О неравенствах для вероятностей объединений событий и лемме Бореля-Кантелли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

О НЕРАВЕНСТВАХ

ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОБЪЕДИНЕНИЙ СОБЫТИЙ И ЛЕММЕ БОРЕЛЯ—КАНТЕЛЛИ

А. Н. Фролов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Найдены новые оценки сверху вероятностей объединений событий. Приводимые примеры показывают их оптимальность. Получено обобщение первой части леммы Бореля—Кантелли. Библиогр. 22 назв.

Ключевые слова: неравенства Бонферрони, вероятности объединения событий, лемма Бо-реля—Кантелли.

1. Введение. Неравенства для вероятностей объединений событий играют важную роль в различных разделах теории вероятностей и ее приложений. В работе автора [1] были получены некоторые новые оценки таких вероятностей снизу. В настоящей работе мы получим ряд новых оценок вероятностей объединений событий сверху. При этом мы будем использовать метод, основанный на следующем результате из [1].

Теорема 1. Пусть А\, А2, .. ., Л^ — события, N ^ 2. Обозначим

N

и = и А*.

г=1

Пусть I — натуральное число, I < N. Пусть {/кг, 1 < к < 1, 1 < г < N} — набор неотрицательных вещественных чисел. Для 1 < к < I положим

N

Йк = ^ /кгРг,

г=1

где рг — вероятность того, что произошло ровно г событий из А1, А2,

г < N.

Предположим, что вещественные числа 01,02,... ,CN и 0,1,0,2,... ,0,1 N I

ряют соотношению (1 — О )рг =5^ аг$г.

г=1 г= 1

Если сг ^ 0 для всех 1 < г < N, то

I

Р(и) ОгЙг .

г= 1

Если сг < 0 для всех 1 < г < N, то

I

Р(и) ОгЙг .

г= 1

...,AN, 0 < удовлетво-

Кроме того, Р(и) = ^ агэг, если для некоторых 1 ^ < %2 < • • • < Ц ^ N

г=1

вероятности ргг ,рг2, .. . ,рг1 являются решениями системы линейных уравнений

I

/кг,Ргз = ¡к, 1 < к < I, (1)

3=1

рг = 0 для всех г = гь и егк =0 для всех 1 ^ к ^ I.

Пусть / (х), 1 ^ к ^ I,—неотрицательные вещественные функции такие, что Л(0) = 0 для всех к. Тогда, положив Дг = /(г), мы получим, что эь = Е/(у),

N

где у = ^ I{Аг}, I{•} —индикатор события в скобках. Таким образом, эь является

г=1

некоторым моментом случайной величины у.

Получению неравенств для вероятностей объединений событий, а также вероятностей осуществления по крайней мере Ы из N событий и аналогичных вероятностей, посвящено значительное число работ. Наиболее известные оценки Р(и) основаны на биномиальных моментах у или ее моментах целых порядков. Некоторые из них, называемые также неравенствами Бонферрони, можно найти в книге Феллера [2]. Другие неравенства подобного сорта получены в работах Чжуна и Эрдёша [3], Галло [4], До-усона и Санкова [5], Куниаса [6], Кверела [7, 8], Галамбоша [9], Мори и Секкея [10], Бороша и Прекопы [11], Галамбоша и Симонелли [12], Прекопы [13], Фролова [1] и др. Различные методы построения таких оценок можно найти, например, в книге Галамбоша и Симонелли [12]. Теорема 1 позволяет строить оценки, основанные на более общих моментах, ранее не рассматривавшихся.

В работе [1] теорема 1 была использована для построения оценок вероятности Р(и) снизу. В частности, там был получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть I = 2, 0 < а < Ь, /ц = Ца, /ц = Ць для всех г. Положим 5 = (82/э1)1/(ь-а), в = 5 - [5] и в = (5ь-а - (5 - в)ь-а)/((5 + 1 - в)ь-а - (5 - в)ь-а) е [0,1), где 0/0 = 0. Тогда

п„ь/(ь-а) (1 Л) „ь/(ь-а)

Р(т> __+_1 ~ ' 1__С2)

