2 из (10) вытекают равенства в1(0) = в2 и в 2(0) = в 3. Поэтому неравенства (3) и (4)—частные случаи неравенства (11) из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть I =2. Определим «].(.) и «2(.) по формуле (10). Положим «(.) = «2 (Я/ «1 . «(.) = «(.) — [«(.)]. Тогда

„ > у ((г +1)(1 - 00?)) + ¿0?)) «10?) > у Ш пп

Доказательство. Положим г1 = т — 1 и г2 = т, где г +1 ^ т ^ п. Решим систему (9):

(т — 1)г 4,-1 + (т)г = « 1.

(т—1)г+1.т-1 + (т)г+1^т = «2(.).

Получим

* _ (т - г)в1()) - в2()) * _ в2()) - (т - г - 1)51(Я

^тп— 1 / 1 \ ' ^т / \

(т — 1)г (т)г

Отсюда следуют равенства

г +1

а 1 — -——, а 2 — < ,

(т)г (т)г+1

Вместо неравенств е^ ^ 0 для всех г удобнее проверять 1 — е^ ^ 1 для всех г. Так как

1 — (г + 1)((г + 1)т — гг — 2г)

1 — е^ (г + 1 — г)((г + 1)т — гг — г)

> 1

при г < т — 1, последовательность 1 — е^ возрастает при г ^ т — 1. Аналогично покажем, что последовательность 1 — е^ убывает при г ^ т. Таким образом, 1 — е^ достигает максимума, равного 1, при г = т — 1 и г = т.

Из условий 1 ^ 0 и ^ 0 заключаем, что г + ) ^ т ^ г + 1 + Заметим, что ) ^ (п — г). Положим т = шт{г + 1 + [¿(^')],п}.

По теореме 1 мы имеем Рг (_?') ^ 1 + . Подставляя в последнее неравенство выражения для т, 1 и , мы приходим к следующей оценке:

Р ,. > ((г+1)(1 - тш+ш) ылу+1 П9,

рг1?) >-—}-• (12)

ГШ — дам (¿) + ))

к=1

Отсюда следует первое неравенство в (11).

Покажем, что правая часть неравенства (12) минимальна при д(^) = 0. Для этого докажем следующую лемму.

Лемма 2. Для любых г € N1, и > 0 и х € [0,1] выполняется неравенство

9г(-Х) = —, / , п < (м + Г)г = 9т{ 1). и + (г + 1)х

Доказательство. Для г € {0} и N положим

, ,, (и + (г +1)+ х)(и + (г +1)х)

пг(х) = -----.

п 7 и + (г + 2)х

Мы имеем

, (г + 1)(г + 2)х2 + 2(г + 1 )их - (г + 1 )и

г{Х' = (и + (г + 2)х)2 '

Так как ^ (0) < 0, ^ (1) > 0 и ^ (хо) =0 в единственной точке хо € [0,1], функция (х) достигает максимума на концах интервала [0,1], равного и + г + 1. Доказательство неравенства $г (х) ^ дг(1) проведем индукцией по г. Если г =1, то неравенство выполнено в силу д1(х) = Л-о(х). База индукции доказана. Предположим теперь, что неравенство выполнено для г и докажем его для г + 1. Мы имеем $г+1(х) = $г(х)^г(х) ^ дг(1)^г(1) = ^г+1(1). Это и есть нужное неравенство для г +1. Лемма полностью доказана. □

По лемме 2 с и = )/в2(?) и х =1 — д(^') мы получим

РАЛ >

(г) + в 2(^')) • ... • ( ) + в 2СЛ)

при в2(^') > 0. Отсюда следует второе неравенство в (11). □

г

Перейдем к оценкам сверху при I = 2.

Если бы мы захотели, чтобы в примере во введении выполнялось е^ ^ 0 для всех г ^ 2, то в первых двух сомножителях вместо т — 1 и т мы взяли бы 2 и п соответственно. Тогда мы пришли бы к оценке для сверху. Далее мы поступим аналогично, учитывая, что пример — частный случай нашей более общей ситуации. При этом у нас нет возможности варьировать параметр, как мы это делали в оценке снизу. В оценках сверху такая возможность появляется при I ^ 3.

Теорема 3. Пусть I = 2. Определим Ъ и Ъ2(,?) по формуле (10). Тогда

Р < у^ (^С?) _ ^0)((п)г \ г! (п)гг!

Доказательство. Положим г1 = г и г2 = п. Тогда система (9) примет вид

(г)г 4 + (п)г < = Ъ 1(?), (г)г+1 < + (п)г+1 < = «2(?)-

Учитывая равенства (г)г+1 =0 и (г)г = г!, получим

* _ (п-г)в 1()) - в2()) * _ в2()) - / \ ■ 1

(п — г)г! ' п (п)г+1

По теореме 1 получаем требуемое. □

Перейдем к случаю I = 3. Здесь мы также начнем с оценок снизу. Теорема 4. Пусть I = 3. Определим (?), «2(?) и Ъз?) по формуле (10). Положим ¿1(7) = (п — г)Й1 (?) — в2(?), ^2(?) = (п — г — 1)«2(?) — «э(?), Ъ(.?) = ЫЯ/М.?),

Ъ(.?) = Ъ — [Ъ]. Тогда р > V Г^ + М-Щ-Ф')) / 1___М ,

(п)г (п — г + Ъ(?) — «(?)) Ч(г + Ъ(?) — 0(7))г (п)г ¿1(7 )«(7) ^ 1

+-

(п — г + Ъ(?) — 0(7) — 1) V (г + Ъ(7) — 0(7) + 1)г (п)г

Доказательство. Положим г1 = т — 1, г2 = т и г3 = п, где г +1 ^ т ^ п — 1. Система (9) имеет следующий вид:

(т — 1)г + (т)г 4 + (п)г < = Ъ1(? (т — 1)г+1^т-1 + (т)г+14 + (п)г+1^п = Ъ2(?),

(т — 1)г+2^т-1 + (т)г+24 + (п)г+2< = Ъ3(7 ).

Выпишем решения системы (9):

ф (т — г)(п — г)Ъ 1 (?) — (п + т — 2г — 1) Ъ 2 (7) + Ъз(7)

= (т-1)г(п-т+1) '

ф (т — г — 1)(п — г)Ъ 1 (?) — (п + т — 2г — 2) Ъ 2 (?) + Ъз(?)

(т)г (п — т) '

_ (т - г - 1)(т - г) - (2т - 2г - 2)з2{з) + аз (Я п (п)г (п — т)(п — т + 1)

1

Отсюда получаем

(m — r — 1)(m — r) (m — r — 1)(n — r) (m — r)(n — r) al = 7-w-TT7—N---~t-w—N--Ь

(n — m)(n — m + 1)(n)r (n — m)(m)r (n — m + 1)(m — 1)r '

2(m — r — 1) n — m + 2(m — r — 1) n — m + 1 + 2(m — r — 1)

a2 = -w-, 1W , +

(n — m)(n — m + 1)(n)r (n — m)(m)r (n — m + 1)(m — 1)r

1 1 1

a3 = - —-—|—-

(n — m)(n — m + 1)(n)r (n — m)(m)r (n — m + 1)(m — 1)r Далее, мы имеем

1 — C = (i)r ai + (i)r+ia2 + (¿)г+2вз = (i)r (ai + (i — r)a2 + (i — r)(i — r — 1)аэ). Следовательно, неравенство

1 — ci+i (i + 1)(ai + (i — r + 1)a2 + (i — r + 1)(i — r)as)

1 — Cj (i — r + 1)(ai + (i — r)a2 + (i — r)(i — r — 1)аз)

> 1

эквивалентно rai + (r + 1)(i — r + 1)a2 + (r + 2)(i — r + 1)(i — r)a3 > 0. По построению Cm-i = cm = 0. Значит, rai + (r + 1)(m — r)a2 + (r + 2)(m — r)(m — r — 1)аз = 0. Вычитая это равенство из последнего неравенства, получим

(r + 1)(i — m + 1)a2 + (r + 2)(i — m + 1)(i + m — 2r)a3 > 0.

Поэтому нам нужно проверить, что для всех i < m — 1 выполняется неравенство

(r + 1)a2 + (r + 2)(i + m — 2r)a3 < 0.

Последнее неравенство выполнено, так как его левая часть возрастает по i (в силу аз > 0) и равна нулю при i = m — 1. Поэтому последовательность 1 — cj возрастает при i ^ m — 1. Аналогично доказывается, что 1 — cj убывает при i ^ m. Следовательно, 1 — Cj достигает максимума, равного 1, при i = m — 1 и i = m.