" (81/(Ь-<0 + (1 _ 0)зтЬ-а)у КЪ-а) _ ЦЪ-а)^ '

Если а = 1 и Ь = 2, то

N N

81 = Еу = Р(Аг ), 82 = Еу2 Р(Аг ) + 2 ]Т Р А А3 ),

г= 1 г=1

в = в, а (2) превращается в неравенство из работы Доусона и Санкова [5], усиливающее следующее известное неравенство Чжуна—Эрдёша из [3]:

Р(Ю > X 82

Отметим, что неравенство Чжуна—Эрдёша лежит в основе одного из самых широко используемых обобщений второй части леммы Бореля—Кантелли, полученного Эрдёшем и Реньи [14].

При I = 3 теорема 1 дает обобщение неравенства Кверела [7], а при I ^ 4 ее можно использовать для обобщения неравенств из работ Бороша и Прекопы [11], Галамбоша и Симонелли [12], Прекопы [13] и др. Дальшейшие обобщения некоторых следствий теоремы 1 содержат неравенство Куниаса [6], также усиливающее неравенство Чжуна—Эрдёша. Численные примеры показывают оптимальность полученных оценок.

Доказанные неравенства были использованы в [1] для получения новых обобщений второй части леммы Бореля—Кантелли. Эти обобщения содержат в себе результаты Эрдёша и Реньи [14], Кочина и Стоуна [15], Спицера [16], Куниаса [6], Мори и Секея [17], Мартикайнена и Петрова [18], Петрова [19], Фенга, Ли и Шена [20] и др.

В настоящей работе мы применим метод из [1] для получения оценок сверху, а затем получим некоторые обобщения первой части леммы Бореля—Кантелли.

Опишем теперь метод построения оценок Р(и), основанный на теореме 1. Сначала мы выбираем число I и набор {/ь}. Последний определяет те численные характеристики у, которые будут представлены в нашей оценке. Следующий шаг — выбор вг. Наиболее простой способ — положить

При этом мы подберем коэффициенты а^ так, чтобы вгк =0. Так как мы строим оценку Р(и) сверху, нам следует убедиться, что вг ^ 0. (Если требуется построить оценку снизу, то нужно, чтобы вг ^ 0.) Применяя теорему 1, мы получим нужное неравенство для Р(и). Так как индексы '¡к можно выбирать, вообще говоря, различными способами, мы можем также провести некоторую оптимизацию нашей оценки.

Отметим, что можно сначала выписать вг. Если, например, /кг = гк, то положим

1 ^ г ^ N, а г к выберем так, чтобы вг ^ 0. В этом случае коэффициенты aj можно найти как коэффициенты в разложении вг по степеням г. Недостаток такого подхода проявится, если мы применим его, например, в случае /кг = г7к, 7к > 0. Положим

В этом случае мы даже не можем заранее сказать, какое количество и какие именно моменты случайной величины у будут представлены в нашей оценке. Это будет зависеть от чисел 7к. Мы предпочитаем сначала зафиксировать моменты у, а потом строить оценку, в которую входят только они. Поэтому мы используем первый подход. При этом мы используем также второй подход в простейшем случае /кг = гк для нахождения тех индексов гк, для которых вгк = 0.

2. Неравенства для вероятностей объединений событий. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное пространство, А\, А2,..., АN — события, N ^ 2. Обозначим

j=l

N

N

и =и Аг, у = Е I{Аг},

г=1

г=1

где I{•} — индикатор события, заключенного в скобках. Обозначим pi = P(y = i), i = 0,1,..., N. Ясно, что событие {у = i} происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно i событий из Ai, A2,..., An.

Пусть l — натуральное число, l ^ N. Пусть {fki, 1 ^ к ^ l, 1 ^ i ^ N} —набор неотрицательных вещественных чисел. Для 1 ^ к ^ l положим

N

sk = ^2 fkiPi.

i=i

Предположим, что fk (x), 1 ^ к ^ l,—неотрицательные вещественные функции такие, что fk(0) = 0 для всех к. Выбирая fki = fk(i), мы приходим к равенству sk = Efk (у).

В этом параграфе, используя описанный выше метод, мы построим оценки сверху для вероятности P(U), основанные на моментах si, S2,..., si случайной величины у.