Из условий zm_i ^ 0 и zm ^ 0 следует неравенство m — r — 1 ^ S(j) ^ m — r. Положим m = min{r + 1 + [S], n — 1}. Тогда будем иметь

* =_Ш(1 - g(j))_

m_1 (r + s(j) - ê(j))r(n - Г + S(j) - Щ) '

Mj )S(j)

(r + J(j ) — J j) + 1)r (n — r + S(j) — S(j) — 1) '

Ш Ш( ô(j) + i-e(j)

П (п)г (п)г - Г + ¿(Я - - 1) (П - Г + ¿С? ) - ))

По теореме 1 получаем требуемое. □ Перейдем к оценкам сверху.

Теорема 5. Пусть I = 3. Определим 5 1()), ¿2(?) и ¿з(?) по формуле (10). Положим 5(?) = ¿з(?)/ в 2 (?), ¿(?) = 5 (?) - [5 (?)]. Тогда

Р < V Г^ + Ы-Ш-ф-)) / 1__IV

>•! + (1 + 6(э) - в(з)) V (г + 1 + 6(э) - в(з))г г\) + шт ( 1

(2 + S (j) — в (j)H(r + 2 + S (j ) — в (j ))r r! /

484 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 3

Доказательство. Положим ¿1 = г, г2 = т — 1 и г3 = т, где г + 2 ^ т ^ п. Система (9) имеет следующий вид:

(г)г 4 +(т - 1)г.т-1 + (т)г ¿т = «1(7), (г)г+1 < +(т - 1)г+1^.;„-1 + (т)г+1^т = ),

(г)г+2< + (т - ^+24-1 + (т)г+2^т = 53(.?').

Если в этой системе заменить (г)г, (г)г+1, (г)г+2 и ¿Г на (п)г, (п)г+ь (п) г+2 и соответственно, мы получим систему из доказательства теоремы 4. Учитывая это и равенство (г)г+1 = (г)г+2 = 0, мы можем сразу выписать 4, 1, 4 и а1, а2, а3, заменив п на г в формулах из доказательства теоремы 4. В результате получим

_ (то - г)(то - г - 1)^1 (?) - 2(то - г - 1)а2(Я + зз(Л г г!(т — г)(т — г — 1) '

* _ (то - г - 1)52(Я ~ ззС?) * _ ззС?) - (то - г - 2)52(Я (т — 1)^+1 (т)г+1

1 2 т — г — 1 т — г — 2

ах = —, а2 =----- +

г!' г!(т — г) (т — 1)г+1 (т)г+1 '

1 11 г!(т — г)(т — г — 1) (т — 1)г+1 (т)г+1

Проверка условия е^ ^ 0 при всех г проводится так же, как в доказательстве теоремы 4.

Условия 1 ^ 0 и ¿т ^ 0 дают т — г — 2 ^ 5(7) ^ т — г — 1. Возьмем т = тт{г + 2 + [«(7)], п}. Получим

г! \^(1 + 5 (7) — 0 (7)) (2 + 5 (7) — 0 (Я) 52 )(1 — 0(7 )) 52(?)0(? )

т-1 (г+1 + 5О;)-0О;))г+1' т (г + 2 + би)-ви))г+1-

По теореме 1 отсюда получаем требуемое. □

4. Неравенства для РА. Теперь мы приведем результаты для условных вероятностей, аналогичные результатам из предыдущего параграфа. Их доказательства проводятся по той же схеме, что и выше. Нужно лишь сначала зафиксировать варианты всех используемых условных вероятностей. Затем нужно объединить все множества нулевой вероятности, на которых соответствующие условные вероятности не принадлежат [0,1]. Таких множеств конечное число. Поэтому их объединение N будет иметь нулевую вероятность. Зафиксировав из (Е Ы, мы придем к тем неравенствам, которые уже доказали. Более подробное рассуждение для РА читатель может найти в [19].

Определим случайные величины 5А(?'), 5А(^) и ) по формуле (10) с заменой на .

Теорема 6. Положим 5 А(7) = 5^(7)/ 5^(7), 0А(7) = 5А(?) — (7)]. Тогда

рД > V ((г+т-ёЛ(з))+6л(э))з?(э) X ^ з?(э) г (г + 1-ИЛ + ИЛ)г+1 ^ ^{г + -5л{з))г ■ ■

г!

Теорема 7. Выполняется неравенство

Г " V г\ (п)гг\

п. н.

При I =3 мы получим следующие аналоги теорем 4 и 5.

Теорема 8. Определим случайные величины ) = (п — г)вА(.) — ), )

(п — г — 1)^.) — И.) = ), И?) = ^ — ]■ Тогда

рл > V + / 1___м +

г " ¿Л {п)г (п~г + *Л(Э) - ИЛ) V(г + Щз) - ёл(з))г (п)гу +

+__(_1___М^ пн

Теорема 9. Положим (5А(.) = «А(.)/ в^С?), ) = <5А(.) — [<5А(.)]■ Тогда

РЛ < V Г 4- _1__IV

(1 + ¿A(j) - 0A(j)) V(r +1 + ¿A(j) - r!

(j) f 1

+-

(2 + sA(j) - sA(j)) V (r + 2 + ¿A(j) - sA(j))r r!

Отметим, что результаты предыдущего параграфа не могут быть получены взятием математических ожиданий от правых и левых частей неравенств, записанных в формулировках теорем 6-9. Это приведет к новым оценкам, которые могут быть лучше неравенств в параграфе 3. В [19] есть соответствующий пример для вероятностей объединений событий.

Литература

1. Chung K.L., Erdos P. On the application of the Borel—Cantelli lemma // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72. P. 179-186.

2. Gallot S. A bound for the maximum of a number of random variables //J. Appl. Probab. 1966. Vol.3. P. 556-558.

3. Dawson D. A., Sankoff D. An inequality for probabilities // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 18. P. 504-507.

4. Kounias E. G. Bounds for the probability of a union with applications // Ann. Math. Statist. 1968. Vol.39. P. 2154-2158.

5. Kwerel S. M. Bounds on the probability of the union and intersection of m events // Adv. Appl. Probab. 1975. Vol. 7. P. 431-448.

6. Kwerel S. M. Most stringent bounds on aggregated probabilities of partially specified dependent probability systems // J. of Amer. Statist. Assoc. 1975. Vol.70. P. 472-479.

7. Kwerel S. M. Most stringent bounds on the probability of the union and intersection of m events for systems partially specified by Si , S2, ■■■ Sk, 2 ^ k < m // J. Appl. Probab. 1975. Vol. 12. P. 612-619.

8. Mori T.F., Szekely G.J. A note on the background of several Bonferroni—Galambos-type inequalities // J. Appl. Probab. 1985. Vol. 22. P. 836-843.

9. Boros E., Prekopa A. Closed form two-sided bounds for probabilities that at least r and exactly r out of n events occurs // Math. Oper. Research. 1989. Vol. 14. P. 317-342.

10. Kounias S., Sotirakoglou K. Upper and lower bounds for the probability that r events occur // J. Math. Programming. Oper. Research. 1993. Vol. 27, N 1-2. P. 63-78.

1

11. Galambos J., Simonelli I. Bonferroni-type inequalities with applications. New York: SpringerVerlag. 1996.

12. de Caen D. A lower bound on the probability of a union // Discrete Math. 1997. Vol. 169. P.217-220.

13. Kuai H., Alajaji F., To,ko,ho,ra G. A lower bound on the probability of a finite union of events // Discrete Math. 2000. Vol.215. P. 147-158.

14. Prekopa A. Inequalities for discrete higher order convex functions //J. Math. Inequalities. 2009. Vol. 4. P. 485-498.

15. Frolov A. N. Bounds for probabilities of unions of events and the Borel—Cantelli lemma // Statist. Probab. Lett. 2012. Vol.82. P. 2189-2197.

16. Фролов А. Н. О неравенствах для вероятностей объединений событий и лемме Бореля— Кантелли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1(59), вып. 2. С. 201-210.

17. Frolov A. N. On lower and upper bounds for probabilities of unions and the Borel—Cantelli lemma // Studia Sci. Math. Hungarica. 2015. Vol.52, N1. P. 102-128.

18. Фролов А. Н. Об оценивании вероятностей объединений событий с приложениями к лемме Бореля—Кантелли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2015. Т. 2(60), вып.3. С. 399-404.

19. Фролов А. Н. О неравенствах для условных вероятностей объединений событий и условной лемме Бореля—Кантелли // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61), вып. 4. С. 651-662. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.415.

20. Frolov A.N. On inequalities for values of first jumps of distribution functions and Holder's inequality // Statist. Probab. Lett. 2017. Vol.126. P. 150-156. https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.03.002.