Несмотря на то, что далее мы используем только степенные функции fk(x), наш метод работает и в общей ситуации. Отметим также, что полученные результаты можно обобщить на случай произвольных измеримых пространств с конечной мерой.

Начнем с простейшего случая l = 2. Пусть 0 < a < b, fii = ia, f2i = ib. Положим ci = 1 — aiia — a2ib. Если бы a =1 и b = 2, то мы взяли бы ci = (1 — i/ii)(1 — i/i2). Ясно, что в последнем случае ci ^ 0 для всех i только тогда, когда ii = 1, i,2 = N. Поэтому мы ищем ai и a2 из условия ci = cn = 0. Таким образом, ai и a2 являются решениями системы линейных уравнений

1 — ai — a2 = 0, 1 — N aai — N ba2 = 0.

Мы имеем

Nb - 1 _ Na - 1

ai ~ Nb-Na' й2 ~ ~Nb-Na'

Проверим, что ci ^ 0 для всех i. Рассмотрим функцию f (x) = 1 — aixa — a2xb при x > 1. Так как f (1) = f (N) = 0, f (+ro) = а f'(x) = —xa-i(aai + ba2xb-a) может обращаться в ноль только в одной точке, f (x) ^ 0 при x £ [1, N] и ci ^ 0 для всех i. По теореме 1 P(U) ^ aisi + a2s2, и мы приходим к следующему результату.

Теорема 3. Пусть l = 2, 0 < a <b, fii = ia, f2i = ib для всех i. Тогда

Nb — 1 Na — 1

(3)

Напомним, что si = Eya и si = Eyb в (3). При a =1 и b = 2 моменты si и s2 можно легко выписать в терминах сумм вероятностей P(Ai) и P(AiAj). Сделав соответствующие выкладки, из теоремы 3 мы получим следующий результат.

Следствие 1. Выполняется неравенство

N1

]Г р (АгА3). (4)

i=i i^i<j^N

Точные оценки Р(и), подобные неравенству (4), получены Кверелом [8]. Перейдем к случаю I = 3. Пусть а > 0, д > 0, /1г = га, /2г = га+е, /зг = га+2е. Положим вг = 1 — а^а — а2га+е — азга+2е.

Если бы а = 1 и д = 1, то мы взяли бы вг = (1 — ¿/¿1)(1 — %/%2)(1 — %/%з). В последнем случае вi ^ 0 для всех г, если ¿1 = 1, ¿2 = ш — 1, ¿з = ш, где ш — натуральное число такое, что 3 ^ ш ^ N. Число ш мы в дальнейшем рассматриваем как параметр, по которому можно провести оптимизацию нашей оценки.

Поэтому мы ищем а1 = а^ш), а2 = а2(ш) и аз = аз(ш) из условия в1 = вт-1 = вт = 0. Следовательно а1, а2 и аз —решения системы линейных уравнений

1 — а1 — а2 — аз = 0,

1 — (ш — 1)аа1 — (ш — 1)а+еа2 — (ш — 1)а+2еаз = 0, 1 — шаа1 — ша+е а2 — ша+2ваз = 0.

Отсюда следует, что

(ша+2е — 1)((ш — 1)а+е — 1) — (ша+е — 1)((ш — 1)а+2е — 1)

«1 = -Т-, (5)

Дт

(ша+2е — 1)((ш — 1)а — 1) — (ша — 1)((ш — 1)а+2е — 1)

«2 =--д-, (6)

Дт

(ша+е — 1)((ш — 1)а — 1) — (ша — 1)((ш — 1)а+е — 1)

«з =-д-, (7)

Дт

где Дт = ша(ш — 1)а(ше — 1)((ш — 1)е — 1)(ше — (ш — 1)е).

Проверим, что вг ^ 0 для всех г. Рассмотрим функцию /(ж) = 1 — а1жа — а2жа+е — азжа+2е, ж > 1. Так как /(1) = /(ш — 1) = /(ш) = 0, /(+то) = —то, а /'(ж) = —ха-1(аа1 + (а + д)а2Хе + (а + 2д)аз ж2е) может обращаться в ноль только в двух точках, /(ж) ^ 0 при ж € [1, ш — 1] и [ш, N и /(ж) ^ 0 при ж € [ш — 1, ш]. Поэтому вг ^ 0 для всех г.

По теореме 1 мы получим неравенство

Р(и) < а1в1 + а2в2 + азвз = в1 + (а2 + аз)(в2 — + аз(вз — в2). (8)

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что а1 + а2 + аз = 1.

Напомним, что аг = аг(ш), и последнее неравенство справедливо для всех ш таких, что 3 ^ ш ^ N. Для того чтобы провести оптимизацию этого неравенства по ш, выпишем систему линейных уравнений (1). Мы имеем

Р1 + (ш — 1)>т-1 + шарт = «1, Р1 + (ш — 1)а+еРт-1 + ша+ерт = «2, Р1 + (ш — 1)а+2еРт-1 + ша+2ерт = «з.

Решив эту систему уравнений, мы получим

ша+2е (ш — 1)а+е — ша+е(ш — 1)а+2е ша+2е(ш — 1)а — ша(ш — 1)а+2е

Р1 = -д---д-«2 +

Дт Дт

а+е(ш — 1)а — ша(ш — 1)а+е

ш (ш

+->- Д-5-

т

та+2е - та+в ша+2в - та та+е - та Рт-1 =--Т-«1 Н--Т-«2--Т-«3,

^т ^т ^т

(т- 1)а+2е - (т- 1)а+е (т - 1)а+2е - (т - 1)а (т - 1)а+е - (т- 1)а

рт =-д---д-«2 +-д-вз-

Так как рт-1 ^ 0 и рт ^ 0, мы приходим к неравенствам -в1(т2е - те) + 52(т2е - 1) - 53(те - 1) > 0,

в\((т - 1)2е - (т - 1)е) - в2((т - 1)2е - 1) + вз((т - 1)е - 1) > 0,

которые запишем в виде

(52 - 51)(т2е - 1) - (53 - «1)(те - 1) > 0,

(52 - 51)((т - 1)2е - 1) + (53 - 51)((т - 1)е - 1) > 0.

Отсюда следует, что

(то- 1)е < --- < то".

52 - 51

Так как

N N

53 - 52 = 53 га+е(ге - 1)р4 > 2е ^ га(ге - 1)р4 = 2е(52 - 51),

¿=2 ¿=2

при 52 - 51 > 0 выполняется неравенство

5 \ 1/е

>2,

52 - 51

и мы можем положить т = тш{[5] + 1,^}, где [•] обозначает целую часть числа в скобках.

Заметим, что, определив т, мы фактически построили сосредоточенное в точках 0, 1, т - 1, т распределение у, для которого неравенство (8) обращается в равенство. Отметим также, что другой формой записи (8) является неравенство

Р(и) < Р1 + Рт-1 + Рт■

Подчеркнем, что существует много различных наборов событий А1, А2,..., AN, которым соответствуют одинаковые 51, 52, 53. При этом лишь для некоторых из этих наборов событий р1, рт-1 и рт удовлетворяют системе (1), а остальные p¿, кроме ро, равны нулю. Для них мы будем иметь в (8) равенство, а для остальных — строгое неравенство.

Таким образом, мы доказали следующий результат.

Теорема 4. Пусть I = 3, а > 0, д > 0, /и = га, f2¿ = га+е, /3 = га+2е для всех г. Пусть 52 - 51 > 0. Положим 5 = ((53 - 52)/(52 - 51))1/е, т = тш{[5] + 1,^}. Определим а2 и а3 по формулам (6) и (7) соответственно. Тогда

Р(и) < 51 + (а2 + а3)(52 - 51) + а3(53 - 52).

(9)

Неравенство (9) справедливо и при в2 — в1 = 0. Действительно, в последнем случае рг =0 для всех г ^ 2. Поэтому вз — в2 = 0, события А1, А2,..., АN попарно несовместны, а Р(и) = р1 = в1.

При а = д = 1 формулы в теореме 4 упрощаются. Мы имеем а2 = —2/(ш — 1), аз = 1/(ш(ш — 1)),

тзПП . 2ш(а2 - 51) - (аз - 51) Р [/ < в!------.