Статья поступила в редакцию 27 февраля 2017 г.; рекомендована в печать 30 марта 2017 г.

Сведения об авторе

Фролов Андрей Николаевич — доктор физико-математических наук, доцент; a.frolov@spbu.ru

ON INEQUALITIES FOR PROBABILITIES THAT AT LEAST r FROM n EVENTS OCCUR

Andrei N. Frolov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; a.frolov@spbu.ru

Upper and lower bounds for probabilities that at least r from n events occur are obtained. The inequalities may turn to equalities. Similar bounds are derived for conditional probabilities given a afield of events. Taking an expectation from both parts of such inequalities may yield better bounds of unconditional probabilities of events under consideration. Refs 20.

Keywords: Bonferroni inequalities, probabilities of union of events, probabilities that at least r events occur.

References

1. Chung K.L., Erdos P., "On the application of the Borel—Cantelli lemma", Trans. Amer. Math. Soc. 72, 179-186 (1952).

2. Gallot S., "A bound for the maximum of a number of random variables", J. Appl. Probab. 3, 556-558 (1966).

3. Dawson D.A., Sankoff D., "An inequality for probabilities", Proc. Amer. Math. Soc. 18, 504-507 (1967).

4. Kounias E. G., "Bounds for the probability of a union with applications", Ann. Math. Statist. 39, 2154-2158 (1968).

5. Kwerel S.M., "Bounds on the probability of the union and intersection of m events", Adv. Appl. Probab. 7, 431-448 (1975).

6. Kwerel S. M., "Most stringent bounds on aggregated probabilities of partially specified dependent probability systems", J. of Amer. Statist. Assoc. 70, 472-479 (1975).

7. Kwerel S. M., "Most stringent bounds on the probability of the union and intersection of m events for systems partially specified by S1, S2, • • • Sk, 2 ^ k < m", J. Appl. Probab. 12, 612-619 (1975).

8. Mori T. F., Szekely G.J., "A note on the background of several Bonferroni—Galambos-type inequalities", J. Appl. Probab. 22, 836-843 (1985).

9. Boros E., Proekopa A., "Closed form two-sided bounds for probabilities that at least r and exactly r out of n events occurs", Math. Oper. Research 14, 317-342 (1989).

10. Kounias S., Sotirakoglou K., "Upper and lower bounds for the probability that r events occur", J. Math. Programming. Oper. Research. 27(1-2), 63-78 (1993).

11. Galambos J., Simonelli I., Bonferroni-type inequalities with applications (Springer-Verlag, New York, 1996).

12. de Caen D., "A lower bound on the probability of a union", Discrete Math. 169, 217-220 (1997).

13. Kuai H., Alajaji F., Takahara G., "A lower bound on the probability of a finite union of events", Discrete Math. 215, 147-158 (2000).

14. Prekopa A., "Inequalities for discrete higher order convex functions", J. Math. Inequalities 4, 485-498 (2009).

15. Frolov A. N., "Bounds for probabilities of unions of events and the Borel—Cantelli lemma", Statist. Probab. Lett. 82, 2189-2197 (2012).

16. Frolov A. N., "On inequalities for probabilities of unions of events and the Borel— Cantelli lemma", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 47, Issue 2, 68-75 (2014). DOI: 10.3103/S1063454114020034.

17. Frolov A.N., "On lower and upper bounds for probabilities of unions and the Borel—Cantelli lemma", Studia Sci. Math. Hungarica 52(1), 102-128 (2015).

18. Frolov A.N., "On estimation of probabilities of unions of events with applications to the Borel-Cantelli lemma", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 48, Issue 3, 175-180 (2015). DOI: 10.3103/S1063454115030036.

19. Frolov A. N., "On inequalities for conditional probabilities of unions of events and the conditional Borel-Cantelli lemma", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics 49, Issue 4, 379-388 (2016). DOI: 10.3103/S1063454116040063.

20. Frolov A. N., "On inequalities for values of first jumps of distribution functions and Holder's inequality", Statist. Probab. Lett. 126, 150-156 (2017). https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.03.002.

Для цитирования: Фролов А. Н. О неравенствах для вероятностей осуществления не менее r из n событий // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т.4(62). Вып. 3. С. 477-488. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.310

For citation: Frolov A. N. On inequalities for probabilities that at least r from n events occur. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 3, pp. 477-488. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.310