ш(ш — 1)

Отсюда мы приходим к следующему результату, доказанному Кверелом [7] (см. также работы Бороша и Прекопы [11] и Прекопы [13]).

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 4 и а = д =1. Положим в = 6 — [6]. Тогда выполняется неравенство

р/гл<__(й3 - 51 -2(9(52 - 31))(32 - 51)2

1 ^ 1 (53-51-0(52-51))(5З-52-0(52-51))- У '

Следующий пример показывает, что неравенство (10) точное.

Пример 1. Пусть П = {1, 2, 3,..., 12}, Т — сигма-агебра всех подмножеств П, Р({%}) = 1/12 для всех % = 1, 2,..., 12. Пусть А1 = {1, 2, 3, 4}, А2 = {1, 2, 3, 5}, Аз = {1, 2, 3}, А4 = {1}.

В этом случае ро = 7/12, р1 = 2/12, р2 =0, рз = 2/12, р4 = 1/12. Поэтому в1 = 1, в2 = 3, вз = 10. Следовательно, 6 = 3.5, в = 0.5, ш = 4. В силу неравенства (10) мы имеем Р(и) ^ 5/12. Нетрудно проверить, что Р(и) = 5/12. Отметим, что в данном случае р1, рз и р4 являются решениями системы линейных уравнений (1), а р2 =0. Поэтому в этом примере оценка точна.

Правая часть неравенства (10) убывает по в и в € [0,1). Положив в = 0, мы заключаем, что из следствия 2 вытекает следующий результат.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 4 и а = д =1. Тогда выполняется неравенство

р(и) < Я1 - (52 ~51)2. (И)

вз — «2

Неравенство (11) более простое, но менее точное, чем (10). В приведенном выше примере 1 оно приведет нас к оценке Р(и) ^ 3/7.

Следующий пример показывает, что оценки могут ухудшаться за счет повторения одних и тех же событий в рассматриваемом наборе. При этом неравенство (10) перестает быть точным, а неравенство (9) дает лучшую оценку, чем неравенство (10).

Пример 2. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное пространство из примера 1. Возьмем А1 = А2 = {1, 2,3,4}, Аз = А4 = {1, 2,3, 5}, А5 = А6 = {1,2, 3}, А7 = А8 = {1}. Так как новый набор событий получен повторением событий из примера 1, событие и в обоих примерах совпадает.

Пусть а = д =1. Мы имеем в1 = 2, в2 = 12, вз = 80, 6 = 6.8, в = 0.8, ш = 7. Неравенство (10) дает Р(и) < 11/21 и 0.5238. При этом Р(и) = 5/12 и 0.4167.

Пусть теперь а =1, д = 1/2. В этом случае в1 =2, в2 и 4.8065, вз = 12, 6 = 6.5698, в = 0.5698, ш = 7, а2 и —1.5253, аз и 0.2756. Правая часть неравенства (9) приближенно равна 0.4752.

Таким образом, оценка в неравенстве (9) улучшилась при использовании моментов порядков 1, 3/2 и 2 вместо 1, 2 и 3 соответственно.

Этот пример наводит нас на мысль о том, что уменьшение порядков используемых моментов дает лучшие оценки. Приведем еще одно следствие теоремы 4 в этом направлении.

Пусть теперь а = д. В этом случае формулы (5)—(7) превращаются в

1 1 1 1 1 1 а1 = 1 Н--Г + 7-ТТ7' а2 =--- _ 7-ТТ7--17-ТТ7' а3 =

2 - - - 3

те (т - 1)е те (т - 1)е те(т - 1)е те(т - 1)е

и мы приходим к следующему результату.

Следствие 4. Пусть выполнены условия теоремы 4 и а = д. Тогда выполняется неравенство

Р(и)^з1-(тв + (т-1)в)}'2-81)+ 8?-8> ■ (12)

у 7 те(т - 1)е те(т - 1)е у '

Заметим, что 51 = 51(д), 52 = 52(д), 53 = 53(д) в неравенстве (12). Легко видеть, что 5к = 5к(д) ^ Р(и) при д ^ 0 для всех к. Числа т также зависят от д в (12), но 3 ^ т ^ N. По принципу двух милиционеров те ^ 1 и (т - 1)е ^ 1 при д ^ 0. Следовательно, а1 = а1(д) ^ 3, а2 = а2(д) ^ -3 и а3 = а3(д) ^ 1 при д ^ 0. Отсюда вытекает следующий результат.

Следствие 5. Пусть выполнены условия следствия 4- Для всех д > 0 определим 5к = 5к (д) и т = т(д) так же, как в условии следствия 4. Тогда

Р(С0 = Ит (Я1 - (те + (та-1№2-й1) + ) • (13)

У 7 е\о \ те(т - 1)е те(т - 1)еУ У 7

Закончим этот параграф замечанием о применении нашего метода оценивания вероятности Р(и) при I ^ 4. В этом случае вычисления, конечно, усложняются. Отметим лишь, что выбор гк проще всего осуществлять по аналогии со случаем I = 3. То есть, брать два из гк, равными т и т - 1, а оставшиеся выбирать по краям. Например, при I = 4 положить ¿1 = 1, ¿2 = т - 1, ¿3 = т, ¿4 = N. При I = 5 можно взять ¿1 = 1, ¿2 = 2, ¿3 = т - 1, ¿5 = т, ¿5 = N. При I = 6 можно выбрать ¿1 = 1, ¿2 = 2, ¿3 = т - 1, ¿5 = т, ¿4 = N - 1, ¿5 = N .И так далее.

3. Лемма Бореля—Кантелли. В этом параграфе мы получим некоторые обобщения первой части леммы Бореля—Кантелли. Начнем с формулировки.

Лемма 1. (Первая часть леммы Бореля—Кантелли.) Пусть {Ап} — последовательность событий такая, что ряд ^ Р(Ап) сходится. Тогда Р(Ап б.ч.) = 0.

п

Этот результат играет важную роль при доказательстве различных сильных предельных теорем теории вероятностей, в частности, при доказательствах усиленного закона больших чисел и закона повторного логарифма. При этом в некоторых случаях оказывается желательным расширить область применимости этого результата на случай последовательностей событий {Ап} таких, что ряд ^ Р(Ап) расходится.

п

Некоторые результаты в этом направлении получены Барндорф-Нильсеном [21] и Ба-лакришнаном и Степановым [22]. В частности, в первой работе было доказано, что

если Р(А„) —> 0 при п —> оо и ряд ^2P(AnAn+i) сходится, то Р(А„б.ч.) = 0. В

n

других работах также предполагается, что P(An) ^ 0 при n ^ то и некоторый ряд, аналогичный последнему ряду, сходится.

В предыдущем параграфе мы получили новые результаты, позволяющие оценивать вероятности объединений событий сверху. Так как

^ \ / m \

П U AH = lim lim P N AH ,

1 1 ^^ I n—m—\ ^^ I

n=lk=n / \fc=n /

всякая такая оценка приводит к обобщению первой части леммы Бореля—Кантелли. Мы приведем пример подобного результата, вытекающего из теоремы 4 и ее следствий.

Пусть {An} —последовательность событий, а > 0, д > 0. Для всех натуральных m и n таких, что m ^ n ^ 1, обозначим

m

= ^ I{Ak}, S1nm = Е^Пт, S2nm = Е«^, S3nm = Е^^

k=n

Обозначим через ДПт, ® = 1, 2, 3,4, 5, выражения, которые получаются в правых ча-

стях соотношений (9)—(13) при оценивании вероятности P |J AH соответственно.

\fc=n /

Используя теорему 4 и ее следствия, мы получаем такой результат. Теорема 5. Если {An} — последовательность событий, то

P(An б.ч.) ^ min (liminf liminf ДПт ) •

V n—m—J

Приведем пример, показывающий, что теорема 5 применима в случае, когда неприменимы лемма Бореля—Кантелли и все упомянутые выше ее обобщения.

Пусть последовательность событий {An} образована бесконечным последовательным повторением событий Ai, A2, A3 и A4 из примера 1. В этом случае ряд 5^P(An) расходится и P(An) — 0 при n ^ то. Следовательно, в данном случае

n

лемма Бореля—Кантелли и упомянутые выше ее обобщения применить нельзя. Вероятность P(An б.ч.) совпадает с вероятностью объединения событий Ai, A2, A3 и A4. По следствию 5 в теореме 5 мы имеем равенство вместо неравенства.

Литература

1. Frolov A. N. Bounds for probabilities of unions of events and the Borel—Cantelli lemma // Statist. Probab. Lett. 2012. Vol.82. P. 2189-2197.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1967.

3. Chung K.L., Erdos P. On the application of the Borel—Cantelli lemma // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72. P. 179-186.

4. Gallot S. A bound for the maximum of a number of random variables //J. Appl. Probab. 1966. Vol. 3. P. 556-558.

5. Dawson D. A., Sankoff D. An inequality for probabilities // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 18. P. 504-507.

6. Kounias E. G. Bounds for the probability of a union, with applications // Ann. Math. Statist. 1968. Vol.39. P. 2154-2158.

7. Kwerel S. M. Bounds on the probability of the union and intersection of m events // Adv. Appl. Probab. 1975. Vol. 7. P. 431-448.

8. Kwerel S. M. Most stringent bounds on aggregated probabilities of partially specified probability systems // J. Amer. Statist. Assoc. 1975. Vol.70. P. 472-479.

9. Galambos J. Bonferroni inequalities // Ann. Probab. 1977. Vol.5. P. 577-581.

10. Mori T.F., Szekely G.J. A note on the background of several Bonferroni-Galambos-type inequalities // J. Appl. Pobab. 1985. Vol.22. P. 836-843.

11. Boros E., Prekopa Closed form two-sided bounds for probabilities that at least r and exactly r out of n events occurs // Math. Oper. Research. 1989. Vol. 14. P. 317-342.

12. Galambos J., Simonelli I. Bonferroni-type inequalities with applications. Springer-Verlag N.Y.

1996.

13. Prekopa A. Inequalities for discrete higher order convex functions //J. Math. Inequalities. 2009. Vol. 4. P. 485-498.

14. Erdos P., Renyi A. On Cantor's series with convergent V? // Ann. Univ. Sci. Budapest Sect. Math. 1959. Vol. 2. P. 93-109.

15. Kochen S., Stone C. A note on the Borel—Cantelli lemma // Illinois J. Math. 1964. Vol.8. P. 248-251.

16. Spitzer F. Principles of random walk. Van Nostrand, Princeton. 1964.

17. Mori T.F., Szekely G.J. On the Erdos—Renyi generalization of the Borel—Cantelli lemma // Studia Sci. Math. Hungar. 1983. Vol. 18. P. 173-182.

18. Мартикайнен А. И., Петров В. В. О лемме Бореля—Кантелли // Записки научн. семин. ПОМИ. 1990. Т. 184. С. 200-207.

19. Petrov V. V. A note on the Borel—Cantelli Lemma // Statist. Probab. Lett. 2002. Vol.58. P. 283286.

20. Feng C., Li L., Shen J. On the Borel—Cantelli lemma and its generalization // Comptes Rendus Math. 2009. Vol.347. P. 1313-1316.

21. Barndorff-Nielsen O. On the rate of the growth of the partial maxima of a sequence of independent identically distributed random variables // Math. Scand. 1961. Vol. 9. P. 383-394.

22. Balakrishnan N., Stepanov A. Generalization of Borel—Cantelli lemma // The Math. Scientist. 2010. Vol.35. P. 61-62.

Статья поступила в редакцию 26 декабря 2013 г.

Сведения об авторах

Фролов Андрей Николаевич —доктор физико-математических наук, профессор; Andrei.Frolov@pobox.spbu.ru

ON INEQUALITIES FOR PROBABILITIES OF UNIONS OF EVENTS AND THE BOREL—CANTELLI LEMMA

Andrei N. Frolov

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; Andrei.Frolov@pobox.spbu.ru

New upper bound are found for probabilities of unions of events. Examples show theirs optimality. A generalization of the first par of the Borel—Cantelli lemma is obtained. Refs 22.

Keywords: Bonferroni inequalities, probabilities of unions of events, Borel—Cantelli lemma.